Bạn đang xem bài viết Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Nhân Liên Hợp được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp
Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, khi mà chúng ta nhận thấy ngay được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã cho.
Mời Quý Thầy cô và các em tham khảo 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10
1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp
Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là khi một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà có nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tìm cách phân tích thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc phân tích đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, do đó chúng ta sẽ tìm cách khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.
Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $sqrt{A}pmsqrt{B}$ là $sqrt{A}mpsqrt{B}$, tức là biến đổi: $$ sqrt{A}pm sqrt{B}=frac{A-B}{sqrt{A}pmsqrt{B}} $$ Biểu thức liên hợp của $sqrt[3]{A}pmsqrt[3]{B}$ là $(sqrt[3]{A})^2pmsqrt[3]{A}sqrt[3]{B}+(sqrt[3]{B})^2$ $$ sqrt[3]{A}pmsqrt[3]{B}=frac{Apm B}{(sqrt[3]{A})^2pmsqrt[3]{A}sqrt[3]{B}+(sqrt[3]{B})^2} $$
Bước 1. Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính để tìm nghiệm của phương trình, giả sử nghiệm của pt là $x_0$.
Bước 2. Phân tích (tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp sao cho sau khi nhân chia liên hợp ta được có biểu thức có chứa nhân tử $x – x_0$.
2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp
Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3sqrt {x + 3} $$ Hướng dẫn. Chúng ta đoán (hoặc dùng lệnh SOLVE của máy tính CASIO) và nhận thấy phương trình có nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ có nhân tử là $(x-2)$, nhưng chúng ta khó phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử, nên sẽ tìm cách chuyển về đa thức rồi phân tích. Cụ thể, chúng ta tách $11=8+3$ rồi biến đổi như saubegin{align*} & x^3+8-3sqrt{x+3}+3=0 \ Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-frac{3(x+2)}{sqrt{x+3}+1}=0\ Leftrightarrow &(x+2)left(x^2+2x+4-frac{3}{sqrt{x+3}+1}right)=0\ Leftrightarrow &left[begin{array}{l} x+2=0\x^2+2x+4-frac{3}{sqrt{x+3}+1}=0 qquad (*) end{array}right. end{align*} Ta có [begin{array}{l} {x^2} + 2x + 4 ge 3\ – dfrac{3}{{sqrt {x + 3} + 1}} ge – 3\ Rightarrow {x^2} + 2x + 4 – dfrac{3}{{sqrt {x + 3} + 1}} ge 0. end{array}] Bất phương trình cuối không xảy ra dấu đẳng thức nên phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $
Ví dụ 2. Giải phương trình $$sqrt{x+1}~+1=4{{x}^{2}}+sqrt{3x} $$ Hướng dẫn. Với điều kiện $ xge0 $ thì phương trình đã cho tương đương với begin{align*} &4{{x}^{2}}-1+sqrt{3x}-sqrt{x+1}=0\ Leftrightarrow & (2x+1)(2x-1)+frac{2x-1}{sqrt{3x}+sqrt{x+1}}=0\ Leftrightarrow & (2x-1)left( 2x+1+frac{1}{sqrt{3x}+sqrt{x+1}} right)=0\ Leftrightarrow & 2x-1=0\ Leftrightarrow & x=frac{1}{2} end{align*} So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=frac{1}{2}. $
Ví dụ 3. Giải phương trình $$sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+x=sqrt{{{x}^{3}}-2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $xge sqrt[3]{2}$. Đoán được nghiệm $ x=3 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau: begin{align*} &sqrt[3]{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = sqrt {{x^3} – 2} – 5 \ Leftrightarrow;& left( {x – 3} right)left[ {1 + frac{{x + 3}}{{sqrt[3]{{{{left( {{x^2} – 1} right)}^2}}} + 2sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}} right] = frac{{left( {x – 3} right)left( {{x^2} + 3x + 9} right)}}{{sqrt {{x^3} – 2} + 5}} \ Leftrightarrow;& x = 3 end{align*} Ta có [begin{array}{*{20}{c}}{1 + dfrac{{x + 3}}{{sqrt[3]{{{{left( {{x^2} – 1} right)}^2}}} + 2sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + dfrac{{x + 3}}{{{{left( {sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 1} right)}^2} + 3}}}\ {}&{ < 2 < dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{sqrt {{x^3} – 2} + 5}}} end{array}] nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=3. $
