Bạn đang xem bài viết Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số Và Bài Tập Vận Dụng được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như thế nào? Giải hệ bằng phương pháp này có ưu điểm gì so với phương pháp thế hay không? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này.
I. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
– Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)
– Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: <img title="small left{egin{matrix} ax+by=c a'x + b'y=c' end{matrix}
+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
– Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:
(d)//(d’) thì hệ vô nghiệm
(d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
(d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm
+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
II. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số
a) Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
+ Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
* Ví dụ: Giải các hệ PT bậc nhất 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:
a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=3 x-y=6 end{matrix}
b) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 2x+3y=5 2x-y=1 end{matrix}
* Lời giải:
a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=3 & (1) x-y=6 &(2) end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 3x=9 x-y=6 end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3 x-y=6 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3 y=-3 end{matrix}
b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=5 &(1) 2x-y=1 &(2) end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 4y=4 2x-y=1 end{matrix}
<img title="small left{egin{matrix} y=1 2x-1=1 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} y=1 x=1 end{matrix}
III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
* Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bằng PP cộng đại số
a) <img title="small left{egin{matrix} 3x+y=3 2x-y=7 end{matrix}
c) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 4x+3y=6 2x+y=4 end{matrix}
e) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 0,3x+0,5y=3 1,5x-2y=1,5 end{matrix}
* Lời giải:
a) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 3x+y=3 2x-y=7 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 5x=10 2x-y=7 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=2 y=-3 end{matrix}
Lưu ý: Lấy PT(1)+PT(2)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)
b) <img title="small g_white fn_cm small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 2x+5y=8 2x-3y=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 8y=8 2x-3y=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=1 x=frac{3}{2} end{matrix}
Lưu ý: Lấy PT(1)-PT(2)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)
c) <img title="small left{egin{matrix} 4x+3y=6 2x+y=4 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 4x+3y=6 4x+2y=8 end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} y=-2 2x+y=4 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=-2 x=3 end{matrix}
(lấy PT(1) – PT(2))
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)
d) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=-2 3x-2y=-3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 6x+9y=-6 6x-4y=-6 end{matrix}
<img title="small left{egin{matrix} 13y=0 3x-2y=-3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=0 x=-1 end{matrix}
(Lấy PT(1)-PT(2))
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (-1;0)
e) <img title="small left{egin{matrix} 0,3x+0,5y=3 1,5x-2y=1,5 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 1,5x+2,5y=15 1,5x-2y=1,5 end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 4,5y=13,5 1,5x-2y=1,5 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=3 x=5 end{matrix}
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (5;3)
Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Bài Tập Vận Dụng
