Bạn đang xem bài viết Giải Dùm Mấy Bài Giải Tích Hàm Này Với. được cập nhật mới nhất tháng 11 năm 2023 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Chứng minh rằng: f(x, y) liên tục tại (0;0)
2, Xét tính khả vi
3, Tìm cực trị của hàm z=xy (Với điều kiện x+y=1)
2, Xét tính khả vi
Hàm 2 biến, hình như đây là Toán cao cấp A1………………………..
Vâng, chuẩn đấy ạ.
Câu 1: f(x, y) liên tục tại (0;0) nếu lim f(x, y) khi (x,y) tiến về (0;0) bằng f((0;0))
nghĩa là e tính lim xy/căn (x^2+y^2) (x,y) tiến tới (0;0) ,nếu ra 0 ( =f((0,0) ) thì hàm liên tục tại (0;0)
Câu 2
Tính các đạo hàm riêng theo 2 biến x,y của hàm g(x)=căn(x^2+y^2).sin(…) ra (hàm này luôn có các đạo hàm riêng) , nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại (x0,y0) thì nó khả vi tại (x0,y0)
Vậy Với mọi điểm khác (0,0) thì rõ ràng dễ kiểm tra các “lim của các đạo hàm” liên tục tại điểm đó
Khó chỗ là kiểm tra tại điểm (0,0) thì các đạo hàm có liên tục tại đó ko ??? lim (đạo hàm theo biến x) khi (x,y) tiến về (0,0) =”đạo hàm theo biến x” khi thế (0,0) vào ??? lim (đạo hàm theo biến y) khi (x,y) tiến về (0,0) =”đạo hàm theo biến y” khi thế (0,0) vào ???
(Phải tính 2 cái lim rồi so sánh)
Câu 3 bài này ko hiểu đề ,vì cực trị ko có ảnh hưởng bởi cái “x+y=1” hay ko ,chỉ có giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số mới bị ảnh hưởng thôi mà
nếu đề kêu tìm GTLN,NN thì bài toán quy hoạch lồi .còn pp bất đẳng thức hay pp dùng toán A1 giải thì ko biết
Câu 1: f(x, y) liên tục tại (0;0) nếu lim f(x, y) khi (x,y) tiến về (0;0) bằng f((0;0))
nghĩa là e tính lim xy/căn (x^2+y^2) (x,y) tiến tới (0;0) ,nếu ra 0 ( =f((0,0) ) thì hàm liên tục tại (0;0)
Pó tay chú!
Anh không giải bài này vì không biết làm cách nào để chứng minh cái lim nó = 0
.
Giờ chú nói vậy, anh nghĩ thằng bé cũng biết đến đó, chẳng qua ku cậu ko biết làm thế nào để tính cái lim đó mà thôi
, vậy mà đưa lên đây, người hướng dẫn nói lại đúng y cái mình nghĩ
, ta có f(0, 0)=0 + Với
Vậy hàm số đã cho ko khả vi.
Xét tại điểm
, Rõ ràng
do đó M là điểm cực đại.
, ta có f(0, 0)=0 + Với
Xét tại điểm
, Rõ ràng
Cái lim tính kiểu gì kì cục vậy ta?
Vs lại đề yêu cầu chứng minh nó khả vi tại (0,0), mà giờ bảo nó đếck khả vi thì
?
.
Hàm Trơn Không Giải Tích
Xét hàm Hàm được gọi là trơn, còn gọi khả vi vô hạn, nếu nó có đạo hàm mọi cấp trên Hàm được gọi là hàm giải tích nếu nó trơn và chuỗi Taylor tại mọi điểm trên của nó đều hội tụ đến nó trong một lân cận của điểm đang xét.
Như ta đã biết hàm
là hàm trơn và không giải tích tại
Từ đây, không khó khăn lắm, ta có thể xây dựng được hàm trơn và không giải tích tại tối đa đếm được điểm. Liệu có hàm trơn nào mà nó không giải tích tại mọi nơi không?
Trước hết ta đến với điều kiện cần và đủ để một hàm trơn là hàm giải tích:
Cho trước hàm trơn . Khi đó điều kiện cần và đủ để giải tích là:
với bất kỳ điểm đều có các số dương (phụ thuộc ) sao cho
và
Việc kiểm tra hàm ở trên không thỏa mãn điều kiện này nói chung không đơn giản. Các bạn thử kiểm tra xem sao?
Ta sẽ dùng điều kiện trên để chỉ ra rằng tập các hàm giải tích là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật trong không gian các hàm trơn với khoảng cách được định nghĩa bởi
với giảm về , còn tăng đến
Với khoảng cách này không gian các hàm trơn là không gian Khi đó nó là không gian metric đầy đủ.
Từ điều kiện trên ta có:
– nếu giải tích tại thì có để ,
– nếu giải tích tại thì nó giải tích quanh một lân cận của điểm .
Khi đó tập các hàm giải tích thuộc vào hợp đếm được
Có thể thấy rằng:
– tập là đóng trong ,
.
Như vậy là tập không đâu trù mật. Mà là không gian metric đầy đủ nên
.
Như vậy có hàm trơn mà không giải tích tại mọi điểm.
Cách chứng minh trên, theo James Dugundji là của H. Salzmann và K. Zeller.
Cách tiếp cận khác chỉ ra cụ thể các hàm trơn và không giải tích tại mọi điểm. Để tiếp tục, tôi đưa ra cách của Sung S. Kim and Kil H. Kwon. Cách này có sử dụng hàm như trên. Cụ thể xét hàm
Kim và Kwon chứng minh được hàm
là hàm trơn và không đâu giải tích.
Có thể thấy hàm :
– là hàm không âm, tuần hoàn chu kỳ 1,
– trơn và có đạo hàm mọi cấp tại các điểm nguyên đều bằng 0.
Để chứng minh tính không đâu giải tích ta chỉ cần chứng minh không giải tích tại các điểm dạng:
với lẻ.
Các bạn thử giải thích tại sao?
Với , có
nên là các hàm giải tích tại
Còn với có
Ngoài ra
.
Do đó
không giải tích tại .
