Bạn đang xem bài viết Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Và Chính Xác Cho Học Sinh được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Trả lời hay nhất
Phương trình bậc 3 là kiến thức cơ bản được đưa vào giảng dạy tại các cấp bậc phổ thông. Việc nắm vững cách giải và tìm nghiệm phương trình bậc 3 sẽ giúp các bạn dễ dàng xử lý các dạng toán hay vẽ đồ thị hàm số.
Giải phương trình bậc 3 cơ bản
Ta có:
Ta có các trường hợp nghiệm sau:
, phương trình có một nghiệm duy nhất là:
Nếu
, phương trình có một nghiệm bội:
Giải phương trình bậc 3 bằng phương pháp
Cardano
và, phương trình có nghiệm duy nhất
Ta có phương trình:
(1)
Bước 1: Đặt
và biến đổi bằng phép tính cơ bản ta được phương trình mới
(2)
và biến đổi bằng phép tính cơ bản ta được phương trình mới
Trong đó
Phương trình (2) được gọi là phương trình bậc 3 suy biến. Bây giờ ta sẽ tìm các biến u và v sao cho
và (3)
và(3)
Nghiệm đầu tiên tìm được bằng cách đặt
Thế các giá trị q và p (3) vào phương trình (2 ) ta được phương trình mới
Thay giá trị
vào phương trình (3) ta được
vào phương trình (3) ta được
(4)
(4)
Phương trình (4) tương đương như phương trình bậc 2 với
. Khi giải ta tìm được
. Khi giải ta tìm được
Vì
Chú ý rằng giá trị u tìm được từ (5) Vì chứa 2 căn bậc 3 với dấu( +/ – ) và mỗi căn bậc 3 có 3 giá trị là một giá trị thực và 2 giá trị tích.
Nhưng dấu của căn phải lựa chọn sao cho tính x, không bị trường hợp chi cho 0 ( mội giá trị chia cho 0 đều là phương trình vô nghiệm)
Nếu p = 0 thì ta chọn dấu của căn bậc 2 sao cho u # 0, e, i.
Nếu p = q = 0 thì
Giải phương trình bậc 3 bằng cách rút về bậc 2
Giải phương trình bậc 3 sau
Ta phân tích phương trình thành tích phương trình bậc nhất và phương trình bậc 2 như sau
Phương trình thứ nhất 2x – 3 = 0 có 1 nghiệm là x = 3/2
Phương trình (2×2 + 3x + 3) vô nghiệm. Nếu các bạn chưa biết cách giải phương trình bậc 2 có thể tham khảo nha. Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x = 3/2
Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
Trước khi đi vào tìm hiểu chi tiết về cách giải, chúng ta cần biết được phương trình bậc 3 là gì? Thực chất đây là một phương trình có bậc lũy thừa cao nhất là 3. Phương trình bậc ba có dạng chuẩn thường là phương trình có dạng
(ax^3+ bx^2+ cx +d =0)
Với a khác 0
2. Cách giải phương trình bậc 3
2.1. Giải phương trình bậc 3 tổng quát
So với phương trình bậc hai, cách thức giải và công thức nghiệm của phương trình bậc 3 phức tạp hơn nhiều.
Bước đầu tiên, các bạn có thể tính qua một đại lượng Delta và áp dụng công thức nghiệm tổng quát. Cách làm này được áp dụng phổ biến trong giải phương trình bậc ba dạng cơ bản, và được sử dụng rộng rãi trong chương trình học phổ thông.
Công thức nghiệm của phương trình bậc 3 tùy thuộc vào giá trị của Dela
2.2. Giải phương trình bậc 3 thường gặp
Trong trường hợp phương trình bậc 3 có a= 1, các bạn có thể áp dụng phương pháp giải như sau:
Sau khi tìm ra giá trị u, v, bạn có thể dễ dàng tìm được ẩn x
Công thức nghiệm này phức tạp hơn so với công thức nghiệm của phương trình bậc 3 tổng quát và chỉ được áp dụng khi a=1. Các bạn cần phải chú ý để tránh nhầm lẫn.