Ví dụ 4. Giải phương trình $$ sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-sqrt{{{x}^{2}}-2}=sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}-sqrt{{{x}^{2}}-3x+4} $$ Hướng dẫn. Nhận xét $left( 3{{x}^{2}}-5x+1 right)-left( 3{{x}^{2}}-3x-3 right)=-2(x-2)$ và $left( {{x}^{2}}-2 right)-left( {{x}^{2}}-3x+4 right)=3(x-2)$ nên ta biến đổi phương trình rồi nhân liên hợp như sau: begin{align*} &sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}=sqrt{{{x}^{2}}-2}-sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}\ Leftrightarrow;& frac{-2(x-2)}{sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}=frac{3(x-2)}{sqrt{{{x}^{2}}-2}+sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}\ Leftrightarrow;& (x-2)left[ frac{3}{sqrt{{{x}^{2}}-2}+sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+frac{2}{sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}} right]=0
Ví dụ 5. Giải phương trình $$ sqrt{x^2+15}=3x-2 +sqrt{x^2+8} $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau begin{align} &sqrt{x^2+15}-4=3x-3+sqrt{x^2+8}-3 notag\ Leftrightarrow &frac{x^2+15-16}{sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+frac{x^2+8-9}{sqrt{x^2+8}+3}notag\ Leftrightarrow &frac{x^2-1}{sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+frac{x^2-1}{sqrt{x^2+8}+3} ,,,(*) end{align} Xét hai trường hợp:
$ x=1 $ thỏa mãn phương trình nên là nghiệm.
begin{align*} &3x-2=sqrt{x^2+15}-sqrt{x^2+8}\
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $
Ví dụ 6. Giải phương trình[ sqrt{3x+1}-sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0 ] Hướng dẫn. Điều kiện $ -frac{1}{3}le xle 6. $ Đoán được nghiệm $ x=5 $ nên ta tách phương trình đã cho thành: [ (sqrt{3x+1}-4)-(sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-8=0 ] Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được: begin{align*} &frac{3(x-5)}{sqrt{3x+1}+4}-frac{5-x}{sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\ Leftrightarrow;& (x-5)left(frac{3}{sqrt{3x+1}+4}+frac{1}{sqrt{6-x}+1}+3x+1right)=0
Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá khó khăn, ta hãy xem ví dụ sau.
Ví dụ 7. Giải phương trình [ (x+3)sqrt{x+4}+(x+9)sqrt{x+11}=x^2+9x+10 ] Hướng dẫn. Điều kiện $ xge -4 $. Dễ dàng đoán được nghiệm $ x=5 $, nên ta tách thành: [ (x+3)left(sqrt{x+4}-3right)+(x+9)left(sqrt{x+11}-4right)=x^2+2x-35 ] Sau đó, nhân liên hợp được: begin{align*} &(x+3)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+4}+3}+(x+9)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)\ Leftrightarrow;& (x-5)left(frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7right)=0 end{align*} Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm: $$frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7=0,,(*) $$ Vì điều kiện là $ xge -4 $ và chú ý rằng các phân thức $ frac{1}{sqrt{x+4}+3} $ và $ frac{1}{sqrt{x+11}+4} $ đều có giá trị nhỏ hơn $ frac{1}{2}, $ nên ta tách như sau: begin{align*} VT(*)&= frac{x+4}{sqrt{x+4}+3}-frac{x+4}{2}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-frac{x+9}{2}-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}\ &=(x+4)left(frac{1}{sqrt{x+4}+3}-frac{1}{2}right)+(x+9)left(frac{1}{sqrt{x+11}+4}-frac{1}{2}right)-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}\ &<0 end{align*} Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $
Ví dụ 9. Giải phương trình $$ sqrt{x^2+5}+sqrt{x^2+12}-sqrt{x^2-3}=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.
