Bạn đang xem bài viết Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 3: Hàm Số Liên Tục được cập nhật mới nhất tháng 9 năm 2023 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.
Hàm số này có tập xác định là R {0}
b)
Từ đồ thị (H.7) dự đoán f(x) liên tục trên các khoảng (−∞;0), (0; +∞) nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,
– Với x < 0, f(x) = 1 – x cũng là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (−∞; 0)
Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì
Bài 4.33 trang 170 Sách bài tập Đại số 11: Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)Lời giải:
Xét hàm số
– Trường hợp x ≤ 0
f(x) = x + 2 là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]
f(x) = 1 / x 2 là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó.
Như vậy f(x) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)
Bài 4.34 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)Lời giải:
Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và
Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và
Bài 4.35 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại
Bài 4.36 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau:Ta có g(1) = -2 (1)
Vậy g(x) liên tục tại x = 1
Bài 4.37 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :Tập xác định của hàm số là D = R
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng (-∞; √2) và (√2; +∞)
– Tại x = √2:
Vậy hàm số liên tục tại x = √2
Kết luận : y = f(x) liên tục trên R
Vậy hàm số y = g(x) không liên tục tại x = 2
Kết luận: y = g(x) liên tục trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞) nhưng gián đoạn tại x = 2
Bài 4.38 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Tìm giá trị của tham số m để hàm số Bài 4.39 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh rằng phương trìnha) x 5 − 3x − 7 = 0 luôn có nghiệm;
Lời giải:
a) Xét f(x) = x 5 − 3x − 7 và hai số 0; 2.
c) Ta có
Hàm số f(x) = x 3 + 6x − 3 liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
Ta có f(0). f(1) = −3. 4 < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình x 3 + 6x − 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
Bài 4.40 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :b) m(2cosx − √2) = 2sin5x + 1
Lời giải:
f(x) = (1 − m 2)(x + 1) 3 + x 2 – x − 3 là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]
Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình (1 − m 2)(x + 1) 3 + x 2 – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
b) m(2cosx − √2) = 2sin5x + 1
Bài 4.41 trang 172 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh phương trìnhLời giải:
– Ta có
Do đó, f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Do đó, −f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
– Từ (1) và (2) suy ra f(a).f(b) < 0
Mặt khác, f(x) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]
Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.
Ví dụ minh hoạ :
Phương trình x 2 – 1 = 0 có nghiệm x = 1 hoặc x = -1 trong khoảng (-2; 2)
Bài 4.43 trang 172 Sách bài tập Đại số 11: Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học.Lời giải:
Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)
Minh hoạ hình hoạ (H.8):
Bài tập trắc nghiệm trang 172 Sách bài tập Đại số 11: Bài 4.44: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu:Lời giải:
D
Chọn đáp án:
Với giá trị nào của tham số a thì hàm số f(x) liên tục tại x = -1?
A. a = 2 B. a = 4 C. a = 3 D. a = 6
Lời giải:
Chọn đáp án: A
A. Không có nghiệm trong (-1; 3) B. Không có nghiệm trong (0; 1)
C. Có ít nhất hai nghiệm D. Chỉ có một nghiệm duy nhất
Lời giải:
Tính f(0), f(1), f(3) và nhận xét về dấu của chúng để kết luận.
Chọn đáp án: C
Bài tập trắc nghiệm Bài tập trắc nghiệm Bài tập trắc nghiệm Bài tập trắc nghiệm
Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 3: Hàm Số Liên Tục
Sách giải toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 135:
a) Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi x → 1;
b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.
b) Đồ thị hàm số f(x) liên tục tại x = 1
Đồ thị hàm số g(x) gián đoạn tại x = 1
Lời giải:
Cần thay số 5 bởi số 2 để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực R
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 138: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] với f(a) và f(b) trái dấu nhau.
Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a; b) không?
⦁ Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng (a; b)”.
⦁ Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm khoảng (a; b)”.
⦁ Bạn Tuấn thì cho rằng: “Đồ thị của hàm số y = f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a; b), chẳng hạn như đường parabol ở hình (h.58).
Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?