2.3. Giải phương trình bậc 3 bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi
Các bạn có thể nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 bằng máy tính bỏ túi để phục vụ cho các bài toán trắc nghiệm. Hiện nay, chương trình thi THPT Quốc gia đã được áp dụng hình thức thi trắc nghiệm, cách thức nhẩm nghiệm này sẽ giúp bạn tìm rất nhanh được nghiệm đúng của phương trình.
Với phương trình có dạng tổng quát như trên, bạn nhần lần lượt các phím mode, 5, 4 rồi lần lượt nhấn giá trị a,b,c,d. Lưu ý sau khi nhập giá trị cần phải nhấn dấu bằng.
Trường những phương trình có nghiệm nguyên, bạn có thể dễ dàng đưa về phương trình bậc hai và xử lý theo công thức phương trình bậc hai rất đơn giản và nhanh chóng
Ngoài những cách giải trên, các bạn có thể áp dụng một số phương pháp khác như đặt ẩn phụ,lượng giác hóa phương trình… tùy theo từng dạng bài khác nhau.
3. Phương pháp học cách giải phương trình bậc 3
Phương trình bậc 3 là một trong những dạng phương trình khó và có thể áp dụng nhiều cách giải linh hoạt. Để học tốt được kiến thức này, các bạn cần phải thường xuyên luyện tập và làm bài tập để rèn luyện kỹ năng. Khi đã quen với các dạng bài, các bạn có thể gỡ nút bài toán rất dễ dàng.
Đặc biệt hiện nay, các em học sinh đều được trang bị rất nhiều máy tính hiện đại để học tập, việc nhẩm nghiệm càng trở nên nhanh chóng hơn, các bài toán giải phương trình nói chung và phương trình bậc ba nói riêng trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Môn Toán đòi hỏi các bạn phải liên tục đào sâu suy nghĩ, tư duy. Bài tập giải phương trình bậc 3 là một trong những dạng bài rèn luyện tư duy khá tốt, luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn xử lý bài toán một cách nhanh gọn.
4. Bài tập áp dụng cách giải phương trình bậc 3
Có rất nhiều dạng bài khác nhau trong phạm vi kiến thức phương trình bậc 3 Các bạn có thể tham khảo tại một số trang đề thi trực tuyến như Violet hoặc cập nhật tài liệu online thường xuyên từ các thầy cô dạy Toán.
Môn Toán học đòi hỏi chúng ta phải thực sự kiên nhẫn và chịu khó nghiên cứu, đào sâu vấn đề. Khi mới bắt đầu làm quen với những cách phương trình bậc 3, các bạn sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Bằng cách luyện tập thật chăm chỉ và tập trung nghiên cứu, bạn sẽ sớm chinh phục được mảng kiến thức này.
Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
Là phương trình có dạng
II. Cách giải một số phương trình bậc bốn đặc biệt.
* Cách giải :
* Chú ý : Khi giải phương trình này ta thường gặp phương trình dạng . Khi đó cần lưu ý :
* Ví dụ minh họa : Lời giải : Lời giải :
Chú ý : Đối với hai ví dụ trên ta có thể xem chúng là các phương trình bậc hai đối với nên ta có thể giải quyết nhanh gọn như sau
Ví dụ 3. Giải phương trình +x2-2x-1=0. Lời giải :
Ta có +x2-2x-1=0⇔+x2-2x+1 -2=0⇔+-2=0.
Vậy phương trình có nghiệm x=0,x=2.
3. Cách giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng : Dạng ax4±bx3+cx2±bx+a=0.
* Cách giải : * Chú ý : Ta luôn có * Ví dụ minh họa :
Phân tích : Rõ ràng các hệ số của phương trình đối xứng nhau qua số hạng có nên ta giải theo phương pháp như trên.
