Xu Hướng 3/2024 # Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực # Top 6 Xem Nhiều

Bạn đang xem bài viết Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực được cập nhật mới nhất tháng 3 năm 2024 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM Áp dụng Nếu A 0 B 0 A B 0 ≥ ∧ ≥⎧⎨ + =⎩ thì A = B = 0 Bài 156 Giải phương trình: 2 24 cos x 3tg x 4 3 cos x 2 3tgx 4 0 (*)+ − + + = Ta có: ( ) ( )⇔ − + + ⎧ =⎪⎪⇔ ⎨⎪ = −⎪⎩ π⎧ = ± + π ∈⎪⎪⇔ ⎨⎪ = −⎪⎩ π⇔ = − + π ∈ 2 2 (*) 2 cos x 3 3tgx 1 0 3cos x 2 1tgx 3 x k2 , k 6 1tgx 3 x k2 , k 6 = Bài 157 Giải phương trình: ( )28cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+ − + = Ta có: ( ) ( )⇔ + + + −* 4 cos 4x 1 cos 4x 1 1 cos 3x 0= ( ) ( ) ⇔ + + + − ⇔ + + − = ⎧ ⎧= − = −⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪= = π ∈⎩ ⎩ 2 2 4 cos 4x 4 cos 4x 1 1 cos 3x 0 2 cos 4x 1 1 cos 3x 0 1 1cos 4x cos 4x 2 2 cos 3x 1 3x k2 , k = ⎧ = −⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ = ∈⎪⎩ 1cos 4x 2 k2x , k (có 3 đầu ngọn cung) 3 ⎧ = −⎪⎪⇔ ⎨ π π⎪ = − π = π = + π ∈⎪⎩ π⇔ = ± + π ∈ 1cos 4x 2 2 2x +m2 hay x m2 hay x m2 , m 3 3 2x m2 , m 3 (ta nhận = ±k 1 và loại k = 0 ) Bài 158 Giải phương trình: ( ) ( )22 3 3sin 3xsin x cos3xsin x sin3x cos x sin xsin 3x *3sin4x+ + = 2 Ta có: 3 chúng tôi 3x sin chúng tôi x+( ) ( ) ( ) = − + − = − + = − = = 3 3 3 3 3 3 2 4 cos x 3cos x sin x 3sin x 4 sin x cos x 3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x 3 3sin chúng tôi 2x sin 4x 2 4 2 ( ) ( ) ⇔ + = ≠ ⎛ ⎞⇔ − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⇔ − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1Vậy: * sin x sin 3x sin x sin 3x và sin 4x 0 4 1 1 1sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 và sin 4x 0 2 4 4 1 1sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 và sin 4x 0 2 4 ≠ ≠ ⎛ ⎞⇔ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠ ≠⎧⎪⎪⇔ =⎨⎪ = ∨ =⎪⎩ 2 2 2 2 1 1sin 3x sin x sin 6x 0 và sin 4x 0 2 16 sin 4x 0 1 sin 3x sin x 2 sin 3x 0 cos 3x 0 ≠ ≠⎧≠⎧ ⎪⎪ ⎪⇔ = ∨ =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ = ±⎪⎩ sin 4x 0sin 4x 0 1sin 3x 0 sin x 2 sin x 0 (VN) sin 3x 1 ≠⎧⎪⎪⇔ =⎨⎪⎪ − =⎩ 3 sin 4x 0 1sin x 2 3sin x 4 sin x 1± ≠⎧⎪⇔ ⎨ =⎪⎩ ≠⎧⎪⇔ π π⎨ = + π ∨ + π ∈⎪⎩ π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ sin 4x 0 1sin x 2 sin 4x 0 5x k2 k2 , k 6 6 5x k2 x k2 , k 6 6 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập Nếu A M B A B ≤ ≤⎧⎨ =⎩ thì A B M= = Bài 159 Giải phương trình: − = +4 4sin x cos x sin x cos x (*) Ta có: (*) ⇔ − = +2 2sin x cos x sin x cos x ⇔ − = + ≤⎧⎪⇔ ⎨ = +⎪⎩ ≤⎧ ≤⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = = ±− =⎪ ⎩⎩ ⇔ = − π⇔ = + π ∈ 2 2 cos 2x sin x cos x cos 2x 0 cos 2x 1 2 sin x cos x cos 2x 0 cos 2x 0 sin 2x 0 (cos 2x 1)sin 2x 2 sin 2x cos 2x 1 x k , k 2 Cách khác Ta có − ≤ ≤ ≤ +4 4 4x cos x sin x sin x sin x cos xsin Do đó =⎧⎪⇔ ⇔ =⎨ =⎪⎩ 4 cos x 0 (*) cos x 0 sin x sin x π= + π ∈ x k , k 2 ⇔ Bài 160: Giải phương trình: ( ) 2cos2x cos4x 6 2sin 3x (*)− = + Ta có: (*) 2 24 sin chúng tôi x 6 2sin 3x⇔ = + • Do: và 2sin 3x 1≤ 2sin x 1≤ nên 2 24 sin 3x sin x 4≤ • Do nên 6 2≥ −sin 3x 1 sin3x 4+ ≥ Vậy 2 24 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤ ≤ + Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi ⎧ = ⎧⎪ == ⇔⎨ ⎨ = −⎩⎪ = −⎩ 2 2 2 sin 3x 1 sin x 1sin x 1 sin 3x 1sin 3x 1 π⎧ = ± + π ∈ π⎪⇔ ⇔ = +⎨⎪ = −⎩ π ∈ x k2 , k x k2 , k2 2sin 3x 1 Bài 161 Giải phương trình: 3 3cos x sin x 2cos2x (*) sin x cos x − =+ Điều kiện: si n x 0 cosx 0≥ ∧ ≥ Ta có: (*) ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔ − + = − + ( ) ( ) − =⎡⎢⇔ + = + +⎢⎣ cos x sin x 0 (1) 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2) Ta có: (1) π⇔ = ⇔ = + π ∈ tgx 1 x k , k 4 Xét (2) Ta có: khi si thì n x 0≥ ≥ ≥ 2sin x sin x sin x Tương tự ≥ ≥ 2cos x cos x cos x Vậy si và nx cosx 1+ ≥ sin x cos x 1+ ≥ Suy ra vế phải của (2) thì 2≥ Mà vế trái của (2): 1 31 sin 2x 2 2 + ≤ Do đó (2) vô nghiệm Vậy: (*) π⇔ = + π ∈ x k , k 4 Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x cos x 1 2(*)− − + = Ta có: (*) 3 cos x 2 cos x 1⇔ − = + + ( ) 3 cos x 5 cos x 4 cos x 1 2 cos x 1 4 cos x 1 ⇔ − = + + + ⇔ − + = + Ta có: ( )2 cosx 1 0 x− + ≤ ∀ mà 4 cos x 1 0 x+ ≥ ∀ Do đó dấu = của (*) xảy ra cosx 1⇔ = − ⇔ = π + π ∈ x k2 , k Bài 163: Giải phương trình: ( )2 2cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+ − = + Do bất đẳng thức Bunhiacốpski: 2 2 2 2AX BY A B . X Y+ ≤ + + nên: ( )2 2 21cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+ − ≤ + − = Dấu = xảy ra 2cos3x 2 cos 3x⇔ = − 2 2 cos3x 0 cos 3x 2 cos 3x cos3x 0 cos3x 1 cos3x 1 ≥⎧⇔ ⎨ = −⎩ ≥⎧⇔ ⇔⎨ = ±⎩ = Mặt khác: ( )22 1 sin 2x 2+ ≥ dấu = xảy ra sin2x 0⇔ = Vậy: ( )2 2cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+ − ≤ ≤ + dấu = của (*) chỉ xảy ra khi: = ∧ = =⎧⎪⇔ ⎨ π= ∈⎪⎩ ⇔ = π ∈ cos 3x 1 sin 2x 0 cos 3x 1 kx , k ( có 4 đầu ngọn cun 2 x 2m ,m g ) Bài 164: Giải phương trình: 2 2 5tg x cotg x 2sin x (*) 4 π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ Điều kiện: sin2x 0≠ • Do bất đẳng thức Cauchy: 2 2tg x cotg x 2+ ≥ dấu = xảy ra khi tgx cotgx= • Mặt khác: sin x 1 4 π⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ nên 52sin x 2 4 π⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ dấu = xảy ra khi sin x 1 4 π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Do đó: 2 2 5tg x cotg x 2 2sin x 4 π⎛ ⎞+ ≥ ≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ Dấu = của (*) xảy ra tgx cotgx sin x 1 4 =⎧⎪⇔ π⎨ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ ⎧ =⎪⇔ ⎨ π= + π ∈⎪⎩ π⇔ = + π ∈ 2tg x 1 x k2 , k 4 x k2 , k 4 Trường hợp 3: Áp dụng: Nếu A M và B M A Mthì A B M N B N ≤ ≤⎧ ⎧⎨ ⎨+ = + =⎩ ⎩ = =⎧+ = ⇔ ⎨ =⎩ sin u 1 sin u sin v 2 sin v 1 =⎧− = ⇔ ⎨ = −⎩ sin u 1 sin u sin v 2 sin v 1 = −⎧+ = − ⇔ ⎨ = −⎩ sin u 1 sin u sin v 2 sin v 1 Tương tự cho các trường hợp sau ± = ± ± = ±sin u cos v 2 ; cos u cos v 2 Bài 165: Giải phương trình: ( )3xcos2x cos 2 0 * 4 + − = Ta có: ( ) 3x* cos2x cos 4 ⇔ + 2= 3xDo cos2x 1 và cos 1 4 ≤ ≤ nên dấu = của (*) chỉ xảy ra ( ) = π ∈= ⎧⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ = ππ⎨ ⎨ = ∈=⎪ ⎪⎩ ⎩ ππ = ⇔ = = ∈ Ζ = ∈ x k , kcos 2x 1 x 8m , m8h3x x , hcos 1 34 8h 8hDo : k k 3 3 để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m ) Cách khác = = π ∈⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ = π ∈⎨ ⎨ π= =⎪ ⎪⎩ ⎩ cos 2x 1 x k , k x 8m ,m3x 3kcos 1 cos 1 4 4 Bài 166: Giải phương trình: ( )cos2x cos4x cos6x cos x.cos2x.cos3x 2 *+ + = + ( ) 2cos2x cos4x cos6x 2cos3x cos x 2cos 3x 1 2cos3x cos x cos3x 1 4cos3x.cos2x.cos x 1 + + = + − = + − = − Vậy: ( )1cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos4x cos6x 1 4 = + + + Do đó: ( ) ( ) ( ) ⇔ + + = + + ⇔ + + = 1 9* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x 4 4 3 9cos 2x cos 4x cos 6x 4 4 + ⇔ + + = = = π ∈⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩ cos 2x cos 4x cos 6x 3 cos 2x 1 2x k2 , k (1) cos 4x 1 cos 4x 1 (2) cos 6x 1 cos 6x 1 (3) ⇔ = π ∈ ⇔ = π ∈ 2x k2 , k x k , k ( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa) Bài 167: Giải phương trình: ( )cos2x 3 sin2x 3 sin x cos x 4 0 *− − − + = Ta có: ( ) ⎛ ⎞ ⎛⇔ = − + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ 1 3 3 1* 2 cos2x sin2x sin x cos x 2 2 2 2 ⎞⎟⎟⎠ π π⎛ ⎞ ⎛⇔ = − + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝2 sin 2x sin x6 6 ⎞⎟⎠ ⎧ π⎛ ⎞ π π⎧− = − = + π ∈⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ π ππ⎛ ⎞⎪ ⎪ + = + π ∈+ =⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎩⎝ ⎠⎩ π⎧ = + π ∈⎪ π⎪⇔ ⇔ = + π⎨ π⎪ = + π ∈⎪⎩ ∈ sin 2x 1 2x k2 , k6 6 2 x h2 , hsin x 1 6 26 x k , k 3 x h , h 3x h2 , h 3 Cách khác ⎧ π⎛ ⎞ ⎧ π⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨π π π⎛ ⎞⎪ ⎪+ = + = + π ∈⎜ ⎟⎪ ⎪⎩⎝ ⎠⎩ sin 2x 1 sin 2x 16 6(*) sin x 1 x h2 , h 6 6 2 ⎧ π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎪ π⎪ ⎝ ⎠⇔ ⇔ = +⎨ π⎪ = + π ∈⎪⎩ π ∈ sin 2x 1 6 x h , h 3 x h2 , h 3 Bài 168: Giải phương trình: ( )4cos x 2cos2x cos4x 1 *− − = Ta có: ( ) ( ) ( )⇔ − − − −2 2* 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1= ⇔ − + = ⇔ = − + = 2 2 2 2 4cosx 4 cos x 8sin x cos x 0 cos x 0 hay 1 cos x 2sin x cos x 0 ( )⇔ = + − = ⇔ = − = 2cos x 0 hay 1 cos x 2sin x 1 0 cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *) ( )⇔ = − + = ⇔ = ∨ + = 1cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0 2 cos x 0 cos 3x cos x 2 =⎧⇔ = ∨ ⎨ =⎩ cos 3x 1 cos x 0 cos x 1 =⎧⇔ = ⇔ ⎨ − =⎩ ⇔ = ∨ = π⇔ = + π ∨ = π ∈ 3 cos x 1 cos x 0 4 cos x 3cos x 1 cos x 0 cos x 1 x k x k2 , k 2 Cách khác ⇔ = =( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1 − = =⎧ ⎧⇔ = ∨ ∨⎨ ⎨= = −⎩ ⎩ cos x 1 cos x 1 cos x 0 cos 2x 1 cos 2x 1 = π ∈ = π + π ∈⎧ ⎧π⇔ = + π ∈ ∨ ∨⎨ ⎨= = −⎩ ⎩ x k2 , k x k2 , k ( loạix k , k cos 2x 1 cos 2x 12 ) π⇔ = + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k 2 Bài 169: Giải phương trình: ( )1tg2x tg3x 0 * sin x cos2x cos3x + + = Điều kiện: sin2xcos2xcos3x 0≠ Lúc đó: ( ) ⇔ + +sin 2x sin 3x 1* 0 cos2x cos3x sin x.cos2x.cos3x = + = = ( ) ⇔ + ⇔ + + sin2xsin x cos3x sin3xsin x.cos2x 1 0 sin x sin2x cos3x sin3x cos2x 1 0 ( ) ⇔ = − ⇔ − − = − ⇔ − = = =⎧ ⎧=⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔ − = ⇔ −⎨ ⎨ ⎨= −⎩ ⎪ ⎪ =− = −⎩ ⎩ 3 3 2 sin x.sin5x 1 1 cos6x cos4x 1 2 cos6x cos4x 2 t cos2x t cos2x cos6x 1 4t 3t 1 4t 3t 1 cos4x 1 t 02t 1 1 = Do đó: (*) vô nghiệm. Cách khác = = −⎧ ⎧⇔ = − ⇔ ⎨ ⎨= − =⎩ ⎩ sin x 1 sin x 1 sin chúng tôi 5x 1 hay sin 5x 1 sin 5x 1 π π⎧ ⎧= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⇔ ⎨ ⎨⎪ ⎪= − =⎩ ⎩ x k2 , k x k2 , k hay2 2 sin 5x 1 sin 5x 1 x⇔ ∈∅ Bài 170: Giải phương trình: ( )2 2cos 3x.cos2x cos x 0 *− = Ta có: ( ) ( ) ( )⇔ + − +1 1* 1 cos6x cos2x 1 cos2x 0 2 2 = ( ) ⇔ = ⇔ + = ⇔ + = =⎧⇔ ⎨ =⎩ ⎧ − =⇔ ⎨ =⎩ ⎧ =⇔ ⎨ =⎩ ⇔ = ⇔ = π ∈ π⇔ = ∈ 2 2 cos 6x cos 2x 1 1 cos 8x cos 4x 1 2 cos 8x cos 4x 2 cos 8x 1 cos 4x 1 2cos 4x 1 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 4x k2 , k kx , k 2 Cách khác ⇔ =cos6x cos2x 1 = = −⎧ ⎧⇔ ⎨ ⎨= = −⎩ ⎩ cos 2x 1 cos 2x 1 hay cos 6x 1 cos 6x 1 = π ∈ = π + π ∈⎧ ⎧⇔ ⎨ ⎨= = −⎩ ⎩ 2x k2 , k 2x k2 , k hay cos6x 1 cos 6x 1 π= ∈ kx , k 2 Cách khác = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= = π ∈⎩ ⎩ cos 8x 1 cos 8x 1 cos 4x 1 4x k2 , k π⇔ = ∈ kx , k 2 Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax là hàm giảm khi 0< a <1. Do đó ta có sin sin , , cos s , , m n m n x x n m x k k x co x n m x k k π π π π ∀ ≠ + ∈ ∀ ≠ + 2 2 ∈ sin sin , cos s , m n m n x x n m x x co x n m x ≤ ⇔ ≥ ≤ ⇔ ≥ ∀ ∀ Bài 171: Giải phương trình: ( )2×1 cos x 2 − = * Ta có: ( ) 2x* 1 cos 2 ⇔ = + x Xét 2xy cos x trên 2 = + R Ta có: y ‘ x sin x= − và y ” 1 cos x 0 x R= − ≥ ∀ ∈ Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R ( ) ( ) ( )x ,0 : x 0 nên y ‘ x y ‘ 0∀ ∈ −∞ < < = 0 Do đó: Vậy : 2xy cos x 1 x 2 = + ≥ ∀ ∈ R Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0 Do đó ( )* x 0⇔ = • Bài 172: Giải phương trình sin sin sin sinx x x+ = +4 6 8 10 x (*) Ta có sin sin sin sin 2 2 và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx = 0 và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0 x x x x ⎧ ≥⎪⎨ ≥⎪⎩ 4 8 6 10 ⇔ sin2x = 1 sinx = 0 ∨ ⇔ x = ± ,k x k kπ π π+ ∨ = ∈2 2 2 Cách khác (*) sin sin sin sinx hay x x x⇔ = + = +4 2 4 60 1 sin sinx hay x⇔ = 20 1= BÀI TẬP Giải các phương trình sau ( ) − + = π⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟⎝ ⎠ + = 2 3 2 2 2 1. lg sin x 1 sin x 0 2. sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x 4 13. sin x sin 3x sin chúng tôi 3x 4 ( ) π = + = + − = + sin x 2 4. cos x 5. 2 cos x 2 sin10x 3 2 2cos chúng tôi x 6. cos 4x cos 2x 5 sin 3x ( ) ( ) ( ( ) ( ) + = − − + + − + = − =a 2 7. sin x cos x 2 2 sin 3x 8. sin 3x cos 2x 2sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2cos 3x 0 9. tgx tg2x sin 3x cos 2x 10. 2 log cot gx log cos x ) = ( ) π⎡ ⎤= ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ + = − + + sin x 13 14 11. 2 cos x với x 0, 2 12. cos x sin x 1 13. cos 2x cos 6x 4 sin 2x 1 0= ( )+ = − + = − − − + + 3 3 4 2 2 14. sin x cos x 2 2 cos 3x 15. sin x cos x 2 sin x 16. cos x 4 cos x 2x sin x x 3 0= + = + + − − + sin x 2 2 2 17. 2 sin x sin x cos x 18. 3cot g x 4 cos x 2 3 cot gx 4 cos x 2 0= Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)

Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực

Phương trình lượng giác không mẫu mực A. Phương pháp giải

Để giải các phương trình lượng giác không mẫu mực ta cần sử dụng:

* Các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng …

* Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ..

* Đánh giá: a2 ≥ 0 ; vế trái ≤ a; vế phải ≥ a. Từ đó; suy ra: Vế trái = vế phải= a.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình:

A.

B.

C.

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 2. Giải phương trình:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 3. Giải phương trình:

A.

B.

C. x= kπ

D.

Lời giải

Ta có: sin4x- cos4x = 1+ 4√2 sin⁡( x- π/4)

⇒ sin 4x – ( 1+ cos4x) = 4(sinx – cosx)

⇒ 2.sin2x. cos2 x- 2cos 2 2x = 4( sinx- cosx)

⇒ 2cos 2x.( sin2x – cos 2x) – 4(sinx- cosx)= 0

⇒ 2(cos 2 x- sin 2 x). ( sin2x- cos2x) – 4.(sinx- cosx) = 0

⇒ 2. ( cosx- sinx) . ( cosx+ sinx). (sin2x- cos2x) + 4( cosx + sinx) = 0

⇒ 2. ( cosx – sinx) .[ (cosx+ sinx) ( sin2x- cos2x) + 2] = 0

Chọn D.

