Bạn đang xem bài viết Cách Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Và Hệ Phương Trình được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
I. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)
Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).
Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình), kiểm tra xem kết quả có thỏa mãn điều kiện hay không.
Bước 3: Kết luận
II. Một số dạng toán về lập phương trình điển hình và cách giải cụ thể
Dạng 1: Chuyển động
(Trên đường bộ, trên dòng sông có tính đến dòng nước chảy)
Ví dụ 1: Một người đi ô tô từ A đến B để giải quyết công việc lúc 8h. Đoạn đường AB dài 80km gồm một đoạn đường bằng và một đoạn dốc. Vận tốc người đó đi trên đường bằng là 80 km/h, khi lên dốc (lúc đi) là 48 km/h, khi xuống dốc (lúc về) là 90 km/h. Tính độ dài đoạn đường bằng, biết rằng tới B, người đó giải quyết công việc trong 1h30 phút rồi quay về luôn và về tới A lúc 12h.
Lời giải:
Gọi độ dài đoạn đường bằng là x (0 < x < 90) (km)
Tổng thời gian người đó đi là: 12 – 8 – 1,5 = 2,5 (h)
Thời gian người đó đi trên quãng đường bằng là: 2x/80 (h)
Thời gian người đó lên dốc là: (90-x)/48 (h)
Thời gian người đó xuống dốc là: (90-x)/90 (h)
Theo bài ra, ta có:
2x/80 + (90-x)/48 + (90-x)/90 = 2.5
⇒ (18x + 15(90-x) +8(90-x) )/720 = 2.5
⇒ 18x – 15x – 8x = 1800 – 720 – 1350
⇒ -5x = -270
⇒ x = 54 (thỏa mãn)
Kết luận: Quãng đường bằng dài 54 km.
Ví dụ 2: Một ca nô xuôi dòng theo A đến B rồi quay trở lại. Biết tổng thời gian ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4,5 giờ. Tính vận tốc của dòng nước, biết thời gian đi 5 km lúc đi bằng thời gian đi 4 km lúc về.
Lời giải:
Gọi vận tốc của thuyền khi nước lặng là x và vận tốc của dòng nước là y
Lại có tổng thời gian ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4h 30 phút
Theo bài ra, ta có hệ phương trình:
5/(x+ y) = 4/(x -y) (I) và 40/(x+ y) + 40/(x -y) = 4,5 (II)
Từ (I) suy ra: y = x – 16
Thay y = x – 16 vào (2), ta được:
Kết luận: Vận tốc dòng nước là 2 km/h.
Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng
( Toán vòi nước, công việc )
Ví dụ 3: Cho 2 vòi nước khác nhau A và B cũng chảy vào bể. Vòi A cần ít hơn 2 giờ so với vòi B để một mình chảy đầy bể. Tính thời gian cần thiết để mỗi vòi chảy một mình đầy bể, biết tích thời gian 2 vòi chảy một mình gấp 4 lần thời gian 2 vòi cùng chảy.
Lời giải:
⇒ Thời gian để vòi B một mình chảy đầy bể là x + 2 (giờ)
Trong một giờ vòi A chảy được: 1/x (bể)
Trong một giờ vòi A chảy được: 1/(x+2) (bể)
Trong một giờ cả hai vòi chảy được: 1/x + 1/(x+2) = (2x+2)/(x (x+2) ) (bể)
Suy ra, thời gian để hai vòi chảy đầy bể là:
1 : ( (2x+2)/(x.(x+2) ) = (x (x+2))/(2 (x+1))
Theo bài ra, ta có phương trình:
x.(x + 2) = 4.(x.(x+2))/(2.(x+1))
⇒ 2x.(x +1).(x + 2) = 4x.(x + 2)
⇒ x + 1 = 2 (chia cả 2 vế cho 2x (x + 2) # 0)
⇒ x = 1 (thỏa mãn)
Vậy vòi A cần 1 giờ để chảy đầy bể, vòi B cần 3 giờ để chảy đầy bể.
Ví dụ 4: Hai tổ cùng làm chung một công việc thì hết 12h. Tính số giờ mỗi tổ làm một mình xong công việc, biết nếu mỗi tổ lần lượt làm một nửa công việc thì hết 25h.
Lời giải:
Gọi số giờ tổ 1 một mình làm xong công việc là x
số giờ tổ 2 một mình làm xong công việc là y
Trong 1 giờ, cả hai tổ làm được 1/x + 1/y = 1/12 (công việc)
Khi mỗi người làm một nửa công việc, ta có: x/2 + y/2 = 25
Theo bài ra, ta có hệ phương trình:
1/x + 1/y = 1/12 (I) và x/2 + y/2 = 25 (II)
Từ (II) ⇒ x = 50-y
Thay x = 50 – y vào (I), ta được:
1/(50-y) + 1/y = 1/12 ⇒ y = 20 hoặc y = 30 ⇒ x = 30 hoặc x = 20
Kết luận: Tổ 1 làm một mình hết 20 giờ, tổ 2 làm một mình hết 30 giờ (hoặc ngược lại)
Ví dụ 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Người chủ của mảnh vườn cắt mỗi cạnh đi 5m để trồng hoa, nên diện tích của mảnh vườn đã giảm 16%. Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.
