Bạn đang xem bài viết Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Cực Hay được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cực hay
A. Phương pháp giải
Hệ phương trình đối xứng loại II theo ẩn x và y là hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò của các ẩn x và y thì hai phương trình trong hệ sẽ hoán đổi cho nhau.
Hệ phương trình đối xứng loại II có dạng
Cộng hoặc trừ hai vế của hai hệ phương trình thu được phương trình. Biến đổi phương trình này về phương trình tích, tìm biểu thức liên hệ giữa x và y đơn giản.
Thế x theo y (hoặc y theo x) vào một trong hai phương trình của hệ ban đầu.
Giải và tìm ra nghiệm x (hoặc y). Từ đó suy ra nghiệm còn lại.
Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
Trừ từng vế của hai phương trình ta được:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
Trừ từng vế của hai phương trình ta được:
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
Vì vế phải của mỗi phương trình đều dương nên ta có
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 2: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 4
B. 2
C. 3
D. 5
Câu 3: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 4: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 5: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 4
B. 3
C. vô số nghiệm
D. vô nghiệm
Câu 6: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Hệ phương trình có vô số nghiệm.
B. Hệ phương trình có 3 nghiệm.
C. Hệ phương trình có 4 nghiệm.
D. Hệ phương trình có 1 nghiệm.
Câu 7: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Hệ phương trình có vô số nghiệm.
B. Hệ phương trình có 2 nghiệm.
C. Hệ phương trình có 4 nghiệm.
D. Hệ phương trình có 3 nghiệm.
Câu 8: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hệ phương trình vô nghiệm.
B. Hệ phương trình có 2 nghiệm.
C. Hệ phương trình có 1 nghiệm.
D. Hệ phương trình có 3 nghiệm
Câu 9: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 2
B. 3
C. vô số nghiệm
D. vô nghiệm
Câu 10: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
Cách nhận biết, phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 có hai ẩn x, y qua các ví dụ và bài tập có lời giải.
Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng ta định nghĩa về PT đối xứng như sau:
Phương trình ẩn gọi là đối xứng với ẩn nếu thay bởi bởi thì phương trình không thay đổi.
– Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
………………………….
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1
– Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
– Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức có nghiệm trên là thì:
(Định lý Viét tổng quát)
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2
Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có thì là nghiệm của phương trình
2. Định nghĩa
Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng:
, trong đó .
3. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 có 2 ẩn
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và .
Bước 3: Thay bởi vào hệ phương trình. Giải hệ tìm rồi dùng Viét đảo tìm .
Chú ý:
+ Cần nhớ:
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ và
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập giải hệ PT đối xứng loại 1
– Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .
Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình .
Điều kiện .
Hệ phương trình tương đương với:
Đặt ta có:
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình .
Điều kiện . Đặt , ta có:
và .
Thế vào (1), ta được:
Suy ra:
– Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt với điều kiện của và (*)
+ Bước 3: Thay bởi vào hệ phương trình.
Giải hệ tìm theo rồi từ điều kiện (*) tìm .
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ và thì nhớ tìm chính xác điều kiện của .
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
Điều kiện ta có:
Đặt , Hệ phương trình trở thành:
.
Từ điều kiện ta có .
Ví dụ 2. Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thực.
.
Đặt Hệ phương trình trở thành: .
Suy ra và là nghiệm của phương trình .
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình: .
Đặt: . Vậy ta có hệ:
⇔
⇔
u, v là hai nghiệm của phương trình:
⇒ ⇒
Vậy phương trình có hai nghiệm: = .
II. Hệ phương trình đối xứng loại 2 có 2 ẩn
A. Định nghĩa
Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn có dạng:
B. Cách giải hệ PT đối xứng loại 2 có 2 ẩn
Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: .
Khi đó hoặc
+ Trường hợp 1: kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.
C. Ví dụ giải hệ PT đối xứng loại 2 có lời giải
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I)
Lấy (1) – (2) ta được:
Trường hợp 1: (I)
⇔ .
Trường hợp 2: (I) (hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
Đặt:
Hệ phương trình trở thành:
⇔
(Do u, v ≥ 0) .
Vậy hệ có nghiệm (1,1)
Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
Lý thuyết cần nắm
Định nghĩa
Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng
(I) trong đó f(x; y), g(x; y) là các biểu thức đối xứng, tức là f(x; y) = f(y; x), g(x; y) = g(y; x).
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:
+ Đặt S = x + y, P = xy. + Biểu diễn f(x; y), g(x; y) qua S và P, ta có hệ phương trình:
, giải hệ phương trình này ta tìm được^ S, P.