Lời giải :
+ Trường hợp 1 : Với phương trình trở thành (vô lí). Vậy không phải là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình
Lời giải :
+ Trường hợp 1 : Với không thỏa mãn phương trình đã cho.
Lưu ý : Việc xét hai trường hợp như trên là cần thiết vì muốn chia hai vế phương trình cho một số thì số đó phải khác 0.
4. Cách giải phương trình bậc bốn khi đã nhẩm trước ít nhất hai nghiệm. Khi gặp một phương trình bậc bốn không thuộc các dạng đặc biệt như trên thì ta có thể nhẩm trước hai nghiệm và tìm cách đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích. Phương pháp này chỉ áp dụng khi ta đã biết trước hai nghiệm (thường là nghiệm nguyên) của phương trình đó.Cách làm như sau :
Xét phương trình dạng
Bước 2. Thực hiện phép chia cho (lưu ý rằng đây là phép chia hết).
* Lưu ý : Các bước 1, 2 ta có thể thực hiện trên giấy nháp để lấy kết quả sử dụng cho bước 3.
+ Nhận thấy rằng phương trình có nghiệm x=1,x=-1.
+ Thực hiện phép chia x4-5×3+5×2+5x-6 cho x-1 x+1 =x2-1 như sau:
Lời giải :
Ta có : undefined
Ví dụ 2 : Giải phương trình
Thực hiện phép chia cho x-1 x-2 =x2-3x+2 như sau
Vậy ta có
Lời giải : Chú ý : Cách làm này có thể áp dụng để giải phương trình bậc ba và đối với phương trình bậc ba ta chỉ cần nhẩm được một nghiệm x=x0 rồi thực hiện phép chia cho x-x0. 5. Cách giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp đồng nhất hệ số.
Đây là phương pháp đặc biệt được áp dụng khi giải phương trình bậc 4 không có nghiệm nguyên và chỉ giải quyết được một số bài toán nhất định bằng cách phân tích một đa thức bậc bốn thành tích của hai tam thức bậc hai với giả định : . Bài toán có giải quyết được hay không phụ thuộc vào việc có tìm được các hệ số hay không.
Ví dụ 1 : Giải phương trình
+ Nhận xét rằng, trong ví dụ ta sẽ khó nhẩm được nghiệm, do đó ta nghĩ đến phương án cân bằng hệ số như sau : Giả sử
+ Thay các giá trị tìm được vào (*) ta có . Tới đây ta có thể giải quyêt dễ dàng bài toán.
+ Lưu ý rằng việc đồng nhất hệ số được thực hiện trên giấy nháp.
Lời giải :
Ví dụ 2 : Giải phương trình
+ Vậy ta có :
Lời giải :
Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2
Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ với các em cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm của PT bậc 2 trong trường hợp đặc biệt.
Có nhiều dạng toán trong chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán cần phải biết phương pháp giải phương trình bậc 2 thì mới làm được.
Định nghĩa phương trình bậc 2
Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0. Với
x là ẩn số
a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0
a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x (theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do).
Phương pháp giải phương trình bậc 2
Giải phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 theo biệt thức delta (Δ)
Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:
Nếu phương trình bậc 2 có:
Xuất phát từ định lý Vi-ét, chúng ta có các dạng toán tính nhẩm như sau:
Nếu phương trình có dạng x 2 – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.
Nếu phương trình có dạng x 2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và -v.
Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, chúng ta nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.
Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.
Tóm lại:
x 2 – 5x + 6 = 0 Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.
x 2 – 7x + 10 = 0 Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.
Ví dụ phương trình:
Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào Dạng 1 và Dạng 3.
Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c = u.
Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.
Nếu u ≠ 0 và v = 1/ u thì phương trình (1) có dạng:
Cập nhật thông tin chi tiết về Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Và Chính Xác Cho Học Sinh trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!