Lời giải:
– Bạn Lan nói đúng vì f(a) và f(b) trái dấu nên tồn tại ít nhất 1 giá trị x sao cho f(x) = 0, do đó đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm
– Bạn Hưng sai vì có thể có 2 giá trị x sao cho f(x) = 0
– Đường parabol trên hình 58 là đồ thị hàm số y 2 = x ⇒ đồ thị hàm số
y = f(x) sẽ là 1 nửa nằm trên hoặc 1 nửa nằm dưới trục hoành
Khi đó f(a) và f(b) cùng dấu, mâu thuẫn với điều kiện f(a) và f(b) trái dấu
Ví dụ của Tuấn sai
Lời giải:
Ta có:
y = f(x) là hàm số đa thức liên tục trên R.
Từ đó suy ra, phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x o ∈ (0;2)
Bài 1 (trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3+2x-1 tại x0=3. Bài 2 (trang 141 SGK Đại số 11): a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết :b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x 0=2.
Lời giải:
a) Ta có: g(2) = 5.
⇒ g(x) không liên tục tại x = 2.
b) Để g(x) liên tục tại x = 2
Vậy để hàm số liên tục tại x = 2 thì cần thay 5 bằng 12.
Bài 3 (trang 141 SGK Đại số 11): Cho hàm sốa. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.
Lời giải:
a) Đồ thị hàm số (hình bên).
Quan sát đồ thị nhận thấy :
+ f(x) liên tục trên các khoảng (-∞ ; -1) và (-1 ; ∞).
+ f(x) không liên tục tại x = -1.
⇒ không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = -1.
⇒ Hàm số không liên tục tại x = -1.
Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.
Bài 5 (trang 141 SGK Đại số 11): Ý kiến sau đúng hay sai?“Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x 0 và hàm số y = g(x) không liên tục tại x 0, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x 0 “.
Lời giải:
Ý kiến trên đúng, vì y = h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại x 0 thì h(x) – f(x) = g(x) liên tục tại x 0 (theo định lý 2 về hàm số liên tục) trái với giả thiết g(x) không liên tục tại x 0.
Bài 6 (trang 141 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình:a. 2x 3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b. cos x = x có nghiệm
Lời giải:
a. Đặt f(x) = 2x 3 – 6x + 1
TXĐ: D = R
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Ta có: f(-2) = 2.(-2) 3 – 6(-2) + 1 = – 3 < 0
f(1) = 2.1 3 – 6.1 + 1 = -3 < 0.
⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0
⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 1)
⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b. Xét hàm số g(x) = x – cos x liên tục trên R.
do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:
g(-π) = -π – cos (-π) = -π + 1 < 0
⇒ g(-π). g(π) < 0
⇒ phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (-π; π) tức là cos x = x có nghiệm.
Giải Bài Tập Toán 11 Bài 3: Hàm Số Liên Tục
Giải bài tập môn Toán lớp 11
Giải bài tập Toán 11 Giải tích: Hàm số liên tụcVnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh lớp 11 tài liệu Giải bài tập Toán 11 bài 3: Hàm số liên tục, nội dung tài liệu bao gồm 6 bài tập trang 140, 141 SGK kèm theo lời giải chi tiết sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập.
Giải bài tập Toán 11 Hàm số liên tụcBài 1 (trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x3+2x-1 tại x0=3.
Lời giải:
Bài 2 (trang 141 SGK Đại số 11):
b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x 0=2.
Lời giải:
Bài 3 (trang 141 SGK Đại số 11):
a. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm sso trên tập xác định của nó.
b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.
Lời giải:
a. Đồ thị hàm số (hình bên). Từ đồ thị ta thấy số gián đoạn tại x = -1.
Bài 5 (trang 141 SGK Đại số 11): Ý kiến sau đúng hay sai?
“Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 và hàm số y = g(x) không liên tục tại x0, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x 0“.
Lời giải:
Ý kiến trên đúng, vì y = h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại x 0 thì h(x) – f(x) = g(x) liên tục tại x 0 (theo định lý 2 về hàm số liên tục) trái với giả thiết g(x) không liên tục tại x 0.