Nói cách khác không giải tích tại
Vài nhận xét về ví dụ cụ thể trên:
– Hàm là hàm không âm nên nếu lấy nguyên hàm của nó ta được hàm trơn, đơn điệu tăng và không đâu giải tích.
– Chuỗi Taylor của hàm tại các điểm hội tụ tại mọi điểm trên đường thẳng thực, nói cách khác nó có bán kính hội tụ .
Về nhận xét thứ hai, có hai câu hỏi:
– Tại những điểm khác , chuỗi Taylor của không hội tụ đến hàm trong lân cận của nó. Nó có hội tụ không? Bán kính hội tụ của nó liệu có bằng vô cùng?
– Có ví dụ nào khác về hàm trơn không đâu giải tích mà chuỗi Taylor tại bất kỳ điểm nào cũng có bán kính ?
Ta trả lời câu hỏi thứ hai bằng ví dụ
.
Giống ví dụ trước ta chỉ xét tại các điểm
với lẻ.
Từ đây dùng công thức Hadamard-Cauchy ta có
Như vậy bán kính hội tụ của chuỗi Taylor tại mỗi điểm bằng
Ta cũng gặp câu hỏi tương tự câu hỏi đầu cho hàm ở trên. Các bạn thử chứng minh tại những điểm còn lại chuỗi Taylor của hàm cũng có bán kính hội tụ ?
Với hàm , tại những điểm còn lại có những điểm giống như trường hợp hàm . Điều này được dẫn từ kết quả:
– (R. Boas) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn không đâu giải tích có bán kính hội tụ là tập trù mật trong .
– (Z. Zahorski) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn hội tụ trong một lân cận của điểm đang xét và không hội tụ đến hàm trơn trong lân cận bất kỳ của điểm đang xét là tập thuộc phạm trù thứ nhất dạng nghĩa là hợp đếm được các tập đóng không đâu trù mật.
Share this:
Số lượt thích
Đang tải…
Giải Tích Hàm Là Gì ?
(Trích từ trang http://vi.wikipedia.org/wiki/Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_h%C3%A0m)
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian vector được trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng.
Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử đã dẫn đến việc nghiên cứu các đại số topo, một đối tượng khác của giải tích hàm. Các kết quả và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn, …
Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm, …, đến nay giải tích hàm tích lũy được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học.
Các khái niệm cơ bảnCác toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian (còn gọi là đồng cấu). 2 trường hợp đặc biệt quan trọng là các phiếm hàm tuyến tính liên tục (dạng tuyến tính liên tục) và các tự đồng cấu.
Giống như với các không gian, ta có các đại số tương ứng. Các đại số này dựa trên mô hình của đại số các tự đồng cấu, vì thế nên lý thuyết tổng quát về các đại số còn được gọi là lý thuyết đại số toán tử. Chú ý là khác với các không gian, các đại số thường chỉ xét trên trường số phức. Điều này là tự nhiên vì các tự đồng cấu chỉ có thể nghiên cứu “tốt” khi trường cơ sở là đóng đại số. Ngoài ra, dựa trên các tự đồng cấu tự liên hợp, người ta định nghĩa một lớp đại số định chuẩn rất quan trọng là các C*-đại số, không có sự tương ứng với các không gian!
Vào năm 1932, Banach xuất bản cuốn sách “Lý thuyết toán tử”, nội dung bao gồm những kết quả được biết vào thời đó về lý thuyết các không gian định chuẩn, đặc biệt là các định lý của Banach đã công bố trong các bài báo từ năm 1922-1929… Cuốn sách này làm cho Giải tích hàm có một tác động như cuốn sách của Van der Waerden về đại số, được xuất bản hai năm trước đó. Các nhà giải tích trên thế giới bắt đầu nhận thức được sức mạnh của phương pháp mới và áp dụng chúng vào các lĩnh vực khác nhau; các ký hiệu và thuật ngữ của Banach được chấp nhận rộng rãi, không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach rồi chẳng bao lâu, lý thuyết này trở thành một phần bắt buộc trong chương trình đại học… (Theo J. Dieudonné (1981))
Đạo Hàm Với Vec
begin{aligned} frac{partial{y_3}}{partial{x_7}} &= frac{partial}{partial{x_7}}Big(W_{3,1}x_1+W_{3,2}x_2+ldots+W_{3,7}x_7+ldots+W_{3,m}x_mBig) cr &= 0 + 0 + ldots + W_{3,7} + ldots + 0 cr &= W_{3,7} end{aligned} $$
Tương tự với các thành phần khác của $y$ và $x$ ta sẽ có:
$$dfrac{partial{y_i}}{partial{x_j}}=W_{i,j}$$
1.3. Gộp kết quả lạiNhóm kết quả lại ta sẽ thu được ma trận Jacobi $mathbf{J}inmathbb{R}^{nm}$:
$$ begin{bmatrix} dfrac{partial{y_1}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_1}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_1}}{partial{x_m}} crcr dfrac{partial{y_2}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_2}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_2}}{partial{x_m}} crcr vdots & vdots & ddots & vdots crcr dfrac{partial{y_n}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_n}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_n}}{partial{x_m}} end{bmatrix} =begin{bmatrix} W_{1,1} & W_{1,2} & dots & W_{1,m} crcr W_{2,1} & W_{1,2} & dots & W_{2,m} crcr vdots & vdots & ddots & vdots crcr W_{n,1} & W_{n,2} & dots & W_{n,m} end{bmatrix} $$
Điều này tương đương với chuyện đạo hàm của $mathbf{y}=mathbf{W}mathbf{x}$ theo $mathbf{x}$ chính là ma trận $mathbf{W}$: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{W}$$
Bằng phép phân tích như trên, ta có thể thấy việc tính đạo hàm không hề khó khăn nếu ta cứ bóc tách nhỏ tầng thành phần ra để tính riêng biệt rồi gộp kết quả lại.
