Bạn đang xem bài viết Đề Thi Hk1 Môn Toán Lớp 3 Có Lời Giải được cập nhật mới nhất tháng 9 năm 2023 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 3 có lời giải giúp các em học sinh ôn tập chuẩn bị tốt cho bài kiểm tra HK1 Toán lớp 3.– Sắp xếp theo thứ tự của đề bài.
Cách giải :
a) Đ – S
b) S – Đ
Câu 2. Phương pháp giải :
– Đặt tính : Viết các số theo cách đặt tính cột dọc, chữ số cùng hàng thẳng cột với nhau.
– Tính : Cộng các số lần lượt từ phải sang trái.
– Điền Đ hoặc S vào ô trống thích hợp.
Cách giải :
a) S; Đ; S
b) Đ; S; S
c) S; S; Đ.
Câu 3. Phương pháp giải :
Đội A : 417m
Đội B : 435m
Cả hai : …m?
Muốn tìm lời giải ta lấy số mét đường đội A làm được cộng với số mét đường đội B đã làm được.
Cách giải :
Cả hai đội làm được số mét đường là :
417 + 435 = 852 (m)
Đáp số : 852 m.
Đáp án cần chọn là B.
Câu 4. Phương pháp giải :
– Muốn tìm số hạng ta lấy tổng trừ đi số hạng kia.
– Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng số trừ.
– Điền Đ hoặc S vào ô trống thích hợp.
Cách giải :
Phương pháp giải :
– Muốn tìm số hạng ta lấy tổng trừ đi số hạng kia.
– Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng số trừ.
– Điền Đ hoặc S vào ô trống thích hợp.
Cách giải :
a)
$ displaystyle begin{array}{l}x+132=454,,,,,,,,,,,,x=454-132,,,,,,,,,,,,x=322end{array}$
Vậy điền vào các ô trống lần lượt là : Đ; S; S.
b)
$ displaystyle begin{array}{l}x-213=326,,,,,,,,,,,,x=326+213,,,,,,,,,,,,x=539end{array}$
Cần điền vào ô trống lần lượt là : Đ; S; S.
Câu 5. Phương pháp giải :
Muốn tìm số bị trừ thì ta lấy hiệu cộng số trừ.
– So sánh rồi điền dấu thích hợp vào chỗ trống.
Cách giải :
a) 400 + 8 = 408
c) 120 − 20 < 100 + 1
d) 998 = 900 + 90 + 8
Câu 7. Phương pháp giải :
– Đặt tính : Viết các chữ số cùng hàng thẳng cột với nhau.
– Tính : Cộng hoặc trừ lần lượt từ phải sang trái.
Khối Ba : 352 học sinh
Khối Ba ít hơn khối Hai : 28 học sinh
Khối Hai : … học sinh ?
Muốn tìm số học sinh của khối Hai ta lấy 352 cộng với 28.
Cách giải :
Khối lớp Hai có số học sinh là:
352 + 28 = 380 (học sinh)
Đáp số: 380 học sinh.
Câu 9. Phương pháp giải :
– Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng số trừ.
– Muốn tìm số hạng ta lấy tổng trừ đi số hạng kia.
Cách giải :
a)
$ displaystyle begin{array}{l}x-132=368,,,,,,,,,,,,x=368+132,,,,,,,,,,,,x=500end{array}$
b)
$ displaystyle begin{array}{l}x+208=539,,,,,,,,,,,,x=539-208,,,,,,,,,,,,x=331end{array}$
Câu 10. Phương pháp giải :
– Xác định các đại lượng trong bài toán, giá trị đã biết và yêu cầu của bài toán.
– Tìm độ dài của mảnh vải trắng : Lấy độ dài của mảnh vải xanh cộng với 32m.
– Tìm độ dài của cả hai mảnh vải : Lấy độ dài mảnh vải xanh cộng với độ dài mảnh vải trắng vừa tìm được.
Cách giải :
Vải trắng dài số mét là:
208 + 32 = 240 (m)
Có tất cả số mét vải là:
208 + 248 = 448 (m)
Đáp số: 448 m.
Lời Giải Đề Thi Hk1 Toán 8 Quận 1 Tphcm
Bài 3: (3 điểm) a) Thực hiện các phép tính sau: A = (3×3 – 5×2 + 5x – 2) : (x2 – x + 1) + 2 và B = . b) Với xZ, x, tìm các giá trị của x để B nhận giá trị nguyên.c) Bạn Luyện có 50 mảnh bìa hình vuông cạnh lần lượt là 2cm; 4cm; …; 100cm.Bạn Toán có 50 mảnh bìa hình vuông cạnh lần lượt là 1cm; 3cm; …; 99cm.Hỏi tổng diện tích các mảnh bìa bạn đọc Luyện có lớn hơn tổng diện tích các mảnh bìa bạn đọc Toán có là bao nhiêu xăng-ti-mét vuông?
Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F.a) Chứng minh rằng: DE
– HẾT –
ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN 1 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HKI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 – 2023MÔN TOÁN – KHỐI 8
a) (1đ) 7×2 – 14xy + 7y2 = 7(x2 – 2xy + y2) = 7(x – y)2 (0,5đx2)
b) (1đ)y2 – 4×2 + 4x – 1= y2 – (2x – 1)2 = (y + 2x – 1)( y – 2x + 1)(0,5đx2)
(0,5đ )
B(1,25đ)
b) (0,25đ)Nhận xét: 3×3 – 5×2 + 5x – 2 = 3x(x2 – x + 1) – 2(x2 – x + 1) = (3x – 2)( x2 – x + 1)Vậy: A = (3×3 – 5×2 + 5x – 2) : (x2 – x + 1) + 2 = (3x – 2)( x2 – x + 1) : ( x2 – x + 1) + 2 == 3x – 2 + 2 = 3x(Cách khác:Thực hiện phép chia đa thức (3×3 – 5×2 + 5x – 2) : (x2 – x + 1))
Tham Khảo Đề Thi Hk1 Tiếng Việt Lớp 5 Có Lời Giải
Tham khảo Đề thi HK1 Tiếng Việt lớp 5 có lời giải – Tả một người thân của em
Môn: Tiếng Việt – Lớp 5
A. Phần đọc I. Đọc thầm và hoàn thành bài tập: Trò chơi đom đóm
Thuở bé, chúng tôi thú nhất là trò bắt đom đóm! Lũ trẻ chúng tôi cứ chờ trời sẫm tối là dùng vợt làm bằng vải màn, ra bờ ao, bụi hóp đón đường bay của lũ đom đóm vợt lấy vợt để; “chiến tích” sau mỗi lần vợt là hàng chục con đom đóm lớn nhỏ, mỗi buổi tối như thế có thể bắt hàng trăm con. Việc bắt đom đóm hoàn tất, trò chơi mới bắt đầu; bọn trẻ nít nhà quê đâu có trò gì khác hơn là thú chơi giản dị như thế!
Đầu tiên, chúng tôi bắt đom đóm cho vào chai, đeo lủng lẳng vào cửa lớp khi học tối. Bọn con gái bị đẩy đi trước nhìn thấy quầng sáng nhấp nháy tưởng có ma, kêu ré lên, chạy thục mạng. Làm đèn chơi chán chê, chúng tôi lại bỏ đom đóm vào vỏ trứng gà. Nhưng trò này kì công hơn: phải lấy vỏ lụa bên trong quả trứng mới cho đom đóm phát sáng được. Đầu tiên, nhúng trứng thật nhanh vào nước sôi, sau đó tách lớp vỏ bên ngoài, rồi khoét một lỗ nhỏ để lòng trắng, lòng đỏ chảy ra. Thế là được cái túi kì diệu! Bỏ lũ đom đóm vào trong, trám miệng túi lại đem ” thả” vào vườn nhãn của các cụ phụ lão, cái túi bằng vỏ trứng kia cứ nương theo gió mà bay chập chờn chẳng khác gì ma trơi khiến mấy tên trộm nhát gan chạy thục mạng.