+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X^2- SX + P = 0 (1).
Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:
x^2 + y^2 = ( x + y)^2 – 2xy = S^2 – 2P
x^3 + y^3 = (x+y)( x^2 + y^2 – xy) = S^3 – 3SP
x^2y + y^2x = xy(x+y) = SP
x^4 + y^4 = ( x^2 + y^2) – 2x^2y^2 = ( S^2 – 2P) – 2P^2
+ Nếu (x; y) là nghiệm của hệ (I) thì (y; x) cũng là nghiệm của hệ (I). + Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay S^2- 4P ≥ 0.
Ví dục minh họa
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:
1.x + y + 2xy = 2 x^3 + y^3 = 8
2. x^3 + y^3 = 19 (x + y)(8 + xy) = 2
1. Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: S + 2P = 2 S(S^2- 3P) = 8 ⇔ P =(2 – S)/2 S[S^2-( 6 – 3S)/2 = 8
⇒ 2S^3 + 3S^2- 6S- 16 = 0 ⇔ (S- 2)( 2S^2 + 7S + 8) = 0 ⇔ S = 2 ⇒ P = 0.
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X^2- 2X = 0 ⇔ X = 0 X = 2
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X^2- X- 6 = 0 ⇔ X = 3 X = – 2 Vậy hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm: (x; y) = ( − 2; 3), (3; − 2).
Ví dụ 5. Tìm m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:
1.x + y = m x^2 + y^2 = 2m + 1
2.x +1/x+ y +1/y= 5
x^3 +1/x^3 + y^3 +1y^3 = 15m- 10
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: S^2- 4P ≥ 0 ⇔ m^2- 2( m^2- 2m- 1) = – m^2 + 4m + 2 ≥ 0 ⇔ 2- √6 ≤ m ≤ 2 + √6.
Ví dụ 8: Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x^3 + y^3
Ta có: x, y tồn tại ⇔ hệ có nghiệm ⇔ S^2- 4P ≥ 0 ⇔ 1- (13-A)/3≥ 0 ⇔ A ≥1/4 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là min A =1/4 ⇔ x = y =1/2
Ví dụ 9. Cho các số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn:
(x + y)xy = x^2 + y^2- xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =1/x^3 +1/y^3 .Xét hệ phương trình:
(x + y)xy = x^2 + y^2- xy
1/x^3 +1/y^3 = A
Đặt a =1/x, b =1/y (a, b ≠ 0), hệ phương trình trên trở thành: a + b = a^2 + b^2- ab
a^3 + b^3 = A
Hệ phương trình này có nghiệm ⇔ S^2 ≥ 4P ⇔ 3S^2 ≥ 4(S^2- S)⇔ S ≤ 4 ⇔ A = S^2 ≤ 16.
Đẳng thức xảy ra ⇔S = 4 P =(S^2 – S)/3= 4 ⇔ a = b = 2 ⇔ x = y =1/2 Vậy giá trị lớn nhất của A là max A = 16 ⇔ x = y =1/2.
Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1
4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay
Phương pháp giải
– Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.
+ Phương trình
+ Phương trình √A = √B ⇔ A = B.
– Cách 2: Đặt ẩn phụ.
– Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.
– Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp bình phương để giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a) √x = 3 (đkxđ: x ≥ 0)
Vậy phương trình có nghiệm x = 9.
b) (đkxđ: x ≥ -1)
⇔ x + 1 = 4
⇔ x = 3 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
c) (đkxđ: x ≥ -3/2 )
⇔ (x + 1)(x – 3) = 0
⇔ x = -1 hoặc x = 3
Thử lại chỉ có giá trị x = 3 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
d) (đkxđ: x ≥ 1).
⇔ x – 1 = x 2 – 6x + 9
⇔ (x – 2)(x – 5) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 5
Thử lại chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn.
Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
Khi đó phương trình trở thành:
⇔ (t-3) (2t + 7/2) = 0 ⇔ t = 3 (T/M) hoặc t = -7/2(L).
Với t = 3 thì
⇔ (x-1) (x+6) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1 và x = -6.
b) Đặt ⇒ x = t 3.
Với t = 1 ⇒ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
c) (Đkxđ: x ≠ 0 và x – 1/x ≥ 0 ).
