Bạn đang xem bài viết Giải Bài Tập Trang 62, 63 Sgk Đại Số 10: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Giải bài tập môn Toán lớp 10
Giải bài tập Toán Đại số 10 bài Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Giải Toán lớp 10 – Giải bài tập trang 62, 63 SGK Đại số 10: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai là tài liệu để học tốt Toán lớp 10 hay dành cho các bạn học sinh tham khảo. Lời giải bài tập Toán 10 này sẽ giúp các bạn nắm bắt kiến thức chương 3 phần phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai được hiệu quả nhất mà không cần tới sách giải Đại số 10.
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 62, 63 SGK Đại số 10: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Bài 1. (SGK Đại số 10 trang 62) Giải bài 1:
a) ĐKXĐ:
2x + 3 ≠0 ⇔ x ≠-3/2.
Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung thì được
b) ĐKXĐ: x ≠± 3. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thì được
(2x + 3)(x + 3) – 4(x – 3) = 24 + 2(x 2 – 9)
Bài 2. (SGK Đại số 10 trang 62)
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a) m(x – 2) = 3x + 1;
c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.
Giải bài 2:
a) ⇔ (m – 3)x = 2m + 1.
Nếu m ≠3 phương trình có nghiệm duy nhất x = (2m + 1)/(m – 3).
Nếu m = 3 phương trình trở thành 0x = 7. Vô nghiệm.
b) ⇔ (m 2 – 4)x = 3m – 6.
Nếu m2 – 4 ≠0 ⇔ m ≠± 2, có nghiệm x = (3m – 6)/(m2 – 4) = 3/(m + 2).
Nếu m = 2, phương trình trở thành 0x = 0, mọi x ∈ R đều nghiệm đúng phương trình.
Nếu m = -2, phương trình trở thành 0x = -12. Vô nghiệm.
c) ⇔ 2(m – 1)x = 2(m – 1).
Nếu m ≠1 có nghiệm duy nhất x = 1.
Nếu m = 1 mọi x ∈ R đều là nghiệm của phương trình.
Giải bài tập Toán 10 Bài 3. (SGK Đại số 10 trang 62)
Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu?
Trả lời: Số quýt ở mỗi rổ lúc đầu: 45 quả.
Bài 4. (SGK Đại số 10 trang 62)
Giải các phương trình
Giải bài 4:
a) Đặt x 2 = t ≥ 0 ta được 2t 2 – 7t + 5 = 0, t ≥ 0
Suy ra nghiệm của phương trình ẩn x là x 1,2 = ±1, x 3,4 = ±√10/2.
b) Đặt x 2 = t ≥ 0 thì được 3t 2 + 2t – 1 = 0 ⇔ t 1 = -1 (loại), t 2 = 1/3 (nhận).
Suy ra nghiệm của phương trình ẩn x là x 1,2 = ±√3/3
Bài 5. (SGK Đại số 10 trang 62)
Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)
d) 9x 2 – 6x – 4 = 0.
Giải bài 5: Bài 6. (SGK Đại số 10 trang 62)
Giải các phương trình.
Giải bài 6:
a) ĐKXĐ: 2x + 3 ≥ 0. Bình phương hai vế thì được:
⇔ (3x – 2 + 2x + 3)(3x – 2 – 2x – 3) = 0
Tập nghiệm S = {-1/5; 5}.
b) Bình phương hai vế:
c) ĐKXĐ: x ≠3/2, x ≠-1. Quy đồng rồi khử mẫu thức chung
Kết luận: Tập nghiệm S = {(11 – √65)/14; (11 + √65)/14}
Kết luận: Tập nghiệm S = {1; -6}.
b) ĐKXĐ: – 2 ≤ x ≤ 3. Bình phương hai vế thì được 3 – x = x + 3 + 2√(x + 2) ⇔ -2x = 2√(x + 2).
Kết luận: Tập nghiệm S {-1}.
c) ĐKXĐ: x ≥ -2.
d) ĐK: x ≥ -1/3.
Bài 8. (SGK Đại số 10 trang 63)
Cho phương trình 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0.