1.4. Hoán đổi vec-tơ cột với hàngTương tự nếu, $mathbf{y}inmathbb{R}^{1n}$ là véc-tơ hàng được tạo bởi tích của vec-tơ hàng $mathbf{x}inmathbb{R}^{1m}$ ma trận $mathbf{W}inmathbb{R}^{mn}$:
$$mathbf{y}=mathbf{x}mathbf{W}$$
Thì đạo hàm riêng:
$$dfrac{partial{y_i}}{partial{x_j}}=W_{j,i}$$
Như vậy, đạo hàm của véc-tơ $mathbf{y}$ theo véc-tơ $mathbf{x}$ là: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{W}$$
2. Trên 2 chiều thì làm thế nào? 2.1. Ví dụ 1Giờ ta thử tính đạo hàm của véc-tơ $mathbf{y}$ theo ma trận $mathbf{W}$ xem sao: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{W}}$$
Lúc này, $mathbf{y}$ là dữ liệu 1 chiều còn $mathbf{W}$ là dữ liệu 2 chiều, nên đạo hàm sẽ ở dạng dữ liệu mảng 3 chiều (ten-xơ 3 chiều).
Tương tự như phép phân tích ở trên, ta thí dụ tính đạo hàm riêng của $y_3$ là phần tử thứ 3 của véc-tơ $mathbf{y}$ theo $W_{7,8}$ là phần tử ở hàng 7, cột 8 của ma trận $mathbf{W}$:
$$y_3=x_1W_{1,3}+x_2W_{2,3}+dots+x_mW_{m,3}$$
Ở đây, rõ ràng là $y_3$ khônng hề phụ thuộc vào $W_{7,8}$ nên đạo hàm riêng tương ứng là $0$:
$$frac{partial{y_3}}{partial{W_{7,8}}}=0$$
Tuy vậy, $y_3$ lại phụ thuộc vào cột thứ 3 của ma trận $mathbf{W}$ nên đạo hàm riêng của nó theo các phần tử cột này là khác không, ví dụ đạo hàm riêng của $y_3$ theo $W_{2,3}$ là:
$$frac{partial{y_3}}{partial{W_{2,3}}}=x_2$$
Một cách tổng quát, ta có: $$ frac{partial{y_i}}{partial{W_{j,k}}} = begin{cases} x_j ~~~ text{if } i=k cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu ta gọi $mathsf{F}inmathbb{R}^{mnn}$ là ten-xơ 3 chiều biểu diễn cho đạo hàm của vec-tơ $mathbf{y}inmathbb{R}^{1n}$ theo ma trận $mathbf{W}inmathbb{R}^{mn}$: $$F_{i,j,k}=frac{partial{y_i}}{partial{W_{j,k}}}$$
Khi đó, ta có: $$ F_{i,j,k} = begin{cases} x_j ~~~ text{if } i=k cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu sử dụng ma trận $mathbf{G}inmathbb{R}^{mn}$, sao cho: $$G_{i,j}=F_{i,j,i}$$
thì ta có thể thấy rằng $mathbf{G}$ có thể lưu trữ đầy đủ thông tin đạo hàm riêng, hay nói cách khác ta có thể sử dụng dữ liệu 2 chiều để biểu diễn đạo hàm của thay vì dữ liệu 3 chiều như ten-xơ $mathsf{F}$ ở trên.
Lưu ý tới điểm này bởi nó rất hay được sử dụng khi tính đạo hàm trong mạng NN để tận dụng khả năng tính toán của các thư viện.
2.2. Ví dụ 2Ở ví dụ này, thay vì véc-tơ $mathbf{x}inmathbb{R}^{1,m}$ ta tổng quát hoá thành ma trận $mathbf{X}inmathbb{R}^{nm}$, ta có:
$$mathbf{Y}=mathbf{X}mathbf{W}$$
Lúc đó, mỗi thành phần của $mathbf{Y}$ sẽ được biểu diễn như sau: $$Y_{i,j}=sum_{k=1}^mX_{i,k}W_{k,j}$$
Dễ dàng có thể thấy đạo hàm riêng của $Y_{a,b}$ theo $X_{c,d}$ là: $$ frac{partial{Y_{a,b}}}{partial{X_{c,d}}} = begin{cases} W_{d,b} ~~~ text{if } a=c cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu lấy $mathbf{Y}_{i,:}$ là hàng thứ $i$ của $mathbf{Y}$ và $mathbf{X}_{i,:}$ là hàng thứ $i$ của $mathbf{X}$ thì rõ ràng: $$frac{partial{mathbf{Y}_{i,:}}}{partial{mathbf{X}_{i,:}}}=W$$
Đây cũng chính là trường hợp tổng quát của công thức tính đạo hàm ở phần 1.
3. Quy tắc chuỗiQuy tắc chuỗi dùng để tính đạo hàm của hàm hợp sẽ được áp dụng thế nào cho các phép kết hợp của véc-tơ, ma trận?
Giả sử, ta có các véc-tơ cột $mathbf{y}$ và $mathbf{x}$: $$mathbf{y} = mathbf{V}mathbf{W}mathbf{x}$$
Thử tính đạo hàm của $mathbf{y}$ theo $mathbf{x}$ xem sao. Đầu tiên ta nhận xét rằng, tích của 2 ma trận $mathbf{V}$ và $mathbf{W}$ chỉ đơn giản là một ma trận khác $mathbf{U}$, vì thế ta có: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{V}mathbf{W}=mathbf{U}$$
Tuy nhiên, để hiểu được quy tắc chuỗi áp dụng ra sao thì ta sẽ đưa vào các kết quả trung gian để sử dụng được quy tắc chuỗi trong trường hợp này. Giả sử véc-tơ $mathbf{z}$ được định nghĩa như sau: $$mathbf{z}=mathbf{W}mathbf{x}$$
Thì: $$mathbf{y}=mathbf{V}mathbf{z}$$
Từ đây, ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi như sau: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=frac{dmathbf{y}}{dmathbf{z}}frac{dmathbf{z}}{dmathbf{x}}$$
Để chắc chắn rằng ta thực sự hiểu ý nghĩa của nó là gì, ta lại vận dụng chiến lược phân tách ở trên để phân tích các thành phần ra, bắt đầu với mỗi thành phần của véc-tơ $mathbf{y}$ với mỗi thành phần của véc-tơ $mathbf{x}$:
$$frac{dy_i}{dx_j}=frac{dy_i}{dmathbf{z}}frac{dmathbf{z}}{dx_j}$$
Áp dụng tiếp quy tắc chuỗi của hàm nhiều biến, giả sử rằng $mathbf{z}$ có $K$ thành phần thì ta có: $$frac{dy_i}{dx_j}=sum_{k=1}^Kfrac{dy_i}{dz_k}frac{dz_k}{dx_j}$$
Như đã chứng minh ở trên (đạo hàm của véc-tơ theo véc-tơ) thì ta có: $$ begin{aligned} frac{dy_i}{dz_k} &= V_{i,k} cr frac{dz_k}{dx_j} &= W_{k,j} end{aligned} $$
Nên ta có:
$$frac{dy_i}{dx_j}=sum_{k=1}^KV_{i,k}W_{k,j}=mathbf{V}_{i,:}mathbf{W}_{:,j}$$
Tới đây, ta được điều phải chứng minh.
