Bạn đang xem bài viết Đạo Hàm Của Hàm Nhiều Biến Số được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Hàm nhiều biến số có ứng dụng rất rộng rãi trong các bài toán học máy vì đa số các các thuộc tính của hiện tượng ta theo dõi không phải chỉ có 1 mà rất nhiều tham số. Các tham số này được liên kết với nhau một cách đặc biệt bởi các hàm số khác nhau để có thể đưa ra được các kết quả mong muốn. Nên việc tìm hiểu về hàm nhiều biến là rất cần thiết để có thể hiểu được các lý thuyết của học máy. $$ mathsf{D} subset mathbb{R}^n, f: mathsf{D} mapsto mathbb{R} $$ Hay: $$ (x_1, x_2, …, x_n) mapsto f(x_1, x_2, …, x_n) in mathbb{R} $$
Hay biểu diễn dưới dạng véc-tơ: $$ [x]_n in mathbb{R}^n mapsto f(x) in mathbb{R} $$
Ví dụ, cho $ x, y in mathbb{R} $ và khi đó ánh xạ $ z = f(x, y) = x^2 + y^2 $ gọi là hàm số của biến $ x, y $.
Khi làm việc với các bài toán học máy đầu ra của ta có thể không phải là một số mà là 1 tập các số nên ta thường xuyên phải làm việc với các hàm nhiều biến dạng mở rộng kiểu này. Tập các số đầu ra này ta có thể biểu diễn dưới dạng một véc-tơ, hay nói cách khác hàm nhiều biến của ta sẽ cho kết quả là một véc-tơ. Những hàm như vậy được gọi là hàm véc-tơ $ f: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m $. Ví dụ: $$ f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $$
Để tiện giải thích và minh hoạ, trong bài này tôi sẽ đề cập tới trường hợp hàm của ta có 2 biến số. Tuy nhiên các tính chất, phép toán và phương pháp làm việc có thể mở rộng ra cho các hàm nhiều biến số hơn.
2. Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng theo 1 biến của một hàm số là đạo hàm theo biến đó với giả thuyết rằng các biến khác là hằng số. Cụ thể, cho hàm số $ f(x, y) $ và một điểm $ M(x_0, y_0) $ thuộc tập xác định của hàm, khi đó đạo hàm theo biến $ x $ tạo điểm $ M $ được gọi là đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ tại $ M $. Lúc này $ y $ sẽ được cố định bằng giá trị $ y_0 $ và hàm của ta có thể coi là hàm 1 biến của biến $ x $.
Đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ lúc này sẽ được kí hiệu là: $ f_x^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{x}} $, còn đạo hàm theo biến $ y $ được biểu diễn tương tự: $ f_y^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{y}} $.
Với tôi thì tôi thích biểu diễn dưới dạng $ f_x^{prime} $ vì dễ nhìn và không bị nhầm lẫn với phân số.
Ví dụ: $ f(x, y) = x^2y + sin(y) $ sẽ có đạo hàm $ f_x^{prime} = 2xy $ và $ f_y^{prime} = x^2 + cos(y) $.
