Xu Hướng 5/2023 # 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số # Top 12 View | Ictu-hanoi.edu.vn

Xu Hướng 5/2023 # 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số # Top 12 View

Bạn đang xem bài viết 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

143 Bài tập Giới hạn dãy số – Hàm số

I HN DÃY S 3 3 6n 2n 1 lim n 2n − + − 2 2 1 n 2n lim 5n n − + + 3 2 3 2n 4n 3n 3 lim n 5n 7 − + + − + 2 4 2n n 2 lim 3n 5 − + + + 2 3 2 n 4n 5 lim 3n n 7 + − + + 5 4 3 2 n n n 2 lim 4n 6n 9 + − − + + 2 2 7n 3n 2 lim n 5 − + + 3 2 3n 2n 1 lim 2n n + − − 3 2 2 2n 1 5n lim 5n 12n 3 − + ++ 5 3 5 4 3n 7n 11 lim n n 3n − + − + − 2 6 5 2n 3 lim n 5n − + 2 2 2n n lim 1 3n − − 3 3n n lim n 2 + + 4 2 2n 3n 2 lim 2n n 3 + − − + 3 6 3n 7n 5n 8 lim n 12 − − + + 2n 1 n 1 lim 3n 2 + − + + ( )3lim 3n 7n 11− + 4 2lim 2n n n 2− + + 3 3lim 1 2n n+ − 2 1 2 ... n lim n + + + 2 n 2 4 ... 2n lim 3n n 2 + + + + − 3 3 3 4 3 1 2 ... n lim n n 3n 2 + + + + + + 2 n. 1 3 ... (2n 1) lim 2n n 1 + + + − + + 3 3 3 2 1 2 ... n lim 11n n 2 + + + + + ( ) 22 3 3 3 n n 11 2 ... n 4 + + + + = 2 n 2 n 2 2 2 1 ... 3 3 3 lim 1 1 1 1 ... 5 5 5 + + + + + + + + n n n 4 lim 2.3 4+ n n 3 1 lim 2 1 + − n n n 3 2.5 lim 7 3.5 − + n n n n 4 5 lim 2 3.5 − + n n n 1 n 1 ( 3) 5 lim ( 3) 5+ + − + − + ( )lim 3n 1 2n 1− − − ( )lim n 1 n n+ − ( )2lim n n 1 n+ + − ( )2 2lim n n n 1− + ( )2lim n n 2 n 1+ + − + ( )lim n 3 n 5+ − − ( )2lim n n 3 n− + − 1lim n 2 n 1+ − + GII HN HÀM S 1. ( )2 2 lim 3x 7x 11 x→ + + 2. ( ) 21 7x 11 lim 4 2x x x→ + + 3. ( )( ) x 2 3x 1 2 3x lim x 1→− + − + 4. 0 7x 11 lim 2 1 x x x→ + − 5. 2 3 lim 4 x x → − 6. 2x 9 x 3 lim 9x x→ − − 7. 2 3x 3x x 5 lim x 2→−∞ − + − 8. 4 4 2x 2x 3x 5 lim x 2x→−∞ − + − 9. 6 5 3x 3x 2x 5 lim 3x 2→+∞ − + − 10. 6 3x x 5x 1 lim 5x 2→−∞ − + − 11. 2 3 2x x 5 lim 6x 3x 2→−∞ + − + 12. x 3 3 x lim 3 x+→ − − 13. x 3 3 x lim 3 x−→ − − 14. x 3 3 x lim 3 x→ − − 15. x 0 x 2 x lim x x+→ + − 16. 2 x 2 4 x lim 2 x−→ − − 17. 3 2x 2 x 2 2 lim x 2→− + − 18. 4 2x 3 x 27x lim 2x 3x 9→ − − − 19. 4 2x 2 x 16 lim x 6x 8→− − + + 20. ( )( ) 5 3 3 2 3x 2x x 1 lim 2x 1 x x→+∞ + − − + 21. 2 x x x 2x lim 2x 3→−∞ + + + 22. ( ) 4 2x x lim x 1 2x x 1→+∞ + + + 23. ( )3 2 x lim 2x 5x 3x 1 →+∞ − + − 24. 4 2 x lim 2x 5x 1 →+∞ − + 143 BAI TAP GIOI HAN DAY SO - HAM SO - WWW.MATHVN.COM 1 www.MATHVN.com 25. x 2 2x 1 lim x 2+→ + − 26. x 2 2x 1 lim x 2−→ + − 27. ( )3 2 x lim 2x 5x 3x 1 →+∞ − + − 28. 3 2x x 5 lim x 1→+∞ − + 29. 3 2x 2 x 8 lim x 4→ − − 31. ( ) ( ) 2 2 x 3 2x 5x 3 lim x 3−→ − + − + 32. 3 2x 0 x 1 1 lim x x→ + − + 33. 2 3x 2x x 10 lim 9 3x→+∞ + + − 34. 3 2x 3 x 3 3 lim x 3→− + − 35. 2x 4 x 2 lim x 4x→ − − 36. 2x 1 x 1 lim x x+→ − − 37. 2 x 0 x x 1 1 lim 3x→ + + − 38. 3x 3 3 x lim 27 x − → − − 39. 3 2x 2 x 8 lim x 2x+→ − − 2 2x 2 x 3x 10 lim 3x 5x 2→ + − − − 2 x 2 x 4 lim x 2→ − − 2 2x 1 x 4x 3 lim (x 1)→ − + − x 1 x 1 lim 1 x→ − − 2 x 3 x 2x 15 lim x 3→ + − − 2 x 5 x 2x 15 lim x 5→− + − + 3 x 1 x 1 lim x(x 5) 6→ − + − 2 2x 4 x 3x 4 lim x 4x→− + − + 2 2x 4 x 5x 6 lim x 12x 20→− − + − + 3 2 2x 2 x 3x 2x lim x x 6→− + + − − 4 2x 1 x 1 lim x 2x 3→ − + − 3 2 2x 2 x 4x 4x lim x x 6→− + + − − 2 x 2 x 5 3 lim . x 2→ + − − 4 x 7 x 9 2 lim x 7→ + − − x 5 5 x lim 5 x→ − − x 2 3x 5 1 lim x 2→ − − − x 0 x lim 1 x 1→ + − 2x 1 x 1 lim 6x 3 3x→− + + + 2 x 0 1 x x 1 lim x→ + + − 2x 5 x 4 3 lim x 25→ + − − ( ) 2 x 0 1 2x x 1 x lim x→ − + − + x 3 x 3 lim 2x 10 4→ − + − x 6 x 2 2 lim x 6→ − − − 2x 1 2x 3x 1 lim x 1→ − + − 2x 1 x 1 lim x 2x 3→ − + − x 0 5 x 5 x lim x→ + − − x 0 1 x 1 x lim x→ + − − x 1 2x 1 x lim x 1→ − − − 2 x 0 1 x x x 1 lim x→ + − + + 2 2x 1 3x 2 4x x 2 lim x 3x 2→ − − − − − + 2 x 0 1 3x x 1 x lim x→ − + − + x 4 3 5 x lim 1 5 x→ − + − − x 2 x x 2 lim 4x 1 3→ − + + − 2 x 1 x x lim x 1→ − − 3 2x 1 x 1 lim x 3 2→− + + − 2 2x 0 4 x 2 lim 9 x 3→ − − − − x 9 7 2x 5 lim x 3→ + − − 2 2x x 3x 10 lim 3x 5x 2→+∞ + − − − 2 3x x 4 lim x 2→−∞ − − 2 2x x 4x 3 lim (x 1)→+∞ − + − 2 x x 2x 15 lim x 5→−∞ + − + 2 1 lim ( 5) 6x x x x→+∞ − + − 2 4x x 3x 4 lim x 4x→−∞ + − + 4 3 2x x 5x 6 lim x 12x 20→+∞ − + − + 3 2 5x x 3x 2x lim x x 6→−∞ + + − − 2 1 lim 2 3x x x x→−∞ − + − 3 6 4 2x x 4x 4 lim x x 6→−∞ − + − − x 2 8 2x 2 lim x 2+→− + − + x 0 2 x 3x lim 3 x 2x+→ − − ( ) 2 3x 1 ; x 1 f x x 1 ; x 1 − ≤ = x 1 lim f (x) → 2mx ; x 2 f (x) 3 ; x 2 ≤ = > x 2 lim f (x) → 2x 5x 6 ; x 2 f (x) mx 4 ; x 2 = + ≤ Tìm m hàm s có gii hn khi x 2→ ( )2 2 x lim x x 1 x 2 →+∞ + − − ( )2 2 x lim x 7x 1 x 3x 2 →+∞ − + − − + ( )2 2 x lim x 4x 1 x 9x →+∞ − + − − ( )2 2 x lim x 2x 1 x 6x 3 →+∞ − + − − + ( )2lim 4 7 2 x x x x →+∞ − − − + 2 www.MATHVN.com 60 BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ chúng tôi 1, 2 2 n 2n 1 lim 3n n 3 - + + - 2, ( )( ) 2 n 1 n 2 lim n 3n 1 + + - + - 3, ( )( ) ( )( ) n 1 2n 5 lim 3n 1 n 2 + - - + 4, 2 n n n 1 lim n 3 - + + 5, 3 3 2 n 4n 1 lim 4n n 2 - + - + - 6, ( )n n 3 lim n 1 + + - 7, 4n 6 lim n 1 + - 8, ( ) ( ) 2 2 n 1 3n lim 2n 1 + - - 9, ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 n 1 n 1 lim n 1 n 1 + - - + + - 10, ( )( )2 3 n 1 3n 2 lim n 2n 1 - + - + - 11, ( )( )2 2 4 3 n 3n 6 2n n 1 lim 8n 4n 1 + + - - + - 12, ( )( ) ( )( ) 2 2 3 n 3 2n 4n 1 lim 6n 2n 1 2n 1 - - + - + - - 13, 24n n 1 lim n 3 + + - - 14, 2n 1 3n 1 lim 6n n 1 + - - - - + 15, 3 2n n 2n 4n lim 2n n 4n 1 + - - - - + 16, ( )2007 2007 2000 2n 1 1 lim n 3n - - - 17, ( )( )( ) ( ) 2 3 32 3n 1 n 2 3n 1 lim 2n 1 - + - - + 18, n 1 2 lim n 3 + - + 19, 3 38n 2n 1 3n lim 2n 4 n 7 + - + - + 20, 2 22n 1 n 1 lim n 1 + - + + 21, 2 1 2 3 ... n lim n + + + + 22, ( ) 2 n 1 3 5 ... 2n 1 lim 3n n 1 + + + + + - + 23, 3 2n 1 n 2n lim 3n n 2n 1 + - + - + 24, ( )2 2 2 n 3n 1 n 2n 1 lim 5n 3n 2 + + + - - + 25, 3 3 2n 3n 1 3n 4 lim 3n 1 + + - + - 26, ( )( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 5n 3n 1 2n 6 lim 2n 1 3n 1 + - + + - - 27, ( )n 2 n 3n 1 lim n n 2n 6 + - - + 28, ( )2 5 4n 1 2n 4n 2 lim n 3n 1 + - + + - 29, ( )2 2 n n 3 4n 7 lim 2n 4 - + - + 30, ( ) ( ) 3 3 2 2 n 7 4n 1 2n 1 lim 3n 2 + - + - - 31, n n n 2 3 lim 3 1 + + 32, n 1 n 1 n n 2 3 lim 2 3 + ++ + 33, ( ) ( ) n n n n 1 2 3 lim 2 3 + - + - - 34, n n n 1 n 2 5 3 lim 5 3+ + - + 35, ( )2lim n 3n 10- - 36, ( )3lim n 4n 1- + - 37, ( )4lim 2n 3 n 1- - + 38, ( )3lim 2n n 1- + 39, ( )3lim n n 1- + 40, 22n n lim n 1 - + 41, 2 3 3n 3n 1 lim 2n 2n 1 + - - + 42, ( )2n 1 n lim 3n 2 - - + 43, ( )3 3 4 2n 1 n 2n 1 lim 2n 3n 2 - + - + + - 44, ( ) ( ) ( ) 2 42 3 2n 1 n 1 lim 4n 3 - - + + 45, n n 3n 1 lim 5n 7 + - + 46, ( )2lim n n 5 n+ + - 47, ( )2lim 4n 3n 1 2n- + - 48, ( )2lim n 2 n n+ - 49, ( )2lim n 2 n+ - 50, ( )2lim n 3n 1 2n- + - 51, ( )2lim n 4n 2 n 2+ + - + 52, ( )2 2lim 2n 1 2n n 1+ - + + 53, ( )lim n n 3 n 1+ - + 54, ( )lim n 5 2n 3 2n 1+ + - - 55, 2 1 lim n 1 n 2+ - + 56, 2n 1 n lim 2n 5 n 2 + - - - + 57, ( )3n 2 2n 1 n 2 lim n 3 + - - - + 58, ( )3 3 2lim n 2n 1 n+ + - 59, ( )32 3 2lim n 3n n n 2n+ + + - 60, ( )3 3 2 2lim n 3n 1 n 2n+ + - +