Lời giải:
Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 2/3 x (m)
Chiều dài của mảnh vườn sau khi giảm 5m là x – 5 (m)
Chiều rộng của mảnh vườn sau khi giảm 5m là 2/3 x – 5 (m)
Diện tích của mảnh vườn sau khi cắt bớt là:
(x – 5) (2/3 x – 5) = 2/3 x2 – 5x – 10/3 x + 25 = (2×2-25x+75)/3
Phần diện tích giảm đi 16% là:
(2×2)/3 – 16% (2×2)/3 = (2×2)/3 – (8×2)/75 = (50×2 – 8×2)/75 = (14×2)/25
Theo bài ra, ta có phương trình:
(2×2-25x+75)/3 = (14×2)/25
⇒ 50×2 – 625x +1875 = 42×2
⇒ 8×2 – 625x +1875 = 0
⇒ x = 75 hoặc x = 25/8 (loại vì 25/8<5 )
Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 50m
Kết luận: Diện tích của mảnh vườn ban đầu là: 75 x 50 = 3750 (m2)
Ví dụ 6: Trong tháng năm hai nhóm công nhân đã trồng được 720 cây bạch đàn. Tháng tiếp theo do năng suất tăng nên hai nhóm trồng được thêm 99 cây bạch đàn so với tháng năm. Tính số cây mỗi nhóm đã trồng được trong tháng năm, biết tháng sáu nhóm một năng suất tăng 15%, nhóm hai tăng 12%.
Lời giải:
Gọi số cây nhóm một trồng được trong tháng năm là x
số cây nhóm hai trồng được trong tháng năm là y
Suy ra số cây nhóm một trồng được trong tháng sáu là 15% x = 115x/100 (cây)
số cây nhóm hai trồng được trong tháng sáu là 12% y = 112y/100 (cây)
Theo bài ra, ta có hệ phương trình:
x + y = 720 và 115x/100+ 112y/100 = 720 + 99
Giải hệ ta được: x = 420 và y = 300
Kết luận: Nhóm một đã trồng được 420 cây trong tháng năm, nhóm hai đã trồng được 300 cây trong tháng năm.
Dạng 4: Toán có nội dung hình học
Ví dụ 7: Một tấm bìa các tông hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 17 cm và đường chéo bằng 53 cm. Tính chu vi của tấm bìa các tông đó.
Lời giải:
Suy ra chiều rộng của tấm bìa là x – 17 (cm)
Áp dụng định lý Py – ta – go, ta có phương trình:
x2 + (x – 17)2 = 532
⇒ x2+ x2 – 34x + 289 – 2809 = 0
⇒ 2×2 – 34 x – 2520 = 0
⇒ x = 45 hoặc x = -28 (loại)
Suy ra chiều rộng của tấm bìa là 28 (cm), Chu vi của tấm bìa các tông là 146 (cm)
Ví dụ 8: Một thửa ruộng có chu vi 450m. Tính diện tích ban đầu của thửa ruộng đó, biết rằng chu vi của thửa ruộng không thay đổi khi giảm chiều dài đi 1/5 và tăng chiều rộng lên 1/4.
Lời giải:
Gọi chiều dài của thửa ruộng là x, chiều rộng của thửa ruộng là y
Suy ra chiều dài sau khi cắt bớt là 1-1/5 x = 4/5 x (m)
Chiều rộng sau khi tăng thêm là 1+ 1/4 x = 5/4 y (m)
Nưa chu vi thửa ruộng đó là: 450 : 2 = 225 (m)
Theo bài ra, ta có hệ phương trình:
x + y = 225 và 4/5 x+ 5/4 y = 225
Giải ra ta được: x=125 và y = 100 (thỏa mãn)
Diện tích ban đầu của thửa ruộng đó là 125 x 100 = 12500 (m2)
Dạng 5: Toán về tìm số
Ví dụ 9: Bà Dương hơn Dương 56 tuổi. Tính số tuổi của hai bà cháu biết rằng cách đây 5 năm, số tuổi của bà gấp 8 lần tuổi của Dương.
Lời giải:
Suy ra số tuổi của bà Dương hiện tại là x + 56 (tuổi)
Số tuổi của Dương cách đây 5 năm là x – 5 (tuổi)
Số tuổi của bà Dương cách đây 5 năm là x + 56 – 5 = x + 51 (tuổi)
Theo bài ra, ta có phương trình:
8 (x – 5) = x + 51
⇒ 8x – 40 = x + 51
⇒ 8x – x = 40 + 51
⇒ 7x = 91
⇒ x = 13
Vậy số tuổi của Dương là 13, số tuổi của bà là 69.