Còn $displaystyle f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $ có đạo hàm là $displaystyle f_x^{prime} = begin{bmatrix} 2x & 2y end{bmatrix} $ và $displaystyle f_y^{prime} = begin{bmatrix} cos(y) & 2x + 2y end{bmatrix} $
Một cách hình thức đạo hàm riêng tại điểm $ M(x_0, y_0) $ theo biến $ x $ được tính toán như sau:
$$ f_x^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{triangle_xf}{triangle_x} = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{f(x_0 + triangle_x, y_0) – f(x_0, y_0)}{triangle_x} $$
Theo biến $ y $:
$$ f_y^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{triangle_yf}{triangle_y} = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{f(x_0, y_0 + triangle_y) – f(x_0, y_0)}{triangle_y} $$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = 2xy crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = x^2 + 2y end{cases} $$
và có đạo hàm cấp 2 là:
$ begin{cases} displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x^2}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2y crcr displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y}partial{x}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2x end{cases} $ $ begin{cases} displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x}partial{y}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2x crcr displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y^2}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2 end{cases} J = nabla{f} = begin{bmatrix} nabla{f_1} & cdots & nabla{f_n} end{bmatrix} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_1}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_1}}} cr vdots & ddots & vdots cr displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_m}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_m}}} end{bmatrix} begin{cases} f_x^{prime} = f_u^{prime}u_x^{prime} + f_v^{prime}v_x^{prime} cr f_y^{prime} = f_u^{prime}u_y^{prime} + f_v^{prime}v_y^{prime} end{cases} $$
Nhìn hơi khó nhớ phải không? Giờ ta viết lại dưới dạng giống như phân số thì chắc là dễ nhớ hơn chút:
$$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}}} end{cases} begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{y}}} end{cases} $$
Với hàm ẩn của hàm véc-tơ thì đạo hàm cũng được tính tương tự như vậy, nhưng có chút khác biệt khi ta sử dụng phép toán của véc-tơ. Giả sử ta có hàm véc-tơ $ f(g, h) $ có đầu ra là véc-tơ $ overrightarrow{v}(x, y) = begin{bmatrix} g(x, y) cr h(x, y) end{bmatrix} $ thì đạo hàm riêng của $ f $ sẽ là:
$$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{y}}} end{cases} iff begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}} end{bmatrix} odot begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{g}}{partial{x}}} cr displaystyle{frac{partial{h}}{partial{x}}} end{bmatrix} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}} end{bmatrix} odot begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{g}}{partial{y}}} cr displaystyle{frac{partial{h}}{partial{y}}} end{bmatrix} end{cases} iff begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_x} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_y} end{cases} $$
Như vậy ta có thể thấy đạo hàm của hàm hợp véc-tơ có thể tính bằng tích của gradient hàm hợp với đạo hàm riêng véc-tơ đầu ra.
6. Đạo hàm của hàm ẩn
Hàm ẩn là một hàm mà ta chưa biết dạng của nó nhưng ta biết rằng nó có thể biểu diễn qua một biến khác trong hàm số. Hơi khó hiểu chút ha!
Cho $ f(x, y) = 0 $, lúc này ta nói $ y(x) $ là hàm ẩn khi tồn tại $ y = y_0 $ sao cho $ f(x, y_0) = 0 $ với mọi $ x $. Khi đó ta còn có thể coi $ f $ là hàm một biến theo $ x $.
Mặc dù chưa biết dạng của $ y(x) $ nhưng lúc này ta có thể tính được đạo hàm của nó như sau: $displaystyle y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $
Đương nhiên là khi đó $ f_y^{prime} not = 0 $ thì công thức mới xác định được. Ta có thể chứng minh đơn giản như sau:
$$ f(x, y) = 0 implies f(x, y)^{prime} = 0 iff f_x^{prime} + f_y^{prime}y_x^{prime} = 0 iff y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $$
Viết dưới dạng loằng ngoằng ta sẽ được:
$$ frac{dy}{dx} = -frac{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}}}{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}}} $$
Trường hợp tổng quá cũng sẽ được tính tương tự. Ví dụ: $ f(x, y, u) $ có hàm ẩn $ u(x, y) $ thì đạo hàm riêng của $ u $ sẽ được tính như sau:
$$ begin{cases} displaystyle{u_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_u^{prime}}} crcr displaystyle{u_y^{prime} = -frac{f_y^{prime}}{f_u^{prime}}} end{cases} $$
Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 5.41 trang 207 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.42 trang 207 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.43 trang 207 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.44 trang 207 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.45 trang 207 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.46 trang 207 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.47 trang 207 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.48 trang 207 Sách bài tập Đại số 11: Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng
Bài 5.49 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Giải các phương trình
Bài 5.50 trang 208 Sách bài tập Đại số 11:
Bài 5.51 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh rằng f′(x) = 0 ∀x ∈ R , nếu:
Lời giải:
Cách 1. Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
Từ đó suy ra f′(x) = 0.
a) f(x) = 1 ⇒ f′(x) = 0;
b) f(x) = 1 ⇒ f′(x) = 0;
c) f(x) = (√2 − √6)/4 ⇒ f′(x) = 0;
d) f(x) = 3/2 ⇒ f′(x) = 0.