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Giải bài 8:
Giả sử phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 với x 2 = 3x 1. Theo định lí Viet ta có:
Thay x 1 = (m + 1)/6 vào phương trình ta được 3[(m + 1)/6] 2 – 2(m + 1).(m + 1)/6 + 3m – 5 = 0
Thay m = 3 vào phương trình ta thấy pt có hai nghiệm x 1 = 2/3; x 2 = 2.
Với m = 7 ta có hai nghiệm x 1 = 4/3; x 2 = 4.
Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 3.13 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
⇔ (m – 2)(m – 4)x = (m + 1)(m – 2)
Kết luận
Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với m = 4, phương trình vô nghiệm.
b) Điều kiện của phương trình là x ≠ -1, ta có
⇒ (m – 2)x + 3 = (2m – 1)(x + 1)
⇒ (m + 1)x = 4 – 2m (1)
Với m = -1 phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Kết luận
Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm
c) Điều kiện của phương trình là x ≠ 1. Khi đó ta có
⇔ (2m + 1)x – m = (x + m)(x – 1)
⇔ x = 0, x = m + 2
Giá trị x = m + 2 thỏa mãn điều kiện của phương trình khi m ≠ -1
Kết luận
Vậy với m = -1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;
Với m ≠ -1 phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = m + 2.
d) Điều kiện của phương trình là x ≠ m . Khi đó ta có
⇔ (3m – 2)x – 5 = -3x + 3m
⇔ (3m + 1)x = 3m + 5
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi
Kết luận
Bài 3.14 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Cho phương trình
(m + 2)x 2 + (2m + 1)x + 2 = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.
Đáp số: m = -5.
b) Phương trình có nghiệm kép khi m ≠ -2 và Δ = 0.
Khi m = -3/2 nghiệm kép của phương trình là x = 2.
Bài 3.15 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Cho phương trình 9x2 + 2(m2 – 1)x + 1 = 0
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1, x 2 mà x 1 + x 2 = -4
Bài 3.16 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Giải các phương trình
Lời giải:
a) Điều kiện của phương trình là x ≥ 4/3
Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả
Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả.
⇔ 3x 2 – 2x – 2 = 0
Phương trình cuối vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Điều kiện của phương trình là: 3x 2 – 4x – 4 ≥ 0 và 2x + 5 ≥ 0
Phương trình cuối có hai nghiệm x 1 = -1, x 2 = 3. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn các điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã có hai nghiệm x 1 = -1, x 2 = 3
Bài 3.17 trang 67 Sách bài tập Đại số 10: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau
3x + 2m = x – m ⇔ 2x = -3m ⇔ x = -3m / 2
Ta có:
-3x – 2m = x – m ⇔ 4x = -m ⇔ x = -m / 4
Ta có:
Kết luận
Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0;
Phương trình (1) ⇔ x = -3m + 2
Phương trình (2) ⇔ 3x = m – 2 ⇔ x = (m – 2) / 3
Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là:
c) m = 0 phương trình trở thành
-x – 2 = 0 ⇒ x = -2
m ≠ 0 phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có Δ = 4m + 1
Với m < -1/4 phương trình vô nghiệm;
Với m ≥ -1/4 nghiệm của phương trình là
Kết luận. Với m ≤ 1 phương trình vô nghiệm.
Bài tập trắc nghiệm trang 67, 68 Sách bài tập Đại số 10:
Bài 3.18: Nghiệm của phương trình sau là:
A. x = -2/3 B. x = 1
B. x = 1 và x = -2/3 D. x = -1/3
Lời giải:
Điều kiện của phương trình là x ≠ (-1)/3.
Để phá các dấu giá trị tuyệt đối, ta phải xét ba trường hợp x < -3, -3 ≤ x < 1/2 và x ≥ 1/2 dẫn đến giải phương trình rất tốn thời gian. Cách nhanh nhất là xét từng phương án. Phương án D bị loại di điều kiện của phương trình. Với phương án A, thay x = (-2)/3 vào phương trình ta thấy vế trái âm, còn vế phải dương, nên phương án này bị loại. Phương án C cũng bị loại do có giá trị x = (-2)/3.