&bigg( (x+2)-(x-1) bigg)left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)=3left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)\ Leftrightarrow;& sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=sqrt{x+2}-sqrt{x-1}\ Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l} sqrt{{{x}^{2}}+x-2}ge 1 \ {{left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)}^{2}}={{left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)}^{2}} \ end{array} right.\ Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-3ge 0\ {{x}^{2}}+x-1-2sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2sqrt{x+2}.sqrt{x-1} \ end{array} right.\ Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-3ge 0 \ {{x}^{2}}-x-2=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-3ge 0 \ x=-1vee x=2 \ end{array} right.Leftrightarrow x=-1vee x=2. end{align*} Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $
Ví dụ 11. Giải bất phương trình $$ left( sqrt{x+3}-sqrt{x-1} right)left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2text{x}-3} right)ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ xge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với begin{align*} & 4left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} right)ge 4left( sqrt{x+3}+sqrt{x-1} right)\ Leftrightarrow & 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge sqrt{x+3}+sqrt{x-1}\ Leftrightarrow & {{x}^{2}}+2x-2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge 2x+2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ Leftrightarrow & {{x}^{2}}-4ge 0\ Leftrightarrow & left[ begin{array}{l}xle -2 \ xge 2 \ end{array} right. end{align*} Kết hợp với điều kiện $xge 1$ ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2,+infty)$.
Nhận xét. Bất phương trình này hoàn toàn có thể giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Xin mời bạn thử!
end{align*} Giải bất phương trình này, kết hợp điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=[1;2] $
Ví dụ 13. Giải phương trình $$sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}+sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=x+4$$ Hướng dẫn. Nhận xét rằng $$left( 2{{x}^{2}}+x+9 right)-left( 2{{x}^{2}}-x+1 right)=2left( x+4 right)$$ Vì $ x=4 $ không là nghiệm nên ta xét $ xne 4 $ và nhân chia liên hiệp để trục căn thức được $$frac{2x+8}{sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}=x+4Rightarrow sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=2$$ Thu được hệ phương trình [ left{ begin{array}{l} sqrt {2{x^2} + x + 9} – sqrt {2{x^2} – x + 1} = 2\ sqrt {2{x^2} + x + 9} + sqrt {2{x^2} – x + 1} = x + 4 end{array} right. Rightarrow 2sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = frac{8}{7} end{array} right. ] Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = frac{8}{7}. $
3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình
Đối với các bải tập sau, ta có thể sử dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.
Bài 1. Giải phương trình $ sqrt{2x-3}-sqrt{x}=2x-6 $
Đáp số. $ x=3 $
Bài 2. Giải phương trình $ sqrt{4x^2 +5x+1}-2sqrt{x^2 -x+1}=9x-3 $
Đáp số. $ x=frac{1}{3}. $
Bài 3. Giải phương trình $ sqrt{10x+1}+sqrt{3x-5}=sqrt{9x+4}+sqrt{2x-2} $
Hướng dẫn. Nhóm thành $ left(sqrt{10x+1}-sqrt{9x+4}right)+left(sqrt{3x-5}-sqrt{2x-2}right)=0, $ rồi nhân liên hợp… Đáp số. $ x=3 $
Bài 4. Giải phương trình $ sqrt{x-2}+sqrt{4-x}=2x^2-5x-1 $
Hướng dẫn. Tách thành $ left(sqrt{x-2}-1right) +left(sqrt{4-x}-1right)-left(2x^2-5x-3right)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm cho nhân tử còn lại… Đáp số. $ x=3 $
Bài 5. Giải phương trình $2sqrt{left( 2-x right)left( 5-x right)}=x+sqrt{left( 2-x right)left( 10-x right)}$
Đáp số. $ x=1,x=frac{15+5sqrt{5} }{2} $
Bài 6. Giải phương trình $sqrt[3]{{{x}^{2}}+4}=sqrt{x-1}+2x-3$
Đáp số. $ x=2 $
Bài 7. Giải phương trình $sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+sqrt{3{{x}^{3}}-2}=3x-2$
Bài 8. [Đề thi Olympic 30/4 năm 2007] Giải phương trình $2{{x}^{2}}-11x+21-3sqrt[3]{4x-4}=0$
Bài 9. Giải phương trình $sqrt{2{{x}^{2}}+16x+18}+sqrt{{{x}^{2}}-1}=2x+4$
Bài 10. Giải phương trình ${{x}^{2}}+3x+1=left( x+3 right)sqrt{{{x}^{2}}+1}$
Bài 11. Giải phương trình $1+sqrt{x}=4x^{2}+sqrt{3x-1}$
Đáp số. $x=frac{1}{2}$
Bài 12. Giải phương trình $ sqrt{x}=1-sqrt[3]{3x^2+x-1}+sqrt[3]{2x+1} $
Đáp số. $ x=1 $
Bài 13. Giải phương trình $ 2sqrt {{x^2} + 5} = 2sqrt {x – 1} + {x^2} $
Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2sqrt{{{x}^{2}}+5}-6=2sqrt{x-1}-2+{{x}^{2}}-4Leftrightarrow 2frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=2frac{x-2}{sqrt{x-1}+1}+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ frac{2(x+2)}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=frac{2}{sqrt{x-1}+1}+x+2Leftrightarrow frac{2}{{sqrt {x – 1} + 1}} + left( {x + 2} right)left( {1 – frac{2}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} right) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.