Ví dụ 4. Giải phương trình sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos 3x.(1+ sinx- 2cos 3x) = 0

A. π/8+ kπ/2

B. k2π/3

C. kπ/4

D. Vô nghiệm

Lời giải

Ta có:

sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos 3x.(1+ sinx- 2cos 3x) = 0

⇒ sin3x. cosx – 2sin 23x + cos 3x + chúng tôi – 2cos 2 3x = 0

⇒ ( sin3x. cosx + cos3x.sinx) – 2( sin 2 3x+ cos 2 3x) + cos3x = 0

⇒ sin4x -2 + cos3x= 0

⇒ sin4x+ cos3x = 2 (*)

Với mọi x ta có: – 1 ≤ sin4x ≤ 1 và-1 ≤ cos3x ≤ 1

⇒ – 2 ≤ sin4x+cos3x ≤ 2

⇒ Không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D

Ví dụ 5. Giải phương trình:

A.

B.

C.

D.Vô nghiệm

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 6. Giải phương trình sin 20x + cos 20 x= 1

A. x= kπ

B. x= kπ/2

C. x= π/2+kπ

D. x= kπ/4

Lời giaỉ

+ Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin 2 x ≤ 1

⇒ vế trái ≤ 0 (1)

+ Tương tự có: 1- cos 18 x ≥ 0

⇒ Vế phải ≥ 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: vế trái= vế phải = 0

Vậy nghiệm phương trình đã cho là x= kπ/2

Chọn B.

Ví dụ 7. Giải phương trình

A. x= π/4+kπ

B. kπ

C. Vô nghiệm

D. Cả A và B đúng

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 8. Giải phương trình:

A.

B.

C.

D. Phương trình vô nghiệm

Lời giải

Chọn B .

Ví dụ 9. Giải phương trình:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 10. Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 11. Cho phương trình: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình có dạng πa/b với a; b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S= b-a

A. 2

B. 3

C. 4

D.1

Lời giải.

Do đó phương trình đã cho trở thành:

2 2024.( sin 2024x + cos 2024 x ) .(sinx+ cosx) .cosx= cosx( sinx+ cosx)

⇒ 2 2024.( sin 2024x + cos 2024 x ) .(sinx+ cosx) .cosx- cosx( sinx+ cosx) = 0

⇒ cosx.( cosx+ sinx) .[ 2 2024.( sin 2024x + cos 2024 x )- 1] = 0

Chọn D.

Ví dụ 12. Giải phương trình :

A.

B.

C.

D.

Lời giải

+ Điều kiện: sinx ≠ 0

Chọn A.

Ví dụ 13. Giải phương trình: sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos3x. (1+ sinx – 2cos3x) =0

A.

B.

C.

D. Vô nghiệm

Lời giải

Ta có: sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos3x. (1+ sinx – 2cos3x) = 0

⇒ sin3x. cosx – 2sin 23x + cos3x + chúng tôi – 2cos 2 3x=0

⇒ ( sin3x. cosx + cos3x. sinx) – 2( sin 23x + cos 2 3x) +cos3x = 0

⇒ sin4x – 2+ cos3x= 0

⇒ sin4x + cos3x = 2 (1)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Câu 2:Giải phương trình:

A.

B.

C.

D.

Câu 3:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Câu 4:Giải phương trình:

A.

B.

C.

D.

Câu 5:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Câu 6:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.Vô nghiệm

Hiển thị lời giải

Chọn D.

Câu 6:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

⇒ sin5x= – sin6x= sin( π-6x)

Chọn A.

Câu 7:Giải phương trình : 4sin3x. cos2x =1+ 6sinx – 8sin 3 x

A.

B.

C.

D.

Câu 8: Giải phương trình: cosx. cos2x. cos4x. cos 8x= 1/16 ( *)

A. x=

B. x=

C. x=

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Chọn D.

Câu 9: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos3x. (2cos2x+ 1) = 1/2 có dạng πa/b với a ; b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S= a. b

A. 6

B.7

C. 8

D. 9

Hiển thị lời giải

⇒ 2cos5x+ 2cosx+ 2cos3x=1

⇒ S= a.b= 1.7= 7

Chọn B.

Câu 10:Cho phương trình sin 2024x + cos 2024x = 2( sin 2024x+ cos 2024 x). Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

Hiển thị lời giải

Chọn B.

A. 4

B. 3

C. 6

D. 8

Hiển thị lời giải

Chọn A.

Câu 12:Giải phương trình:

A. x= kπ/4

B. x= kπ/2

C. kπ

D. kπ/3

Hiển thị lời giải

⇒ sin 10x + cos 10 x = 1

Chọn B.

Câu 13:Cho phương trình: 4cos 2x+ tan 2 x+ 4= 2.(2cosx – tanx ) . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 10π)?

A. 10

B.16

C. 22

D. Vô nghiệm

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Một Số Phương Pháp Giải Các Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực

Có những lúc mới nhìn vào phương trình ta thấy nó có vẻ “không bình thường”, chẳng hề có dáng dấp của bất kỳ loại phương trình nào đã học. Những lúc ấy ta nên nghĩ tới việc đánh giá các biểu thức ở hai vế của phương trình. Nó có thể giúp ta tìm ra một lời giải đẹp.

Ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức hoặc miền xác định, miền giá trị của hàm số để đánh giá các biểu thức ở cả hai vế của phương trình, từ đó lập được phương trình mới để giải.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC: 1) Loại nghiệm không thích hợp: Hầu hết các phương trình lượng giác, trước khi biến đổi phương trình ta phải Đặt điều kiện cho ẩn. Do đó trước khi kết luận nghiệm của phương trình, ta phải kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thỏa mãn các điều kiện đã đặt ra không? Ta có thể dùng đường tròn lượng giác để thực hiện điều này. Bài tập áp dụng: 1. Giải phương trình 2. Giải các phương trình: 3. Giải các phương trình: a) tanxtan3x = 0; b) (2cosx - - 3)(tan5x - 1) = 0; 4. Cho phương trình a) Giải phương trình khi m = 1; b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 5. Cho phương trình a) Giải phương trình khi m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 6. Cho phương trình a) Giải phương trình khi m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 2) Đưa phương trình về dạng tích: * Cách giải: Những phương trình thuộc loại này yêu cầu phải có kỹ năng biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định hướng cho phép giải trong quá trình biến đổi. Có thể dùng các công thức lượng giác để làm xuất hiện nhân tử chung rồi đặt thừa số chung đó. Công thức biến đổi tổng thành tích và các hằng đẳng thức rất hữu hiệu đối với loại phương trình này. f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) sinx sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x, . . . cosx sin2x, cos3x, tan2x, tan3x, cotx, . . . 1 + cosx 1 - cosx 1 + sinx 1 - sinx cosx + sinx cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cotx, tanx - cotx cosx - sinx cos2x, cot2x, 1 - sin2x, 1 - tanx, 1 = cotx, tanx - cotx Bài tập áp dụng: 1. Tìm a để phương trình sin2(x - p) - sin(3x - p) = asinx có nghiệm x ¹ kp. 2. Giải các phương trình: a) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0; b) cos3x - 2cos2x + cosx = 0; c) sin2x + sin22x + sin23x = 1,5; d) cos3xcos4x + sin5xsin2x = 0,5(cos2x + cos4x). 3. Giải các phương trình: 4. Giải và biện luận theo a phương trình 5. Giải các phương trình: a) 1 + sinx + cosx + tanx = 0; 6. Giải các phương trình: a) tan22x.tan23x.tan5x = tan22x - tan23x + tan5x; f) cotx - tanx = sinx + cosx. 7. Tìm m để phương trình cos3x - cos2x + mcosx - 1 = 0 có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc 8. Tìm m để phương trình sin3x + sin2x = msinx có đúng 8 nghiệm thuộc 9. Tìm m để phương trình (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2x có đúng hai nghiệm thỏa mãn 0 < x < p. 10. Giải phương trình 3cos4x - 2cos23x = 1. 3) Dùng bất đẳng thức: Có những lúc mới nhìn vào phương trình ta thấy nó có vẻ "không bình thường", chẳng hề có dáng dấp của bất kỳ loại phương trình nào đã học. Những lúc ấy ta nên nghĩ tới việc đánh giá các biểu thức ở hai vế của phương trình. Nó có thể giúp ta tìm ra một lời giải đẹp. Ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức hoặc miền xác định, miền giá trị của hàm số để đánh giá các biểu thức ở cả hai vế của phương trình, từ đó lập được phương trình mới để giải. Bài tập áp dụng: 1. Giải các phương trình: c) tan4x + tan4y + 2cot2xcot2y = 3 + sin2(x + y). 2. Giải các phương trình: a) sin4xsin16x = 1; 3. Giải các phương trình: 4. Tìm các số x, y thỏa mãn: a) 2 + 2sinx(siny + cosy) = cos2x; b) cosx + cosy - cos(x + y) = 1,5; c) sin2x + sin2y + sin2(x + y) = 2,25; d) tan2x + tan2y + tan2(x + y) = 1. 5. Chứng minh rằng phương trình sau đây vô nghiệm: sin2xsin5xsin7x = 1. 6. Giải các phương trình: a) sin3x + cos5x = 1; b) (sin4x + sin2x)2 = 5 - sinx. 7. Giải phương trình: 4) Dùng tính chất của hàm số: Các phương trình thuộc loại này là các phương trình "không bình thường". Tính chất được sử dụng ở đây là tính chất biến thiên của hàm số, đôi khi ta còn kết hợp với miền giá trị của hàm số. Để giải phương trình thuộc dạng này, ta phải xét được sự biến thiên của hàm số trên một khoảng xác định nào đó, rồi đánh giá giá trị của hàm số trên đó, hoặc kết hợp tìm miền giá trị của hàm số, từ đó suy ra giá trị của ẩn cần tìm. Hàm số nói ở đây là hàm số mà ta phải tự nhận diện từ phương trình đã cho. Những phương trình dạng này sẽ được xem xét nhiều hơn khi ta dùng công cụ đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số. Bài tập áp dụng: 1. Giải các phương trình: 2. Tìm m để phương trình: sin4x + (1 + sinx)4 = m có nghiệm. 3. Giải các phương trình: c) sin(px) = x - 1; d) cos2x.sin(sinx) + sinx .cos(sinx) = 0. 4. Tìm nghiệm x Î (0; p) của phương trình: 5. Tìm m để phương trình có nghiệm: a) cos4x + (2 - cosx)4 = m. Bài ôn tập: 1. Giải các phương trình a) b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2. (ĐH An ninh 1998). 2. Cho phương trình (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2; b) Khi m ≠ 0 và m ≠ , phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20π; 30π]. (ĐH Cần thơ 1998). 3. Giải phương trình 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1) (ĐH Cần thơ 1998). 4. Giải phương trình (ĐH Bách khoa Hà nội 1998). 5. Giải phương trình (ĐH Công đoàn 1998). 6. Giải phương trình (ĐH Dược Hà nội 1998). 7. Giải các phương trình: a) 3cos4x - 2cos23x = 1; (ĐH Đà nẵng 1998). b) 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinxsin2x. 8. Giải phương trình tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) (ĐH Giao thông vận tải 1998). 9. Giải các phương trình: a) cos3x + sinx - 3sin2xcosx = 0; ; c) sinx = 2sin3x + cos2x. (ĐH Huế 1998). 10. Cho phương trình a) Giải phương trình khi b) Xác định α để phương trình có nghiệm. (ĐH Kiến trúc Hà nội). 11. Cho phương trình (ĐH Kiến trúc Hà nội). a) Giải phương trình khi m = 0,5; b) Xác định m Î Z để phương trình có nghiệm trong khoảng 12. Giải phương trình (ĐH Kinh tế quốc dân 1998). 13. Giải phương trình (ĐH Luật Hà nội 1998). 14. Cho phương trình sinx + mcosx = 1 (1) a) Giải phương trình (1) khi b) Tìm tất cả các giá trị của m để mọi nghiệm của phương trình (1) đều là nghiệm của phương trình msinx + cosx = m2 (2). 15. Giải các phương trình a) sin3x + cos2x = 1 + 2sinxcos2x; b) 1 + sinx + cosx + tanx = 0. (ĐH Ngoại ngữ 1998). 16. Giải các phương trình (ĐH Ngoại thương 1998). a) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x; b) cosxcoss4x + cos2xcos3x = 0. 17. Giải các phương trình (ĐH Nông nghiệp I 1998). a) 18. Giải các phương trình a) sin2x = cos22x + cos23x; b) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x); c) (ĐH Quốc gia Hà nội 1998). 19. Giải phương trình (ĐH Sư phạm Vinh 1998). 20. Giải phương trình (ĐH Thái nguyên 1998). 21. Giải phương trình (1 + sinx)2 = cosx (ĐH Thủy lợi 1998). 22. Xác định a để hai phương trình sau tương đương: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x (1) 4cos2x - cos3x = acosx + (4 - a)(1 + cos2x) (2) (ĐH Y Dược TP Hồ Chí Minh 1998). 23. Giải các phương trình sau: a) 2(cot2x - cot3x) = tan2x + cot3x; b) sin23x - sin22x - sin2x = 0. (ĐH Y khoa Hà nội 1998). 24. Giải phương trình sin4x - cos4x = 1 + 4(sinx - cosx) (HV CN Bưu chính viễn thông 1998). 25. Giải phương trình (HV Kỹ thuật Quân sự 1998). 26. Giải các phương trình (HV Ngân hàng 1998). a) sin6x + cos6x = cos4x; b) 27. Giải phương trình cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 1,5 (HV Quan hệ Quốc tế 1998). 28. Giải phương trình (HV Chính trị Quốc gia 1999).

Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Hệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ và đề thi HSG các cấp. Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình được coi là bài toán khó, thậm chí là câu khó nhất trong cấu trúc đề thi ĐH, CĐ.Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ và bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải các hệ phương trình này, tôi thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo các kĩ năng giải hệ phương trình thông thường và chú ý tới một số kĩ năng thường áp dụng khi giải “hệ không mẫu mực”. Trong bài viết này tôi xin gọi như vậy đối với các hệ phương trình mà thuật giải không được trình bày trong sách giáo khoa. Bài viết được chia làm ba mục: Mở đầu là tóm tắt các hệ phương trình thường gặp, đã được giới thiệu khá chi tiết trong sách giác khoa. Mục thứ hai là một số kĩ năng giải hệ phương trình không mẫu mực. Các bài toán đưa ra phần lớn là tôi sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, một số ít do tôi ra trong các kì thi KS, thi HSG,…Lời giải các bài toán này tôi chỉ chú ý đến cách đưa hệ không mẫu mực về dạng quen thuộc mà không quan tâm đến kết quả cuối cùng. Cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo. Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH, CĐ và ôn thi HSG cho học sinh khối 12. Thời gian giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 2 buổi.Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập.

Yên lạc, tháng 01 năm 2012

Nguyễn Thành Đông

I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶPMột số hệ phương trình được học trong chương trình phổ thông có phương pháp giải rõ ràng, học sinh chỉ cần nhớ thuật giải, rèn luyện các kĩ năng biến đổi, tính toán là có thể làm được. Thực chất các hệ phương trình này ta gặp rất nhiều ở cả THCS và THPT, không riêng bộ môn toán mà cả môn lí, môn hóa,… Một lần nữa ta nhắc lại các dạng hệ phương trình như vậy.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩnĐịnh nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , trong đó x, y là ẩn.Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, đặt ẩn phụ,…Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩnĐịnh nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , trong đó x, y, z là ẩn.Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, phương pháp khử Gauss,… 3. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khác a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , trong đó x, y là ẩn còn f(x,y) là biểu thức hai biến x, y. b) Cách giải: Sử dụng phương pháp thế. 4. Hệ đối xứng loại 1 a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, từng phương trình đó không thay đổi. b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất hiện tổng và tích của các nghiệm rồi đặt tổng bằng S, tích bằng P (). Thông thường sau bước này ta được một hệ đơn giản. 5. Hệ đối xứng loại 2 a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, phương trình này biến thành phương trình kia. b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất hiện nhân tử chung x-y rồi đưa hệ đã cho về hai hệ mới đơn giản hơn.6. Hệ đẳng cấpa) Định nghĩa: Là hệ có dạng , ở đó là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc.b) Cách giải: Xét riêng x=0. Nếu x khác 0 thì ta đặt y=kx rồi nhận xét và chia về cho vế ta được phương trình một ẩn

Giáo Án Chủ Đề Tự Chọn 11 Tiết 7: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực

Tiết : 7 Vấn đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC. I. Mục tiêu: 1. Về kiến thức: Giúp cho học sinh một số phương pháp giải các phương trình không mẫu mực. 2.Về kỹ năng Rèn luyện kỹ năng dùng các công thức lượng giác đã học để biến đổi đưa một phương trình lượng giác chưa có dạng đã biết về phương trình lượng giác thường gặp. 3. Về tư duy và thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Học sinh và hứng thú tham gia bài học. II. Chuẩn bị của thầy và trò: 1.Chuẩn bị của thầy: Phiếu học tập, các bài tập chọn lọc. 2.Chuẩn bị của học sinh: Nắm vững cách giải phương trình lượng giác cơ bản, phương trình lượng giác thường gặp và nhớ các công thức lượng giác đã học. III. Phương pháp dạy học: Vấn đáp gợi mở, giảng giải, hoạt động nhóm. IV. Tiến trình bài học: 1. Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số . 2. Kiểm tra bài cũ: Giải phương trình sinx.cos2x=1 3. Bài mới: G/V nêu một số phương trình lượng giác không mẫu mực. Để giải các phương trình không mẫu mực ta dùng các công thức lượng giác đã học biến đổi đưa phương trình về dạng tích u.v = 0 hoặc tổng các bình phương bằng không cũng có thể áp dụng a. sinx+b. cosx= a+b thì sinx=1; cosx=1 hay sinu(x). cosv(x) =1 khi và chỉ khi sinu(x)=1 và cosv(x)=1 hoặc sinu(x)= -1 và cosv(x)= -1. Hoạt động 1: Rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác đưa về phương trình đã biết cách giải. a) sinx + sin3x +sin5x = 0; b) sinx .sin2x. sin3x = sin4x ; c) 1+sinx – cosx –sin2x+2 cos2x= 0 + Chia lớp thành 6 nhomù, 2 nhóm 1 câu. + GV hướng dẫn Câu a/ Nhóm sinx+sin5x rồi dùng công thức biến đổi tổng thành tích, đưa về phương trình tích. Câu b/ Nhân hai vế với 4, biến đổi sin4x= 2 sin2x.cos2x, sau đó áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng. Câu c/ Nhóm 1-sin2x = ; + Gọi đại diện các nhóm lên bảng trình bày lời giải. + Các nhóm còn lại nhận xét hoặc bổ sung(nếu cần). + Khẳng định kết quả. + Nghe, nhận nhiệm vụ. + Nghe hướng dẫn. + Các nhóm hoạt động. + Đại diện các nhóm lên bảng trình bày lời giải. + Các nhóm còn lại nhận xét. + Ghi nhận kiến thức. Giải: a) Phương trình tương đương với 2 sin3x.cos2x+sin3x = 0 sin3x(2cos2x +1) =0 sin3x = 0 hoặc cos2x = ( Đây là các phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải). b)Phương trình đã cho tương đương với 4sinx.sin2x.sin3x- 2 sin2x.cos2x = 0 2.sin2x(2 sinx.sin3x-cos2x) = 0 2sin2x(-cos4x) = 0 c)Phương trình đã cho tương đương (sinx-cosx) + +2 ( đây là các phương trình đã biết cách giải. Hoạt động2: Các phương trình đưa được về tổng các bình phương bằng 0 Bài 2: Giải các phương trình: a/ . b/ + Hãy nêu cách giải bài 2 + Hướng dẫn từng câu bằng vấn đáp Câu a) Đưa vế trái về Câu b) Đưa vế trái về + Gọi hai học sinh lên bảng giải. + Khẳng định kết quả. + Nghe hướng dẫn Hai học sinh lên bảng giải. + Ghi nhận kiến thức. a)Phương trình đã cho tương đương với b)Phương trình đã cho tương đương vơiù 4/ Củng cố Cần nhớ các dạng bài tập cơ bản trong tiết này, lưu ý phải thuộc và sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác. 5/ Bài tập về nhà: Xem lại các bài tập đã giải. Làm thêm các bài tập: Giải các phương trình: a/ tan x +cot2x = 2 cot4x b/ (1-tanx)(1+sinx) = 1+ tan (Hướng dẫn: câu b/ viết sinx, tanx theo t = tan) c/ sinx+ 3 cos 2x= 4 (Hướng dẫn: câu c/ phương trình đã cho tương đương với sinx=1 và cos 2x =1. V/ Rút kinh nghiệm:

Tài liệu đính kèm:

tiet 7.doc

Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế

1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH KHễNG MẪU MỰC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Giỏo viờn: Nguyễn Duy Hoàng. Đơn vị: Trường THCS Tam Dương, Tam Dương. Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh giỏi lớp 9. Phương phỏp thế là một trong những phương phỏp cú ứng dụng nhiều trong việc tớnh giỏ trị biểu thức, chứng minh, giải phương trỡnh, hệ phương trỡnh, Đặc biệt đối với giải hệ phương trỡnh khụng mẫu mực thỡ phương phỏp thế là phương phỏp được sử dụng linh hoạt, cú hiệu quả. Tuy nhiờn khi sử dụng phương phỏp thế cần lưu ý rằng phương trỡnh thu được phải cỏc phương trỡnh giải được. Phương phỏp thế gồm: Phộp thế đơn; Phộp thế nhúm; Phộp thế hằng số. 1. Phộp thế đơn: a) Cơ sở phương phỏp. Ta rỳt một ẩn từ một phương trỡnh trong hệ và thế vào phương trỡnh cũn lại. b) Nhận dạng. Phương phỏp này thường hay sử dụng khi trong hệ cú một phương trỡnh là bậc nhất đối với một ẩn nào đú. * Nếu một phương trỡnh trong hệ cú bậc nhất đối với tất cả cỏc ẩn thỡ rỳt tựy ý một ẩn để thay vào phương trỡnh cũn lại. Bài 1. Giải hệ phương trỡnh 2 2 2 3 5 (1) 3 2 4 (2) x y x y y       Lời giải. Từ (1) ta cú 5 3 2 y x   thế vào (2) ta được 2 25 33 2 4 0 2 y y y          2 2 2 593(25 30 9 ) 4 8 16 23 82 59 0 1, 23 y y y y y y y y             Vậy tập nghiệm của hệ phương trỡnh là   31 591;1 ; ; 23 23         2 * Nếu một phương trỡnh trong hệ cú bậc nhất đối với một ẩn thỡ rỳt ẩn đú để thay vào phương trỡnh cũn lại. Trong trường hợp này phức tạp hơn bởi biểu thức thay vào khụng phải bậc nhất. Bài 2. Giải hệ phương trỡnh 3 2 2 3 (6 ) 2 0 (1) 3 (2)           x y x xy x x y Lời giải. Phương trỡnh (2) là bậc nhất với y nờn từ (2) suy ra 23y x x    thay vào phương trỡnh (1) ta được 3 2 2 23 (6 3) 2 ( 3) 0         x x x x x x x 4 3 2 3 2 2 4 7 6 0 ( 4 7 6) 0 ( 2)( 2 3) 0 (*)                x x x x x x x x x x x x Vỡ 2 22 3 ( 1) 2 0     x x x mọi x nờn phương trỡnh (*) cú nghiệm  0; 2 x Từ đú tỡm được nghiệm của hệ phương trỡnh là (0; 3); ( 2;9)  Bài 3. Giải hệ phương trỡnh 4 3 2 2 2 2 2 9 (1) 2 6 6 (2) x x y x y x x xy x          Phõn tớch. Phương trỡnh (2) là bậc nhất đối với y nờn ta dựng phộp thế. Lời giải. TH 1: Với x = 0 khụng thỏa món (2) TH 2: Với 26 6 0, (2) 2 x x x y x      , thế vào (1) ta được 22 2 4 3 26 6 6 62 2 9 2 2 x x x x x x x x x x                   2 2 4 2 2 3 0(6 6 )(6 6 ) 2 9 ( 4) 0 44 xx x x x x x x x x x                 Do 0x  nờn hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 17 4; 4      Bài 4. Giải hệ phương trỡnh        2 2 2 x y xy 3 (1) xy 3x 4 (2) . 3 Lời giải. Từ (2)  x  0, 24 3x y x   , thay vào (1) ta có: 22 2 2 4 3x 4 3xx x. 3 x x           4 27x 23x 16 0   . Giải ra ta được 2 2 16 x 1 hoặc x = 7  Từ 2x 1 x 1 y 1       ; Từ 2 16 4 7 5 7 x x y 7 7 7        Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1);        4 7 5 7 ; 7 7 ;        4 7 5 7 ; 7 7 Bài tập vận dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 1) 1 1 (1 ) 2 x y x y xy         2) 2 2 1 0 0 x y x y x        3) 2 4 ( 1) 4( 2) x y x y xy y        4) 2 2 2 5 7 x y x xy y       5) 2 2 2 4 3 2 5 4 0 x y x xy y x y          6) 2 9 4 9 x y x y       7) 2 12 x y xy x y       8) 2 24 3 1 1 x xy y x x y         9) 1 1 2 2 2 x y x y y          10) 10 3 3 58 6 xy x y x y        11) 2 2 2 1 0 2 3 2 2 0 x y x y x y          12) 3 2 2 3 (5 ) 2 2 0 4 x y x xy x x x y            13) 3 2 2 2 2 2 3 (6 ) 2 0 3 x y x xy x x y           4 2. Phộp thế nhúm: a) Cơ sở phương phỏp: Ta rỳt một biểu thức từ một phương trỡnh trong hệ và thế vào phương trỡnh cũn lại. b) Nhận dạng: Phộp thế nhúm được dựng khi hệ phương trỡnh cú một nhúm thế giống nhau. Bài 1. Giải hệ phương trỡnh 2 2 1 4 (1) 2 2( ) 2 7 2 (2)            x y xy y y x y x y . Lời giải. Từ (1) 2 21 4x y y xy    . Thế vào (2) ta cú 2 2( ) 2(4 ) 7   y x y y y xy y 2 2 0 2( 2( ( ) ) 15 0 ( ) ) 15 0                 y y x y x y x y x y Với y = 0 thỡ x2 + 1 = 0 (loại) Với 2 5 2( 3 ( ) ) 15 0             x y x y x y x y Nếu x + y = -5, thế vào (1) ta cú      5 5 5 9 46 022 21 4            x x x xx x x vụ nghiệm Nếu x + y = 3, thế vào (1) ta cú       1 3 3 3 2 0 2 22 21 4                x x x x x x x x x Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (1;2); ( 2;5) Bài 2. Giải hệ phương trỡnh 2 2 ( 1) 3 0 (1) 5 ( ) 1 0 (2)           x x y x y x . Lời giải. ĐK: 0x Từ (1) suy ra 3 1x y x    và thay vào phương trỡnh (2), ta cú 2 2 2 13 5 2 3 1 1 0 1 0 2                x xx x x x 5 