Đáp án: B
A. x = 0 và x = -2 B. x = 0
C. x = 3 D. x = -2
Lời giải:
Với giá trị x = 0 thì vế trái của phương trình tương đương, còn vế phải âm nên phương án A và B đều bị loại. Tương tự, với x = -2 thì vế trái dương, vế phải âm nên phương án D bị loại.
Đáp án: C
Bài 3.20: Tìm nghiệm của phương trình sau:A. x = 1/2 B. x = 1
C. x = 0 D. phương trình vô nghiệm
Lời giải:
Điều kiện của phương trình:
4x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/4;
-2x + 1 ≥0 ⇒ x ≤ 1/2.
Không có giá trị nào của x thỏa mãn hai điều kiện này nên phương trình vô nghiệm.
Đáp án: D
Bài 3.21: Tìm nghiệm của phương trình sau:
A. x = 0 và x = 1 B. x = 1 và x = 2
C. x = 0 và x = 2 D. x = 0 và x = 1
Lời giải:
Thay x = 0 và x = 2 vào phương trình ta thấy hai vế đều cho giá trị là 3.
Đáp án: C
A. x = 0, x = 2, x = 8 và x = -4
B. x = 0 và x = 4
C. x = -2 và x = 4
D. x = 1 và x = -4
Lời giải:
Phương án A có nhiều giá trị quá, thay vào phương trình mất nhiều thời gian, nên ta xét các phương trình còn lại.
Với phương án B, khi thay x = 0 vào phương trình thì hai vế đều bằng 4 nên x = 0 là một nghiệm. Tuy nhiên khi thay giá trị x = 4 vào phương trình thì vế trái bằng 0, còn vế phải bằng 16. Vậy phương án B và phương án C đều bị loại. Với phương án D, giá trị x = 1 cũng không phải là nghiệm của phương trình, nên phương án D bị loại.
Đáp án: A
Bài 3.23: Phương trình(m + 1)x 2 – 3(m – 1)x + 2 = 0
có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia thì giá trị của tham số m là:
A. m = 1 B. m = -1
C. m = 0 hoặc m = 3 D. m = 2
Lời giải:
Với m = 1 phương trình đã cho có dạng
Phương trình này vô nghiệm, nên phương án A bị loại. Với m = -1 phương trình đã cho trở thành phương trình bậc nhất 6x + 2 = 0 chỉ có một nghiệm nên phương án B bị loại.
Với m = 2 phương trình đã cho trở thành phương trình
Phương trình này vô nghiệm, nên phương án D bị loại.
Đáp án: C
Bài 3.24: Phương trình
có hai nghiệm âm phân biệt khi tham số m nằm trong khoảng nào sau đây?
A. 0 < m < 1
B. -1 < m < 1/24
C. -2 < m < 0
D. -1 < m < 1
Đáp án: B
A. m = 1
B. m = -3
C. m = -2
D. Không tồn tại m
Lời giải:
Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 và x 2 mà x 1 + x 2 = 4 khi
Δ ≥ 0 và (-b)/a = 4.
Với m = 1 thì (-b)/a = -2(m + 1) = -4 không đúng.
Với m = -3 thì (-b)/a = 4 đúng, nhưng
Với m = -2 thì (-b)/a = 2, sai.
Vậy cả 3 phương án A, B, C đều sai và đáp án là D.
Đáp án: D
Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình
Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
Lý thuyết & Phương pháp giải
Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0, (a ≠ 0) (*)
– Đặt t = x 2 ≥ 0 thì (*) ⇔ at 2 + bt + c = 0 (**)
– Để xác định số nghiệm của (*), ta dựa vào số nghiệm của (**) và dấu của chúng, cụ thể:
+ Để (*) vô nghiệm ⇔
+ Để (*) có 1 nghiệm
⇔
+ Để (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔
+ Để (*) có 3 nghiệm ⇔ (**) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.