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế như thế nào? qua đó vận dụng giải các bài tập minh họa vận dụng phương pháp này để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.
I. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn
– Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)
– Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: <img title="small left{egin{matrix} ax+by=c a'x + b'y=c' end{matrix}
+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
– Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:
(d)
(d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
(d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm
+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế
a) Quy tắc thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
+ Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=4 2x-y=0 end{matrix}
b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=1 x-y=3 end{matrix}
* Lời giải:
a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=4 2x-y=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x+y=4 y=2x end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x+2x=4 y=2x end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 4x=4 y=2x end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x=1 y=2 end{matrix}
b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=1 x-y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 2(3+y)+3y=1 x=3+y end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 5y=-5 x=3+y end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=-1 x=2 end{matrix}
III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
* Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) <img title="small left{egin{matrix} x-y=3 3x-4y=2 end{matrix}
c) <img title="small left{egin{matrix} x+3y=-2 5x-4y=11 end{matrix}
* Lời giải:
a) <img title="small left{egin{matrix} x-y=3 3x-4y=2 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3+y 3(3+y)-4y=2 end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3+y 9-y=2 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=10 y=7 end{matrix}
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (10;7)
b) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 7x-3y=5 4x+y=2 end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 7x-3(2-4x)=5 y=2-4x end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 7x-6+12x=5 y=2-4x end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 19x=11 y=2-4x end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{11}{19} y=frac{-6}{19} end{matrix}
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)
c) <img title="small left{egin{matrix} x+3y=-2 5x-4y=11 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y 5(-2-3y)-4y=11 end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y -10-15y-4y=11 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y 19y=-21 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{25}{19} y=-frac{21}{19} end{matrix}
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)
* Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế
a) <img title="small left{egin{matrix} 3x-2y=11 4x-5y=3 end{matrix}
* Lời giải:
a) <img title="small left{egin{matrix} 3x-2y=11 4x-5y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{11}{3}+frac{2}{3}y 4(frac{11}{3}+frac{2}{3}y)-5y=3 end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=(11+2y)/3 frac{4}{3}(11+2y)-5y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=(11+2y)/3 frac{44}{3}+frac{8}{3}y-5y=3 end{matrix}
<img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{1}{3}(11+2y) -frac{7}{3}y=-frac{35}{3} end{matrix} ight.Leftrightarrowleft{egin{matrix} x=7 y=5 end{matrix}
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (7;5)
b) <img title="small g_white fn_cm small g_white fn_cm small left{egin{matrix} x/2-y/3=1 5x-8y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 5(frac{2}{3}y+2)-8y=3 end{matrix}