Như vậy, ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi trong nhóm của các véc-tơ và ma trận bằng cách:
Bóc tách các kết quả và biến trung gian để biểu diễn
Biểu diễn quy tắc chuỗi cho từng thành phân riêng của đạo hàm đích
Lấy tổng lại các kết quả trung gian với quy tắc chuỗi.
Giải Tích Hàm Là Gì (Tiếng Pháp) ?
Analyse fonctionnelle (mathématiques)
Giải tích hàm
L’analyse (Giải tích) fonctionnelle (hàm) est (là) la (các, sự, những, của, việc) branche (là một nhánh) des (của) mathématiques (của toán học) et (và) plus (hơn, thêm, nhiều) particulièrement (đặc biệt là) de (của, các, trong, về) l’analyse (Giải tích) qui (mà, trong đó) étudie (nghiên cứu) les (các, những) espaces (không gian) de (của) fonctions (các hàm) .
Giải tích hàm là một nhánh của Toán học, đặc biệt trong Giải tích nghiên cứu những không gian của các hàm
Elle (Nó) prend (có) ses (của mình) racines (nguồn gốc) historiques (lịch sử) dans (trong, ở, tại, vào, năm) l’étude (nghiên cứu) des (của, các, trong, về) transformations (những biến đổi) telles (như, chẳng hạn, ví dụ, như vậy) que (mà, đó, rằng, là, có) la (các, sự, những, của, việc) transformation de (của, các, trong, về) Fourier et (và, và các) dans (trong, ở, tại, vào, năm) l’étude des équations différentielles ou (hoặc) intégro-différentielles.
Nó có nguồn gốc lịch sử của mình trong việc nghiên cứu biến đổi như biến đổi Fourier và các nghiên cứu về phương trình vi phân hoặc vi – tích phân
Le terme fonctionnelle trouve son (của nó) origine dans le cadre du calcul des variations, pour désigner des fonctions dont les arguments sont (là những) des (các) fonctions.
Thuật ngữ hàm có nguồn gốc trong các tính toán của các biến, để biểu thị các hàm mà đối số là những hàm.
Son emploi (Dùng, sử dụng) a (có, đã có) été généralisé (khái quát, tổng quát) à (với, các, bằng) de (của, các, trong, về) nouveaux (mới) domaines (những miền) par (qua, bởi, bằng, của) le (các, sự, những, của, việc) mathématicien et (và) physicien italien Vito Volterra. Le (Các, sự, những, của, việc) mathématicien (nhà toán học) polonais (Ba Lan) Stefan Banach est (là, đang có, được) souvent (thường được, thường là, thường được) considéré (xem xét, coi, được coi là) comme (như, chẳng hạn như, như là) le (các, sự, những, của, việc) fondateur (người sáng lập, nhà sáng lập) de (của, các, trong, về) l’analyse fonctionnelle moderne.
Việc sử dụng thuật ngữ đã được tổng quát đến các miền mới bởi các nhà toán học và nhà vật lý người Ý Vito Volterra. Nhà toán học Ba Lan Stefan Banach thường được coi là người sáng lập của giải tích hàm hiện đại.
Les (Các) espaces (lĩnh vực) de (của) l’analyse fonctionnelle (giải tích hàm)Các lĩnh vực của Giải tích hàm
Les (Các, sự, những, của, việc) espaces de (của, các, trong, về) base (cơ sở, căn cứ) de l’analyse fonctionnelle sont (đầy đủ, là, được, đang những, là những) les (các, sự, những, của, việc) espaces vectoriels normés complets (đầy đủ) sur (về, khoảng, về việc, về các) le (các, sự, những, của, việc) corps des (của, các, trong, về) nombres (số, con số, số lượng, số điện thoại) réels (số thực) ou (hoặc) des nombres complexes (số phức). De (Của, các, trong về) tels (như vậy, chẳng hạn, ví dụ) espaces sont (là, được, đang những, là những) appelés (được gọi là) les (các, sự, những, của, việc) espaces de (của, các, trong, về) Banach.
Các không gian dựa trên giải tích hàm đầy đủ không gian vectơ định chuẩn trong miền số thực hoặc số phức. Không gian như vậy được gọi là không gian Banach.
Les (Các, sự, những, của, việc) espaces de (của, các, trong, về) Hilbert, constituent (là, được) un (một) cas (trường hợp) particulier important, où (đâu, nơi, mà) la (các, sự, những, của, việc) norme est (là) issue (sau) d’un produit scalaire. Ces (Những, các, đây là) derniers (cuối cùng) jouent (đóng vai trò) par (qua, bởi, bằng của) exemple (ví dụ, như) un (một) rôle (vai trò) important dans la formulation mathématique de la mécanique quantique. L’analyse fonctionnelle peut aussi être effectuée dans un cadre plus général, celui des espaces vectoriels topologiques, tels que les espaces de Fréchet.
Không gian Hilbert là một trường hợp đặc biệt quan trọng, trong đó tiêu chuẩn là kết quả của một sản phẩm vô hướng. Họ chơi như một vai trò quan trọng trong việc xây dựng toán học của cơ học lượng tử. Giải tích hàm cũng có thể được thực hiện trong một bối cảnh tổng quát hơn, đó là không gian vectơ tôpô, chẳng hạn như không gian Fréchet.
Des objets d’étude importants en analyse fonctionnelle sont les opérateurs linéaires continus définis sur les espaces de Banach et de Hilbert. Ceux-ci mènent naturellement à la définition des C*-algèbres.