Ví dụ 10: Tuổi thọ trung bình của 45 vị vua và hoàng hậu ngày xưa là 40. Tuổi trung bình của vua là 35, tuổi trung bình của hoàng hậu là 50. Hỏi có bao nhiêu vị vua, bao nhiêu hoàng hậu được nhắc tới?
Lời giải:
Gọi số vị vua là x, số hoàng hậu là y (0 < x, y < 45)
Theo bài ra, ta có hệ phương trình:
x + y = 45 và (35x + 45y)/45 = 40
Giải ra ta được: x = 15 và y = 30 (thỏa mãn)
Vậy có 15 vị vua, 30 hoàng hậu.
Lời kết: Chúng ta có thể thấy những bài toán trên nếu giải theo phương pháp thông thường sẽ mất rất nhiều thời gian, nhưng khi ta lập được phương trình và hệ phương trình sẽ trở nên đơn giản hơn. Vì vậy, Gia Sư Việt mong rằng các em nắm chắc từng bước giải bài toán bằng cách lập phương trình & hệ phương trình để áp dụng làm bài thi hiệu quả nhất.
♦ Phương pháp giải bài toán về Đường tròn môn Hình học lớp 9
♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông
♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật
Chủ Đề 5: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Hệ Phương Trình
Phương pháp giải:
Dựa vào quan hệ của ba đại lượng s: quãng đường, t: thời gian, v: vận tốc của chuyển động đều trong công thức s = v.t
Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: ví dụ khi giải bài toán thuyền trên sông ta có: v1 = v o + v 3; v 2 = v o – v 3 trông đó v 1 là vận tốc của thuyền khi xuôi dòng, v 2 là vận tốc của thuyền khi ngược dòng; v o là vận tốc riêng của thuyền; v 3 là vận tốc dòng chảy.
Chú ý: để thuyền ngược dòng được thì phải có v o = v 3
Bài tập:
1) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ A đến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h.
2) Trong một cuộc đua xê mô tô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đế đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua mô tô trên.
3) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách HN 300km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế – Hà Nội dài 645km.
4) Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược bằng nhau.
5) Một người đi xê máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. Sau khi được 1/3 quãng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xê lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
6) Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10km. Nếu đi từ A đến B bằng ca nô thì mất 3 giờ 20 phút, còn đi bằng ô tô thì chỉ mất 2 giờ. Tính vận tốc của ca nô, biết rằng mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn ca nô 17km.
7) Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định với vận tốc định trước. Nếu ô tô đi với vận tốc 35km/h thì sẽ đến chậm 2h. Nếu đi với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1h. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc ban đầu.
8) Hai tỉnh A và B cách nhau 120km. Lúc 6 giờ 45 phút một xe máy đi từ A đến B; 15 phút sau đó, một ô tô cũng khởi hành từ A đến B. Vì vậy vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 10km/h, nên xe máy đến B muộn hơn ô tô tới 45 phút. Hỏi ô tô đến B lúc mấy giờ?
9) Hai bến sông A và B cách nhau 80km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B, rồi ngược dòng từ B trở về A mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô( vận tốc này là không đổi), biết vận tốc của dòng nước trong cả hai trường hợp ca nô xuôi dòng và ngược dòng đều bằng 4km/h.
10) Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sa đó 75 phút, một ô tô khởi hành từ Qui Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20km/h. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hôài Ân 100km và Qui Nhơn cách Phù Cát 30km.
11) Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian qui định. Sau khi đi được thêm 1 giờ thì ôt tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến B đúng thời gian xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
12) Bác Hai và cô Bảy đi xe đạp từ huyện lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khỏi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hai lớn hơn vận tốc xe của cô Bảy là 3km/h nên bác Hai đến trước cô Bảy nữa giờ. Tính vận tốc của mỗi người?
Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động
Phương pháp:
Dựa vào quan hệ của ba đại lượng: N: năng suất lao động( khối lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian), t: thời gian để hoàn thành một công việc, s: lượng công việc đã làm, công thức biểu diễn mối quan hệ là: $ N=frac{S}{t}$
Bài tập:
1) Hai máy ủi cùng làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp được 1/10 khu đất. Nếu máy ủi thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm việc một mình trong 22 giờ thì cả hai máy ủi san lắp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất đã cho trong bao lâu?
2) Một đội thợ mỏ theo kế hoạch phải khai thác một lượng than. Họ dự định mỗi ngày khai thác 50 tấn. Nhưng trên thực tế đội đã tăng năng suất nên mỗi ngày khai thác được 57 tấn. Do đó không những họ đã hoàn thành trước thời gian dự định 1 ngày mà còn vượt chỉ tiêu 13 tấn. Tính số than mà đội phải thác theo kế hoạch?
3) Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 10 sản phẩm. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự kiến 1 ngày. Tính xem thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?
4) Một công nhân phải làm việc 420 dụng cụ. Do mỗi ngày người đó tăng năng suất 5 dụng cụ nên đã hoàn thành công việc sớm 7 ngày. Tính số ngày người đó đã làm?
5) Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ. Do công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi người còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ.Tính số công nhân lúc đầu của mỗi tổ nếu năng suất của mỗi người đều như nhau.
Dạng 3: Các bài toán về làm chung- làm riêng, vòi nước chảy chung – chảy riêng
Phương pháp giải:
Nếu x giờ( hoặc ngày) làm xong một công việc thì mỗi giờ( hoặc ngày) làm được 1/x công việc đó.
Nếu trong 1 giờ: đối tượng A làm được 1/x công việc; đối tượng B làm được 1/y công việc thì lượng công việc mà cả hai làm được trong 1 giờ là $ frac{1}{x}+frac{1}{y}$ công việc.
Nếu mỗi giờ làm được 1/x công việc thì a giờ làm được a/x công việc.
Bài tập:
1) Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì đầy sau 16 giờ. Nếu vòi I chảy trong 3 giờ và vòi II chảy trong 6 giờ thì được thể tích nước bằng 25% bể. Tính thời gian cần thiết để riêng mỗi vòi chảy đầy bể.
2) Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 16 giờ làm xong việc ấy. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm được trong 6 giờ thì được 25% công việc ấy. Hỏi nếu làm riêng một người thì mất bao lâu mới hoàn thành công việc này?
3) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 18 giờ bể đầy. Nếu chảy riêng thì voi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi phải mất bao nhiêu lâu mới chảy đầy bể?
4) Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?
5) Hai máy cày cùng làm việc chung thì cày xong cánh đồng trong 6 giờ. Nếu làm việc riêng thì máy cày thứ nhất xong sớm hơn máy cày thứ hai 5 giờ. Hỏi nếu làm việc riêng thì máy cày thứ nhất cày xong cánh đồng trong mấy giờ?
6) Hai vòi nước cùng chảy vào bể nước cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy 10 phút vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy 2/15 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu đầy bể?
Dạng 4: Các bài toán sắp xếp, chia đều sản phẩm( hàng hóa…)
Phương pháp giải:
N: số lượng hàng hóa phân phối cho mỗi xe;
t: số xe chở hàng;
s: tổng số lượng hàng hóa trong kho
$ N=frac{S}{t}$
Bài tập:
1) Một đội xe dự định chở một số lượng hàng, với dự tính mỗi xe chở 5 tấn. Nhưng đến khi thực hiện đội được tăng cường thêm 2 xe, vì vậy lúc này mỗi xe chỉ phải chở 4 tấn và tổng hàng chở được nhiều hơn kế hoạch ban đầu là 1 tấn. Tính số xe tham gia chở hàng.
2) Một hội trường có 300 ghế ngồi, chúng được sắp xếp thành từng dãy đều nhau. Nếu mỗi dãy thêm 2 ghế và bớt 3 dãy thì hội trường sẽ giảm 11 ghế. Tính số dãy ghế trong hội trường lúc đầu.
3) Nhà Lan có mảnh vườn trông cây cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì toàn vườn sẽ giảm đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống nhưng trồng thêm mỗi luống 2 cây thì toàn vườn tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan có bao nhiều cây cải bắp?
4) Một hội đồng thi dự định có 552 thí sinh nhưng thực tế dự thi chỉ có 525 thí sinh nên mỗi phòng thi xếp thêm một thí sinh thì số phòng giảm đi 2 phòng. Hỏi lúc đầu dự định có bao nhiêu phòng thi?
5) Một phòng họp chứa được 300 chỗ ngồi.Nếu thêm 2 chỗ ngồi vào mỗi dãy ghế và bớt đi 3 dãy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi. Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?
Phương pháp giải:
Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng trong một số.
Chú ý: $ overline{ab}=10a+b;overline{abc}=100a+10b+c$
Bài tập:
1) Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là chẵn, chia hết cho 11 và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11.
2) Tìm một số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số là 10. Số đó lớn hơn tích hai chữ số
của nó là 12.
3) Tìm số $ overline{abc}$thỏa mãn: $ overline{abc}$ = ( a + b) 2 4 c
4) Cho một số có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu chia số đó cho chữ số hàng chục của nó thì được thương là 11, dư là 2. Tìm số đã cho.
5) Chữ số hàng chục của 1 số có 2 chữ số hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ 2 chữ số ấy cho nhau sẽ được 1 số bằng số ban đầu.Tìm số ban đầu.
6) Tìm 2 số biết tổng của chúng là 156. Lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 6, dư 9.
7) Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số nhỏ cho 7, số lớn cho 5 thì thương thứ nhất kém hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm 2 số đó.
8) Tìm số tự nhiên , biết tích của nó với 1 số lớn hơn nó 2 đơn vị là 168.
