Xu Hướng 3/2023 # Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số # Top 11 View

Bạn đang xem bài viết Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

4.1 Biết rằng dãy số có giới hạn là 0.

( 4.2 Cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn, còn dãy số không có giới hạn hữu hạn. Dãy số + ) có thể có giới hạn hữu hạn không ?

lim ≤ a) Cho hai dãy số và . Biết = − ∞ và với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy khi n → + ∞ ?

b) Tìm lim với = − n !

4.5 Tính các giới hạn sau :

4.8 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi :

Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi n → + ∞ Tìm giới hạn đó.

1 , − 1/ 2 , 1/ 4 , − 1/ 8 , . . . , . . 4.9 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .

4.10 Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3

4.11 Cho dãy số có số hạng tổng quát là :

= sin α + α + + . . . α với α ≠ π/ 2 + k/ π .

Tìm giới hạn của

4.12 Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212… (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

4.13 Giới hạn của dãy số với = là :

D. Không tồn tại .

4.15 lim ( – ) n bằng :

4.16 Nếu S = 1 + 0,9 + + + …. + + … thì :

D. Không thể tính được S.

Ứng Dụng Tích Phân Tính Giới Hạn Của Dãy Số

Published on

Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số

1. chúng tôi Page 1 Tác giả: chúng tôi ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ INTRODUCE: Tài liệu này cung cấp cho các bạn một phương pháp mà ít bạn nào học THPT quan tâm để ý vì phần dãy số và nguồn gốc tính tích phân ít ai quan tâm. Cho nên đây coi như là một bài thường thức cho các bạn, hi vọng sẽ giúp ích được cho ai đó 

2. chúng tôi Page 2 Tác giả: chúng tôi Nhắc lại: Định nghĩa tích phân (điều này ít học sinh quan tâm vì chúng ta sẽ được học các công thức nguyên hàm ngay sau bài mở đầu về tích phân trong sách THPT). Tích phân (Integral (Anh), 積分 (Trung)) là một khái niệm toán học, và cùng với nghịch đảo của nó là vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật… Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó. Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho một hàm f của một biến thực x và một miền giá trị thực  ;a b , khi đó một tích phân xác định (definite integral) Tích phân xác định được định nghĩa là diện tích S giới hạn bởi đường cong ( )y f x và trục hoành, với x chạy từa đến b . ( ) b a f x dx được cho là diện tích vùng không gian phẳng Oxy được bao bởi đồ thị hàm f , trục hoành, và các đường thẳng x a và x b sao cho các vùng trên trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn những phần dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích.

3. chúng tôi Page 3 Tác giả: chúng tôi Cho ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trong ( , )a b . Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) được viết như sau: ( ) ( )f x dx F x C  Ta bắt đầu vào nội dung của phương pháp  Cho ( )f x xác định trên  ;a b . Chia đoạn  ;a b thành n đoạn bằng nhau, giới hạn bởi ( 1)n  điểm chia ( 0, )ix i n như sau: 0 1 2 … …k nx a x x x x b        với 0x a 1 b a x a n    ; 2 2( )b a x a n    ; … . .n b a x a n b n     Lấy 1[ ; ]i i i ix x x   , 1,i n  .i b a a i n     . Tính ( ) .i b a f f a i n         Theo định nghĩa thì ta lập tổng 1 1 1 ( )( ) . n n n i i i i i b a b a S f x x f a i n n                  2( ) ( … . b a b a b a b a f a f a f a n n n n n                               . Nếu ( )f x liên tục trên  ;a b thì lim ( ) b n an S f x dx    . Để tìm giới hạn tổng  1 2 … limn n n n S u u u S      phụ thuộc vào n N trong nhiều trường hợp ta có thể dẫn đến dạng tổng của tích phân 1 ( ) n i i i f    rồi tính tích phân tương ứng. Bằng cách tính tích phân ta tính được giới hạn cần tìm. Bài toán và cách trình bày: Cho 1 2 …n nS u u u    tính lim .n n S  Lời giải: Ngoài cách tính trực tiếp tổng nS thông qua các công thức về dãy số như cấp số cộng, cấp số nhân, ta có thể yêu em này bằng nhờ tích phân sau:

4. chúng tôi Page 4 Tác giả: chúng tôi 1. Biến đổi nS về dạng 1 1. 2. … . . . n n i b a b a b a b a b a b a S f a f a f a n f a i n n n n n n                                          2. Chỉ ra hàm f và chứng minh f liên tục trên  ; .a b 3. Kết luận lim ( ) b n an S f x dx    Trong thực hành chúng ta thường gặp các dạng đơn giản 0,a  1.b  Khi đó các giai đoạn bên trên được rút gọn cho dễ hiểu như sau: 1. Biến đổi nS về dạng 1 1 1 2 1 … . n n i n i S f f f f n n n n n n                                 2. Chỉ ra hàm f và chứng minh f liên tục trên  0;1 . 3. Kết luận 1 0 lim ( ) .n n S f x dx    Sau khi đọc hết phần lí thuyết khá lằng nhằng trên, chúng ta bắt đầu một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1. Tính 1 1 1 lim … 1 2 n n S n n n n        Lời giải. Nhận xét rằng 1 1 1 1 n n i S in n     Xét hàm số 1 ( ) 1 f x x   trên đoạn  0;1 . Chia đoạn  0;1 thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn bằng 1 , n giới hạn bởi ( 1)n  điểm chia: 0 1 2 1 2 0 … … 1i n i x x x x x n n n            Ta có: 1 1 ( ) ( ) n n i i i i S x x f    

7. chúng tôi Page 7 Tác giả: chúng tôi Ví dụ 4. Tính lim n 2 2 2 2 2 2 sin 2sin sin … . 2 1 cos 1 cos 1 cos n n n n n nn n n n                                      Lời giải. Đặt 2 2 2 2 2 2 sin 2sin sin … . 2 1 cos 1 cos 1 cos n n n n n nS nn n n n                                       2 2 2 2 2 sin sin sin … 2 1 cos 1 cos 1 cos n n n n n n n n nn n n n                                          1 . . n i i f n n            Xét hàm số 2 ( ) 1 xsinx f x cos x   liên tục trên đoạn  0; . Chia đoạn  0; thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia ( 0, )i i x i n n    . Trên mỗi đoạn 1[ , ]i ix x chọn , 1,i i i n n     và . n    Ta có 1 1 1 ( ) . n n n i i n i i i i i f f f S n n n n                           20 lim 1 n n xsinxdx S J cos x       Bằng phép đổi biến số x t  ta tính ngay được 2 4 J   Các bài tập tương tự: Tính lim n n S  trong các trường hợp sau: 1. 1 2 ( 1) cos cos … cosn n S n n n n            ĐS. 0

Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và chính xác hơn.

Giải SBT Toán 11 bài 1

Giải:

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).

Bài 1.2 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Vì sao dãy số (u n) với u n=(−1) n không thể có giới hạn là 0 khi n→+∞?

Giải:

Do đó, dãy số (u n) không thể có giới hạn là 0.

Bài 1.3 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho biết dãy số (u n) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (v n) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u n+v n) có thể có giới hạn hữu hạn không?

Giải:

Dãy (u n+v n) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại, (u n+v n) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số (u n+v n) và (u n) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là u n+v n−u n=v n có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết (v n) không có giới hạn hữu hạn.

Bài 1.4 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a) Cho hai dãy số (u n) và (v n). Biết limu n=−∞ và v n≤u n với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v n) khi n→+∞?

b) Tìm vn với v n=−n!