Tuổi thơ qua đi, những trò nghịch ngợm hồn nhiên cũng qua đi. Tôi vào bộ đội, ra canh giữ Trường Sa thân yêu, một lần nghe bài hát “Đom đóm”, lòng trào lên nỗi nhớ nhà da diết, cứ ao ước trở lại tuổi ấu thơ…
Dựa vào nội dung bài đọc, em hãy khoanh tròn vào trước ý trả lời đúng.
Câu 1: Bài văn trên kể về chuyện gì?
A. Dùng đom đóm làm đèn B. Giúp các cụ phụ lão canh vườn nhãn C. Trò chơi đom đóm của tuổi nhỏ ở miền quê
Câu 2: Điều gì khiến anh bộ đội Trường Sa nhớ nhà, nhớ tuổi thơ da diết?
A. Anh nghe đài hát bài “Đom đóm” rất hay. B. Anh đang canh giữ Trường Sa và anh được nghe bài “Đom đóm”. C. Anh cùng đồng đội ở Trường Sa tập hát bài “Đom đóm”.
Câu 3: Câu: “Chúng tôi bắt đom đóm cho vào chai, đeo lủng lẳng vào cửa lớp khi học tố” thuộc kiểu câu nào đã học?
A. Ai thế nào? B. Ai là gì? C. Ai làm gì?
Câu 4: Chủ ngữ trong câu “Tuổi thơ đi qua, những trò nghịch ngợm hồn nhiên cũng qua đi.” là:
A. Những trò nghịch ngợm hồn nhiên B. Những trò nghịch ngợm C. Tuổi thơ qua đi
Câu 5: Tác giả có tình cảm như thế nào với trò chơi đom đóm?
A. Rất nhớ B. Rất yêu thích C. Cả a và b đều đúng
Câu 6: Từ “nghịch ngợm” thuộc từ loại:
A. Danh từ B. Động từ C. Tính từ
Câu 7: “Lấy trứng khoét một lỗ nhỏ để lòng trắng, lòng đỏ chảy ra”. Tìm từ đồng nghĩa với từ “khoét”.
Câu 8: Mỗi buổi tối, hàng chục con đom đóm lớn nhỏ đều phát sáng. Tìm các cặp từ trái nghĩa trong câu trên.
Câu 9: Tìm cặp quan hệ từ thích hợp để điền vào chỗ trống
…trời mưa…chúng em sẽ nghỉ lao động.
Câu 10: Tìm 1 từ đồng nghĩa với hạnh phúc. Đặt câu với từ tìm được
II. Đọc thành tiếng: Giáo viên cho học sinh bốc thăm đọc một đoạn và trả lời câu hỏi trong bài do giáo viên nêu 1 trong các bài sau:
1. Những con sếu bằng giấy (Trang 36 – sách TV5 tập I) 2. Cái gì quý nhất (Trang 85 – sách TV5 tập I) 3. Người gác rừng tí hon (Trang 124 – sách TV5 tập I) 4. Thầy thuốc như mẹ hiền (Trang 153 – sách TV5 tập I) B. Phần viết I. Chính tả: Nghe – viết: Mùa thảo quả
Sự sống cứ tiếp tục trong âm thầm, hoa thảo quả nảy dưới gốc cây kín đáo và lặng lẽ. Ngày qua, trong sương thu ẩm ướt và mưa rây bụi mùa đông, những chùm hoa khép miệng bắt đầu kết trái. Thảo quả chín dần. Dưới đáy rừng, tựa như đột ngột, bỗng rực lên những chùm thảo quả đỏ chon chót, như chứa lửa, chứa nắng. Rừng ngập hương thơm. Rừng sáng như có lửa hắt lên từ dưới đáy rừng.
II. Tập làm văn:
Đề bài: Tả một người thân của em.
Lời giải và hướng dẫn làm bài A. Phần đọc 1. Đọc thầm và làm bài tập (5 điểm):
Mỗi câu trả lời đúng: 0,5 điểm.
Câu 10: Từ đồng nghĩa với hạnh phúc: sung sướng (may mắn, toại nguyện, giàu có…)
Đặt câu với từ tìm được: Em rất sung sướng khi mình đạt điểm cao trong kì thi vừa qua.
2. Đọc thành tiếng: 1 điểm
* Giáo viên đánh giá, cho điểm dựa vào những yêu cầu sau:
– Đọc đúng tiếng, đúng từ: 1 điểm
(Đọc sai từ 2 đến 4 tiếng: 0,5 điểm; đọc sai quá 5 tiếng: 0 điểm).
– Ngắt nghỉ hơi đúng ở các dấu câu, các cụm từ rõ nghĩa: 1 điểm.
(Ngắt nghỉ hơi không đúng từ 2 đến 3 chỗ: 0,5 điểm; ngắt nghỉ hơi không đúng từ 4 chỗ trở lên: 0 điểm).
– Giọng đọc bước đầu có biểu cảm: 1 điểm
(Giọng đọc chưa thể hiện rõ tính biểu cảm: 0,5 điểm; giọng đọc không thể hiện tính biểu cảm: 0 điểm).
– Tốc độ đọc đạt yêu cầu: 1 điểm.
(Đọc quá 1 phút đến 2 phút: 0,5 điểm; đọc quá 2 phút: 0 điểm).
– Trả lời đúng ý câu hỏi do giáo viên nêu: 1 điểm.
(Trả lời chưa đủ ý hoặc diễn đạt chưa rõ ràng: 0,5 điểm; trả lời sai hoặc không trả lời được: 0 điểm).
B. Phần viết
1. Chính tả: (5 điểm) – Bài viết không mắc lỗi chính tả, chữ viết rõ ràng, trình bày đúng đoạn văn: 5 điểm.
– Mỗi lỗi chính tả trong bài viết (sai – lẫn phụ âm đầu hoặc vần, thanh; không viết hoa đúng quy định) trừ 0,5 điểm.
*Lưu ý: Nếu viết chữ không rõ ràng, sai về độ cao, khoảng cách, kiểu chữ hoặc trình bày bẩn,…bị trừ 1 điểm toàn bài.
2. Tập làm văn: (5 điểm)
Tả mẹ
Năm nay, mẹ em gần bốn mươi mốt tuổi. Với thân hình mảnh mai, thon thả đã tô đậm cho mẹ với vẻ đẹp của người mẹ hiền từ, mái tóc đen óng mượt mà dài ngang lưng được mẹ thắt lên gọn gàng khi ra đường. Đôi mắt mẹ đen láy luôn nhìn em với ánh mắt trìu mến gần gũi. Khuôn mặt mẹ hình trái xoan với làn da trắng. Đôi môi mỏng đỏ hồng nằm dưới chiếc mũi cao thanh tú làm cho càng nhìn càng thấy đẹp. Khi cười nhìn mẹ tươi như hoa, đóa hoa hồng vừa nở sớm mai. Đôi bàn tay mẹ tròn trịa, trắng trẻo đã nuôi nấng, dìu dắt em từ thưở em vừa lọt lòng. Giọng nói của mẹ đầy truyền cảm, lúc mượt mà như tiếng ru, lúc ngân nga như tiếng chim họa mi buổi sớm. Mẹ em may và thêu rất đẹp, đặc biệt là may áo dài, thường ngày mẹ hay mặc bộ đồ bộ gọn gàng, khi đi dạy học mẹ mặc những bộ áo dài cũng do mẹ tự may trông thật duyên dáng, sang trọng.