<img title="small g_white fn_cm small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 frac{10}{3}y+10-8y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 -frac{14}{3}y=-7 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3 y=3/2 end{matrix}
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (3;3/2)
Giải Toán 9 Bài 4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
§4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI số Tóm tắt kiến thức Muốn giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại sô, ta làm như sau : Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một sô' thích hợp sao cho các hệ sô của một ẩn nào đó trong hệ phương trình là những số bằng nhau (hoặc đối nhau). Bước 2. Trừ (hoặc cộng) vế với vế hai phương trình dể được một phương trình một ẩn. Thay thế một trong hai phương trình của hệ bởi phương trình một ẩn ta được một hệ mới. Bước 3 Giải phương trình một ẩn ta tìm được giá trị của ẩn đó. Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó vào phương trình còn lại của hệ ta tìm được giá trị tương ứng của ẩn kia. Cặp giá tri tương ứng vừa tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. Ví dụ Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 4x - 5y = 22 (1) ' 6x + 7y = 4 (2) bằng phương pháp cộng đại số. ❖ Phân tích. Nếu làm cho các hệ. số của ẩn y đối nhau thì ta phải nhân hai vế của phương trình (1) với 7, của phương trình (2) với 5. Để làm cho các hệ số của ẩn X bằng nhau ta có thể nhân hai vê' của phương trình (1) với 3 và của phương trình (2) với 2. Cách làm thứ hai đơn giản hơn. > Giải. Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 ; nhân hai vê' của phương trình (2) với 2, ta được hệ Từ phương trình (5) suy ra y = -2. Thay y = -2 vào phương trình (4), ta được : 12x +14.(-2) - 8 hay 12x = 36. Do đó X = 3. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (3 ; -2). Lưu ý. Có thể trình bày bài giải bằng một dãy những hệ phương trình tương đương như sau : 4x-5y = 22 fl2x-15y = 66 f-29y =58 ly =-2 đương như sau : 4x - 5y = 22 6x + 7y = 4 _/y = -2 4 12x + 14y = 8 y = -2 12x + 14.(-2) = 8 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình '5x-4y = 15 12x-28 = 8 -29y = 58 12x + 14y = 8 y =-2 12x = 36 y = -2 12x + 14y = 8 X = 3 ty = -2. > Giải. 10x-8y = 13 5x - 4y = 15 10x-8y = 13. 10x-8y = 30 10x-8y = 13 5 Ồx-Oy = 17 lOx -8y = 13. Vì không có giá trị nào của X và y để Ox - Oy = 17 nên phương trình Ox - Oy = 17 vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 3 4 Ị X - y - 1 5_ X - y - 1 Phân tích. Nếu khửưnẫu của các phương trình trong hệ ta sẽ được một hệ phương trình không phải là hệ bậc nhất. Ta chưa biết cách giải hệ phương trình như thế. Song nếu ta đặt ẩn phụ : 1 và V = x+y+3 x-y-1 ta sẽ được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u và V. Giải hệ này ta tìm được u và V. Từ đó ta lại được hệ bậc nhất hai ẩn X và y. 1 . 1 > Giải. Đặt u = và V = ta được : 3u -4v = -~7 2 n.. , c.. 7 2u + 5v = 4- 2 6u - 8v = -1 4u + lOv = 7 12u-16v = -2 ■ V _ _ „ <i 12u + 30v = 21 46v = 23 12u + 30v = 21 I2u+ 30.-7 = 21 2 Bây giờ ta có hệ Giải hệ này : X + y + 3 = 2 X - y - 1 = 2 'x = 1 1-y = 3 5 V = - 2 I2u = 6 hay X + y + 3 = 2 x-y-1 = 2. x-y-1 2 X + y = -1 x-y = 3 X = 1 2x = 2 x-y = 3 [y = -2. c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa 20. Hướng dẫn : a) Cộng vế với vế hai phương trình. Trừ vế với vế hai phương trình. Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2 rồi trừ vế với vế hai phương trình. Nhân hai vê' của phương trình thứ nhất với 3, haị vê' của phương trình thứ hai với 2 rồi trừ vế với vê' hai phương trình. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ vê' với vê' hai phương trình. Đáp số: a) (x ; y) = (2 ; -3); b) (x ; y) = ị I; 1 I ; c) (x ; y) = (3 ; -2); d) (x ; y) = (-1 ; 0); e) (x ; y) = (5 ; 3). 21. Giải. a) x72 - 3y = 1 2x + y 72 = -2 1 + 72 2x - 3ự2y = 71 2x + y V2 = -2 1 + 72 472y = -2 - 72 2x + yy/2 - -2 b) 2x + y72 = -2 5x73 + y = 272 xTó - y72 = 2 5 76 xTó - yÍ2 - 2 4 72-6 8 5x76 + y72 = 4 xTó - y72 = 2 76 ,^.