Đối tượng nghiên cứu quan trọng trong giải tích hàm là các toán tử tuyến tính liên tục được xác định trên không gian Banach và Hilbert. Những cách tự nhiên dẫn đến định nghĩa của C *-đại số.
Les espaces de Hilbert peuvent être complètement classifiés : il existe un espace de Hilbert unique à un isomorphisme près pour chaque cardinal de la base hilbertienne. Les espaces de Hilbert de dimension finie sont entièrement connus en algèbre linéaire, et les espaces de Hilbert séparables sont isomorphes à l’espace de suites ℓ2.
Không gian Hilbert có thể hoàn toàn phân loại: có một không gian đẳng cấu Hilbert duy nhất cho mỗi hồng y của cơ sở Hilbert. Không gian Hilbert của kích thước hữu hạn được biết đầy đủ trong đại số tuyến tính, và không gian Hilbert tách là đẳng cấu với không gian ℓ 2 dãy phòng.
La séparabilité étant importante pour les applications, l’analyse fonctionnelle des espaces de Hilbert traite surtout de cet espace et de ses morphismes. Un des problèmes ouverts en analyse fonctionnelle est de prouver que tout opérateur borné sur un espace de Hilbert séparable possède un sous-espace stable fermé non trivial. Ce problème du sous-espace invariant (en) a déjà été résolu dans beaucoup de cas particuliers.
Sự phân chia là quan trọng cho các ứng dụng, giải tích hàm của không gian Hilbert chủ yếu giao dịch với khu vực này và morphisms của mình. Một trong những vấn đề mở giải tích hàm là để chứng minh rằng bất kỳ toán tử giới hạn trên một không gian Hilbert tách có một không gian con đóng ổn định không tầm thường. Vấn đề này của không gian con bất biến (trong) đã được giải quyết trong nhiều trường hợp đặc biệt.
Les espaces de Banach sont beaucoup plus compliqués à étudier que les espaces de Hilbert. Il n’y a pas de définition unique de ce qui pourrait constituer une base, par exemple.
Không gian Banach là phức tạp hơn nhiều nghiên cứu hơn không gian Hilbert. Không có định nghĩa duy nhất của những gì có thể tạo thành một cơ sở, ví dụ.
Pour tout nombre réel p ≥ 1, un exemple d’espace de Banach est donné par l’ensemble de toutes les fonctions mesurables au sens de Lebesgue dont la puissance p-ième de la valeur absolue a une intégrale finie (voir les espaces Lp).
Đối với bất kỳ số thực p ≥ 1, một ví dụ về không gian Banach được đưa ra bởi các thiết lập của tất cả các hàm đo Lebesgue có sức mạnh của các giá trị tuyệt đối p-thứ có thể tách rời hữu hạn (xem không gian Lp) .
Dans les espaces de Banach, une grande partie de l’étude implique le dual topologique : l’espace de toutes les formes linéaires continues. Comme en algèbre linéaire, le bidual (le dual du dual) n’est pas toujours isomorphe à l’espace original, mais il y a toujours un morphisme injectif naturel d’un espace dans son bidual.
La notion de dérivée est étendue aux fonctions arbitraires entre espaces de Banach via le concept de différentielle ; la différentielle de Fréchet d’une fonction en un certain point est, lorsqu’elle existe, une certaine application linéaire continue.
Khái niệm phái sinh được mở rộng để không gian Banach tùy ý giữa việc sử dụng các khái niệm về hàm khác biệt, sự khác biệt Fréchet của một hàm tại một điểm nhất định là, khi có một số liên tục tuyến tính.
Ici nous énumérons quelques résultats importants d’analyse fonctionnelle :
Ở đây chúng tôi liệt kê một số kết quả quan trọng của phân tích chức năng:
Le principe de la borne uniforme est un résultat sur des ensembles d’opérateurs bornés.
Nguyên tắc thống nhất ràng buộc là một kết quả trên bộ của các toán tử bị chặn.
Le théorème spectral donne une formule intégrale pour les opérateurs normaux sur un espace de Hilbert. Il est d’une importance centrale dans la formulation mathématique de la mécanique quantique.
Định lý phổ cho một công thức tích hợp cho toán tử bình thường trên một không gian Hilbert. Nó có tầm quan trọng trong việc xây dựng toán học của cơ học lượng tử.
Le théorème de Hahn-Banach permet de prolonger des formes linéaires définies sur un sous-espace à l’espace tout entier, tout en conservant la norme.
Định lý Hahn-Banach cho phép mở rộng các hình thức tuyến tính được định nghĩa trên một không gian con cho toàn bộ không gian, trong khi duy trì các tiêu chuẩn.
L’un des triomphes de l’analyse fonctionnelle fut de montrer que l’atome d’hydrogène était stable.
Một trong những thành tựu của giải tích hàm là để cho thấy rằng các nguyên tử hydro đã được ổn định.
Giải Tích Hàm – Bách Khoa Toàn Thư Việt Nam
Giải tích hàm là một nhánh của giải tích toán học hiện đại nghiên cứu hàm số
y = f ( x )
{displaystyle y=f(x)}
mà ít nhất một trong các biến số
x
{displaystyle x}
hoặc
y
{displaystyle y}
biến thiên trong một không gian vô hạn chiều. Nhìn chung, các nghiên cứu trong giải tích hàm có thể chia thành ba phần: 1) Giới thiệu và nghiên cứu các không gian vô hạn chiều; 2) Nghiên cứu về các hàm số đơn giản nhất, tức là, khi
x
{displaystyle x}
nhận giá trị trong không gian vô hạn chiều và
y
{displaystyle y}
Khái niệm về không gian
[
sửa
]
Không gian vector tô pô ( xem Không gian vector tô pô) là không gian tổng quát nhất trong giải tích hàm. Đây là các không gian vector (tuyến tính)
X
{displaystyle X}
trên trường các số phức
C
{displaystyle mathbb {C} }
(hoặc bất kỳ trường nào khác, ví dụ số thực
R
{displaystyle mathbb {R} }
) đồng thời là không gian tô pô có cấu trúc tuyến tính và cấu trúc tô pô tương thích với nhau theo nghĩa các phép tính tuyến tính liên tục trong tô pô của không gian này. Nếu
X
{displaystyle X}
là một không gian số metric, thì khi đó chúng ta một không gian vector metric.