Ở nhà, mẹ là người đảm nhiệm công việc nội trợ. Mẹ giao cho em các công việc nhẹ nhàng như: quét nhà, gấp quần áo… Còn ba thì phụ mẹ giặt đồ, dọn dẹp nhà cửa sạch sẽ, thỉnh thoảng mẹ mua hoa về chưng ở phòng khách cho đẹp nhà. Mỗi khi khách đến mẹ luôn đón tiếp nồng hậu, mời khách đĩa trái cây và nước mát. Sáng mẹ là người thức dậy sớm để chuẩn bị thức ăn sáng cho cả nhà, để hai anh em cùng cắp sách đến trường kịp giờ học. Khi em ốm đau mẹ phải thức suốt đêm để chăm sóc. Buổi tối, mẹ thường dành khoảng ba mươi phút để giảng bài cho em, sau đó mẹ ngồi chấm bài, soạn giáo án chuẩn bị cho tiết lên lớp ngày mai ở trường… Mẹ rất nhân hậu, hiền từ, khi lên lớp mẹ xem học trò như các con của mình, cũng dìu dắt thương yêu hết mực nên mẹ được rất nhiều học sinh yêu mến. Khi em phạm lỗi, mẹ chỉ nhắc nhỡ chứ không mắng và cũng chưa đánh em bao giờ.
Mẹ em thật đáng quí, em luôn yêu thương mẹ và tự hào vì được làm con của mẹ. Mỗi khi được mẹ ôm ấp, nằm trong lòng mẹ em cảm thấy thật ấm áp. Trong trái tim em, mẹ là tất cả, mẹ là cô tiên tuỵêt vời nhất trong cuộc đời em… Em mong sao cho mình mau lớn để có thể giúp cho mẹ đỡ vất vả hơn. Em hứa sẽ chăm học và cố gắng học thật giỏi để trả ơn cho mẹ và thầy cô đã dạy dỗ, nuôi nấng em nên người. Mẹ ơi, con yêu mẹ lắm!
Đề Thi Có Lời Giải Môn Toán Vmo 2023
LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI VMO 2023 Trần Nam Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quang Hùng
aff
Lê Phúc Lữ – Nguyễn Văn Huyện
1. Lờinóiđầu
st
Vậy là đã 7 năm chúng tôi đồng hành cùng các cuộc thi toán với những bài Giải và bình thi VMO và TST như một cố gắng đóng góp cho cộng đồng những tài liệu chất lượng, bổ
n
2. Thông tin bản quyền
Ep
Bản quyền thuộc về tất cả các thành viên trong nhóm biên soạn (Trần Nam Dũng, Võ Q Cẩn, Trần Quang Hùng, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Văn Huyện).
Đây là thành quả của quá trình lao động miệt mài của nhóm để chia sẻ đến cộng đồng. M đều có thể xem tài liệu MIỄN PHÍ. Tuy nhiên, vui lòng ghi rõ nguồn khi chia sẻ.
3. Đề thi 3.1. Ngày thithứ nhất (05/01/2023) Bài 1 (5.0 điểm). Cho a là một số thực và xét dãy số .u định bởi n / xác u1 D a;
unC1
r
8n 2 N :
2
Bài 2 (5.0 điểm). Tồn tại hay không đa thức P .x/ với hệ số nguyên thỏa mãn p3 p3 p p P 1 C 2 D 1 C 2 và P 1 C 5 D 1 C 3 5‹
aff
Bài 3 (5.0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường .O/:tròn GọiH là trực tâm của tam giác ABC vàE; F lần lượt là chân các đường cao hạ từB; các C Iđỉnh AH cắt .O/ tại D (D khác A).
a) Gọi I là trung điểm của AH I E I cắtBD tạiM vàF I cắtCD tạiN :Chứng minh rằng M N ? OH :
st
b) Các đường thẳng DE ; DF cắt.O / lần lượt tại P ; Q (P vàQ khácD ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt.O / vàAO lần lượt tại R vàS (R vàS khácA). Chứng minh rằng BPC; Q và RS đồng quy.
n
ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được đi hàng đó và tập các số nguyên dương được điền trên cột đó không giao nhau; nếu mộ và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đ các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau.
Ep
a) Với n D 5; tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa để tồn tại cách điền k sốcân đối cho cách tô màu đối xứng ở hình bên dưới. A
B
D
C
b) Vớin D 2023;tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa để với mọi cách tô màu đối xứng, luôn tồn tại cách điền số kcân đối.
3
3.2. Ngày thithứ hai(06/01/2023) Bài 5 (6.0 điểm). Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn hệ thức f xf .y/
f .x/ D 2f .x/ C xy
với mọi số thực x; y:
a)
aff
kD1
b)
2023
st
kD1
n
Ep
Về cấu trúc, đề thi gồm 7 bài toán. Ngày đầu có 4 bài, mỗi bài được 5 điểm thuộc 4 phâ Giải tích, đại số, hình học, tổ hợp. Ngày thứ hai có ba bài thuộc ba phân môn: Đại số, số hợp với số điểm tương ứng là 6, 7, 7. Đề thi ngày thứ nhất, trừ bài cuối là khá cơ bản và quen thuộc. Bài 1 là bài giải tích yêu cầu khảo sát sự hội tụ của một x dãy D f .n hồi; dạng xn / : nC1 truy Về nguyên tắc, dạng dãy số này khó khảo sát hơn dạng x nC1 dãyDtruy f .x hồi n / vì 2 nC3 các hệ số của hàm f không hằng mà biến thiên n theo :Tuy nhiên, nếu để ý dần đến q nC1 1 2 khin dần đến vô cùng thì ta có thể “quy về” dãy x nC1sốDdạng C x n C 14 và dự 2 đoán được giới hạn bằng 3 :Từ đó dùng bổ đề quen thuộc: “Nếu tồn qtại2 số . 0thực ;1 / sao cho x nC1 q x n C bn vớilim bn D 0 thì ta có lim xn D 0″, thì từ đánh giá đơn giản j unC1
3j
3j C
ta sẽ suy ra kết luận bài toán. Ở đây, chú ý là câu b) cũng làm hoàn toàn tương t kiện đối với a chẳng qua là uđể 2 xác định. Chú ý là dạng bài dãy số này đã xuất hiện ở hai kỳ VMO gần đây (2012 và 2023) với cùng cách giải tương tự thông qua bổ đề nói
4
aff
Bài 2 là một bài toán về xác định đa thức thoả mãn một điều kiện cho trước. Bài nà học sinh nắm vững lý thuyết về đa thức tối thiểu của số đại số thì sẽ giải rất nhanh. ta có định lý rất cơ bản sau: P .Nếu x /vàQ.x / là các đa thức đơn khởi, hệ số nguyên có chung nghiệm ˛ và Q . x / là bất khả quy thì P . x / chia hết cho Q . x / : p3 p Ta đặtQ.x / D P .x C 1/ 1 thì 2 và 5 tương ứng sẽ là nghiệm của đa thức Q.x / x vàQ.x / 3x 1 :Vì các đa thức x 3 2 vàx 2 5 bất khả quy trên Z nên từ 3 2 đây sẽ suy ra ngay Q.x / x D .x 2 / S . xvàQ.x / / 3x 1 D .x 5/T.x/: 3 2 Từ đây sẽ 2x ra C 1 D .x 2 / S . x /. x 5 / T . x /Đến : đây, chọn x D 7 sẽ suy ra điều mâu thuẫn vì vế phải chia hết cho 1 1 ; còn vế trái thì không.
st
n
Ý tưởng dạng này đã xuất hiện trong các kỳ VMO, nhưng từ rất lâu, cụ thể là VMO 1 Trước đó nhiều năm, VMO 1984 có bài tìm đa thức đơn khởi hệ số nguyên bậc nhỏ p p3 có nghiệm là2 C 3 :Chính qua những bài toán như vậy khái niệm đa thức tối thiểu (và sau này là mở rộng trường) được giới thiệu.
Bài 3 là một bài toán hình khá nhẹ nhàng, câu a) quy về việc Mchứng N là trục minh đẳng phương của hai đường .ABtròn C / và.DEF /: Câu b) cũng là một cấu hình rất quen thuộc mà trong đó có cả điểm Miquel, tứ giác điều hoà, đường đối trung, đường giác, định lý Pascal. Tuy . . nhiên, cách tiếp cận chân phương nhất là dùng đồng dạng, m kiến thức hoàn toán lớp 9.