Bài 6 (trang 141 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình:
a. 2x 3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b. cos x = x có nghiệm
Lời giải:
a. Đặt f(x) = 2x 3 – 6x + 1
TXĐ: D = R
Ta có: f(-2) = 2.(-2) 3 – 6(-2) + 1 = – 3 < 0
f(-2).f(-1) < 0
Mà f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên tập R. Do đó f(x) liên tục trên (-2; -1).
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x 0 ∈(-2; -1).
Tương tự ta có:
f(-1) = 2(-1) 3 – 6(-1) + 1 = 5
f(1) = 2 – 6 + 1 = -3
f(-1).f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm x 0 ∈ (-1;1).
Vì các đoạn (-2; -1) và (-1; 1) rời nhau nên các nghiệm nói trên không thể trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm.
b. Xét hàm số g(x) = x – cos x liên tục trên R, do đó liên tục trên đoạn [- π; π] ta có:
g(- π) = – π – cos (- π) = – π + 1 < 0
g(- π). g( π) <0
Theo định lí 3, phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (- π; π) tức là cos x = x có nghiệm.
Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Hàm Số Liên Tục
VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 3: Hàm số liên tục, chắc chắn nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.
Giải SBT Toán 11 bài 3Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.
Giải:
a)
b)
Từ đồ thị (H.7) dự đoán f(x) liên tục trên các khoảng (−∞;0),(0;+∞) nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,
– Với x<0,f(x)=1−x cũng là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (−∞;0)
Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì lim x→0+f(x)=−1,lim x→0− f(x)=1
Bài 3.2 trang 168 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11
Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)
Giải:
Xét hàm số
– Trường hợp x≤0
f(x)=x+2 là hàmđa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]
f(x)=1/x 2 là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó.
Như vậy f(x)f(x) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)
Tuy nhiên, vì lim x→0+f(x)=lim x→0+1/x 2=+∞ nên hàm số f(x) không có giới hạn hữu hạn tại x = 0. Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2)
Bài 3.3 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)
Giải:
Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và lim x→b− f(x)=f(b) (1)
Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và lim x→b+ f(x)=f(b) (2)
Từ (1) và (2) suy ra f(x) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b (vì lim x→b f(x)=f(b)). Nghĩa là nó liên tục trên (a; c)
Bài 3.4 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0
Chứng minh rằng nếu lim x→x0f(x)−f(x 0)/x−x 0=L thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0
Hướng dẫn: Đặt g(x)=f(x)−f(x 0)/x−x 0 −L và biểu diễn f(x)) qua g(x)
Giải:
Suy ra g(x) xác định trên (a;b)∖{x 0} và lim x→x0 g(x)=0
Vậy hàm số y=f(x) liên tục tại
Bài 3.5 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) f(x)=√x+5 tại x = 4;
b)
Giải:
a) Hàm số f(x)=√x+5 có tập xác định là [−5;+∞). Do đó, nó xác định trên khoảng (−5;+∞) chứa x = 4
Vì lim x→4f(x)=lim x→4 √x+5=3=f(4) nên f(x) liên tục tại x = 4
b) Hàm số:
có tập xác định là R
Ta có, g(1)=−2 (1)
lim x→1−g(x)=lim x→1− x−1/√2−x−1 (2)
=lim x→1−(x−1)(√2−x+1)/1−x
=lim x→1−(−√2−x−1)=−2
=lim x→1+g(x)=lim x→1+ (−2x)=−2 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra lim x→1 g(x)=−2=g (1)
Vậy g(x) liên tục tại x = 1
Bài 3.6 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)
Tập xác định của hàm số là D = R
– Nếu x≠√2 thì f(x)=x 2 −2/x−√2
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng (−∞;√2) và (√2;+∞)
– Tại x=√2:
=lim x→√2(x−√2)(x+√2)/x−√2
=lim x→√2(x+√2)=2√2=f(√2)
Vậy hàm số liên tục tại x=√2
Kết luận: y=f(x) liên tục trên R
– Nếu x≠2 thì g(x)=1−x/(x−2) 2 là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng (−∞,2) và (2,+∞)
Vậy hàm số y=g(x) không liên tục tại x = 2
Kết luận: y=g(x) liên tục trên các khoảng (−∞,2) và (2,+∞) nhưng gián đoạn tại x = 2
Bài 3.7 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
Giải:
m = 3
Bài 3.8 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Tìm giá trị của tham số m để hàm số
Giải:
m=±12
Bài 3.9 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng phương trình
a) x 5 −3x−7=0 luôn có nghiệm;
b) cos2x=sinx−2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (−π/6;π);
c) có nghiệm dương.