Một trường hợp đặc biệt của không gian vector tô pô nhưng rất quan trọng khi khái niệm về chuẩn
‖ x ‖
{displaystyle lVert xrVert }
(chiều dài) của một vector được định nghĩa bằng tiên đề. Một không gian vector với một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn (xem Không gian định chuẩn). Nó có thể được metric hoá băng cách xác định metric dựa trên chuẩn:
ρ ( x , y ) := ‖ x − y ‖
{displaystyle rho (x,y):=lVert x-yrVert }
. Một không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach (xem Không gian Banach) nếu nó đầy đối với metric được sinh ra bởi chuẩn.
Trong rất nhiều không gian vector chúng ta có thể định nghĩa tích vô hướng (xem Tich vô hướng)
( x , y )
{displaystyle (x,y)}
đối với hai vector bất kỳ
x
{displaystyle x}
và
y
{displaystyle y}
. Tích vô hướng này là tổng quát hóa của tích vô hướng thông thường trong không gian Euclid ba chiều. Một không gian vector với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Đây là một trường hợp đặc biệt của không gian chuẩn với chuẩn được định nghĩa là
‖ x ‖ :=
( x , x )
{displaystyle lVert xrVert :={sqrt {(x,x)}}}
. Nếu không gian này đầy, thì nó được gọi là không gian Hilbert (xem Không gian Hilbert).
Các không gian vô hạn chiều được nghiên cứu trong giải tích hàm, tức là các không gian trong đó có một tập hợp vô hạn các vector tuyến tính độc lập.
Trên quan điểm hình học, không gian định chuẩn đơn giản nhất là không gian Hilbert
H
{displaystyle H}
, có các thuộc tính hầu hết giống với không gian hữu hạn chiều, vì trong không gian Hilbert chúng ta có thể đưa ra một khái niệm tương tự như góc giữa hai vector qua tích vô hướng. Đặc biệt, hai vector
x
{displaystyle x}
và
y
{displaystyle y}
được cho là trực giao:
x ⊥ y
{displaystyle xbot y}
, nếu
( x , y ) = 0
{displaystyle (x,y)=0}
. Chúng ta có khẳng định sau: Cho
G
{displaystyle G}
là một không gian con của
H
{displaystyle H}
, khi hình chiếu
x
G
{displaystyle x_{G}}
của một vector bất kỳ
x
{displaystyle x}
lên
G
{displaystyle G}
là một vector sao cho
x −
x
G
{displaystyle x-x_{G}}
trực giao với mọi vector trong
G
{displaystyle G}
. Do tính chất hình học này, một số lượng lớn các cấu trúc hình học có trong không gian hữu hạn chiều có thể được chuyển cho không gian Hilbert là một đối tương nghiên cứu mang đặc tính giải tích.
Các vấn đề về cấu trúc hình học trở nên phức tạp hơn khi chúng ta đi từ không gian Hilbert đến không gian Banach, và các không gian vector tô pô, vì phép chiếu trực giao không có nghĩa trong các không gian này. Ví dụ, trong không gian
φ
p
(
N
, 1 ≤ p ≤ ∞ )
{displaystyle varphi _{p}(mathbb {N} ,1leq pleq infty )}
, các vectơ
e
n
:= ( 0 , . . . , 0 , 1 , 0 , . . . )
{displaystyle e_{n}:=(0,…,0,1,0,…)}
tạo thành một cơ sở theo nghĩa mỗi vector
x ∈
φ
p
(
N
)
{displaystyle xin varphi _{p}(mathbb {N} )}
có thể biểu diễn “theo toạ độ”:
x =
∑
n = 1
∞
x
n
e
n
{displaystyle x=sum _{n=1}^{infty }x_{n}e_{n}}
Việc xây dựng cơ sở cho không gian
C [ a , b ]
{displaystyle C[a,b]}
Các không gian hàm cụ thể mà chúng ta biết đén đã được nghiên cứu chi tiết, vì tính chất của các không gian này thường xác định đặc tính của lời giải cho một vấn đề bằng các phương pháp giải tích hàm. Các định lý nhúng đối với các không gian Sobolev (xem Không gian Sobolev), và các tổng quát hóa khác nhau của chúng, có thể là một ví dụ.
Tổng trực giao
H =
⨁
n = 1
∞
H
n
{displaystyle H=bigoplus _{n=1}^{infty }H_{n}}
H
n
{displaystyle H_{n}}
Thương của một không gian: Cho
( x , y )
{displaystyle (x,y)}
X
{displaystyle X}
( x , x ) = 0
{displaystyle (x,x)=0}
x ≠ 0
{displaystyle xneq 0}
H
{displaystyle H}
X
{displaystyle X}
x
{displaystyle x}
( x , x ) = 0
{displaystyle (x,x)=0}
0 ∈ H
{displaystyle 0in H}
Tích tensor
H =
⨁
n = 1
∞
H
n
{displaystyle H=bigoplus _{n=1}^{infty }H_{n}}
H
n
{displaystyle H_{n}}
Phiếm hàm
[
sửa
]
Cho
X
{displaystyle X}
là một không gian Banach và
X
∗
{displaystyle X^{*}}
là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
X
{displaystyle X}
. Khi đó
X
∗
{displaystyle X^{*}}
là không gian vector đối với các phép tính cộng và nhan với một số thông thường. Tập hợp
X
∗
{displaystyle X^{*}}
sẽ trở thành một không gian Banach nếu ta đưa ra định nghĩa chuẩn như sau
‖
x
∗
‖ :=
sup
x ∈ X , ‖ x ‖ ≤ 1
‖ ⟨
x
∗
, x ⟩ ‖
{displaystyle lVert x^{*}rVert :=sup _{xin X,lVert xrVert leq 1}lVert langle x^{*},xrangle rVert }
ở đây
⟨
x
∗
, x ⟩
{displaystyle langle x^{*},xrangle }
là giá trị của phiếm hàm
x
∗
{displaystyle x^{*}}
tại
x
{displaystyle x}
. Không gian
X
∗
{displaystyle X^{*}}
được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của
X
{displaystyle X}
(xem Không gian liên hợp).