Ep
Bài 4, bài toán tổ hợp là bài khó nhất của ngày thi thứ nhất, cũng là bài toán lạ nhất. việc đọc hiểu được đề bài cũng đã tốn khá nhiều thời gian, vì vậy, việc cho câu a), m huống rất cụ thể với bảng kích thước nhỏ là hết sức cần thiết, vừa tạo cơ hội cho h kiếm điểm, vừa để học sinh “làm quen và cảm nhận” bài toán. Với câu a), chỉ cần q lý luận đơn giản (chú ý đến tính đối xứng, do i và đócột hàng i là giống nhau) là ta thấy k D 2 không thoả mãn yêu cầu bài toán. Như vậy, chỉ còn cần chỉ k Dra3ví làdụ với hoàn thành được câu này.
Với phần b) thì khó khăn hơn. Riêng việc đoán ra đáp số đã là không đơn giản. Thực nhiều lời giải sai (với đánh kD giá2007) đã được đưa ra (trong đó có những lời giải của người ở bên ngoài, trong điều kiện thoải mái về thời gian). Với câu này, cần tiếp tục tính đối xứng để chỉ ra một cấu hình tốn nhiều số nhất. Và cấu hình này chính là cấu đen trắng xen kẽ. Với cấu hình này, ta có thể suy ra ra tất cả các số dương ở nửa tam 2023 2 1 đôi một khác nhau. Suy k 1008C1008C1006C1006C ra C2C2 D : 4 Để chứng minh điều kiện đủ, ta có thể sử dụng quy nạp Toán học 2 với :Điều bước nhảy là này có thể giải thích được vì nếu tinh ý, chúng ta có thể đưa bài toán về mô hình đ sử dụng định lý Mantel-Turan để giải quyết.
Ngày thi thứ hai:
5
Tìm tất cả các hàm sốRf !WR thỏa mãn f
xf .y / C f .x /
D 2f .x / C xy
Ep
n
st
với mọi số thực yx :;
aff
Bài 5là một bài toán phương trình hàm có hai biến tự do vàxy cóởbiểu ngoài thức dấu hàm số: f xf . y / f . x / D 2f .x / C x y :Với những phương trình hàm như vậy, điều đầu tiên mà ta cần để ý khai thác, đó là tính song ánh của hàm số. Sau đó ta xảy ra trường hợp f .0/ D 0 hay không, hayf là .0/ D c ¤ 0 và tồn tại u ¤ 0 để f . u / D 0 :Từ đây tiếp tục thế một cách thích hợp sẽ f .x tìm /D được 1 x là hàm số duy nhất thoả mãn yêu cầu bài toán. Đáng chú ý, bài toán này có hình thức khá gi đề Olympic của Brazil năm 2006. Cách giải của hai bài toán cũng khá giống nhau. Đ Brazil 2006 như sau
6
k D1
p
k Cpk D
X2
1
p
p Cpk
Dp
k D1
0
3
C pk
1
1
2
1
1
1
A:
C pk
p
Cp
1
2
1
1
2
st
X2
1
aff
p
X2
A
Tiếp theo là nhiệm vụ của số học với định lý nhỏ Fermat và C pktính chấtp(cụ của 1 mod k k thể ta có Cp 1 . 1 / .mod p )/. Ở câu b), ta cũng thực hiện phép rút gọn tổng bằng p
1
p
1
n
Bài 7 là một bài hình học khó có tính phân loại cao, đặc biệt là ở câu b). Ở câu a) toán vẫn khai thác các vấn đề quen thuộc như điểm Miquel, trục đẳng phương và tâm phương, và đa số thí sinh đã giải quyết được vấn đề nhưng sang đến câu b) thì dườ chỉ có các cao thủ hình học mới đủ sức xử lý. Có lẽ bài toán được lấy ý tưởng dựa tr phương pháp điều hoà và xạ ảnh.
Ep
Tóm tắt lại, nếu đánh giá về độ khó thì đề năm nay khá dễ chịu, có nhiều câu thí sinh c được như câu 1, 2, 3, 5. Ngay cả với những bài khó hơn như 4, 6, 7 cũng có ý để ăn điểm 4a, ý điều kiện cần của câu 4b), câu 6a, ý rút gọn của câu 6b), câu 7a. Về độ mới và ha bài 1, 2, 5 có ý khá cũ. Sự lặp đi lặp lại của ý tưởng bài 1 cho thấy lối mòn trong việc kh đề tài giải tích. Tại sao lại phải là dãy số và giới hạn mà không phải là những vấn đề r như sự liên tục, ứng dụng của đạo hàm bậc2?nhất, Bài 3bậc không mới nhưng đặt vấn đề đẹp và phù hợp trong bối cảnh ngày thi có 4 bài. Bài 6 cũng là một bài không mới, với ý rút tổng. Phần số học của bài này sẽ tạo thuận lợi cho các đội mạnh, nơi các học sinh được kiến thức đầy đủ hơn về các tính chất của số nguyên tố (như các định lý nêu trên trong p luận về bài 6 cùng các phương pháp chứng minh của chúng). Hai bài toán đẹp nhất và c nhất của đề thi là bài số 4 và số 7, trong đó bài 4 khai thác cách phát biểu thú vị về dạn lưỡng phân, còn bài 7 là các tính chất xạ ảnh đẹp đẽ và sâu sắc.
Với những nhận xét và đánh giá trên, theo chúng tôi, sẽ rất khó dự đoán điểm chuẩn chín vì khu vực 15 đến 20 điểm sẽ rất dày đặc. Trong 7 bài toán, có đến 5 bài có hai ý a), b) và số sẽ hết sức phụ thuộc vào sự phân bố điểm ở các câu này. Dù vậy, qua khảo sát sơ bộ dự thi, chúng tôi tạm đưa ra dự đoán bộ điểm chuẩn rất chẵn của năm nay như sau: Khuy 15 điểm (1, 2, 5), giải 3: 20 điểm (1, 2, 3, 5), giải nhì 25 điểm: (1, 2, 3, 5) + (4a + 6a + nhất 30 điểm: phải giải quyết được các vấn đề xương xẩu hơn như 4b, 6b, 7b hoặc làm bài trên rất chuẩn.
7
.1/
aff
a) Khi a D 5 ; chứng minh rằng dãynsố / có. ugiới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. b) Tìm tất cả các giá trị của số a để dãy số .định u và có giới hạn hữu hạn. n / xác
a
st
Lờigiải.Ta sẽ giải trực tiếp ý b), từqđó suy ra kết quả cho ý a). Có . uthể thấy định dãy n / xác 1 5 1 khi và chỉ khi2 uxác định. Mà2 uD 2 C a C 4 nên u2 xác định khi và chỉ khi 2
n
Ep
17
4C
17
với mọin 2 : Vậy dãy . un / tăng ngặt và
bị chặn trên bởi2 nên có giới hạn hữu hạn. Đến đây, bằng cách chuyển phương trình sang giới hạn, ta cũng thu được lim 3: u n D Tóm lại, với mọi a
thì dãy . nu/ xác định và hội tụ về 3 :
8
un C
C
j un
3j C q
st
q
aff
un C
C
và
un C
q
un C
C
C
C
<
D
n
q
<
C
D
Do đó, kết hợp với đánh giá ở trên, ta thu được j unC1
3j
3j C
8n 2 :
Ep
Đến đây, bằng cách sử dụng bổ đề quen thuộc (có thể chứng minh bằng định nghĩa giới h Cho số thực q 2 . 0 ;1 / :Xét hai dãy không. âm an / ; . bn / thỏa mãn anC1 q a n C b n với mọi n 2 N và lim nb D 0 : Khi đó, ta có lim D a 0: n Ta dễ dàng suy ra lim 3 và hoàn tất lời giải cho bài toán. n Du
9
a) Với a D 0 ; chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. b) Với mọi a 2 Œ 10 ; chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn. Bài 2 (5.0 điểm). Tồn tại hay không đa thức P . x / với hệ số nguyên thỏa mãn 1C
p3
2 D1C
p3
2 và P
1C
p
5 D1C3
p
5‹
aff
P
Lờigiải.Giả sử đa thức P . x /nói trên tồn tại. Đặt Q.x / D P .1 C x / 1 thìQ.x / cũng p3 p3 p p là đa thức với hệ số nguyên. Từ giả thiết, ta2cóDQ 2 và Q 5 D3 5:
Q.x /
x D .x
3
st
n
p p Do R .x / có các hệ số đều nguyênRnên 5 có dạnga C b 5 với a ;b 2 Z: Thay p x D 5 vào đẳng thức trên, ta được p p 2 5D 5 5
2
aCb
p
5 D 25b
2 a C .5a
suy ra5a 2 b D 2và2 a D 25b :Tuy nhiên, không có cặp số nguyên nào thỏa mãn đồng thời hai tính chất này. Mâu thuẫn nhận được chứng P .tỏ x đa /thỏa thức mãn đồng thời các tính chất ở đề bài không tồn tại.