Dạng 6: Các bài toán có nội dung hình học
(chú ý đến hệ thức lượng trong tam giác, công thức tính chu vi, diện tích …. của các hình)
1) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675m 2 và chu vi bằng 120m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
2) Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích sẽ tăng thêm 36cm 2 còn nếu giảm một cạnh 2cm và cạnh kia giảm 4cm thì diện tích giảm đi 26cm 2.
3) Một hình chữ nhật có chu vi là 160cm và có diện tích 1500m 2. Tính kích thước các cạnh của nó.
4) Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi bằng 114cm. Người ta cắt bỏ bốn tấm hình vuông có cạnh là 5cm ở bốn góc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật( không nắp). Tính kích thước của tấm tôn đã cho. Biết rằng thể tích hình hộp bằng 150cm 3.
5) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m 2. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
6) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900m 2 và chu vi 122m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
7) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675m 2 và chu vi bằng 120m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
8) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.
9) Cạnh huyên của một tam giác vuông bắng 10 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
10) Cho tam giác vuông.Nếu tăng các cạnh góc vuông 2cm, 3 cm thì diện tích tăng 50cm 2. Nếu giảm 2 cạnh đi 2cm thì diện tích giảm 32cm 2.Tính độ dài 2 cạnh góc vuông.
Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
1. Hướng dẫn giải
Xem phần Kiến thức cần nhớ.
2. Bài tập mẫu
Bài 1. Một mảnh đất hình chữ nhất có diện tích là 100 , nếu tăng chiều rộng lên 6m và giảm chiều dài xuống 5m thì diện tích hình chữ nhất mới bằng 2 lần diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính kích thước của mảnh đất.
Giải
Gọi chiều rộng của mảnh đất là: x (m), khi đó chiều dài của mảnh đất là
Vì diện tích hình chữ nhật mới gấp đôi diện tích hình chữ nhất cũ nên ta có:
Vậy chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhất là 4(m) và chiều dài của nó là 25 (m).
Bài 2. Một bông hoa trôi xuôi dòng nước từ điểm A đến điểm B, 15 phút sau một người bơi với vận tốc lớn hơn vận tốc trôi của bông hoa là 5km/h ngược dòng từ B đến A. Hoa và người gặp nhau ở giữa quãng đường. Hỏi vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của người so với dòng nước là bao nhiêu? Biết quãng đường AB dài 5km.
Giải
Gọi vận tốc trôi của bông hoa (cũng chính là vận tốc của dòng nước) là: x(km/h). Khi đó vận tốc của người so với bờ là: (x+5) (km/h).
Vì hoa và người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nên quãng đường mà cả hai đi được phải bằng nhau, do đó ta có:
Mặt khác, vì quãng đường AB dài 5(km), nên ta có:
Khi đó ta thu được vận tốc của dòng nước là 5(km/h). Vì người bơi ngược dòng nước, nên vận tốc của người so với dòng nước sẽ là 15 (km/h).
3. Bài tập vận dụng
Bài 1. Tí và Tèo cắt cỏ trong vườn, biết rằng nếu cắt một mình thì thời gian tổng cộng để cắt hết cỏ trong vườn của Tí và Tèo là 50 phút, nếu cùng cắt thì chỉ cần 12 phút. Biết rằng Tí cắt cỏ nhanh hơn Tèo, vậy thời gian mỗi bạn cắt một mình hết số cỏ trong vườn là bao nhiêu?
Bài 2. Trong phòng học có 60 ghế ngồi được xếp thành dãy và số ghế ở mỗi dãy là bằng nhau, biết rằng nếu tăng số dãy ghế lên 2 dãy với số ghế bằng với số ghế của mỗi dãy đã có ở trong phòng, sau đó giảm ở mỗi dãy đi 1 ghế, thì số ghế trong phòng không thay đổi. Tính số dãy ghế ban đầu.
Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một bế không có nước thì sau 5 giờ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi I chảy được 2,5 lần lượng nước của vòi II chảy. Vậy để đầy bể thì một mình vòi I phải chảy trong bao lâu?
Bài 4. Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A, biết đáy BC của tam giác có độ dài là 8cm, chu vi của tam giác là 18cm, khi đó diện tích của tam giác ABC là:
Bài 5. Số đường chéo của một đa giác lồi là 15. Vậy số cạnh của đa giác là:
Bài 6. Tích của hai số a và b là 120, tổng bình phương của chúng bằng 244, vậy tổng của hai số và hiệu của số lớn hơn trừ số bé hơn bằng:
Bài 7. Hiện nay anh nhiều hơn em 3 tuổi, 9 năm nữa thì 2 lần tuổi của em khi đó trừ đi 2 lần tuổi của em hiện nay bằng tuổi của anh khi đó. Vậy tuổi của em hiện nay là bao nhiêu?
Bài 8. Tiền trợ cấp hàng tháng của một công nhân sau 2 năm tăng từ 100 nghìn đồng lên 450 nghìn đồng. Vậy bình quân hàng năm tiền trợ cấp hàng tháng của người đó tăng bao nhiêu phân trăm?