Nếu X là hữu hạn chiều, thì mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng
⟨
x
∗
, x ⟩ =
∑
n = 1
d
x
n
∗
x
n
{displaystyle langle x^{*},xrangle =sum _{n=1}^{d}x_{n}^{*}x_{n}}
với
d
{displaystyle d}
là số chiều của
X
{displaystyle X}
,
x
n
{displaystyle x_{n}}
là toạ độ của
x
{displaystyle x}
và
x
n
∗
{displaystyle x_{n}^{*}}
là các số được xác đinh bởi phiếm hàm
X
∗
{displaystyle X^{*}}
. Công thức này còn đúng trong không gian Hilbert
H
{displaystyle H}
: Theo định lý Riesz, đối với mọi phiến hàm tuyến tính liên tục
x
∗
∈
X
∗
{displaystyle x^{*}in X^{*}}
, tồn tại một phần tử
a ∈ X
{displaystyle ain X}
, sao cho
⟨
x
∗
, x ⟩ = ( a , x )
{displaystyle langle x^{*},xrangle =(a,x)}
Công thức này cho thấy không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó.
Đối với không gian Banach, tình hình trở nên phức tạp hơn: Có thể xây dựng
X
∗ ∗
:= (
X
∗
)
∗
,
X
∗ ∗ ∗
:= ( (
X
∗
)
∗
)
∗
, . . .
{displaystyle X^{**}:=(X^{*})^{*},X^{***}:=((X^{*})^{*})^{*},…}
nhưng những không gian này có thể rất khác biệt. Mặt khác, luôn tồn tại một phép nhúng chính tắc từ
X
{displaystyle X}
vào
X
∗ ∗
{displaystyle X^{**}}
đặt tướng ứng phần tử
x
∗ ∗
∈
X
∗ ∗
{displaystyle x^{**}in X^{**}}
x∗∗ ∈ X∗∗ với mọi phần tử
x ∈ X
{displaystyle xin X}
theo công thức
⟨
x
∗ ∗
,
x
∗
⟩ = ⟨
x
∗
, x ⟩
{displaystyle langle x^{**},x^{*}rangle =langle x^{*},xrangle }
. Các không gian
X
{displaystyle X}
có
X
∗ ∗
= X
{displaystyle X^{**}=X}
được gọi là không gian phản xạ. Nói chung, trong trường hợp không gian Banach, ngay cả sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến tính không tầm thường (nghĩa là, không đồng nhất bằng 0) cũng không phải là một vấn đề đơn giản. Vấn đề này dễ dàng được giải quyết một cách khẳng định nhờ có định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach).
Đối với một số không gian cụ thể, không gian liên hợp có thể được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, đối với phần lớn các không gian Banach, và đặc biệt là đối với không gian véc tơ tôpô, các phiếm hàm là các phần tử kiểu mới không thể biểu diễn đơn giản bằng ngôn ngữ của giải tích cổ điển. Các phần tử của không gian liên hợp còn được gọi là hàm suy rộng (xem Hàm suy rộng).
Toán tử
[
sửa
]
Một trong những đối tượng chính của các nghiên cứu trong giải tích hàm là toán tử
A
{displaystyle A}
từ không gian vector tô pô
X
{displaystyle X}
vào không gian vector tô pô
Y
{displaystyle Y}
(phần lớn,
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
là định chuẩn hay Hilbert), trước tiên là cả các toán tử tuyến tính (xem Toán tử tuyến tính).
Khi
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
có
d
{displaystyle d}
chiều hữu hạn, toán tử tuyến tính
A
{displaystyle A}
có dạng
( A x
)
j
=
∑
n = 1
d
a
j n
x
n
,
{displaystyle (Ax)_{j}=sum _{n=1}^{d}a_{jn}x_{n},}
ở đây
x
1
, . . .
x
d
{displaystyle x_{1},…x_{d}}
là toạ độ của vector
x
{displaystyle x}
đối với một cơ sở nhất định, và
A ( x
)
1
, . . . , ( A x
)
d
{displaystyle A(x)_{1},…,(Ax)_{d}}
là toạ độ của vector
y = A x
{displaystyle y=Ax}
. Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, mỗi toán tử tuyến tính đối với các cơ sở xác định trong
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
, có một ma trận tương ứng
(
a
i j
)
i , j = 1
d
{displaystyle (a_{ij})_{i,j=1}^{d}}
. Việc nghiên cứu những toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều thuộc về đại số tuyến tinh (xem Đại số tuyến tính).
Tình hình trở nên phức tạp hơn khi
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
là không gian vô hạn chiều (thậm chí cả khi là không gian Hilbert). Trước hết, hai lớp toán tử xuất hiện ở đây: các toán tử liên tục hay toán tử bị chặn) và toán tử không liên tục. Các toán tử loại đầu tiên là đơn giản hơn, nhưng loại thứ hai lại hay gặp hơn, ví dụ: các toán tử vi phân là toán tử không liên tục.
Lớp quan trọng (nhất là đối với cơ học lượng tử) của các toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert đã được nghiên cứu hầu như triệt để (xem Toán tử tự liên hợp).
Trong số các lớp đặc biệt của các toán tử trên một không gian Banach, các toán tử liên tục hoàn toàn hoặc toán tử compact (xem Toán tử liên tục hoàn toàn, Toán tử compact) có vai trò quan trọng nhất. Nếu
A
{displaystyle A}
là một toán tử compact, thì phương trình
x − A x = y
{displaystyle x-Ax=y}
(với
y
{displaystyle y}
là một vector cho trước và
x
{displaystyle x}
là vector cần tìm) đã được nghiên cứu kỹ. Các khẳng định tương tự đối với phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều cũng đúng đối với phương trình này (còn được gọi là lý thuyết Fredholm). Đối với toán tử compact
A
{displaystyle A}
, người ta nghiên cứu điều kiện để các vector vector riêng của
A
{displaystyle A}
X
{displaystyle X}
Các kết quả cơ bản
[
sửa
]
Bây giờ chúng ta sẽ điểm qua một số kết quả cơ bản quan trọng nhất của giải tích hàm. Đó là định lý Hahn-Banach, nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, định lý ánh xạ mở Banach-Schauder và đinh lý đồ thị đóng.