Giải:
a) Xét f(x)=x 5 −3x−7 và hai số 0; 2.
b) Xét f(x)=cos2x−2sinx+2f trên các khoảng (−π/6;π/2),(π/2;π)
c) Ta có,
Hàm số f(x)=x 3+6x−3 liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
Ta có f(0)f(1)=−3.4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình x 3+6x−3=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
Do đó, phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
Bài 3.10 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Phương trình x 4−3x 2+1=0 có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3)?
Giải:
Hướng dẫn: Xét f(x)=x 4−3x 3+1=0 trên đoạn [-1; 1]
Trả lời: Có.
Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số
Xét tính liên tục của hàm số A. Phương pháp giải & Ví dụ
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
– Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm x 0 ∈ D. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x 0 ta làm như sau:
+ Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x 0 và tính f(x 0)
+ Nếu tồn tại thì ta so sánh
với f(x 0).
Nếu = f(x 0) thì hàm số liên tục tại x 0
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x 0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.
2.
3. Hàm số liên tục tại x = x 0 ⇔ = k
4. Hàm số liên tục tại điểm x = x 0 khi và chỉ khi
Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Ta sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Ví dụ minh họaBài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3
Hướng dẫn:
1. Hàm số xác định trên R
Ta có f(3) = 10/3 và
Vậy hàm số không liên tục tại x = 3
2. Ta có f(3) = 4 và
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số
1. f(x) = tan2x + cosx
Hướng dẫn:
1. TXĐ:
Vậy hàm số liên tục trên D
2. Điều kiện xác định:
Vậy hàm số liên tục trên (1;2) ∪ (2,+∞)
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra
Hướng dẫn:
Ta có
Vậy hàm số liên tục tại x = 1
Bài 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra
Hướng dẫn:
Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = -1
Bài 5: Chọn giá trị f(0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0
Hướng dẫn:
Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
Hướng dẫn:
Ta có:
Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1
Bài 7: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
Hướng dẫn:
Ta có
Vậy hàm số liên tục tại x = 1
B. Bài tập vận dụngBài 1: Cho hàm số
Kết luận nào sau đây không đúng?
A. Hàm số liên tục tại x =-1
B. Hàm số liên tục tại x = 1
C. Hàm số liên tục tại x = -3
D. Hàm số liên tục tại x = 3
Bài 2: Cho hàm số
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -2
B. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
C. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0,5
D. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2
Bài 3: Cho với x ≠ 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x = 0?
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Bài 4: Cho hàm số . Hàm số f(x) liên tục tại:
A. Mọi điểm thuộc R
B. Mọi điểm trừ x = 0
C. Mọi điểm trừ x = 1
D. Mọi điểm trừ x = 0 và x = 1
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
với x < 1, x≠0 thì liên tục trên khoảng đó. Do đó f(x) liên tục tại mọi điểm. Đáp án A
Bài 5: Cho
Phải bổ sung thêm giá trị f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục trên R?
A. 0 B. 1 C. √2 D. 2
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Bài 6: Cho
Phải bổ sung thêm giá trị f(0)bằng bao nhiêu thì hàm f(x) liên tục trên R?
A. 5/7 B. 1/7 C. 0 D. -5/7
Bài 7: Cho hàm số
Kết luận nào sau đây là sai:
A. Hàm số liên tục tại x = -2
B. Hàm số liên tục tại x = 2
C. Hàm số liên tục tại x = -4
D. Hàm số liên tục tại x = 4
Bài 8: Cho
Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0?