+ Để (*) có 4 nghiệm ⇔ (**) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai
Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 2 ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t 2 = (x + α/x) 2 với α = d/b
Loại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d
Phương pháp giải: [(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e
Loại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex 2 với a.b = c.d
Phương pháp giải: Đặt t = x 2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình
⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t – ((a+b-c-d)/2)x) = ex 2 (có dạng đẳng cấp)
Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α) 4 + (t – α) 4 = c với α = (a-b)/2
Phương pháp giải: Tạo ra dạng A 2 = B 2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng 2k.x 2 + k 2, tức phương trình (1) tương đương:
Cần vế phải có dạng bình phương
⇒
Phương pháp giải: Tạo A 2 = B 2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: (x 2 + (a/2)x + k) 2 = x 4 + ax 3 + (2k + a 2/4)x 2 + kax + k 2. Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: (2k + a 2/4)x 2 + kax + k 2, thì phương trình
Lúc này cần số k thỏa:
Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai
Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner
Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.
Nguyên tắc nhẩm nghiệm:
+ Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x = -1
+ Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai
Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo
Ví dụ minh họa
Hướng dẫn:
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x 2 ta được: 2(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) + 6 = 0
Ta có phương trình: 2(t 2 – 2) – 5t + 6 = 0 ⇔ 2t 2 – 5t + 2 = 0 ⇔
+ t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x 2 – x + 2 = 0 (vô nghiệm)
+ t = 2 ⇒ x + 1/x = 2 ⇔ x 2 – 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Bài 2: Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3) = 24
Hướng dẫn:
Phương rình tương đương với (x 2 + 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Đặt t = x 2 + 3x, phương trình trở thành
t(t+2) = 24 ⇔ t 2 + 2t – 24 = 0 ⇔
+ t = -6 ⇒ x 2 + 3x = -6 ⇔ x 2 + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)
+ t = 4 ⇒ x 2 + 3x = 4 ⇔ x 2 + 3x – 4 = 0 ⇔
Vậy phương rình có nghiệm là x = -4 và x = 1
Bài 3: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x 2
Hướng dẫn:
Phương trình tương đương với 4(x 2 + 17x + 60)(x 2 + 16x + 60) = 3x 2 (*)
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
Xét x ≠ 0, chia hai vế cho x 2 ta có
(*)⇔ 4(x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = 3
Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành
4(y+1)y = 3 ⇔ 4y 2 + 4y – 3 = 0 ⇔
Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x 2 + 31x + 120 = 0
⇔
Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x 2 + 35x + 120 = 0
⇔
Vậy phương trình có nghiệm là x = -8, x = -15/2 và
Hướng dẫn:
Suy ra x = -2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2
Bài 5: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3
Đặt u = (x+1)/(x-2); v = (x-2)/(x-3) ta được u 2 + uv = 12v 2
⇔(u – 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = -4v
+) u = 3v ⇔ (x+1)/(x-2) = 3(x-2)/(x-3) ⇔ x 2 + 4x + 3 = 3x 2 – 12x + 12
⇔2x 2 – 16x + 9 = 0 ⇔ x = (8 ± √46)/2
+) u = -4v ⇔ (x+1)/(x-2) = -4(x-2)/(x-3) ⇔ x 2 + 4x + 3 = -4x 2 + 16x – 16
⇔ 5x 2 – 12x + 19 = 0(Vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (8 ± √46)/2
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp
Cách Giải Một Số Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc 2
Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 I. HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:Ta thường gặp một số dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải sau đây: Dạng 1. Phương trình tích.Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Dạng 3. Phương trình trùng phương.Dạng 4. Phương trình dạng: a[f(x)]2 + bf(x) + c = 0 hoặc . Dạng 5. Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c.Dạng 6. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong đó: a+b = c+d, m 0. Dạng 7. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2, trong đó: ab = cd, m 0.Dạng 8. Phương trình đối xứng .Dạng 9. Phương trình hồi quy. II. CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: 1. Phương trình tích: là phương trình có một vế bằng không, vế còn lại là một tích của các nhân tử chứa ẩn. 1.1. Cách giải: Áp dụng công thức: Ta giải n phương trình (1), (2), . . ., (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng. 1.2. Ví dụ 1 Giải các phương trình: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 - 4x + 1 Giải: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 - 4x + 1 (2x2 + x - 4)2 - (2x - 1)2 = 0 (2x2 + x - 4 + 2x - 1)(2x2 + x - 4 - 2x + 1) = 0 (2x2 + 3x - 5)(2x2 - x - 3) = 0 Giải các phương trình (1) và (2) ta được x1 = 1; x2 = -2,5; x3 = -1; x4 = 1,5 Vậy S = 1.3. Nhận xét:- Loại phương trình này các em HS đã được làm quen từ lớp 8 - THCS. Lên lớp 9, sau khi học xong về phương trình bậc hai một ẩn, để giải một phương trình bậc cao (bậc lớn hơn 2), đối với HS THCS thường dùng phương pháp biến đổi đưa về phương trình tích. Muốn vậy HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử (chỉ cần phân tích thành tích các nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai). - Chú ý tới các tính chất của phương trình bậc ba: ax+ bx+ cx + d = 0 Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 Nếu a - b + c - d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1. - Đa thức bậc n có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hệ số tự do (Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên).Khi đã nhận biết được nghiệm (chẳng hạn x = x0), ta phân tích được vế trái của phương trình thành nhân tử (chứa một nhân tử là x - x0). *Ví dụ 2. Giải phương trình: (*) từđóphântíchđược: . Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: x1 = -1; 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:Loại phương trình này, HS cũng đã được làm quen từ lớp 8 và đây cũng là một dạng phương trình thường gặp trong chương trình toán THCS. 2.1. Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường giải theo 4 bước sau:Bước 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình; Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức; Bước 3. Giải phương trình nhận được; Bước 4. Kết luận: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn ĐKXĐ, các giá trị thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho. 2.2. Ví dụ: Giải phương trình: (*) Giải:- ĐKXĐ: x 1. Khi đó (*) (**) Giải phương trình (**), ta được x1 = 1 (không thoả mãn ĐKXĐ) x2 = - 2 (thoả mãn ĐKXĐ). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 2 2.3. Lưu ý: + Trong thực hành, cần luôn lưu ý việc kiểm tra giá trị tìm được của ẩn (sau bước 3). Một phương trình chứa ẩn ở mẫu sẽ vô nghiệm nếu ở bước 3 không tìm được giá trị của ẩn và cũng sẽ vô nghiệm nếu các giá trị tìm được ở bước 3 đều không thoả mãn ĐKXĐ. + Cách giải trên là cách giải thường dùng nhưng chỉ nên áp dụng với các phương trình mà sau khi ta quy đồng, khử mẫu 2 vế thì được phương trình bậc không lớn hơn 2, không phức tạp. Đối với một số dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu đặc biệt, ta phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải. Ví dụ: Giải phương trình: Giải: -ĐKXĐ: .Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x 0, ta được: .Đặt = t, phương trình trở thành: (*) (ĐK: t - 1; t 3) -Với t1 = 1, ta có: = 1 (vô nghiệm) ; với t2 = , ta có: = (vô nghiệm).Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. *Chú ý : Dùng phương pháp giải ở trên, chúng ta cũng giải được các phương trình có dạng sau : Dạng1:. Dạng2 :.Dạng 3: 3. Phương trình trùng phương: 3.1. Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0, trong đó a, b, c là các số cho trước, a 0. 3.2. Cách giải:-Khi giải dạng phương trình này, ta thường đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ x2 = t (t 0), ta có phương trình bậc hai trung gian : at2 + bt + c = 0. -Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t. Nếu những giá trị tìm được của t thoả mãn t 0, ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình ban đầu. 3.3. Ví dụ: *Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải: Đặt x2 = t, ĐK: t 0. Phương (1) trở thành 3t2 - 2t - 1 = 0 (1') Giải (1') ta được: t1 = 1 (thoả mãn ĐK); t2 = (thoả mãn ĐK) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 3.4. Nhận xét : Về số nghiệm của phương trình trùng phương, ta thấy: + Phương trình trùng phương vô nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm, hoặc chỉ có nghiệm âm. + Phương trình trùng phương có nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm. + Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt (khi đó 2 cặp nghiệm luôn đối nhau) khi phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm dương phân biệt. + Phương trình trùng phương có 3 nghiệm phân biệt (1 nghiệm luôn bằng 0 và 2 nghiệm còn lại đối nhau) khi phương trình bậc hai trung gian có 1 nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. 4. Phương trình dạng: a[f(x)]2 + bf(x) + c = 0 (hoặc ) với a 0: 4.1. Cách giải: +Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu cần). +Đặt f(x) = t (hoặc tương ứng = t). Ta có phương trình: at2 + bt + c = 0 (**) +Giải phương trình (**) bậc hai (ẩn t) +Trả biến và giải tiếp phương trình f(x) = t rồi kết luận. 4.2. Ví dụ: Giải phương trình sau: Giải: .Đặt , ta có: Với t1 = 1, ta có: Với t2 = ta có , phương trình này vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 4.3. Nhận xét:- Nhờ phép biến đổi và bằng cách đặt ẩn phụ, ta đưa được phương trình về dạng phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải: at2 + bt + c = 0 Tuy nhiên có một số phương trình phải qua một số bước biến đổi mới xuất hiện dạng tổng quát (như trong ví dụ trên). - Cũng như một số loại phương trình khác đã giới thiệu ở trên, số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian. - Phương trình trùng phương (cũng như phương trình bậc hai một ẩn) là những dạng đặc biệt của phương trình: ax2n + bxn + c = 0, trong đó: a0; n nguyên dương (còn gọi là phương trình tam thức). Các phương trình này cũng chỉ là dạng đặc biệt của phương trình: a[f(x)]2 + bf(x) + c = 0, ở đây f(x) = xn. +Ví dụ : Giải phương trình: x2014 - 10x1007+ 9 = 0 Giải : Đặt x1007 = t , ta có phương trình: t2 - 10t + 9 = 0 Vì: 1 - 10 + 9 = 0 nên t1 = 1; t2 = 9 Với t1 = 1 thì x1007 = 1 x = 1; Với t2= 9 thì x1007 = 9 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = 1; 5. Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c: - Ta giải bằng phương pháp đổi biến:Đặt Thay vào và biến đổi, ta được phương trình: 5.2. Ví dụ: Giải phương trình (1) Giải: Đặt Ta có: Đặt t2 = v (ĐK: v 0). Phương trình (1') trở thành: (không thoả mãn ĐK) và (không thoả mãn ĐK).Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 6. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong đó a+b = c + d và m 0. 6.1. Cách giải: -Vì a + b = c + d nên ta đặt: x2 + (a + b)x = x2 + (c + d)x = y. - Khi đó, phương trình đã cho có dạng: (y + ab)(y + cd) = m (*) - Giải phương trình (*), ((*) là phương trình bậc hai của y). - Với mỗi giá trị tìm được của y, thay vào x2 + (a + b)x = y rồi tiếp tục giải các phương trình bậc hai ẩn x và đi đến kết luận. 6.2. Ví dụ: Giải phương trình sau: (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 Giải: a, (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 (chú ý: 4 + 8 = 5 + 7 = 12) (x2 + 12x + 32)(x2 + 12x + 35) = 4 Đặt x2 + 12x + 32 = y, ta có phương trình: y2 + 3y - 4 = 0 (1) Vì 1 + 3 - 4 = 0 nên (1) có hai nghiệm là y1 = 1 và y2 = - 4. Với x2 + 12x + 32 = y1 = 1 Với x2 + 12x + 