Ep
3. (International Zhautykov Olympiad, 2014) Tồn tại không P . xđa /với thức các hệ số p p p p nguyên thỏa mãn 1P C 3 D 2 C 3 và P 3 C 5 D 3 C 5?
10
Bài 3 (5.0 điểm). Cho tam giác AB C nhọn, không cân nội tiếp đường . Otròn / :Gọi H là trực tâm của tamAB giác C vàE ; F lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh B ; C I A H cắt . O / tại D (D khác A). a) Gọi I là trung điểm của AH I E I cắtBD tạiM vàF I cắtCD tạiN :Chứng minh rằng M N ? OH :
aff
b) Các đường thẳng DE ; DF cắt.O / lần lượt tại P ; Q (P vàQ khácD ). Đường tròn ngoại tiếp tam AEF giác cắt.O / vàAO lần lượt tại R vàS (R vàS khácA). Chứng minh rằng BP C ;Q và RS đồng quy.
st
Lờigiải.a)Gọi J là đường tròn Euler của tam ABgiác C thì. J / đi quaE ; I ; F đồng thời J là trung điểm OH . Dễ thấy D đối xứngH quaB C nên tam giác BDH cân tạiB . Cũng dễ thấy tam giác IEH cân tạiI nên∠IEH D ∠IHE D ∠BHD D ∠BDH; suy ra tứ giác BDE I nội tiếp. Mà DB cắt E I tại M nên MD:
n
ME MIDMB
Từ đó phương tích của M đối với đường tròn . J / và.O / bằng nhau. Tương tự phương tích củaN đối với đường tròn . J / và.O / bằng nhau. Vậy M N là trục đẳng phương .O của / và .J / nên M N ? OJ . Do J là trung điểm OH nên M N ? OH .
A
I
Ep
M
J
E
O
C
N
b)Gọi X là trung điểm EF . AH cắtB C tạiK . Dễ thấy các tam BF giác E vàKHE đồng dạng (g-g). X là trung điểm EF vàK là trung điểm HD nên hai tam giác BF X vàDHE đồng dạng (c-g-c), suy ∠FraBX D ∠HDE D ∠F BP . Từ đó suy ra ba điểm B ;X ;P thẳng hàng. Tương tự ba điểm X ;Q C cũng ; thẳng hàng.
A
O
K
D
R
C
aff
F
st
S
n
Gọi AL là đường kính của .O / thì dễ thấy SH đi quaL và tứ giác HBLC là hình bình hành nênH L đi qua trung điểm M củaB C. Dễ thấy hai tam SE giác C vàSF B đồng dạng (g-g) nên hai tam giác SEF vàS CB đồng dạng (c-g-c), hai tam giác này có trung tuyến tương ứn là SX vàS M nên∠F SX D ∠B S M . Cũng có hai tam giác SF B vàSRL đồng dạng (g-g) nên hai tam giác S F R và S B L đồng dạng (c-g-c). Suy ra
∠F SR D ∠B SL D ∠B S M D ∠F SX:
Từ đó, ta có ba điểm S ; X ; R thẳng hàng. Vậy SR đi quaX . Đều này chứng tỏ ba đường thẳng BP ; C Q và RS đồng quy tại trung điểm X của EF .
Ep
Tham khảo tại: http://analgeomatica.blogspot.com/2023/06/ve-mot-bai-toanhinh-hoc-tu-dien-aops.html
12
R
E
st
B
aff
J
Q
Mặt khác phép đồng dạngP tâm biến đoạn CE thànhFB nênJ cũng biến thành I; do đó ı ∠JPI D ∠EPB D 180 ∠BAC , từ đó tứ giác GIPJ nội tiếp. Ta có biến đổi góc
n
∠IGP D ∠IJP D ∠BEP D ∠BAP D ∠BGQ và
∠GPI D ∠GJI D ∠GCB D ∠GQB:
Từ đó hai tam giác GIP vàGBQ đồng dạng. Như vậy phép đồng dạng G biếnI tâmthànhP và đoạn FB thành đoạn LQ . Mặt khác, I là trung điểm FB nênP là trung điểm LQ . Từ đó, gọiM là trung điểm EF . Ta dễ thấy hai tamBFE giácvàPLE đồng dạng. Từ đó, hai tam giác BFM vàQLE đồng dạng. Vậy ∠FBM D ∠LQE D ∠FBR nênBR đi quaM . Ta có điều phải chứng minh.
Ep
A
F
E
B
Q
13
Gọi R là bán kính ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có biến đổi diện tích ŒBFR ŒBFR ŒBAR ŒBRQ D ŒBER ŒBAR ŒBRQ ŒBER ABARBR 4R BRRQQB 4R
Vậy BR chia đôi EF .
aff
st
n
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn .O/. P là điểm bất kỳ trong tam giác choR đối xứng P quaBC thìR nằm trên .O/ . PB; P C lần lượt cắt CA; AB tạiE; F . Đường tròn.AEF / cắt.O/ tạiG khácA. GP cắtBC tạiM và cắt.O/ tạiD khácG. AD cắt.AEF / tại Q khác A. Chứng minh rằng GQ chia đôi EF . Lờigiải.Dễ thấyP nằm trên .AEF / . Ta có∠DP C D ∠FP G D ∠FAG D ∠PDB nên P C k DB. Tương tự, ta cũngPB cók DC; do đó tứ giác PBDC là hình bình hành PD nênđi qua trung điểm M của BC . A
Ep
G
F
E
B
Q
O
C
M
R
D
Gọi giao điểm của GQ vàEF làN . Dễ thấy phép đồng dạng G lần tâmlượt biến E; F thành C; B. Lại có hai tam giác GFB và GQD đồng dạng (g-g) nên ∠F GB D ∠QGD; suy ra ∠NGF D ∠MGB: Do đó cũng phép đồng dạng tâm G đó biến N thành M . Vậy N là trung điểm EF .
14
Bài toán trên cũng có thể được mở rộng hơn nữa như sau
aff
Bài chúng tôi tam giác ABC nội tiếp trong đường .O/ tròn . P là điểm bất kỳ trong tam giác. PB; P C lần lượt cắt CA; AB tạiE; F . Đường tròn .AEF / cắt.O/ tạiG khácA. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC . GM cắt.O/ tạiD khácG. AD cắt.AEF / tạiQ khácA. GQ cắtEF tại N . Chứng minh rằng MB NF D : MC NE A
G
F
P
Q
M
C
n
B
N
st
E
D
Lờigiải.Dễ thấy phép đồng dạng G lần tâmlượt biến E; F thànhC; B. Lại có hai tam giác GFB vàGQD đồng dạng (g-g) ∠FGB nên D ∠QGD suy ra∠NGF D ∠MGB; do đó cũng phép đồng dạng tâm G đó biến N thành M . Vậy MB NF D : MC NE
Ep
Ta thu được điều phải chứng minh.