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm 3 (1;1); (2; ) 2  Bài 3. Giải hệ phương trỡnh 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6          x x y x y x x xy x Lời giải. Hệ   22 22 2 2 2 2 6 6 2 9 2 9 2 6 6 6 6 2 2 x x x xy x x x x x xy x x x xy                       Khi đú 22 3 06 6 2 9 ( 4) 0 42                xx x x x x x Vỡ 0x  nờn hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 17 4; 4      Bài 4. Giải hệ phương trỡnh 2 2 2 2 3 3 (1) 3 0 (2)           x y x x y y x y x y Lời giải. ĐK: 2 2 0 x y Từ (2) ta cú 2 2( ) ( 3 ) 0   y x y y x Nếu y = 0 thỡ x = 0 (loại) Nếu 0y thỡ 2 2 3  y xx y y . Thế vào (1), ta cú ( 3 ) 3 3     y x y x y x 2 2 333 3 3( 3 ) 3. 3( 3 ) 1               y xy x x y y x y x yy Với y = 3x thỡ x = y = 0 (loại) Với y = -1 thỡ x = 0 hoặc x = 3 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (0; 1); (3; 1)  6 Bài tập vận dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 1) 2 4 0 x x y y x xy y          2) 2 2 6 2 6 0 x x y y x xy y          3) 2 2 1 2 x y xy x y       4) ( 1)(2 1) 6 ( 1)(3 2) 2 3 x y x y x y x y            5) 2 2 2 3 4 6 4 4 12 3 xy x y x y x y          6) 2 2 2 2 2 0 y x y x xy y x           7) 2 2 2 2 ( )( ) 4 (2 )( ) 2 x y x y x y x y         8) 2 ( 1)( 2 1) 12 2 ( 1)(3 1) 11 x y x y x y x y            9) 1 3 2 4 xy x y xy x y        10) (2 ) 5 (3 ) 4 x y xy x y xy x y xy x y xy          11) 2 2 2 2 4 2 2 2 x y xy x y x y xy x y           12) ( 2 ) 2 (2 ) 2 xy x y y x xy xy y x        13) 2 2 2 2 2 5 2 3 x y x y x y x y           14) 2 2 2 4 0 2 2 0 xy y x y xy y x y           15) 2 2 2 2 ( ) 4 ( 1) x y xy x y xy x y xy x          16) 2 2 2 2 4 1 2 3 1 xy x xy x xy x xy x             17) 2 2 6 4 4 xy x y x y x y xy         18) 2 2 ( 1) 3 ( ) y x y x y y xy x x        19) 1 (1 ) 2 2 0 x y xy xy x y           20) 2 2 2 2 2 3 9 2 2 5 1 x y x y x y x y           21) 2 2 2( ) 7 ( 2 ) 2 10 x y x y y y x x         22)             2 2 2 2 3x 4 6x 4 11 3 15 6x 15 33 y y x y y 3. Phộp thế hằng số: a) Cơ sở phương phỏp: Từ một phương trỡnh ta rỳt một số bằng một biểu thức để thay vào phương trỡnh cũn lại. b) Nhận dạng: Phộp thế hằng số nhằm mục đớch đưa phương trỡnh về phương trỡnh tớch hoặc phương trỡnh đẳng cấp. 7 Bài 1. Giải hệ phương trỡnh     3 3 3 2 1 5 5 1 1 2        x y x x y Lời giải. Thế số 1 từ (2) và (1) ta được:     3 3 2 2 2 25 0 5 0 5 0 (3)                  x y x y x y x y x xy y x xy y Phương trỡnh (3) 2 21 3 5 0 2 4 x y y          vụ nghiệm. Với 3 3 3 3 1 4 2 2 1 2 2 x y x y x y        . Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất   3 34 4 ; ; 2 2 x y        Bài 2. Giải hệ phương trỡnh 3 3 2 2 2 4 (1) 6 19 15 1 (2)         x y x y x xy y với x, y là số hữu tỉ. Lời giải. Thế số 1 từ (2) và (1) ta được 3 3 2 2 3 3 2 4 (6 19 15 )( 4 ) 2 (*)           x y x y x xy y x y x y Đưa (*) về phương trỡnh 3 2 2 35 5 61 62 0   x x y xy y là phương trỡnh đẳng cấp bậc 3 Xột y = 0 thỡ x = 0 (loại). Xột y khỏc 0, đặt xt y  với t là số hữu tỉ, ta được 3 25 5 61 62 0   t t t Giải phương trỡnh với t hữu tỉ, ta cú được t = 2. Kết quả (x,y) là (2; 1), (-2; -1) Bài 3. Giải hệ phương trỡnh 2 2 5 5 5 11( ) x y x y x y        Lời giải. Ta cú 5 5 2 2 3 3 2 2( )( ) ( )x y x y x y x y x y      Khi đú ta cú 3 3 2 2 2 2 2 25( ) ( ) 11( ) ( ) 5( ) 5 11 0             x y x y x y x y x y x y xy x y 8 Với x+ y = 0 ta được 10 10 10 10; ; ; 2 2 2 2                 Với 2 2 2 2 25( ) 5 11 0 5 14 0        x y xy x y t t với t = xy. Giải phương trỡnh được t = 2 hoặc t = -7 Nếu t = 2 thỡ  22 2 3 5 9 3             x y x y x y x y Nếu t = -7 thỡ  22 2 5 9     x y x y (loại) Kết quả (x, y) là (1; 2), (2;1), (-1; -2), (-2;-1) Bài tập vận dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 1) 3 3 9 ( ) 6 x y xy x y       2) 3 2 3 2 3 20 3 7 x x y y xy       3) 3 3 ( ) 6 18 27 x x y x y y       4) 2 2 8 8 10 10 1x y x y x y        5) 3 3 2 2 1      x y x y x y 6) 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y        7) 2 2 10 10 4 4 1 1 8 x y x y x y         8) 2 2 5 5 3 3 3 31 7 x y xy x y x y          9) 4 4 2 2 2 2 6 41 ( ) 10 x y x y xy x y        10) 2 2 4 4 2 2 5 6 20 81 x y x y x y xy         11) 3 3 5 5 2 ( ) 6 30 32 x y xy x y x y xy          12) 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y        TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Chuyờn đề Bồi dưỡng HSG toỏn THCS. 2. Nõng cao và phỏt triển toỏn 9. 3. Bỏo Toỏn học tuổi thơ, Toỏn học tuổi trẻ. 4. Cỏc nguồn trờn mạng Internet.

Cập nhật thông tin chi tiết về Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!