Cách 2. Lấy đạo hàm của f(x) rồi chứng minh rằng f′(x) = 0.
Bài 5.52 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Tìm f′(1), f′(2), f′(3) nếu f(x) = (x − 1)(x − 2)2(x − 3)3.
Lời giải:
f'(1) = -8
f'(2) = 0
f'(3) = 0
Bài 5.53 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Tìm f′(2) nếu f(x) = x2sin(x−2).
Lời giải:
Đáp số f'(2) = 4.
Với những giá trị nào của x thì :
a) y′(x) = 0;
b) y′(x) = −2;
c) y′(x) = 10
Lời giải:
a) -2; 1
b) -1; 0
c) -4; 3
Bài 5.55 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:Bài 5.56 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau: y = (x – a)(x – b)
Lời giải:
Đáp án: y’ = 2x – (a + b)
Bài 5.57 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số:
Bài 5.58 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau: y = (x + 1)(x + 2)2(x + 3)3
Lời giải:
Đáp án: y′ = 2(x + 2)(x + 3) 2(3x 2 + 11x + 9).
Bài 5.59 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau: y = (x.sin α + cos α)(x.cos α − sin α).
Lời giải:
Đáp án: y’ = xsin2α + cos2α.
Bài 5.60 trang 208 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau: y = (1 + nxm)(1 + mxn)
Lời giải:
Bài 5.61 trang 209 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau: y = (1 – x)(1 – x2)2(1 – x3)3
Lời giải:
Bài 5.62 trang 209 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 5.63 trang 209 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 5.64 trang 209 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.65 trang 209 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 5.66 trang 209 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.67 trang 209 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau: y = sin(cos2x). cos(sin2x).
Lời giải:
Đáp án: y′ = −sin2x.cos(cos2x).
Bài 5.68 trang 209 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài 5.69 trang 209 Sách bài tập Đại số 11: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Bài tập trắc nghiệm trang 209, 210, 211 Sách bài tập Đại số 11:
Lời giải:
Chọn đáp án: A
Lời giải:Chọn đáp án: C
Bài 5.72: Tìm đạo hàm của hàm số y = tan2x – cot2xLời giải:
Chọn đáp án: D
A. -2 B. -3 C. 2 D. 5
Chọn đáp án: C
Bài 5.74: Tìm đạo hàm của hàm số y = (3 – sinx)3A. 3(3 – sinx) B. -3(3 – sinx) 2 cosx
C. -3(3 – sinx).cosx D. -3(3 – sinx).cos 2 x
Lời giải:
Chọn đáp án: B
Chọn đáp án: D
Lời giải:Chọn đáp án: A
Lời giải:Chọn đáp án: B
Bài 5.78: Cho f(x) = 5x2 – 16√x + 7. Tính f'(4); f'(1/4)A. 36; -27/2 B. -36; 27/2
C. 1; 35 D. 36; -2
Lời giải:
Chọn đáp án: D
Bài 5.79: Cho g(x) = x2sin(x – 2). Tính g'(2).
A. -2 B. 4
C. 2 D. 1
Lời giải:
Chọn đáp án: B
Chọn đáp án: D
Bài 5.81: Giải phương trình f'(x) = g(x), biếtg(x) = sinx và f(x) = (2 – x 2)cosx + 2x.sinx.
Lời giải:
f'(x) = -2xcosx + (2 – x 2)(-sinx) + 2sinx + 2xcosx.
f'(x) = g(x) ⇔ x 2sinx = sinx ⇔ (x 2 – 1) sinx = 0.