Các bạn có thể làm các bài toán sau đây đề luyện tập thêm: 1. (Mở rộng ý a) bài toán 3 VMO 2023) Cho tam ABC giác nội tiếp đường tròn .O/ . Một đường tròn .K/ đi quaB; C cắtCA; AB tạiE; F khácB; C . BE cắtCF tạiH . AH cắt .O/ tạiD khácA. Tiếp tuyến E; tạiF của.K/ lần lượt cắt DB; DC tạiM; N . Chứng minh rằng MN ? OH . 2. (Mở rộng ý b) bài toán 3 VMO 2023) Cho tam ABC giác nội tiếp trong đường.O/ tròn . P là điểm bất kỳ trong tam giác sao R đối choxứngP quaBC thìR nằm trên .O/ . PB; P C lần lượt cắt CA; AB tạiE; F . Đường tròn .AEF / cắt.O/ tạiG khácA. D thuộc.O/ sao cho DR k BC . AD cắt.AEF / tạiQ khácA. DE; DF cắt.O/ tạiS; T khác D. Chứng minh rằng BS; C T; GQ đồng quy.
15
aff
st
ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được trên hàng đó và tập các số nguyên dương được điền trên cột đó không giao nhau một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau. a) Với n D 5; tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa để tồn tại cách điền k số cân đối cho cách tô màu đối xứng ở hình bên dưới. B
n
A
C
Ep
D
b) Vớin D 2023; tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa để với mọi cách tô màu đối xứng, luôn tồn tại cách điền số kcân đối.
5
¤ ;:
16
Ta sẽ chứng minh k D 3 thỏa với cách điền như sau: 0
1
1
0
2
2
1
2
0
2
2
2
2
0
3
3
0
3
aff
3
2
st
1
1
Ep
n
b)Điều kiện cần: Trước hết, xét cách tô màu đối xứng như bàn cờ, tức là trắng đen xen hình, trong đó vị trí .i; j / sẽ được tô đen nếu i C j chẵn, ngược lại thì tô trắng.
Xét hai ô trắng bất kỳ trong bảng ô vuông trên .a; b/ởvà.c; vị tríd /; 1 a; b; c; d 2023:
Nếua C cchẵn thì b C d cũng chẵn, suya ra C d vàb C clẻ. Khi đó, một trong hai ô .a; d /và.b; c/ sẽ được tô đen vì chúng không thể cùng nằm trên đường chéo màu x Suy ra hai ô vuông trắng phải được điền số khác nhau. Nếua C clẻ thìb C d cũng lẻ, xét.d; ô c/ điền cùng số với .c;ôd /thì rõ ràng ta có thể áp dụng lập luận trên để suy ra hai số điền cho hai ô hai khác nhau.
Từ đó suy ra tất cả các số điền cho các ô trắng nằm ở nửa trên bên phải của bảng là đôi m biệt. Do đó, ta thu được kết quả k 2C4C6C
2023 Điều kiện đủ: Ta sẽ chứng minh k Drằng 4
1
thỏa mãn bài toán bằng quy nạp kết quả j 2rằng k n trên cũng đúng với mọi bảng có kích n thước n vớin là số nguyên dương, cụ kthể D là4 :
17
Thật vậy, với n D 1; n D 2; n D 3; ta dễ dàng kiểm tra được các kết quả tương ứng. Xét n 5 và giả sử khẳng định đúng với mọi số nguyên dương bé hơn n: Đánh số cách hàng 1 !từn và cột1 ! n . Ta sẽ chứng minh rằng với mọi vị trí của các ô đen thì luôn tồn tại cách điền các số nguyên dương không kn vào vượt ô trắng quá còn lại trong bảng (trường hợp điền số âm thì tương tự vì tính bình đẳng).
aff
Xét graph G D .V; E/ màV là tập hợp các đỉnh, đỉnh i ứng thứ với hàng i và1 i n ; còn E là tập hợp các cạnh, trong đó có cạnh nối từ i đến đỉnh đỉnh thứthứ j nếu như tại.i;ô j / và ô .j; i / là ô màu trắng. Ta phát biểu bổ đề sau:
Bổ đề (Định lý Mantel-Turan). Xét mộtj graph đơn vô hướng n đỉnh có và k cạnh. Khi đó, nếu k 2 n graph này không có chứa tam giác thì k : 4 Áp dụng vào bài toán, ta xét các trường hợp sau:
st
j 2k Nếu graph G không có chứa tam giác, theo bổ đề thì nó sẽ có nkhông cạnh, quá nghĩa 4 j 2k j 2k n là có không quá ô trắng nên có thể dùng k D n4 số nguyên dương điền vào các ô 4 đó (cho dù vị trí của các ô đen thế nào đi nữa).
n
Nếu graph G có chứa tam giác, giả sử các a; đỉnh b; cphân biệt được nối với nhau đôi một. Điều này tương ứng với việc .a;các b/; ô .b; c/; .c; a/và.b; a/; .c; b/; .a; c/là giao điểm của các hàng a; b; cđều được tô màu trắng. Khi đó, các số điền vào các ô đó không cần phải phân biệt và tập hợp các ô trắng (nếu có) còn a; lạib; trên ccũng các hàng không cần phải rời nhau. Rõ ràng trên mỗi hàng sẽ còn lại không 3 ô nhưquá thế. n Khi đó, ta có thể dùng 1số để điền vào các ô trắng ở trên và dùngnkhông 3số quá phân biệt để điền vào mỗi ô còn lại của mỗi hàng. Nếu không 3 hàng a; b; c, ta còn lại n 3 hàng, sử dụng giả thiết quy nạp thì cần j tính k .n 3/ 2 không quá 4 số nguyên dương phân biệt cho các hàng đó.
Ep
j 2k Tóm lại, trong mọi trường hợp, ta đều cần sử dụng nkhông số nguyên quá dương phân biệt 4 j 2k n để điền vào các ô trắng hay nói cách khác cũng k D thỏa mãn đề bài với bảng n n: 4
Theo nguyên lý quy nạp thì khẳng định được chứng minh. Vậy giá trị tốtknhất là cần tìm c 20232 1 . Bài toán được giải quyết hoàn toàn. 4
Bài toán này thuộc dạng cực trị tổ hợp và đòi hỏi phải xử lý cả điều kiện cần và đủ thì mớ kết luận được đáp số của bài toán.
18
Ở phần a), ta thấy kích thước của bảng là nhỏ nên có thể thử trực tiếp các số để kiểm t xây dựng cũng khá nhẹ nhàng. Chú ý rằng một số có thể được sử dụng lại nhiều lần the bài nếu đọc không cẩn thận, ta dễ hiểu nhầm đáp số câu a) là k D 5:
Phần b) thử thách hơn nhiều với kích thước bảng lớn, và quan trọng hơn là cách tô đối xứ nên chưa thể định hướng được ngay giá trị “vừa đủ lớn” của k:
aff
Ý tưởng mấu chốt là chỉ ra một mô hình đặc biệt mà ở đó,kđòi phải hỏiđạt giáđược trị cực đại thì mới đủ để điền vào. Và bàn cờ ở trên chính là mô hình cần phải tìm, số các ô đen tr xen đòi hỏi tất cả các số dương điền vào các ô trắng phải phân biệt nhau, các số âm cũ
st
Đoạn khó khăn chính là việc xây dựng cách đánh số cân đối cho mọi mô hình. Thực tế 2 1 như các cách xây dựng trực tiếp thuật toán để kđiền D 2023 vào với đều không thành công 4 do các mô hình có thể biến đổi rất phức tạp. Cách tiếp cận dùng đồ thị ở trên cũng chỉ mớ minh được là cách đánh số cân đối sẽ luôn tồn tại chứ chưa chỉ ra cách xây dựng cụ th nhiên, về mặt lập luận thì như thế là đủ.
n
Điểm mới lạ của bài toán này chính là việc sử dụng ngôn ngữ đồ thị để giải quyết vấn cách tiếp cận mà trước giờ khá ít khi xuất hiện trong các kỳ thi HSG cấp Quốc gia. Địn Mantel-Turan về tồn tại graph con đầy đủ trong một graph đơn vô hướng là tương đối que đối với các học sinh có học qua về lý thuyết graph. Đặc điểm của các bài toán dùng Mant là thường che giấu được vấn đề khá kỹ và khó xử lý tốt bằng các cách thông thường.