Bài 14. Giải phương trình $ sqrt{x^2+12}+5=3x+sqrt{x^2+5} $
Hướng dẫn. Để phương trình có nghiệm thì: $sqrt{{{x}^{2}}+12}-sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5ge 0Leftrightarrow xge frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành begin{align*} & sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+sqrt{{{x}^{2}}+5}-3Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3left( x-2 right)+frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3} \ & Leftrightarrow left( x-2 right)left( frac{x+2}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-frac{x+1}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 right)=0Leftrightarrow x=2 Đáp số. $ x=2 $
Bài 15. Giải bất phương trình $frac{1-sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$
Đáp số. $ left[ -frac{1}{2};frac{1}{2} right]backslash left{ 0 right}$
Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp cực hay
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm đkxđ.
Bước 2: Nhẩm nghiệm (thường là nghiệm nguyên). Giả sử phương trình có nghiệm x = a
Bước 3: Tách, thêm bớt rồi nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (x – a).
Các biểu thức liên hợp thường dùng:
Bước 4. Chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc dương
Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Để ý thấy x = 2 là nghiệm của phương trình, do đó ta có thể liên hợp và 1; và 2.
Đkxđ: x ≥ -2 .
Ta có:
⇔ x = 2 (t.m đkxđ)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
Đkxđ: ∀ x ∈ R
Ta có:
Vậy phương trình có hai nghiệm .
Ví dụ 3: Giải phương trình
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Nhẩm được phương trình có nghiệm x = 2 nên ta tách các biểu thức để liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử (x – 2).
Đkxđ: ∀ x ∈ R
Khi đó:
Lại có
(*) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Bài 1: Biểu thức liên hợp của là:
Bài 2: Biểu thức liên hợp của là:
Bài 5: Nghiệm của phương trình có nghiệm là:
A. x = √2 B. x = -√2
C. x = √3 D. x = -√3
Bài 6: Giải phương trình
Hướng dẫn giải:
Đkxđ:
⇔ x – 2 = 0 (Vì biểu thức trong […] luôn dương)
⇔ x = 2 (t.m đkxđ).
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài 7: Giải phương trình
Hướng dẫn giải:
Đkxđ: x ≥ -9/2; x ≠ 0 .
⇔ x = -9/2 (t.m đkxđ).
Vậy phương trình có nghiệm x = -9/2 .
Bài 8: Giải phương trình
Hướng dẫn giải:
Đkxđ: x ≥ 1.
Ta chứng minh được:
Khi đó (*) ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (t.m đk xđ).
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
Bài 9: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
Đkxđ: 1 ≤ x ≤ 5 .
Ta thấy: với 1 ≤ x ≤ 5 .
Ta chứng minh
Thật vậy: Với 1 ≤ x ≤ x thì:
(*) ⇔ ⇔ x = 5 (t.m đkxđ).
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Bài 10: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
⇔ x 2 – 3 = 0(Vì biểu thức trong [ ] luôn dương)
⇔ x = ±√3(t.m đkxđ).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±√3 .
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Biến Đổi Tương Đương
Chuyên đề môn Toán lớp 10
Chuyên đề Toán học lớp 10: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
Chuyên đề: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương
I/ Lý thuyết & Phương pháp giải
– Phương trình tương đương: Hai phương trình f 1(x) = g 1(x) và f 2(x) = g 2(x) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
– Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.
– Phương trình hệ quả: f 2(x) = g 2(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f 1(x) = g 1(x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f 1(x) = g 1(x)
– Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng:
+ Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
+ Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
II. Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;2}
Bài 2: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*)
Nếu x ≠3. thì (*)
Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = 5/3
Thay x = 3 và x = 5/3 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S = {3}
Hướng dẫn:
a. Điều kiện: x ≥ -1.