Trước tiên là định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach). Định lý HahnBanach là một công cụ trung tâm trong giải tích hàm. Nó cho phép mở rộng các phiếm hàm tuyến tính bị chặn, được xác định trên một không gian con của không gian vector ra toàn bộ không gian, và nó cũng cho thấy rằng có “đủ” phiếm hàm tuyến tính liên tục được xác định trên mỗi không gian định chuẩn để nghiên cứu không gian liên hợp của nó trở nên đáng được quan tâm. Chúng ta có định lý sau đây.
Định lý Hahn-Banach. Nếu
p : X →
R
{displaystyle p:Xto mathbb {R} }
là một hàm dưới tuyến tính xác định trên không gian vector thực
X
{displaystyle X}
, và
φ
{displaystyle varphi }
là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên một không gian con
Y
{displaystyle Y}
của
X
{displaystyle X}
sao cho
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ X ,
{displaystyle varphi (x)leq p(x)forall xin X,}
thì tồn tại một hàm tuyến tính
/
l a m b d a
{displaystyle /lambda}
xác đinh trên toàn bộ không gian
X
{displaystyle X}
sao cho
λ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ Y , λ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ X
{displaystyle lambda (x)=varphi (x)forall xin Y,lambda (x)leq p(x)forall xin X}
.
Nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, hay còn được gọi là Định lý BanachSteinhaus (xem Định lý Banach-Steinhaus). Nguyên lý này khẳng định rằng đối với một họ các toán tử tuyến tính liên tục (và do đó bị chặn) có miền xác định là một không gian Banach, sự bị chặn theo từng điểm tương đương với sự bị chặn đều theo chuẩn. Định lý này được công bố lần đầu tiên vào năm 1927 bởi Stefan Banach và Hugo Steinhaus, nhưng nó cũng đã được Hans Hahn chứng minh một cách độc lập. Cụ thể hơn, chúng ta có định lý sau đây.
Định lý Banach-Steinhaus. Cho
X
{displaystyle X}
là không gian Banach và
Y
{displaystyle Y}
là một không gian véc tơ định chuẩn. Giả sử
F
{displaystyle F}
là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ
X
{displaystyle X}
đến
Y
{displaystyle Y}
. Nếu với mọi
x i n X
{displaystyle x inX}
ta có
sup
T ∈ F
‖ T ( x )
‖
Y
< ∞
{displaystyle {text{sup}}_{Tin F}lVert T(x)rVert _{Y}<infty }
khi đó
sup
T ∈ F
‖ T ( x )
‖
B ( X , Y )
< ∞
{displaystyle {text{sup}}_{Tin F}lVert T(x)rVert _{B(X,Y)}<infty }
Định lý lập ánh xạ mở [sửa] Bài chi tiết: Định lý lập ánh xạ mở. Định lý lập ánh xạ mở, hay còn được gọi là định lý Banach-Schauder (được đặt tên theo Stefan Banach và Juliusz Schauder), là một kết quả cơ bản cho biết nếu một toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach là một phép tính thì đó là một ánh xạ mở. Cụ thể hơn,: [2]
Định lý ánh xạ mở. Nếu
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
là không gian Banach và
A : X → Y
{displaystyle A:Xto Y}
là toán tử tuyến tính liên tục từ
X
{displaystyle X}
lên
Y
{displaystyle Y}
, thì
A
{displaystyle A}
là một ánh xạ mở, tức là, nếu
U
{displaystyle U}
là tập hợp mở trong
X
{displaystyle X}
, thì
A ( U )
{displaystyle A(U)}
là tập hợp mở trong
Y
{displaystyle Y}
.
Định lý đồ thị đóng. Bài chi tiết: Định lý đồ thị đóng Định lý đồ thị khép kín nói lên điều sau: Nếu
X
{displaystyle X}
là không gian tô pô và
Y
{displaystyle Y}
là một không gian compact Hausdorff, thì đồ thị của một ánh xạ tuyến tính
A
{displaystyle A}
từ
X
{displaystyle X}
đến
Y
{displaystyle Y}
đóng khi và chỉ khi
A
{displaystyle A}
là liên tục [3].
Tài liệu tham khảo
[
sửa
]
N. I. [N. I. Akhiezer] Ahiezer, Theory of linear operators in Hilbert space, 1–2 , Pitman, 1984 (Translated from Russian).
S. S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Hafner, 1932.
S. S. Banach, A course of functional analysis, Kiev, 1948 (In Ukrainian).
N. Bourbaki, Elements of mathematics. Topological vector spaces, Springer, 1987 (Translated from French).
J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer, 1985.
N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators, 1–3 , Interscience, 1958–1971.
P. Enflo,¨ A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta. Math. , 130 (1973) pp. 309–317.
A. Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo , 8 (1956) pp. 1–79.
E. Hille and R.S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc., 1957.
L. V. Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, Uspekhi Mat. Nauk , 3 : 6 (1948) pp. 89–185 (In Russian).
L. V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functionalanalysis in normierten Raumen ¨ , Akademie Verlag, 1964 (Translated from Russian).
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis, 1–2 , Graylock, 1957–1961 (Translated from Russian).
J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces , 1–2 , Springer, 1977–1979.
M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, 1–4 , Acad. Press, 1972–1978.
F. Riesz and B. Szokefalvi-Nagy, ¨ Functional analysis, F. Ungar, 1955 (Translated from French).
W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.
H. H. Schaefer, Topological vector spaces, Macmillan, 1966.
S. L. Sobolev, Applications of functional analysis in mathematical physics, Amer. Math. Soc., 1963 (Translated from Russian).
W. I. [V.I. Sobolev] Sobolew, Elemente der Funktionalanalysis, H.Deutsch , Frankfurt a.M., 1979 (Translated from Russian).
K. Yosida, Functional analysis, Springer, 1980, pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5.
Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Dùm Mấy Bài Giải Tích Hàm Này Với. trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!