Chọn đáp án: C
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
Giáo Trình Toán Cao Cấp A3 (Giải Tích Hàm Nhiều Biến)
Giáo trình Toán cao cấp A3 (Giải tích hàm nhiều biến, còn gọi là Giải tích 2) của Vũ Gia Tê (Học viện công nghệ bưu chính viễn thông) gồm c…
Giáo trình Toán cao cấp A3 (Giải tích hàm nhiều biến, còn gọi là Giải tích 2) của Vũ Gia Tê (Học viện công nghệ bưu chính viễn thông) gồm các chương, mục sau:
CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN.
1.1.Khái niệm cơ bản. 1.1.1.Định nghĩa hàm 2 biến, nhiều biến hàm xác định, miền giá trị, đồ thị. 1.1.2.Sự hội tụ trong R, R. Tập bị chặn, đóng mở, điểm tụ, điểm trong, điểm biên, biên, lân cận. 1.2.Giới hạn và liên tục: 1.2.1.Giới hạn hàm số, 2 định nghĩa (không chứng minh tương đương) 1.2.2.Giới hạn lặp. 1.2.3.Hàm số liên tục. Liên tục trên tập đóng bị chặn, các định lý Weierstrass (không chứng minh). 1.3.Đạo hàm riêng và vi phân. 1.3.1.Đạo hàm riêng. 1.3.2.Khả vi và vi phân. 1.3.3.Điều kiện cần, điều kiện đủ khả vi. 1.3.4.Tính gần đúng. 1.4.Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp: 1.4.1.Đạo hàm riệng của hàm hợp. 1.4.2.Tính bất biến vi phân vấp một. 1.5.Đạo hàm của hàm ẩn: 1.5.1.Định nghĩa hàm ẩn, định lý hàm ẩn (không chứng minh). 1.5.2.Cách tính đạo hàm riệng, vi phân của hàm ẩn (xác định từ 1 hoặc 2 phương trình). 1.6.Đạo hàm và vi phân cấp cao: 1.6.1.Tính đối xứng đạo hàm riêng cấp cao (định lý Schwartz). 1.6.2.Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm ẩn. 1.6.3.Công thức Taylor. 1.7.Đạo hàm theo hướng. 1.7.1.Vectơ gradiert.
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
2.1.Cực trị của hàm nhiều biến: 2.1.1.Khái niệm cực trị, ví dụ, điều kiện cần. 2.1.2.Điều kiện đủ cực trị (nêu dạng toàn phương: Không chứng minh). Trường hợp hai biến (thông qua A,B,C,D). 2.2.Cực trị có điều kiện: 2.2.1.Khái niện cực trị có điều kiện, phương pháp đưa về cực trị tự do. 2.2.2.Phương pháp nhân tử Lagarange (điều kiện cần). 2.2.3.Điều kiện đủ (không chứng minh). 2.3.Giá trị lớn nhất, bé nhất trong miền đóng, bị chận. 2.4.Ứng dụng hình học. 2.4.1.Hình bao. 2.4.2.Tiếp tuyến và pháp diện của đường cong 2.4.3.Tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong.
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN BỘI
3.1.Tích phân kép: 3.1.1.Định nghĩa, tính chất. 3.1.2.Cách tính. 3.2.Đổi biến trong tích phân kép: 3.2.1.Trường hợp tổng quát (không chứng minh). 3.2.2.Đổi biến trong tọa độ cực. 3.3.Ứng dụng trong hình học của tích phân kép: 3.3.1.Diện tích phẳng. 3.3.2.Thể tích. 3.3.3.Diện tích mặt cong. 3.4.Ứng dụng cơ học của tích phân kép: 3.4.1.Khối lượng mãnh phẳng. 3.4.2.Moment quán tính của mãnh phẳng. 3.4.3.Moment tĩnh và trọng tâm của mãnh phẳng. Định lý Guldin thứ hai. 3.5.Tích phân bội ba: 3.5.1.Định nghĩa, tính chất. 3.5.2.Cách tính. 3.6.Đổi biến trong tích phân bội ba: 3.6.1.Trường hợp tổng quát (không chứng minh). 3.6.2.Đổi biến trong tọa độ trụ. 3.6.3.Đổi biến trong tọa độ cầu. 3.7.Ứng dụng của tích phân bội ba: 3.7.1.Thể tích. 3.7.2.Khối lượng. 3.7.3.Moment quán tính. 3.7.4.Moment tĩnh, trọng tâm.
CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
4.1.Tích phân đường loại 1: 4.1.1.Định nghĩa, tính chất. 4.1.2.Cách tính. 4.2.Ứng dụng tích phân đường loại 1: 4.2.1.Khối lượng cung. 4.2.2.Moment tĩnh, trọng tâm cung, định lý Guldin thứ nhất. 4.2.3.Moment quán tính của cung. 4.3.Tích phân đường loại 2: 4.3.1.Định nghĩa, tính chất. 4.3.2.Cách tính. 4.3.3.Liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và loại 2. 4.4.Công thức Green: 4.5.Điều kiện không phụ thuộc đường lấy tích phân. 4.6.Ứng dụng: 4.6.1.Tính công. 4.6.2.Giải phương trình vi phân toàn phần.
CHƯƠNG V: TÍCH PHÂN MẶT VÀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG 5.1.Tích phân mặt loại 1: 5.1.1.Định nghĩa, tính chất. 5.1.2.Ứng dụng (Moment trọng tâm). 5.2.Tích phân mặt loại 2: 5.2.1.Mặt định hướng, định nghĩa tích phân mặt loại 2. 5.2.2.Cách tính. 5.2.3.Định lý Gauss – Ostrogratski (chỉ chứng minh cho miền đơn giản) 5.2.4.Định lý Stokes (chỉ chứng minh cho miền đơn giản). 5.3.Lý thuyết trường. 5.3.1.Trường Vectơ. 5.3.2.Thông lượng, div, dạng Vectơ của công thức Gauss -Ostrogratski 5.3.3.Hoàn lưu,Vectơ xoáy, dạng Vectơ của công thức Stokes. 5.3.4.Vài loại trường đặc biệt (thế, ống, điện,điều hòa).
DOWNLOAD GIAO TRINH TOAN CAO CAP A3 (GIAI TICH 2)
Toán 12 Ôn Tập Chương 1 Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Tóm tắt lý thuyết
Sự đơn điệu của hàm số.
Cực trị của hàm số.
Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Tiệm cận của đồ thị hàm số.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ.
Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: Dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại (x_0.)
Phương pháp:
Tìm tập xác định.
Tính (y’ Rightarrow y’left( {{x_0}} right).)
Lập luận: Hàm số đạt cực đại tại ({x_0} Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = 0), giải phương trình tìm được m.
Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không.
Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.
Dạng 3:Định giá trị của tham số m để các hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,,(a ne 0)) và (y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}},,(a,m ne 0))cực đại, cực tiểu:
Phương pháp:
Tìm tập xác định D.
Tính (y’).
Tính (Delta _{y’}).
Dạng 4: Định giá trị của tham số m để các hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,,(a ne 0)) và (y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}},,(a,m ne 0)) không có cực đại, cực tiểu:
Phương pháp:
Tìm tập xác định D.
Tính (y’).
Tính (Delta _{y’}).
Lập luận: Hàm số không có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình (y’=0) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình (y’=0) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (Delta _{y’}leq 0) giải tìm m.
Dạng 5: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,,(a ne 0)) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
Phương pháp:
Tìm tập xác đinh D.
Tính (y’).
Tính (Delta _{y’}) (nếu y’ là tam thức bậc 2 theo x).
Tìm GTLN – GTNN của hàm sô trên một khoảng, nửa khoảng.
Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên một đoạn.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất (hàm nhất biến).
Tìm số giao điểm của hai đường ((C_1):y=f(x)) và ((C_2):y=g(x).)
Biện luận theo m nghiệm của phương trình (f(x)=m.)
Cập nhật thông tin chi tiết về Đạo Hàm Của Hàm Nhiều Biến Số trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!