Ta có x = -1 là một nghiệm.
x 2 – x – 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1, x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm S = {-1; 2}
Với điều kiện để phương trình tương đương với phương trình
Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vô nghiệm
Hướng dẫn:
a. Điều kiện: x ≠1.
Với điều kiện trên phương trình tương đương x 2 – x + 1 = 2x – 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 2
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
b. ĐKXĐ :
Với điều kiện trên phương trình tương đương với
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = -3
Bài 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
x 2 + mx – 1 = 0 (1) và (m-1)x 2 + 2(m-2)x + m – 3 = 0 (2)
Hướng dẫn:
Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương
Ta có (m-1)x 2 + 2(m-2)x + m – 3 = 0
⇔
Do hai phương trình tương đương nên x = -1 cũng là nghiệm của phương trình (1)
Thay x = -1 vào phương trình (1) ta được m = 0
Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
Chương III. §3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Mục tiêu – HS hiểu được cách biến đổi hệ phương trình bằng phương pháp thế – HS nắm vững cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế . – HS biết xử lí các trường hợp đặc biệt (hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm )II. Chuẩn bị Giáo viên: SGK , máy chiếu .2. Học sinh : SGK, bảng nhóm , bút dạ ….
HS1. Kiểm tra (x;y) = (2; – 1) có là nghiệm của hệ phương trình sau không?HS2:Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau và minh hoạ bằng đồ thị.Kiểm tra bài cũ:Tiết 33: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾVí dụ: Xét hệ phương trình B1:Từ PT(1) biểu diễn x theo yB2: Ta có hệ PT(II) tương đương hệ PT(I). Giải hệ PT(II).Khi đó nghiệm của hệ PT(II) chính là nghiệm của hệ PT(I)Từ PT (2′) ta có : y = – 5 Vậy hệ PT(I) đã cho có nghiệm là (- 13;-5)Thế x từ PT (1′) vào PT (2). GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾThay y = – 5 Vào PT(1′) ta có : x = – 13GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ1. Quy tắc thếQuy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương thông qua hai bước :Bước 1: Từ một phương trình của HPT ban đầu ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ta được phương trình (*) .Bước 2: Thay phương trình (*) vào phương trình còn lại ta được phương trình (**) . Thay các phương trình của HPT (I) bởi các phương trình (*) và (**) ta được HPT mới tương đương HPT ban đầu.2.Vận dụng Ví dụ 2Giải hệ phương trình GiảiVậy hệ (II) có nghiệm duy nhất là (2 ; 1)Trong hệ phương trình nếu ẩn nào của phương trình có hệ số bằng 1 hoặc -1 ta nên biểu diễn ẩn đó theo ẩn còn lại
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ )GiảiVậy hệ phương trình (II) có nghiệm duy nhất là (7 ;5 )?1GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾTa cóĐặc điểm PT một ẩn Số ngiệm của hệ HPT đã cho có một nghiệm duy nhất HPT đã cho vô nghiệmHPT đã cho có vô số nghiệmĐặc điểmVí dụGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ3y = 31 nghiệm duy nhất 0y = 9Vô nghiệm0x = 0 vô số nghiệm
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ1. Quy tắc thế 2. Áp dụngChú ý : * Số nghiệm của phương trình một ẩn trong hệ phương trình mới chính là số nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ 3Giải hệ phương trình Giải ?2Minh hoạ hình họcVậy HPT(III) vô số nghiệmDo d1 trùng với d2 nên hệ có vô số nghiệmGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾd1d2?3Cho hệ phương trình Bằng minh hoạ hình học và bằng phương pháp thế ,chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm.Nhóm 1Minh hoạ hình họcNhóm 2Giải phương trình bằng phương pháp thế GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ1)Dùng quy tắc thế biến đổi hệ đã cho thành hệ mới ,trong đó có một phương trình một ẩn.2)Giải phương trình một ẩn vừa có ,rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.*Tóm tắc cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế :GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾHƯỚNG DẪN VỀ NHÀ Học thuộc quy tắc thế , xem lại cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế .– Bài tập : 12 đến 15 SGK trang15CẢM ƠN CÁC THẦY CÔ GIÁO CÙNG CÁC EM ĐÃ NHIỆT TÌNH THAM GIA TIẾT HỌC
Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Nhân Liên Hợp trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!