^-yV2=2 . 6 6x76 = 6 xTó - y72 = 2 76 -y72 = 1 76 72 Hướng dẫn : a) Nhân hai vê' của phương trình thứ nhất với 3, của phương trình thứ hai với 2 rồi cộng vế với vế. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 rồi cộng vê' với vế. Nhân hai vê' của phương trình thứ hai với 3 rồi trừ vê' với vế. Đáp số: a) (x ; y) = ụl; -y-j ; b) Vô nghiệm ; c) Vô sô' nghiệm. Hướng dán : Trừ vê' với vế. ..A_ f 7^2-6 . 72 ì Đáp sô : (x ; y) = ; - -y-I. Hướng dẫn : Trừ vê' với vế. 24. Giải, a) 2(x + y) + 3(x - y) = 4 (x + y) + 2(x-y) = 5 5x - y = 4 3x - y = 5 2x = -1 3x - y = 5 í X = - 2 13 y 2' Lưu ý. Cũng có thế giải băng cách đặt ấn phụ :u = x + y, V = X - y. b) 2(x - 2) + 3(1 + y) =-2 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3 2x + 3y = -l 3x - 2y = 5 4x + 6y = -2 [9x-6y = 15 13x = 13 3x - 2y = 5 í X = 1 [y = -l. 25. Giải. Đa thức P(x) = (3m - 5n + l)x + (4m - n - 10) = 0Vx khi và chỉ khi : 3m - 5n + 1 = 0 4m - n - 10 = 0 17m = 51 3m - 5n = -1 4m-n = 10 3m - 5n = -1 20m - 5n = 50 17m = 51 m = 3 ( _<_ 4m - n = 10 [n = 2. 26. Hướng dẫn : Nếu một điểm nằm trên đồ thị của một hàm số thì toạ độ của điểm đó phải thoả mãn hàm số đã cho. Chẳng hạn : a) Vi đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; -2) và B(-l ; 3) nên -2 - 2a + b 3 = a.(-l) + b hay 2a + b = -2 -a + b = 3. Giải hệ phương trình này với hai ẩn a và b ta được : (a ; b) = Đáp số: b) (a ; b) = I - ; 0 ; c) (a ; b) = I -ị ; Ỷ I ; d) (a ; b) = (0 ; 2). 27. Giải, a) Đặt u =-, V =-, ta được hệ phương trình (I) X y u - V = 1 3u + 4v = 5. (I)" 4u - 4v = 4 3u + 4v = 5 7u = 9 3u + 4v = 5 9 u = - 7 2 V = -. 7 1 1 , 7 _ 7 Thay u = -, V = - ta được X = -, V = -. X y 9 2 Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x ; y) = I I * b) Đặt u =-, V = -ì-y ta được : (II) y-1 9 2, u + V = 2 2u-3v = 1. (II)" 2u + 2v = 4 2u - 3v = 1 u + V = 2 5v = 3 s 3 V = - 5 7 u = -. 5 X - 2 = -2- 7 - 7 b) V3x - 2y = 5 (l-V3)x + 3y = 2a/3-5. X - 2 y - 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x ; y) = D. Bài tập luyện thêm Giải hệ phương trình : 3x - 2y = V2 - 5 a) - ' ; [2x + 5y = 7V2 + 3 Tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho nó có nghiệm là (3 ; -2) và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x - 1. Hãy lập một phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng đi qua điểm M(-4 ; 3) và cắt Ox tại điểm N có hoành dộ là 2. 4. Giải hệ phương trình >, Hướng dẫn - Đáp sô' 1. Giải. a) 3 2 . X + 3y - 1 2x - y + 2 2 3 X + 3y - 1 2x - y + 2 5 19 3x - 2y = V2 - 5 6x - 4y = 2V2 - 10 2x + 5y = 7V2 + 3 <%, ỷ < 6x + 15y = 21^2 + 9 19y = I9V2 4-19 y = V2 + 1 6x + 15(72 + 1) = 2172+ 9 Á y = V2 + 1 = 72-1. b) 73x - 2y = 5 (1 - 5/3 )x + 3y = 2V3 - 5 3V3x-6y = 15 (2 + 73 )x = 4a/3 + 5 x = 3V3-2 7 = 2-73. 373x-6y = 15 (2-273)x + 6y = 473-10 373x-6y = 15 X = V ■= (473 + 5)(2 - 73) = 373 - 2 2 + 73 Giải. Vì tập nghiệm của phương trình cần tìm là đường thẳng song song với đồ thị y = 3x - 1 nên đường thẳng này cũng có phương trình là y = 3x + b. Vì phương trình này cỏ nghiệm là (3 ; -2) nên -2 = 3.3 + b. Suy ra b = -11. Vậy phương trình cần tìm là y = 3x - 11 hay 3x - y = 11. Giải. Vì đường biểu diễn tập nghiệm của phương trình cần tìm đi qua điểm M(-4 ; 3) và cắt trục Ox nên nó cắt cả hai trục toạ độ. Do đó nó là đồ thị của hàm số y = ax + b. Vì M(-4 ; 3) và điểm N(2 ; 0) thuộc đồ thị nên 3 = a.(-4) + b 0 = a.2 + b hay -4a + b = 3 2a + b = 0. 1 Giải hệ phương trình này ta được : (a ; b) = ị -; 1 ]. Vậy phương trình cần tìm là y = " X + 1 hay X + 2y = 2. Giải. Đặt u = X + 3y -1 ' 2x-y + 2 ta được hệ phương trình (I) 3u + 2v = -ị 5 19 2u - 3v = . 20 3 ■ 13 9u + 6v = 38 13u = - 10 < 38 4u - ốv = 4u -6v = 20 í 20 Ta có : (I) u = 10 v 4' Thay u = X + 3y - 1 ' 2x-y + 2 ta được hệ phương trình hay X + 3y = 11 2x - y = -6. X + 3y - 1 = 10 2x - y + 2 = -4 Giải hệ phương trình này ta được (x ; y) = (-1 ; 4).
Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn Với Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
Trong bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu 2 cách giải trên đối với phương trình bậc nhất 2 ẩn. Giải các bài tập về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với từng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, đồng thời tìm hiểu các dạng toán về phương trình bậc nhất 2 ẩn, từ đó để thấy ưu điểm của mỗi phương pháp và vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán cụ thể.
I. Tóm tắt lý thuyết về phương trình bậc nhất 2 ẩn
1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn
– Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a 2 + b 2 ≠ 0)
– Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
– Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:
(d)
(d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
(d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm
+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số
– Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:
– Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
– Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
– Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
– Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
– Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ: Giải các hệ PT bậc nhất 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:
2. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế
– Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:
– Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
– Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
– Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
– Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
III. Một số dạng toán phương trình bậc nhất 2 ẩn
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (10;7)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (7;5)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (3; 3/ 2)
Lưu ý: Lấy PT(1)+PT(2)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)
Lưu ý: Lấy PT(1)-PT(2)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (-1;0)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (5;3)
* Nhận xét: Khi không có bất kỳ hệ số nào của x, y là 1 hay -1 thì phương pháp cộng đại số giúp các em đỡ nhầm lẫn hơn trong phép tính. * Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
– Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
– Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng pp thế hoặc pp cộng đại số)
– Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau
a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).
⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (1;1)
b) Điều kiện: x ≠ -1 và y ≠ 3 (mẫu số khác 0)
⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (-5/4;6)
– Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ được tạo bởi 2 phương trình đường thẳng đã cho.
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau:
– Giải hệ bằng 1 trong 2 phương pháp cộng đại số hoặc thế:
⇒ Tọa độ giao điểm I của d 1 và d 2 là (2;1).
⇒ Tọa độ giao điểm I của d 1 và d 2 là (4;-2).
+ Từ một phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương pháp thế) rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện các bước biện luận như sau:
– Nếu a ≠ 0, thì x = b/a; thay vào biểu thức để tìm y; hệ có nghiệm duy nhất.
– Nếu a = 0, ta có, 0.x = b:
_ Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
_ Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm
– Từ PT(1) ta có: y = mx – 2m, thế vào PT(2) ta được:
x – m(mx-2m) = m + 1
⇔ (1 – m)(1 + m)x = (1 – m)(1+m)+ m(1 – m)
⇔ (1 – m)(1 + m)x = (1 – m)(1+m)+ m(1 – m)
⇔ (1 – m)(1 + m)x = (1 – m)(1+2m) (3)
* Nếu m = -1, thay vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm
* Nếu m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)
– Nếu m = -1, hệ vô nghiệm
– Nếu m = 1, hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)
– Giải hệ phương trình tìm x, y theo m
– Với điều kiện về nghiệm số của đề bài tìm m
tìm giá trị a ∈ Z, để hệ có nghiệm (x;y) với x,y ∈ Z
– Từ PT(2) ta có: x = a 2 + 4a – ay, thế vào PT(1) được
(a+1)(a 2 + 4a – ay) – ay = 5
– Nếu a = 0 hoặc a = -2 thì (*) vô nghiệm
– Trước hết tìm a ∈ Z để x ∈ Z
Với a = -1 ⇒ y = 5
⇒ Vậy với a = -1 hệ có nghiệm nguyên là (2;5)
Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số Và Bài Tập Vận Dụng trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!