Định lý này có cách chứng minh dùng quy nạp là phân hoạch tập hợp đỉnh thành A; B rồ
Đếm số cạnh trong A; đếm số cạnh trong B: Đếm số cạnh nối giữa A; B:
Ep
1. (MOSP, 2011) Xét các số xthực : Chứng minh rằng có khôngn4 quá cặp 1; x2; : : : ; nx .i; j / với 1 i < j n sao cho 1 < jxi xj j < 2: 2 2. (China TST, 1987) Trong mặt phẳng 2nđiểm cho với n 2 và có tất n cả C 1đoạn thẳng nối chúng. Chứng minh rằng
a) Tồn tại ít nhất một tam giác.
b) Tồn tại hai tam giác có chung cạnh. c) Tồn tại ít nhất n tam giác.
19
Bài 5 (6.0 điểm). Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn hệ thức f xf .y/
f .x/ D 2f .x/ C xy
.1/
với mọi số thực x; y:
f f .y/
f .1/ D y C 2f .1/; 8y 2 R:
aff
Lờigiải.Thay x D 1 vào (1), ta được .2/
Từ đây có thể thấy fhàm là một song ánh. Do đó, tồn tại duy nhất a đểf số thực .a/ D 0:Thay x D a vào phương trình (1), ta được
Trong (3), cho y D 0;ta được f af .0/ Suy ra a D 0 hoặc f .0/ D 1:
D ay;
8y 2 R:
st
f af .y/
.3/
D 0 D f .a/:Từ đó, do f đơn ánh nên taafcó .0/ D a:
n
Xét trường hợp a D 0;tứcf .0/ D 0:Thayy D 0 vào (1), ta được f f .x/ D 2f .x/: Dof toàn ánh nên taf .x/ có D 2x với mọix 2 R: Tuy nhiên, khi thử lại, hàm này không thỏa mãn phương trình (1). Do đó a ¤ 0; suy ra f .0/ D 1:
Thayx D 0 vào (1), ta được f . 1/ D 2:Thayy D a vào (3), ta được a2 D f .0/ D 1;suy ra a D 1 (do f . 1/ D 2), tức f .1/ D 0: Đến đây, ta có hai cách tiếp cận như sau: Cách 1. Do f .1/ D 1 nên phương trình (2) có thể viết lại dưới dạng f f .y/
D y;
8y 2 R:
.20/
0 Thay y bởi f .y/ vào (1) và sử dụng /; ta.2được
f xy
f .x/ D 2f .x/ C xf .y/;
8x; y 2 R:
Ep
f .x/ Trong phương trình này, ta xét x ¤ 0 và thay ; ta y Dđược x
suy ra
f
D
1
;
8x ¤ 0:
Thay y Df .x/ vào (1) và sử dụng kết quả trên, ta được x f1
3f .x/ D 3f .x/;
8x ¤ 0:
Dof song ánh và f .0/ D 1nên với x ¤ 0 thì1 3f .x/ có thể nhận mọi giá trị thực 2: khác Do đó, từ kết quả trên, ta suy ra được f .x/ D x C 1 với mọi x ¤ 2: Nói riêng,ta cóf .3/ D 2: Thayy D 3 vào.20/; ta đượcf . 2/ D 3: Tóm lại,ta có f .x/ D x C 1 với mọi x 2 R: Thử lại, ta thấy hàm này thỏa mãn các yêu cầu bài toán.
20
Cách 2. Thay y D 1 vào (1), ta được f
f .x/ D 2f .x/ C x;
8x 2 R:
.4/
aff
Lần lượt thay x D 1 vàx D 2 vào đẳng thức trên, tafđược . 2/ D 3vàf . 3/ D 4:Chú ý 0 rằngf .1/ D 0nên ta cũng có đẳng.2 thức / như cách 1 ở trên, do đó bằng cách x bởif thay .x/ vào (4), ta được f . x/ D f .x/ C 2x; 8x 2 R: Từ đây suy fra.2/ D 1 vàf .3/ D 2: Bây giờ, ta sẽ chứng minh x D 1 là nghiệm duy nhất của phương trình f .t / D 2t: Thật vậy, giả sử có b số ¤ 1 sao cho f .b/ D 2b; ta thay x D b và y D 3 vào (1) thì được 1 D f .0/ D 4b C 3b; suy ra b D 1; mâu thuẫn. Với kết quả trên, ta thay y D 2 thì có
Từ đó suy rax
x
f .x/ D 2 x C f .x/ D 2
x
f .x/ ;
8x 2 R:
st
f
f .x/ D 1; tức f .x/ D x C 1 với mọi x 2 R:
n
D 2f .x/ C xy; 8x; y 2 R:
Cách giải của hai bài toán cũng hoàn toàn tương tự nhau. Đây là một sự trùng hợp thú v đây là một số bài toán “tương tự” khác: 1. (IMO Shortlist, 2002) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn
Ep
f f .x/ C y
D 2x C f f .y/
x;
8x; y 2 R:
2. (Kiểm tra Trường Đông Nam Bộ, 2023) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn f f .x/ C 2y
D 10x C f f .y/
3x ;
8x; y 2 R:
3. (Baltic Way, 2010) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn f .x 2/ C f .xy/ D f .x/f .y/ C yf .x/ C xf .x C y/;
8x; y 2 R:
4. (EGMO, 2012) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn f yf .x C y/ C f .x/
D 4x C 2yf .x C y/; 8x; y 2 R:
5. (EGMO, 2012) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn f xf .x C y/
D f yf .x/
C x 2;
8x; y 2 R:
Đề Kiểm Tra 45′ Có Đáp Án Môn Vật Lý 9 Hk1 Thcs Thống Nhất
Phần I:(4,0 điểm) Trắc nghiệm khách quan:
A; (3,0 điểm) : Chọn câu trả lời đúng nhất
1. Biến trở là loại dụng cụ dùng để
A. Tăng cường độ dòng điện ; B. Không có tác dụng gì trong mạch điện
C. Điều chỉnh cường độ dòng điện ; D. Gỉam cường độ dòng điện
2. Số đếm của công tơ điện cho biết
A. Điện năng mà gia đình sử dụng ; B. Số dụng cụ điện sử dụng trong gia đình
C. Công suất gia đình sử dụng ; D. Thời gian sử dụng điện
3. (V.A) là đơn vị của
A. Nhiệt lượng ; B. Công ; C. Công suất ; D. Điện trở suất
4. Có hai điện trở R 1 nối tiếp R 2 thì điện trở tương đương là:
A. R 1 + R 2 ; B.(frac{1}{{mathop Rnolimits_1 }} + frac{1}{{mathop Rnolimits_2 }}) ; C . R 1.R 2 ; D. R 1 – R 2
5. Tên bóng đèn có ghi số(6V-9W) điện trở của đèn sẽ là:
A. 15(Omega ) ; B. 9(Omega ); C. 6(Omega ); D. 4(Omega )
6. Có hai dây dẫn được làm cùng chất có l 1=l 2 và S 1=0,3mm 2 , S 2=0,9 mm 2 , các kết quả nào sau đây là đúng?
7. Với dây dẫn (MN) có U 1 = 4,5V; I 1 = 0,3 A. Nếu I tăng: I 2 = 0,6A thì u 2 sẽ là:
A. 9V ; B. 2V ; C. 4,5V ; D. 6,5V
8. Công của dòng điện được tính theo công thức:
A. A = U.I.t ; B. A = U.I ; C. A = I.R.t ; D. A =(frac{U}{R}.t)
9. Hai dây dẫn bằng nhôm có cùng chiều dài, tiết diện và điện trở tương ứng là l 1,R 1,S 1 và l 2, R 2, S 2 .Biết l 1=4l 2; S 1=2S 2 .Kết quả nào sau đâyvề mối quan hệ giữa các điện trở R 1 và R 2 của hai dây dẫn này là đúng?