32 = y2 = -4 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: 6.3. Nhận xét: Với loại phương trình có dạng trên: - Nếu khai triển vế trái ta sẽ được phương trình bậc 4 tổng quát thì sẽ rất khó giải tiếp. Do đó khi gặp phương trình dạng này, cần chú ý tới các hệ số a, b, c, d. Bằng nhận xét, ta nhóm hợp lý, sau đó khai triển mỗi nhóm và đặt ẩn phụ, ta sẽ đưa được về phương trình bậc hai trung gian. - Đôi khi cần linh hoạt biến đổi thì ta mới đưa được về phương trình dạng trên. Ví dụ: Giải các phương trình: (5x + 4)2(5x2 + 8x) = 16 Giải: (5x + 4)2(5x2 + 8x) = 16 x(5x + 4)2(5x + 8) = 16 5x(5x + 4)2(5x + 8) = 80 (25x2 + 40x)(25x2 + 40x + 16) = 80 Đặt 25x2 + 40x + 8 = t, ta có phương trình: (t - 8)(t + 8) = 90 t2 - 64 = 80 t2 = 144 t = 12. Với t = 12, ta có: 25x2 + 40x +8 = 12 25x2 + 40x - 4 = 0 x1;2 = Với t = -12, ta có: 25x2 + 40x +8 = -12 5x2 + 8x - 4 = 0 x3 = ; x4 = -2. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là : x1;2 = ; x3 = ; x4 = -2. 7. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2, trong đó: ab = cd, m 0: 7.1. Cách giải:- Ta nhóm [(x + a)(x + b)][(x + c)(x + d)] = mx2 [x2 + ab + (a + b)x][x2 + cd + (c + d)x] = mx2 (x + + a + b)(x + + c + d) = m (vì x 0) - Do ab = cd nên ta đặt ẩn phụ: y = x + = x + (hoặc sai khác một hằng số thuận lợi) thì ta được phương trình: (y + a + b)(y + c + d) = m y2 + (a + b + c + d)x + (a + b)(c + d) - m = 0 àlà phương trình bậc hai ẩn y à dễ dàng làm tiếp. 7.2. Ví dụ: Giải phương trình sau:(x - 3)(x - 9)(x + 4)(x + 12) = 147x2 Gợi ý: Chú ý: -3.12 = -9.4 = -36 à làm tiếp theo cách trên. 8. Phương trình đối xứng: 8.1. Định nghĩa: -Phương trình đối xứng bậc 3 là phương trình có dạng ax3 + bx2 + bx + a = 0 (a 0) -Phương trình đối xứng bậc 4 là phương trình có dạng ax4+bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a 0) -Phương trình đối xứng bậc n là phương trình có dạng anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0 = 0, trong đó: an = a0, an-1 = a1, . . . , và an 0. 8.2. Chú ý: +Trong phương trình đối xứng, nếu k là nghiệm thì cũng là nghiệm. +Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn nhận x = -1 làm một nghiệm. +Phương trình đối xứng bậc chẵn (bậc = 2m) luôn đưa được về bậc m bằng cách đặt ẩn phụ = t. 8.3. Cách giải: Dựa vào chú ý ở trên:-Để giải phương trình đối xứng bậc 3, ta biến đổi đưa về phương trình tích:ax3 + bx2 + bx + a = 0 (x + 1)[ax2 + (b - a)x + a] = 0. -Với phương trình đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a 0), ta giải theo cách sau: +Dễ thấy x = 0 không là nghiệm. Do đó chia 2 vế cho x2 , ta được: at2 + bt + c - 2a = 0 (1) +Giải phương trình (1) rồi trả biến = t à tìm x và kết luận. 8.4. Ví dụ : Giải phương trình : 3x3 - 5x2 - 5x + 3 = 0 Hướng dẫn: Biến đổi thành: (x + 1)(3x2 - 8x + 3) = 0 (Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là ) 9. Phương trình hồi quy: 9.1. Định nghĩa: Phương trình hồi quy là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 (với a.k 0) Nhận xét: Phương trình đối xứng bậc 4 chỉ là một dạng đặc biệt của phương trình hồi quy (với k = 1) 9.2. Cách giải:-Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được: -Đặt .Ta có phương trình bậc hai (ẩn t): (*) -Giải phương trình (*).Trả biến = t à tìm x và kết luận. 9.3. Ví dụ: Giải phương trình x4 + 4 = 5x(x2 - 2) (1) Giải :-Ta có (1) x4 - 5x3 +10x +4 = 0 à là phương trình hồi quy với k = - 2. -Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được : .Đặt t = ,ta có : .Ta có phương trình : Với t = 4 ta có : .Với t = 1 ta có :.Vậy S = . II. MỘT SỐ BÀI TẬP: Bài 1: Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu: a) b) Bài 2: Giải các phương trình bậc cao sau: a)(x2 + x + 1)2 - 3x2 - 3x - 1 = 0 b)x4 +4x3 +3x2 +2x - 1 = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau: a) b)
Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Bài Tập Trang 62, 63 Sgk Đại Số 10: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!