Chia cả hai vế cho x ta được:
Phương trình trở thành: t 2 + 2t – 3 = 0
⇔ (t-1)(t+3) = 0 ⇔ t = 1(t/m) hoặc t = -3(l)
Với t = 1 ⇒
Vậy phương trình có hai nghiệm
d) Đặt
Ta thu được hệ phương trình :
⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây:
Hướng dẫn giải:
a) Phương pháp giải: Phân tích thành nhân tử
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
b)
Điều kiện xác định : ⇔ x = 7.
Thay x = 7 vào thấy không thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Phương pháp giải: Đánh giá
VT = VP ⇔
Vậy phương trình vô nghiệm.
+ TH1: Xét ⇔ x-1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10 .
Phương trình trở thành:
⇔ x – 1 = 81/4 ⇔ x = 85/4 (t.m)
+ TH2: Xét (không tồn tại)
+ TH3: Xét ⇔ 5 ≤ x ≤ 10 .
Phương trình trở thành:
⇔ 1 = 4 (vô nghiệm)
+ TH4: Xét ⇔ x ≤ 5.
Phương trình trở thành:
⇔ x – 1 = 1/4 ⇔ x = 5/4 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5/4 và x = 85/4
Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Bài 1: Nghiệm của phương trình là :
A. x = 6 B. x = 3 C. x = 9 D. Vô nghiệm.
Bài 2: Phương trình có số nghiệm là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
⇔ (x + 1)(x + 3) = 8
⇔ x 2 + 4x + 3 = 8
Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình x – 5√x + 6 = 0 là:
A. 5 B. 9 C. 4 D. 13.
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Đkxđ: x ≥ 0.
x – 5√x + 6 = 0
Bài 4: Phương trình có nghiệm là:
A. x = 4 B. x = -3 C. x = -3 và x = 4 D. Vô nghiệm.
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)
Bài 5: Phương trình có số nghiệm là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số.
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Bài 6: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a) (đkxđ: x ≥ -3/2 )
⇔
⇔ 2x + 3 = 1/4
⇔ 2x = -11/4
⇔ x = -11/8
Vậy phương trình có nghiệm x = -11/8 .
b) (đkxđ: x ≥ 0)
⇔ 3x = 144
⇔ x = 48
c) (đkxđ: x ≥ -1)
⇔ x + 1 = 25
⇔ x = 24.
Vậy phương trình có nghiệm x = 24.
Bài 7: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a)
⇔ x 2 – 2x – 4x + 8 = 0
⇔ (x – 2)(x – 4) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 4.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 4.
b)
⇔ 2x(x – 3) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 3.
Thử lại chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
⇔ (x + 6)(x – 1) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -6
Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 hoặc x = 1.
⇒ 4(x+1)(2x+3) = (21-3x) 2
⇔ 4(2x 2 + 2x + 3x + 3) = 441 – 126x + 9x 2
⇔ 8x 2 + 20x + 12 = 441 – 126x + 9x 2
⇔ x 2 – 146x + 429 = 0.
⇔ x 2 – 3x – 143x + 429 = 0
⇔ (x – 3)(x – 143) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 143.
Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 143.
Bài 8: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a)
Đặt
+ Th1: ⇔ x = 1.
+ Th2: ⇔ x = -7.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -7.
b) (đkxđ: x ≥ -1)
Đặt
⇔ (a – b)(a + b) – (a – b) = 0
⇔ (a – b)(a + b – 1) = 0
⇔ a = b hoặ a + b = 1
+ Th1: a = b ⇒
⇔ 2x + 3 = x + 1 ⇔ x = -2 < -1 (Loại)
+ Th2: a + b – 1 = 0.
Mà a ≥ 1; b ≥ 0 nên a + b ≥ 1 hay a + b – 1 ≥ 0.
Phương trình chỉ xảy ra ⇔ ⇔ x = -1 .
Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
c) (đkxđ: x 2 – 2x – 3 ≥ 0)
Phương trình trở thành: t 2 + 3t – 4 = 0
⇔ t 2 + 4t – t – 4 = 0
⇔ (t + 4)(t – 1) = 0
⇔ t = -4 (L) hoặc t = 1 (T/M)
⇔
Bài 9: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
(1)
Ta có:
⇒ VT (1) = ≥ 2 + 3 = 5.
VT = VP ⇔ ⇔ x = -1.
Thử lại x = -1 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
Bài 10: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
(Đkxđ: x ≥ -1 )
+ TH1:
Khi đó phương trình trở thành:
⇔ x = 3 (t.m)
+ TH2: ⇔ x < 3.
Khi đó phương trình trở thành:
⇔ 4 = 4 (đúng với mọi x)
Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 3.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Cập nhật thông tin chi tiết về Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Cực Hay trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!