A. R 1=8R 2 ; B. R 1=2R 2 ; C. R 1=R 2/8; D. R 1=R 2/2
10. Với cùng một dây dẫn. Khi U 1=3V ; I 1=0,01A. Nếu U 2=30V thì I 2 sẽ là bao nhiêu?Kết quả nào sau đây là đúng?
A. 1,5A B. 1A C. 0,1A D. 10A
11. Từ công thức: R= Câu trả lời nào sau đây là đúng?
A. R tỉ lệ thuận với U và tỉ lệ nghịch với I
B. R chỉ phụ thuộc vào U, không phụ thuộc vài I
C. R không phụ thuộc vào U và không phụ thuộc vào I mà chỉ phụ thuộc vào dây dẫn
D. R phụ thuộc vào U và phụ thuộc vào I
12. Cho hai điện trở R 1=12W và R 2= 18 W được mắc nối tiếp với nhau .Điện trở tương đương của đọan mạch là:
A. 12 (Omega ); B. 30(Omega ) ; C. 6(Omega ); D. 18 (Omega )
B- (1,0điểm) Chọn từ (cụm từ) thích hợp điền vào chỗ trống câu sau:
Định luật Jun-Len Xơ cho biết (a)………………………..chuyển hoá hoàn toàn thành (b)………………………………
Phần II: (6,0 điểm) Tự luậnCâu 1: (2,0 điểm) Có ba điển trở R 1 = 6 ; R 2 = 12 ; R 3 = 16 được mắc song song với nhau vào hiệu điện thế U = 2,4V
Tính điện trở tương đương của đoạn mạch?
Tính cường độ dòng điện chạy qua mạch chính?
Câu 2: (4,0 điểm) Một bếp điện có ghi:220V-1000W được sử dụng với hiệu điện thế 220V để đun sôi 2,5 lít nước từ 20 0 C thì mất một thời gian là 14 phút 35 giây.
Tính hiệu suất của bếp? Biết nhiệt dung riêng của nước là : 4200J/kg.độ.
Mỗi ngày bếp đun 5 lít nước với các điều kiện nêu trên đề toán, thì trong 30 ngày phải trảûbaonhiêu tiền điện cho việc đun nước này? Cho biết giá mỗi KWh là 800 đồng.
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT ( HK1) MÔN VẬT LÍ 9
Phần I:(4,0 điểm) Trắc nghiệm khách quan:
A-(3,0 điểm) Chọn câu trả lời đúng nhất.
Chọn đúng mỗi câu 0,25 điểm.
Chọn từ (cụm từ) thích hợp điền vào chỗ trống
(a): Điện năng (0,5điểm)
(b): Nhiệt năng (0,5điểm)
Câu 1: (2,0điểm)
a) (1,0điểm)
Ta có công thức: (frac{1}{R} = frac{1}{{mathop Rnolimits_1 }} + frac{1}{{mathop Rnolimits_2 }} + frac{1}{{mathop Rnolimits_3 }}) (0,5điểm)
(frac{1}{R} = frac{1}{6} + frac{1}{{12}} + frac{1}{{16}}) (0,25 điểm)
R = 3,2(Omega ) (0,25điểm)
b ) (1,0 điểm)
I = (frac{U}{R}) (0,5điểm)
I= (frac{{2,4V}}{{3,2Omega }}) (0,25điểm)
I = 0,75A (0,25điểm)
Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Chúc các em học tập tốt !
Đề Thi Hk2 Môn Tiếng Anh Lớp 7 Năm 2023 Có Đáp Án
Mời các em học sinh lớp 7 cùng tham khảo Đề thi học kì 2 môn Tiếng Anh lớp 7 năm 2023 gồm 2 đề thi, mỗi đề thi với 5 câu hỏi lớn có đáp án đi kèm.
Đây là tài liệu ôn thi học kì 2 hữu ích dành cho các em, thông qua việc luyện tập và giải đề thi sẽ giúp các em củng cố lại những kiến thức đã được học của môn tiếng Anh và rút kinh nghiệm cho bài thi học kì 2 sắp tới. Chúc các em ôn tập tốt và thi đạt kết quả cao.
KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC: 2023-2023MÔN: TIẾNG ANH – LỚP 7 Thời gian: 45 phút ĐỀ SỐ 1: I. Choose the word which has the underlined part pronounced differently from the others. (1mark)
1. A. Breakfast B. Teacher C. East D. Please
2. A. Children B. Church C. Headache D. Beach
3. A. See B. Salt C. Small D. Sugar
4. A. Mother B. Thirteen C. Father D. Then
II. Circle the word or phase (A , B , C or D) that best completes each of the following sentences. (2marks)
1. Phuong doesn’t like football and …… Mai .
A. so is B. so does C. does so D. neither does
2. These papayas aren’t ripe and ….. are the pineapples .
A. so B. too C. neither D. either
3.The dirt from vegetables can make you …….. .
A. bored B. tired C. sick D. well
4. You must do your homework more ……. in the future .
A. careful B. care C. careless D. carefully
5. You should ……. early if you want to do morning exercise.
A. get up B. getting up C. to get up D. to getting up
6. Hoa is a ….. worker.
A. hardly B. hard C. more hard D. most hard
7. Last night we didn’t watch the film on TV because it was ……..
A. bore B. bored C. boring D. boredom
8 . Mai enjoys ….. sea food with her parents .
A. to eat B. eating C. eat D. to eating
III. Supply the correct forms of the verbs in brackets. (2marks )
1. He (wash)………………………….the dishes everyday.
2. We (play)…………………………volleyball tomorrow
3. She (not watch) chúng tôi last night.
4. ……… they (go) chúng tôi school now?
IV. Write the sentences. Use the cue words. (3marks )
1. I/not like/read books
…………………………………………………………………………………….
2. He/be/good/soccer/player.He/play/soccer/good.
…………………………………………………………………………………….
3. Mai/prefer/meat/fish.
…………………………………………………………………………………….
4 They/prefer/listen/music/watch/TV
…………………………………………………………………………………….
5 He/do/homework/last night.
…………………………………………………………………………………….
5 Hoa/not go/school/yesterday/because/she/be/sick.
…………………………………………………………………………………….
V. Read the passage carefully then answer questions. (2marks)
In 1960s, most people in Vietnam did not have a TV set. In the evening, the neighbors gathered around the TV. They watched until the TV programs finished. The children might play with their friends and the older people might talk together. Vietnam is different now. Many families have a TV set at home and the neighbors don’t spend much time together.
Questions:
1. Did most people have a TV set in 1960s?
………………………………………………………………………………
2.How long did they watch TV programs?
………………………………………………………………………………
3. What might the children do?
………………………………………………………………………………
4. What might the older people do?
………………………………………………………………………………
Hướng dẫn chấm bài kiểm tra học kỳ IIMôn tiếng Anh lớp 7 ĐỀ 1 I. 1,0 điểm – Mỗi từ đúng: 0,25 điểm
1. A 2. C 3. D 4. B
II. 2,0 điểm – Mỗi từ đúng: 0,25 điểm
1. D 2. C 3. C 4. D 5. A 6. B 7. C 8. B
III. 2,0 điểm – Mỗi câu đúng: 0,5 điểm
1. washes 2. will play/shall play 3. didn’t watch 4. Are…going..?
IV. 3,0 điểm – Mỗi câu đúng: 0,5 điểm
1. I don’t like reading books.
2. He is a good soccer chúng tôi plays soccer well .
3. Mai prefers meat to fish.
4. They prefer listening to music to watching TV
5.He did his homework last night.
6. Hoa didn’t go to school yesterday because she was sick
V. 2,0 điểm – Mỗi câu đúng: 0, 5 điểm
1. No,they didn’t
2. They watched until the TV programs finished.
3. The children might play with their friends
4. The older people might talk together
Cập nhật thông tin chi tiết về Đề Thi Hk1 Môn Toán Lớp 3 Có Lời Giải trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!