Tài liệu đính kèm:

Bai_tap_ve_gioi_han_cua_day_so_ham_so.pdf

Chuyên Đề Giới Hạn Của Dãy Số

Published on

1. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 1 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số I. Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là L hay (un) dần tới L khi n dần tới vô cực (n   ), nếu  lim 0.n n u L    Kí hiệu:   nlim hay u khi n + .n n u L L       Chú ý:    lim limn n n u u   . 2. Một số định lý:  Định lí 1: Giả sử lim nu L , khi đó:  33lim ,limn nu L u L   Nếu 0, 0nu n L    và lim nu L  Định lí 2: Giả sử lim ,lim ,n nu L v M c const    lim( )n nu v L M    lim( )n nu v L M    lim( . ) .n nu v L M , lim . .ncu c L  lim ( 0)n n u L M v M    Định lí 3: Cho 3 dãy số ( ),( ),( )n n nu v w . Nếu ,n n nu v w n   và lim lim limn n nu w L v L     Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1 u q  1q  II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Dãy số có giới hạn  : lim nu    mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. 2. Dãy số có giới hạn  : lim nu    mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.

2. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 2 Chú ý: lim lim( )    n nu u 3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực: o Qui tắc 1: lim nu lim nv lim .n nu v       o Qui tắc 2: lim nu Dấu của lim nv L lim .n nu v       o Qui tắc 3: lim 0nu L  Dấu của L lim 0, 0n nv v  Dấu của lim nv lim n n u v +   –  

3. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 3 Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng có thể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này. Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: 3 3 2 3 2 3 3 2 3 6 5 5 3 6 lim lim 4 74 3 7 3 n n n n n n n n n n n                  3 2 3 6 5 5 lim 4 7 33 n n n n        Vì khi n   thì 3 2 3 lim 0 6 lim 0 4 lim 0 7 lim 0 n n n n               b. Ta có biến đổi: 4 2 2 4 6 2 1 lim 1 5 3 n n n n     = 4 4 2 2 4 2 4 4 4 2 2 1 6 6 2 1 lim lim 1 51 5 3 3 n n n n n n n n n n                  2 4 4 2 2 1 6 lim 1 5 3 n n n n      =-2 Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: a. 3 2 2 3 5 3 6 lim 4 3 7 n n n n n     c. 2 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n     b. 4 2 2 4 6 2 1 lim 1 5 3 n n n n     d. 2 2 2 3 1 lim 1 n n n     e. 2 4 2017 lim 4 1 n n n    f.    n n n 2 1 4 lim 3 2

4. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 4 Vì khi n   thì 2 4 2 2 lim 0 1 lim 0 5 lim 0 n n n          c. Ta có biến đổi: 2 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n                      2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 3 lim lim 2 13 2 1 3 n nn n n n n n n n                2 2 1 3 2 2 lim 32 1 3 n n n n Vì khi n   thì 2 2 1 lim 0 3 lim 0 2 lim 0 1 lim 0 n n n n               d. Ta có biến đổi: 2 2 2 3 1 lim 1 n n n     2 2 2 2 3 1 2 lim 1 1 n n n n n               2 2 3 1 2 lim 1 1 n n n      2  Vì khi n   thì 2 3 lim 0 1 lim 0 n n       e. Ta có biến đổi: 2 2 2 22 2017 4 4 2017 4 2017 4 2017 4 lim lim lim lim 31 114 1 4 4 14 n n n n n n n nn n n nn                    

5. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 5 Vì khi n   thì 2 2017 lim 0 1 lim 0 n n       f. Ta có biến đổi: 2 2 2 11 4 1 4 1 4 1 4 5 lim lim lim 3 2 23 2 3 33 n n n n nn nn n n              Vì khi n   thì 2 1 lim 0 2 lim 0 n n       Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: 4 2 3 3 2 lim 2 n n n    4 2 4 3 2 3 2 1 lim 2 1 n n n n n              = 2 4 2 3 2 1 lim 2 1 n n n n           Vì lim .n   và 2 4 2 3 2 1 lim 1 2 1 n n n          b) Ta có biến đổi: Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau: a. 4 2 3 3 2 lim 2 n n n    c.     4 2 3 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n b) 4 2 2 8 3 2 1 lim 3 4 2 n n n n n      d. 4 3 3n 2n 5 lim 2n 4    

6. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 6 4 2 2 8 3 2 1 lim 3 4 2 n n n n n      4 2 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 8 3 2 1 lim 3 4 2 n n n n n n n n n n n n n n                2 3 4 2 2 3 2 1 8 lim 3 4 2 n n nn n n                 Do 2 lim n   và 2 3 4 2 3 2 1 8 8 0 0 0n n nlim 4 0 3 4 0 0 22 n n                     c. Ta có biến đổi:     4 2 3 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n                  4 4 2 2 4 3 2 3 3 1 3 2 2 3 lim lim 2 13 2 1 3 n n n n n n n n n n               2 4 3 1 3 2 lim 2 1 3 n n n n n Vì 2 4 3 lim 1 3 2 2 lim 0 2 1 3 3 n n n n n                      . Nên                 2 4 3 1 3 2 lim 2 1 3 n n n n n d. Ta có biến đổi: 4 3 3n 2n 5 lim 2n 4     4 3 4 3 4 3 33 2 5 2 5n 3 3 n n n nlim lim n. 44 2n 2 nn                          Do lim n   và 3 4 3 2 5 3 3 0 0 3n nlim 0 4 2 0 22 n                  

7. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 7 Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: 2 2 2 22 22 2 2 2 1 2 1 2 1 0 lim lim lim 0 2 42 42 4 11 n n n n n n n nn n n nn n n             Vì khi n   thì 2 2 2 lim 0 1 lim 0 4 lim 0 n n n          b. Ta có biến đổi: 3 3 2 3 33 33 3 5 1 5 5 0 lim lim lim 0 13 13 1 33 n n n n n n nn nn n          Do : Vì khi n   thì 2 3 3 1 lim 0 5 lim 0 1 lim 0 n n n          Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉ ta rút ra nhận xét như sau. + Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng  + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau: a. 2 2 1 lim 2 4 n n n    b. 3 5 lim 3 1 n n  

8. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 8 + Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0. Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác. Thật vậy, sử dụng nhận xét đó ta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau: Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn 3 2 2 3 1 lim 3 2 n n n n     bằng: a. 2 3 b. 0 c.  d. 3 Đáp án: C Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số dương và bậc cao nhất của mẫu là bậc 1 nên giới hạn này bằng  Bài tập 2: Giới hạn 3 2 3 1 lim 4 2 n n n n      bằng: a.  b. 1 4  c.  d. 0 Đáp án: A Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số âm và bậc cao nhất của mẫu là bậc 1 nên giới hạn này bằng  Bài tập 3: Giới hạn 2 3 3 1 lim 2 1 n n n    bằng: a. 3 2 b. 1 4  c.  d. 0 Đáp án: D

9. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 9 Vì bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba. Nên giới hạn này có giới hạn bằng 0. Bài tập 4: Giới hạn 2 2 3 5 1 lim 2 3 n n n n      bằng: a. 3 2 b. 3 2  c. 0 d.  Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng -3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng 2 . Nên giới hạn này bằng 3 2  Bài tập 5: Giới hạn 4 2 3 5 lim 2 7 n n n n    bằng: a. 4 b. 1 2 c.  d.  Đáp án: C Ta có: 4 2 3 5 lim 2 7 n n n n    4 2 4 3 1 5 1 lim 7 2 n n n n n              = 2 4 1 5 1 lim 7 2 n n n n           Vì lim .n   và 2 4 1 5 1 1 lim 7 22 n n n          Bài tập 6: Giới hạn 2 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n     bằng: a. 2 3 b. 3 c. 1 2  d. 0 Đáp án: A

10. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 10 Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng 2 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 2 3 Bài tập 7: Giới hạn 3 2 2 1 lim 4 3 n n n    bằng: a.  b. 0 c. 2 d. 1 3 Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc 1 và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 0. Bài tập 8: Giới hạn 3 2 3 3 2 lim 4 n n n n    bằng: a. 3 4 b. 1 3 c.  d. 3 Đáp án: D Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc ba có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 3. Bài tập 9: Giới hạn 4 2 lim ( 1)(2 )( 1) n n n n   bằng: a. 4 b. 1 2 c. 1 d.  Đáp án: C Bậc cao nhất của tử là bậc bốn có hệ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc bốn có hệ số bằng 1 . Nên giới hạn này bằng 1. Bài tập 10: Giới hạn 2 4 1 lim 2 1 n n n    bằng:

11. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 11 a. 1 2 b. 0 c.  d. 1 Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc 4 nên giới hạn này bằng 0 Bài tập 11: Giới hạn 4 2 3 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n     bằng: a.-3 b. 4 3 c. 1 2  d.  Vì bậc cao nhất của tử là bậc 4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc 3 nên giới hạn này bằng  Bài tập 12: Giới hạn 2 2 4 1 2 1 lim 4 1 n n n n n       bằng: a. 2 b. 4 c.  d. 0 Đáp án: A Sau khi biến đổi ta có bậc cao nhất của tử là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 2. Nên giới hạn này bằng 2. Thật vậy ta cần chứng minh :                      2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 4 1 2 1 1 1 4 2 4 1 2 1 4 lim lim lim 2 24 14 1 4 1 1 1 n n n n n n nn n n n n n n n n n nnn n n Bài tập 13: Giới hạn      2 2 3 4 lim 2 n n n n bằng: a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 Đáp án: B Thực hiện tương tự câu trên Bài tập 14: Giới hạn     32 6 4 2 1 lim 1 n n n n bằng:

12. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 12 a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 Đáp án: B Thực hiện tương tự câu trên Bài tập 15: Giới hạn (2 1)( 3) lim ( 1)( 2) n n n n n     bằng: a.  b. 3 2 c. 2 3 d. 2 Đáp án: D Ta có biến đổi:          2 2 (2 1)( 3) 2 7 3 lim lim ( 1)( 2) 3 2 n n n n n n n n n n Do đó: Bậc cao nhất của tử là bậc hai hệ số bằng 2. Bậc cao nhất của mẫu là bậc hai hệ số bằng 1. Nên giới hạn này bằng 2. Bài tập 16: Giới hạn      2 2 2 4 4 1 lim 3 1 n n n n n bằng: a. 3 3 1 b. 1 3 1 c. 1 3 d. 4 3 Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài trên. Bài tập 17: Giới hạn 2 2 2 lim 4 2 n n   bằng: a. 1 b. 1 4 c. 1 2 d. -1 Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài trên. Bài tập 18: Giới hạn 33 8 1 lim 2 5 n n   bằng:

13. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 13 a. 4 b.  c. 1 5  d. 1 Đáp án: D Thật vậy, bậc cao nhất của tử là bậc nhất hệ số bằng 3 8 2 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất hệ số bằng 2. Do đó, giới hạn này có giới hạn bằng 1. Bài tập 19: Giới hạn 4 2 4 3 lim 3 2 n n n    bằng: a. 4 3 b. 1 3 c.  d. 4 Đáp án: C Bậc lớn nhất của tử là 2 hệ số bằng 4 2 , bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất nên giới hạn này có giới hạn bằng  Bài tập 20: Giới hạn 4 2 4 2 3 2 3 1 lim 1 n n n n n       bằng: a. -3 b.  c. 2 d. 1 Đáp án: B Bậc lớn nhất của tử là bậc 4 hệ số bằng -3, bậc của mẫu là bậc 2 nên giới hạn này bằng  Bài tập 21: Giới hạn 2 3 1 lim 3 2 2 n n n    bằng: a. 3 b. 1 c. 3 d.0 Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 22: Giới hạn 2 2 3 2 1 lim 4 2 n n n n     bằng:

14. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 14 a. 3 2 b. 3 4 c. 1 2 d.  Đáp án: D Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 23: Giới hạn 2 4 1 lim 3 2 1 2 n n n n     bằng: a. 4 3 b. 4 3 2 c. 0 d. 2 Đáp án: B Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 24: Giới hạn 4 3 2 2 3 4 lim 3 2 n n n n n     bằng: a.  b. 3 3 c.  d. 1 3  Đáp án: B Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 25: Giới hạn 1 lim n n n n    bằng: a. 1 b.  c. -1 d. 1 2 Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 26: Giới hạn 3 3 8 4 2 lim 5 1 n n n    bằng:

15. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 15 a. 8 5 b.  c. 2 5 d. 4 5 Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 27: Giới hạn 2 4 lim 1 n n n n  bằng: a.2 b. 4 c.  d. 0 Đáp án: D Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 28: Giới hạn 2 1 2 3 … lim 2 1 n n n       bằng: a. 0 b. 1 4 c. 1 2 d.  Đáp án: B Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta có:       2 2 2 22 1 11 2 3 … 2lim lim lim lim 2 1 2 1 4 2 22 2 1 n n n nn n n n n n n n nn n                 Áp dụng các nhận xét ở giới hạn dãy hữu tỉ ta có giới hạn này bằng 1 4

16. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 16 Loại 2: Giới hạn của dãy có căn thức. Phương pháp : Nếu dãy số có chứa căn thức mà không có dạng hữu tỉ để xét bậc, thì ta tiến hành nhân thêm lượng liên hiệp để tính giới hạn. Nhưng đồng thời các em cũng sử dụng nhận xét ở tính giới hạn hữu tỉ. Lưu ý : + Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc hai :    2 2 A B A B A B    + Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc ba :       2 2 3 3 2 2 3 3 A B A AB B A B A B A AB B A B           Sau khi nhân thêm lượng liên hiệp ta cũng có thể sử dụng nhận xét về giới hạn của dãy số hữu tỉ để có thể tinh giới hạn nhanh hơn. Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi:                          n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim 2 lim 2 2 2 2 lim lim lim 1 22 2 1 1 b. Ta có biến đổi: Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: a.   n n n2 lim 2 b.    2 lim 2 3n n n c.   3 3 lim 2n n d. 1 lim 3 2 2 1n n   e.  2 lim 1 2 5n n n    f.  3 3 2 2 lim 3 1 4n n n n   

17. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 17                  2 2 2 2 2 3 2 3 lim 2 3 lim 2 3 n n n n n n n n n n n n                             2 2 2 2 22 2 3 2 3 lim lim 2 3 2 3 3 2 2 3 2 lim lim 1 1 12 32 3 1 11 1 n n n n n n n n n n n n n n nn n 2 2 3n n n   là biểu thức liên hợp của 2 2 3n n n   c. Ta có biến đổi:         2 233 3 3 33 3 3 2 233 33 2 2 2. lim 2 lim 2 2. n n n n n n n n n n n n                         3 3 3 3 2 22 23 33 3 3 33 3 2 2 lim lim 2 2. 2 2. n n n n n n n n n n n n                 2 233 33 2 lim 0 2 2.n n n n       d. Ta có biến đổi:      1 3 2 2 1 lim lim 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 lim lim 3 2 2 1 3 2 2 1 n n n n n n n n n n n n n n                           e. Ta có biến đổi:

18. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 18          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 5 1 2 5 lim 1 2 5 lim 1 2 5 1 2 5 2 5 lim lim 1 2 5 1 2 5 2 5 lim 1 1 2 5 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                            f. Ta có biến đổi:              3 33 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 lim 3 1 4 lim 3 1 4 lim 3 1 4 lim 3 1 lim 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                          Đặt:     3 3 2 1 2 2 lim 3 1 lim 4 L n n n L n n n             Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc ba.             3 3 2 1 2 3 3 33 2 3 2 3 2 2 2 3 33 2 3 2 2 3 2 3 2 3 33 2 3 2 2 2 2 3 33 2 3 2 2 lim 3 1 3 1 3 1 3 1 lim 3 1 3 1 3 1 lim 3 1 3 1 3 1 lim 3 1 3 1 L n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                           Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc hai.

19. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 19     2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 lim 4 lim 4 4 4 lim lim 2 4 4 n n n n n n L n n n n n n n n n n n n n n n n                      Vậy:    3 3 2 2 1 2lim 3 1 4 1 2 1n n n n L L           Hướng dẫn giải a) Ta có biến đổi:             2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 lim 3 2 1 lim 3 2 1 3 2 1 3 2 2 1 lim lim 3 2 1 3 2 1 5 1 5 lim 23 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                            b)Ta có biến đổi:    1 1 3 lim lim 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 lim lim 1 3 2 n n n n n n n n n n n n n n                           c) Ta có biến đổi: Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau: a) 2 lim( 3 2 1)n n n    b) 1 lim 1 3n n   c) 2 lim( 3 1 1)n n n    d) 2 4 4 lim 2 1 n n n n           

20. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 20     2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 1 1 lim 3 1 1 lim 3 1 1 3 1 1 3 2 lim lim 3 1 1 3 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                    d) Ta có biến đổi:             2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 44 4 lim lim 2 1 2 1 4 4 4 4 4 4 lim lim 1 2 1 4 4 2 1 4 4 n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                     Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn 2 3 1 lim 1 n n n n     bằng: a. 1 b. 1 2 c.  d. 0 Đáp án: D Ta có biến đổi:             2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 13 1 lim lim 1 1 3 1 3 1 3 1 lim lim 0 1 3 1 1 3 1 n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                              Vì bậc của tử là bậc nhất và bậc lớn nhất của mẫu là bậc hai. Nên giới hạn này bằng 0. Bài tập 2: Giới hạn 2 3 2 lim 3 2 n n n n    bằng: a.   2 3 3 2 b.   2 3 3 1 c. 3 3 d. 1 2

21. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 21 Đáp án: B Ta có biến đổi:            2 2 2 2 2 2 3 2 3 23 2 lim lim 3 2 3 2 3 2 2 2 2 lim 3 3 13 2 3 2 n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n                 Bài tập 3: Giới hạn 2 2 lim( 2 1 2 1)n n   bằng: a. 1 b. 4 c.  d. 0 Đáp án: D Ta có biến đổi:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 lim 2 1 2 1 lim 2 1 2 1 2 1 2 1 2 lim lim 0 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n                          Bậc lớn nhất của tử là bậc 0 và bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất. Do đó, giới hạn này bằng 0. Bài tập 4: Giới hạn lim( 3 2 3 2)n n   bằng: a. 9 b.  c. 0 d. 6 Đáp án: C Ta có biến đổi:     3 2 3 2 3 2 3 2 lim 3 2 3 2 lim 3 2 3 2 3 2 3 2 4 lim lim 0 3 2 3 2 3 2 3 2 n n n n n n n n n n n n n n                         

22. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 22 Bài tập 5: Giới hạn lim ( 3 2)n n n   bằng: a.  b. 5 c. 3 2 d. 0 Đáp án: A Ta có biến đổi:        3 2 3 2 lim 3 2 lim 3 2 3 2 lim lim 3 2 3 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n                           Bài tập 6: Giới hạn 3 2 3 2 1 1 lim 4 3 n n n n n n      bằng: a.  b. 0 c. 1 2 d.   1 2 2 1 Đáp án: D Ta có biến đổi:          3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2 1 1 2 1 lim lim 4 3 4 3 2 1 2 1 lim 4 3 2 1 2 1 1 lim lim 4 3 2 1 4 3 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                           Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu sau khi nhân phân phối ta được bậc ba hệ số bằng  2 2 1 . Nên giới hạn này có giới hạn bằng   1 2 2 1

23. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 23 Bài tập 7: Giới hạn 3 3 2 4 lim 1 n n n n     bằng: a. 0 b. 1 c. 2 d.  Đáp án: A Ta có biến đổi:                 2 3 3 33 3 3 2 3 3 2 3 33 3 2 3 3 2 3 33 3 2 2 3 33 3 2 2 4 2 4 2 4 2 4 lim lim 1 1 2 4 2 4 2 4 lim 1 2 4 2 4 2 4 lim 0 1 2 4 2 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                                             

24. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 24 Dạng 3: Dãy số chứa lũy thừa – Mũ Phương pháp: Tương tự như dãy hữu tỉ, ta tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số lớn nhất Một số công thức lưu ý: + nn n a a b b        + 1 n n a a   + 1 n n a a + 1 1n  Giới hạn của lũy thừa: lim 0n a  với 0 1a  . Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 5n ta được 22 5 1 155 5lim lim 3 5 332. 3. 2. 3 5 5 5 n n n n n n n n n n               Vì 2 0 1 5 3 0 1 5         nên ta có 2 lim 0 5 3 lim 0 5 n n                 b. Ta có biến đổi: 1 1 1 3 2 3 .3 2 .2 3.3 2.2 lim lim lim 25.3 4.2 5.3 2.2 5.3 4. 2 n n n n n n nn n n n n            Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 3n ta được Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: a. 2 5 lim 2.3 3.5 n n n n   b. 1 1 1 3 2 lim 5.3 4.2 n n n n      c. 1 1 1 3 2 5 lim 5.5 3.2 3 n n n n n n        d. 10 1 lim 2 5 n n n   e. 9 1 lim 3 1 n n  

25. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 25 23 2 3 2.3. 2. 333 3lim lim 2 53 25. 2. 5 2. 3 3 3 n n n n n n nn n n                Vì 2 0 1 3   nên 2 lim 0 3 n       c. Ta có biến đổi: 1 1 1 3 2 5 3 .3 2 .2 5 3.3 2.2 5 lim lim lim 5.5 3.2 3 5.5 3.2 3 .3 5.5 3.2 3.3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n                  Chia tử và mẫu cho 5n ta được: 3 23 2 5 3. 2. 13. 2. 15 55 5 5lim lim 5 2 3 52 35. 3. .3 5 3. 3. 5 5 5 5 5 n n n n n n n n n n n n n n n n                               Vì 2 0 1 5 3 0 1 5         nên ta có 2 lim 0 5 3 lim 0 5 n n                 d. Ta có biến đổi: chia tử và mẫu cho 10n ta được 110 1 1 10 1 1010 10lim lim lim 2 52 5 1 1 10 10 5 2 n n n n n n n n nn n n n                        Vì 1 0 1 10 1 0 1 5 1 0 1 2             nên ta có 1 lim 0 10 1 lim 0 5 1 lim 0 2 n n n                          e. Chia tử và mẫu cho 3n ta được:

26. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 26 19 1 1 99 1 9 9lim lim lim 1 3 13 1 1 1 3 3 3 n n n n n n nn n n                   Vì 1 0 1 9 1 0 1 3         nên ta có 1 lim 0 9 1 lim 0 3 n n                 Lưu ý: Khi chia cho 3n vào trong căn bậc hai nghĩa là chia cho 9n Trích dẫn: Cũng tương tự giới hạn của dãy số hữu tỉ. Ta cũng hoàn toàn có thể tự nhẩm được kết quả của giới hạn dãy số dạng này. Bằng cách quan sát hệ số của những số mũ với cơ số lớn nhất ở tử và mẫu. Từ đó ta hoàn toàn có thể tính nhanh để thực hiện những bài toán giới hạn dưới dạng trắc nghiệm. Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn 1 3 lim 4 3 n n   bằng: a. 1 4 b.  c. 1 d. 3 4 Đáp án: C Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 1. Bài tập 2: Giới hạn 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n    bằng: a. 1 b. 7 c. 3 5 d. 7 5 Đáp án: B Thật vậy trước khi nhận xét ta có biến đối       1 4.3 7 4.3 7 .7 lim lim 2.5 7 2.5 7 n n n n n n n n

27. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 27 Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 7 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 7. Bài tập 3: Giới hạn 1 2 4 6 lim 5 8 n n n n     bằng: a. 0 b. 6 8 c.  d. 4 5 Đáp án: A Thật vậy trước khi nhận xét ta có biến đối           1 2 2 4 6 4 .4 6 .6 4.4 36.6 lim lim lim 5 8 5 8 5 8 n n n n n n n n n n n n q Nhận xét: Cơ số cao nhất của tử là 6 và cơ số cao nhất của mẫu là 8. Nên giới hạn đó bằng 0. Bài tập 4: Giới hạn 1 2 5 lim 1 5 n n n    bằng: a. 2 b. 1 5 c. 2 5 d. 5 Đáp án: D Ta có biến đổi:       1 2 5 2 5.5 lim lim 1 5 1 5 n n n n n n Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 5 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 5. Bài tập 5: Giới hạn 1 2.3 7 lim 5 2.7 n n n n    bằng: a. 2 b. 1 5 c. 1 2  d. 0 Đáp án: C

28. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 28 Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là -1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 2 nên giới hạn đó bằng 1 2  . Bài tập 6: Giới hạn 1 1 2.3 6 lim 2 (3 5) n n n n    bằng: a.  b. 1 2 c.1 d. 1 3 Đáp án: D Ta có biến đổi:            1 1 2.3 6 1 2.3 6 1 2.3 6 lim lim lim 2 (3 5) 2 (3.3 5) 3.6 5.2 n n n n n n n n n n n n Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 3 nên giới hạn đó bằng 1 3 . Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa Phương pháp 1: Dùng định lí kẹp Phát biểu: Cho 3 dãy số ( ),( ),( )n n nu v w . Nếu ,n n nu v w n   và lim lim limn n nu w L v L    Một số kiến thức cũ: 1 sin 1u    + 1 cos 1u   Hướng dẫn giải Ta có nhận xét: Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sin(3 ) lim n n

29. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 29  1 sin 3 1 1 sin(3 ) 1 n n n n n       Ta có: 1 lim 0 1 lim 0 n n             nên sin(3 ) lim 0 n n  Hướng dẫn giải Ta có:  2 2 2 cos3 cos3 cos3 lim 2 lim 2 lim 2 lim n n n n n n                          Thực hiện tương tự bài tập mẫu 1 ta được:   2 2 2 1 cos 3 1 1 cos(3 ) 1 n n n n n       Ta có: 2 2 1 lim 0 1 lim 0 n n             nên cos(3 ) lim 0 n n  Do đó: 2 cos3 lim 2 2 n n          Hướng dẫn giải Ta có: ( 1) ( 1) ( 1) lim 1 lim lim1 lim 1 1 1 1 n n n n n n               Ta có nhận xét : Bài tập mẫu 3: Chứng minh rằng: ( 1) lim 1 1 1 n n        Bài tập mẫu 2: Chứng minh rằng: 2 cos3 lim 2 2 n n         

30. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 30     1 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n             Mà: 1 lim 0 1 1 lim 0 1 n n                 nên ( 1) lim 0 1 n n    Do đó: ( 1) lim 1 1 1 n n        Bài tập trắc nghiệm tương tự Bài tập 1: Giới hạn sin3 lim 2 1 n n n   bằng : a. 1 2 b. 3 2 c. 0 d.  Đáp án: A Ta có biến đổi: sin3 sin3 lim lim lim 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n       Mà khi n dần ra  thì ta có : 1 lim 2 1 2 sin3 lim 0 2 1 n n n n         Nên: sin3 1 lim 2 1 2 n n n    Bài tập 2: Giới hạn sin 3 n n u n  bằng a.  b. 1 c. 3 d. 0 Đáp án: D Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp

31. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 31 Bài tập 3: Giới hạn 2 cos 3 2 n n n u n    bằng : a. 2 3 b. 1 3 c. 0 d.  Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Bài tập 4: Giới hạn 1 2 2 ( 1) 2 lim 5 cos n n n n     bằng : a.  b. 2 5 c. 2 5  d. 1 5  Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Bài tập 5: Giới hạn 2 1 2 2 ( 1) cos 3 n n n u n n      bằng a. 2 3 b. 3 2 c. 2 3  d. 1 Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Bài tập 6: Giới hạn sin cos sin 2 n n n u n n   bằng a. 2 b. 2 c. 0 d. 4  Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp

Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và chính xác hơn.