Giải :

a) Vì limu n=−∞ nên lim(−u n)=+∞. Do đó, (−u n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)

Từ (1) và (2) suy ra (−v n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(−v n)=+∞ hay limv n=−∞

b) Xét dãy số (u n)=−n

Ta có – n! < – n hay v n<u n với mọi n. Mặt khác, limu n=lim(−n)=−∞

Từ kết quả câu a) suy ra limv n=lim(−n!)=−∞

Bài 1.5 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n→+∞

Giải:

a) -3 ; b) +∞ ; c) 0 ; d) 27/4

f) 0; g) −1/2; h) – 1;

Bài 1.6 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính các giới hạn sau :

a) lim(n 2+2n−5);

d) limn

Giải:

a) +∞;

b) -∞;

c) +∞;

d) −3/2;

Giải:

a) Vì ∣1/n!∣<1/n với mọi n và lim 1/n=0 nên lim 1/n!=0

b) 0 ; c) 0 ; d) 0 ;

Mặt khác, lim5 n=+∞ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra lim(5 n−cos√nπ)=lim5 n(1−cos√nπ/5 n)=+∞

Bài 1.15 trang 155 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212… (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Giải:

Giải tương tự Ví dụ 13, ta có a=34,121212…=1126/33

Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số

6. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Không tồn tại giới hạn kép, nhưng tồn tại giới hạn lặp

Xét ví dụ 2 ở mục 4.

Ta có:

Ví dụ 2: Các giới hạn lặp tồn tại nhưng khác nhau

Ta xét hàm số

Khi đó: ,

Ví dụ 3: Tồn tại giới hạn kép, nhưng không tồn tại giới hạn lặp

nhưng không tồn tại

7. Liên tục:

Hàm số f(x; y) được gọi là liên tục tại nếu:

1. f(x; y) xác định tại

2. Tồn tại

Hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định Df

Nhận xét: Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là một hàm liên tục, thương của hai hàm liên tục là một hàm liên tục (nếu hàm ở mẫu số khác không).

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính giới hạn của hàm số:

Ta chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn.

Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường cong parabol : (k – hằng số). Ta có :

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)

Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:

và

Nhưng:

Còn:

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn

Bài 2: Tìm giới hạn của hàm số:

Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng : (k – hằng số). Ta có :

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)

Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:

và

Nhưng:

Còn:

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 3: Chuyển hàm số đã cho về tọa độ cực ta có: x = r.cosφ ; y = r.sinφ. Và khi (x; y) → (0;0) thì r → 0.

Khi đó ta có:

Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào góc quay φ, nên giá trị giới hạn sẽ thay đổi khi φ thay đổi.

Bài 3: Tìm giới hạn của hàm số:

Bài này chỉ khác bài trên ở chỗ tử số có thêm x. Tuy nhiên, kết quả bài toán này hoàn toàn thay đổi. ta sẽ chứng minh giới hạn hàm số sẽ bằng 0 khi (x;y) → (0; 0)

Mà

Vậy theo định lý giới hạn kẹp ta có được giới hạn hàm số bằng 0 khi (x; y) → (0;0)

Việc ta tìm cách tính giới hạn bằng cách sử dụng định lý kẹp cho bài trên xuất phát từ việc ta chuyển hàm số về tọa độ cực thì giá trị giới hạn của hàm số luôn bằng 0 khi tiến về 0, với mọi giá trị φ. Chính điều này, là điều kiện cần (nhưng không đủ) giúp cho ta biết được giá trị giới hạn hàm số là tồn tại và bằng o.

Bài 4: Tìm giới hạn của hàm số:

Các bạn có thể chứng minh bài toán này không có giới hạn bằng cách chuyển về tọa độ cực, hoặc xét dãy điểm tiến về (0;0) theo đường tròn: (k – hằng số) (xuất phát từ việc trong hàm số có chứa nên ta xây dựng đường tròn đi qua gốc tọa độ), hoặc bạn cũng có thể xét 2 dãy điểm khác nhau cùng tiến về (0; 0) là:

Bình chọn