Bài 9. Ba người A, B, C cùng làm chung một công việc, nhanh hơn 6 giờ như khi A làm một mình, nhanh hơn 1 giờ như khi B làm một mình, và chỉ bằng một nửa thời gian như khi C làm một mình. Tính thời gian mà cả A, B và C cùng làm xong công việc đó.
Bài 10. Hai bình đựng một lượng nước nhất định (tính theo lít). Nếu đổ một lượng nước gấp ba lần lượng nước ở bình thứ nhất vào bình thứ hai ta thu được lượng nước ở bình thứ hai lúc đó gấp ba lần lượng nước của nó trước khi thêm nước. Còn nếu đổ một lít nước ở bình thứ nhất sang bình thứ hai thì thu được lượng nước ở bình thứ hai gấp bốn lần lượng nước ở bình thứ nhất lúc đó. Vậy lượng nước trong bình thứ nhất là?
Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Hệ Phương Trình Lớp 9 Có Đáp Án
Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình lớp 9 có đáp án. Hệ thống phương pháp các dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình lớp 9 có đáp án chi tiết.
Chủ đề: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần).
Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập.
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời.
CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG: Kiến thức cần nhớ:
+ Quãng đường = Vận tốc . Thời gian.
+ Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được:
+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.
+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB
+ Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý:
Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.
Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng – Vận tốc dòng nước.
Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0)
Ví dụ 1. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Lời giải:
Đổi 30 phút giờ.
Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là (km/h, ). Thời gian xe đi từ A đến B là (giờ).
Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc (km/h). Thời gian xe đi từ B về A là (giờ)
Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:
.
Giải phương trình:
Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12km/h.
Ví dụ 2: Trên quãng đường dài m , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ đến và một ôt ô khởi hành từ đi về . Sauk hi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.
(Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013).
Lời giải:
Gọi vận tốc xe máy là (km/h) Điều kiện .
Gọi vận tốc ô tô là (k,/h). Điều kiện .
Thời gian xe máy dự định đi từ đến là: giờ. Thời gian ô tô dự định đi từ đến là: giờ.
Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến là : (km).
Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến là : (km). Theo giả thiết ta có hệ phương trình: .
Từ phương trình (1) ta suy ra .
Thay vào phương trình (2) ta thu được: , .
Vậy vận tốc xe máy là km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.
Ví dụ 3: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến B. Đi được xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2015)
Lời giải:
Gọi vận tốc trên quãng đường ban đầu là (km/h), điều kiện:
Thì vân tốc trên quãng đường sau là (km/h)
Thời gian trên quãng đường ban đầu là (h)
Thời gian đi trên quãng đường sau là: (h)
Thời gian đi cả hai quãng đường là: 11 giờ 40 phút – 7 giờ – 10 phút giờ.
Nên ta có phương trình:
Giải phương trình ta được thỏa mãn điều kiện
Do đó thời gian đi trên quãng đường ban đầu (giờ)
Vậy xe hỏng lúc 10 giờ.
Ví dụ 4. Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dong 11 km với cùng vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.
Lời giải:
Gọi vận tốc riêng của ca nô là (km/h, )
Và vận tốc của dòng nước là (km/h,
Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc (km/h). Đi đoạn đường 78 km nên thời gian đi là (giờ).
Ca nô đi ngược dòng với vận tốc (km/h). Đi đoạn đường 44 km nên thời gian đi là (giờ).
Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta có phương trình: (1).
Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình:
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .
Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Ví dụ 3. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng hơn 3 giờ so với dự định. tính độ dài quãng đường AB.
Lời giải:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là (km/h, ) và thời gian dự định đi từ A đến B là (giờ, ). Khi đó quãng đường từ A đến B dài (km).
Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì vận tốc lúc đó là (km/h). khi đó thời gian đi sẽ là: (giờ).
Ta có phương trình: (1)
Tương tự nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ nên ta có phương trình: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Giải hệ ta được . Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
Vậy quãng đường AB dài là: (km).
Ví dụ 1) Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Quảng Ngãi 2015)
Lời giải:
Gọi (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở (ĐK: )
là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định.
Số xe thực tế phải điều động là: (xe)
Số xe cần điều động theo dự định là: (xe)
Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình:
™ hoặc (loại vì )
Vậy theo dự định cần điều động: (xe).
Ví dụ 2) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2015)
Lời giải: Gọi (chiếc) là số tàu dự định của đội
Số tàu tham gia vận chuyển là (chiếc)
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định (tấn)
Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế (tấn)
Theo bài ra ta có phương trình:
. Vậy đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu.
Ví dụ 3. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thnahf công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.
Lời giải:
Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là .
Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là (giờ)
Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là .
Do đó 96 sản phẩm được làm trong (giờ)
Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút giờ nên ta có phương trình
Giải phương trình ta được hoặc
Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm .
Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.
Ví dụ 4. Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu?
Lời giải:
Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là (giờ, ).
Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là (giờ, )
Mỗi giờ tổ một làm được (phần công việc)
Mỗi giờ tổ hai làm được (phần công việc)
Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc nên ta có phương trình:
. (1). Thực tế để hoàn thành công việc này thì tổ hai làm trong 2 giờ và tổ một làm trong (giờ), ta có phương trình: (2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: . Giải hệ ta được: thỏa mãn điều kiện.
Nếu làm riêng thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ.
Nhận xét: Bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung – làm riêng để hoàn thành một công việc có hai đại lượng chính là năng suất của mỗi người (hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối lượng công việc cần thực hiện là 1.
+ Năng suất công việc =1: thời gian.
+ Năng suất chung = Tổng năng suất riêng.
Chú ý:
Trong bài toán trên có thể thay điều kiện bằng điều kiện hoặc thậm chí là .
Có thể thay phương trình (2) bằng phương trình vì phần việc còn lại riêng tổ một làm là . Ta có ngay .
Ví dụ 5. Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở để chảy vào bể này thì sẽ đầy bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi hai chảy đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Lời giải
Đổi 4 giờ 48 phút = giờ = giờ
Cách 1: Lập hệ phương trình
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể trong (giờ, )
Gọi thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể trong (giờ, )
Biết hai vòi cùng chảy thì sau giờ thì đầy bể nên ta có phương trình: (1)
Nếu chảy riêng thì vòi một chảy đầy bể nhanh hơn vòi hai là 4 giờ nên ta có phương trình:
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Giải hệ trên ta được: (thỏa mãn điều kiện)
Vậy vòi một chảy một mình trong 8 giờ thì đầy bể và vòi hai chảy một mình trong 12 giờ thì đầy bể.
Cách 2: Lập phương trình
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là (giờ, )
Khi đó trong một giờ vòi một chảy được (phần bể)
Vòi hai chảy một mình đầy bể trong (giờ) nên trong một giờ chảy được: (phần bể)
Tổng cộng trong một giờ hai vòi chảy được (phần bể) (3)
Sau 4 giờ 48 phút = giờ hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên trong một giờ chảy được (phần bể) (4)
Từ (3) và (4) ta có phương trình
Giải phương trình ta được (loại) hoặc (thỏa mãn)
Vậy thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là 8 giờ. Vòi hai chảy một mình đầy bể là (giờ).
Nhận xét: Ta có thể chuyển bài toán trên thành bài toán sau: “Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 4 giờ 48 phút. Nếu làm riêng để hoàn thành công việc này thì thời gian đội một ít hơn thời gian đội hai là 4 giờ. Hỏi khi làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?
Ví dụ 6. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.
Lời giải:
Cách 1: Lập phương trinh
Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là ()
Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng 7m nên chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là (m)
Biết độ dài đường chéo là 13m nên theo định lý Pitago ta có phương trình:
Giải phương trình ta được hoặc . Đối chiếu với điều kiện ta có chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 5m và chiều dài mảnh đất đó là 12m.
Cách 2: Lập hệ phương trình
Gọi chiều dài của mảnh đất đó là và chiều rộng của mảnh đất đó là (m,)
Khi đó ta có hệ phương trình . Giải hệ ta được .
Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn. Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 5m và chiều dài là 12m.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1). Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h. sau 1 giờ 30 phút thì một xe con cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với xe tải. Tính quãng đường AB.
2). Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người, biết quãng đường AB dài 30km/h.
3). Hai tỉnh A,B cách nhau 180km/h. Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau ở thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ô tô và xe máy biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi.
4). Trong một cuộc đua, ba tay đua mô tô đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3 km. người thứ ba đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính thời gian chạy hết quãng đường đua của các tay đua.
5). Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tằng 20km/h thì đến sớm 1 giờ, nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính quãng đường AB.
6). Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc, một ô tô khác đi từ B đến A với vận tốc bằng vận tốc ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu?
7). Hai bến sông A và B cách nhau 40km. cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sauk hi đến bến B, ca nô quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó bè đã trôi được 8km. tính vận tốc riêng của ca nô.
8) Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày. Hỏi nếu A làm một mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày.
9) Trong một kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả là hai trường có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có và trường B có học sinh dự thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu thí sinh dự thi?
10) Có hai loại quặng sắt. quặng loại A chứa sắt, quặng loại B chứa 50% sắt. người ta trộn một lượng quặng loại A với một lượng quặng loại B thì được hỗn hợp chứa sắt. Nếu lấy tăng hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì được hỗn hợp quặng chứa sắt. Tính khối lượng quặng mỗi loại đem trộn lúc đầu.
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1). Lời giải:
Gọi độ dài quãng đường AB là (đơn vị km, )
Thời gian ô tô tải đi từ A đến B là (giờ)
Thời gian xe con đi từ A đến B là (giờ)
Vì xe con xuất phát sau xe tải 1 giờ 30 phút giờ nên ta có phương trình:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy độ dài quãng đường AB là 270km.