Giải SBT Toán 11 bài 1

Giải:

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).

Bài 1.2 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Vì sao dãy số (u n) với u n=(−1) n không thể có giới hạn là 0 khi n→+∞?

Giải:

Do đó, dãy số (u n) không thể có giới hạn là 0.

Bài 1.3 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho biết dãy số (u n) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (v n) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u n+v n) có thể có giới hạn hữu hạn không?

Giải:

Dãy (u n+v n) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại, (u n+v n) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số (u n+v n) và (u n) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là u n+v n−u n=v n có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết (v n) không có giới hạn hữu hạn.

Bài 1.4 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a) Cho hai dãy số (u n) và (v n). Biết limu n=−∞ và v n≤u n với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v n) khi n→+∞?

b) Tìm vn với v n=−n!

Giải :

a) Vì limu n=−∞ nên lim(−u n)=+∞. Do đó, (−u n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)

Từ (1) và (2) suy ra (−v n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(−v n)=+∞ hay limv n=−∞

b) Xét dãy số (u n)=−n

Ta có – n! < – n hay v n<u n với mọi n. Mặt khác, limu n=lim(−n)=−∞

Từ kết quả câu a) suy ra limv n=lim(−n!)=−∞

Bài 1.5 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n→+∞

h)

Giải:

a) -3 ; b) +∞ ; c) 0 ; d) 27/4

f) 0; g) −1/2; h) – 1;

Bài 1.6 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính các giới hạn sau :

a) lim(n 2+2n−5);

d) limn

Giải:

a) +∞;

b) -∞;

c) +∞;

d) −3/2;

Giải:

Giải:

Giải:

a) Vì ∣1/n!∣<1/n với mọi n và lim 1/n=0 nên lim 1/n!=0

b) 0 ; c) 0 ; d) 0 ;

Mặt khác, lim5 n=+∞ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra lim(5 n−cos√nπ)=lim5 n(1−cos√nπ/5 n)=+∞

Bài 1.15 trang 155 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212… (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Giải:

Giải tương tự Ví dụ 13, ta có a=34,121212…=1126/33

Luyện Tập Giới Hạn Hàm Số

Trường THPT Bình MỹTổ chuyên môn: Toán…………………………….GIÁO ÁNTên bài: Luyện tập giới hạn hàm số.Tiết: 57. Chương: IVHọ và tên sinh viên: Lý Hồng Hào. MSSV: DTO055063Họ và tên giáo viên hướng dẫn: Phạm Văn Lường.Ngày tháng năm 2009

Mục đích, yêu cầu:– Kiến thức: Củng cố kiến thức giới hạn hàm số. – Kỹ năng, kỹ xảo cơ bản: vận dụng định nghĩa, tính chất… vào việc giải bài tập.– Tư tưởng: rèn luyện tính cẩn thận trong khi làm bài tập.

II. Phương pháp, phương tiện:– Gợi mở, đặt vấn đề.– Phát huy tính tích cực của học sinh.– Sử dụng SGK, hình vẽ, thước thẳng, compa…

III. Tiến trình:– Ổn định lớp: kiểm tra sỉ số ( 1′ )– Kiểm tra bài củ: ( 4′ )1) Nêu định nghĩa giới hạn hàm số? 2) Định lý 1, định lý 2?

– Tiến trình bài học:

Thời gianNội dung ghi bảngHoạt động của GV và HS

15 phút

10 phút

Bài 4. Tìm các giới hạn sau:a)

b)

a)

d)

Giải:

-GV: Hướng dẫn HS giải câu b, c, f bài 3 (trang 132). Hỏi HS hướng giải:b) khử dạng vô định bằng cách nào?c) ta có thể khử dạng vô định không? bằng cách nào?

-HS: dự kiến trả lờib) Áp dụng hằng đẳng thức .c) Có thể khử dạng vô định bằng cách nhân lượng liên hiệp

-GV: gọi HS lên bảng giải bài tập.

-HS: lên bảng giải.

-GV: yêu cầu HS trình bày lời giải của mình cho cả lớp.

-HS: trình bày. Các HS khác lắng nghe theo dõi.

-GV: gọi một HS nhận xét về bài làm của bạn.

-HS: nhận xét.

-GV: nhận xét và sửa chữa (nếu có sai sót).

-GV: gọi HS lên bảng giải.

-HS: lên bảng giải.

-GV: yêu cầu học sinh trình bày lời giải của mình.

-HS: trình bày và giải thích (nếu có thắc mắc của các bạn khác).

-GV: nhận xét và sữa chữa (nếu có sai sót).

-GV: gọi HS nêu hướng giải?

-HS:a) áp dụng định lý 1 (tích các lim).d) áp dụng định lý 1 (thương các lim).

-GV: gọi HS lên bảng giải bài tập.

-HS: giải bài tập.

-GV: yêu cầu HS trình bày bài giải của mình.

-HS: trình bày.

-GV: hỏi các HS còn lại có thắc mắc gì về bài làn của bạn không?

-HS: hỏi (nếu có).

-HS: trả lời các câu hỏi của các bạn khác (nếu có).

-GV: nhận xét và sửa chữa (nếu có sai sót).

IV. Củng cố: (3 phút)-Khi tính giới hạn hàm số, cần lưu ý đến các phương pháp thích hợp để dạng vô định: nhân chia với lượng liên hiệp, áp dụng hằng đẳng thức…-Lưu ý giới hạn bên trái và bên phải.-Sử dụng linh hoạt các tính chất đã học.

Bài tập về nhà: (2 phút)Giải các bài tập còn lại.Bài 1: dùng định nghĩa.Bài 2: giới hạn vô cực.Bài 3: tương tự. Bài 4

Cập nhật thông tin chi tiết về 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!