2). Gọi vận tốc của người đi chậm là . Vận tốc của người đi nhanh là (giờ). Vì người đi chậm đến muộn hơn 30 phút = giờ nên ta có phương trình:
So sánh với điều kiện suy ra chỉ có nghiệm thỏa mãn.
Vậy vận tốc của người đi chậm là 12km/h, vận tốc của người đi nhanh là 15km/h.
3). Lời giải:
Gọi vận tốc của ô tô là (km/h), của xe máy là (km/h) với .
Sau một thời gian, hai xe gặp nhau tại C, xe ô tô phải chạy tiếp hai giờ nữa thì tới B nên quãng đường CB dài km, còn xe máy phải đi tiếp 4 giờ 30 phút hay 4,5 giờ mới tới A nên quãng đường CA dài 4,5y km. Do đó ta có phương trình:
Ô tô chạy với vận tốc km/h nên thời gian đi quãng đường AC là giờ, xe máy đi với vận tốc km/h thì thời gian đi quãng đường CB là
Vì hai xe khởi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C nên tại lúc gặp nhau hai xe đã đi được một khoảng thời gian như nhau và ta có phương trình:
Vậy ta có hệ phương trình: .
So sánh với điều kiện ta thấy các giá trị đều thỏa mãn.
Vậy vận tốc của ô tô là 36km/h, vận tốc của xe máy là 24km/h.
4). Lời giải:
Gọi vận tốc của người thứ hai là (km/h), thì vận tốc của người thứ nhất là (km/h), vận tốc của người thứ ba là (km/h)
Gọi chiều dài quãng đường là (km, )
Thời gian người thứ hai đi hết đường đua là (giờ)
Thời gian người thứ nhất đi hết đường đua là (giờ)
Thời gian người thứ ba đi hết đường đua là (giờ)
Người thứ hai đi đến đích chậm hơn người thứ nhất là 12 phút = giờ nên ta có phương trình:
Vì nên phương trình này tương đương với (1). Người thứ hai đến đích sớm hơn người thứ ba là 3 phút = giờ nên ta có phương trình:
Vì nên phương trình này tương đương với (2). Từ (1) và (2) ta có:
Nghiệm thỏa mãn điều kiện, từ (1) ta có .
Vậy vận tốc của người thứ hai là 75km/h, vận tốc của người thứ nhất là 90km/h, vận tốc của người thứ ba là 72km/h.
5). Lời giải:
Để tính quãng đường AB ta tính đại lượng là vận tốc dự định và thời gian dự định.
Gọi vận tốc dự định là giờ, thời gian dự định là km/h ).
Quãng đường AB dài là (km)
Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thì đến sớm 1 giờ, quãng đường được tính bằng công thức:
(km)
Nếu giảm vận tốc đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ, quãng đường đi được tính bằng công thức (km)
Ta có hệ:
So sánh với điều kiện ta thấy giá trị thỏa mãn
Vậy vận tốc dự định là 40km/h, thời gian dự định là 3 giờ. Quãng đường AB dài là: km.
6).. Lời giải:
Gọi thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là giờ .
Vận tốc xe ô tô thứ nhất là (km/h)
Vận tốc xe ô tô thứ hai là (km/h)
Sau 5 giờ hai xe gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai xe đi được bằng quãng đường AB, ta có phương trình:
(thỏa mãn điều kiện )
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là: .
Vậy thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là giờ, thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là 12 giờ 30 phút.
7). Lời giải:
Gọi vận tốc ca nô là (km/h), . Vận tốc ca nô xuôi dòng là (km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là (giờ)
Vận tốc ca nô ngược dòng là (km/h)
Quãng đường ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là : km
Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là: (giờ)
Ta có phương trình:
So sánh với điều kiện thì chỉ có nghiệm thỏa mãn, suy ra vận tốc của ca nô là 27km/h.
8). Lời giải:
Gọi thời gian A,B làm riêng xong công việc lần lượt là (ngày), .
Mỗi ngày đội A làm riêng được công việc.
Mỗi ngày đội B làm riêng được công việc.
Ta có hệ phương trình:
Vì A làm 9 ngày xong nên 3 ngày làm được công việc.
Vì B làm 18 ngày xong nên 3 ngày B làm được công việc, số ngày làm xong công việc còn lại là ngày.
Gọi số thí sinh tham dự của trường A và trường B lần lượt là . Ta có hệ phương trình
Gọi khối lượng quặng đem trộn lúc đầu quặng loại A là (tấn), quặng loại là (tấn), .
Ta có hệ phương trình: (thỏa mãn)
Từ khóa tìm kiếm tương tự: Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 có đáp an, Chuyên de giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 có đáp an, Chuyên de giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 có đáp an, Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng hình học, Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất, Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số, Đề cương Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8, Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9 dạng làm chung làm riêng, Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 có đáp an, Lý thuyết giải bài toán bằng cách lập phương trình, Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình nâng cao,
Cập nhật thông tin chi tiết về Cách Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Và Hệ Phương Trình trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!