A. 0 B. 1/2 C. 1/√2 D. 1/(2√2)
Bài 9: Cho hàm số
A. 11 B. 4 C. -1 D. -13
Bài 10: Cho hàm số . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -3
B. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
C. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2
D. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 3
Bài 11: Cho hàm số . Kết luận nào sau đây là đúng?
Kết luận nào sau đây không đúng?
A. Hàm số liên tục tại x = -2
B. Hàm số liên tục tại x = 2
C. Hàm số liên tục tại x = -1
D. Hàm số liên tục tại x = 1
Bài 12: Cho . Kết luận nào sau đây là đúng?
Phải bổ sung giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số đã cho liên tục trên R?
A. -4/7 B. 0 C. 1/7 D. 4/7
Bài 13: Cho hàm số . Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f(x) liên tục tại x = 2
(II) f(x) gián đoạn tại x = 2
(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2;2]
A. Chỉ (I) và (III) B. Chỉ (I) C. Chỉ (II) D. Chỉ (II) và (III)
Bài 14: Cho hàm số . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(I) f(x) gián đoạn tại x = 1
(II) f(x) liên tục tại x = 1
A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Chỉ (I) và (III) D. Chỉ (II) và (III)
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Bài 15: Cho hàm số . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(II) f(x) liên tục tại x = -2
(III) f(x) gián đoạn tại x = -2
A. Chỉ (I) và (III) B. Chỉ (I) và (II) C. Chỉ (I) D. Chỉ (III)
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Bài Tập Về Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số
– B1: Tìm tập xác định của hàm số.
– B2: Xét sự tồn tại của f(xo)
– B3: Xét sự tồn tại của
– B4: So sánh và f(xo)
Nếu hàm số có dạng thì tìm
* Nếu hàm số liên tục tại xo.
* Nếu hàm số gián đoạn tại xo.
XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại một điểm xo B1: Tìm tập xác định của hàm số. B2: Xét sự tồn tại của f(xo) B3: Xét sự tồn tại của B4: So sánhvà f(xo) Nếu hàm số có dạng thì tìm Nếu hàm số liên tục tại xo. Nếu hàm số gián đoạn tại xo. Nếu hàm số có dạng thì tìm VD: Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) tại x = 4 b) tại x = 0 c) tại x= 1 Giải Tập xác định: D=R Ta có: f(4) = 8 limx→4fx=limx→4x2-16x-4=limx→4 x-4x+4x-4=limx→4 x+4=8 Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4. Tập xác định: D=R Ta có hàm số fx không xác định tại x = 0 nên không tồn tại f0 Vậy hàm số fx không liên tục tại x= 0. Tập xác định: D=R Ta có: f1 = 1 (1) limx→1+fx=limx→1+x2+4x-4=1 limx→1-fx=limx→1- x2=1 ⇒limx→1+fx=limx→1-fx=1 ⇒limx→1fx=1 (2) Từ (1) và (2) ta có Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1. Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng (một đoạn) Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 Î (a; b) Þ f(x) liên tục trên (a; b) Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 Î (a; b) và Þ f(x) liên tục trên [a; b] VD : Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: Giải. Tập xác định: D=R f(x) =liên tục trên R3 Þ f(x) liên tục trên (3; +¥) (1) Với x < 3: f(x) = 2x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là R do đó hàm số f(x)= 2x+1 liên tục trên R Þ f(x) liên tục trên (-;3) . Với x = 3: * * Vì nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi x3. Do đó nó không liên tục tại x = 3. Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM. Phương pháp: Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. VD1:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x= -1: Giải.Tập xác định: D=R Ta có: f-1=m Hàm số trên liên tục tại x = -1 VD2: Định a để hàm số liên tục: trên R Giải Tập xác định: D=R Với x < 2: f(x) = x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là R do đó hàm số f(x) = x+1 liên tục trên R Þ f(x) liên tục trên (-;2) (2) Với x =2: f(2) = 3 Từ (1) và (2) Þ Hàm số f(x) liên tục trên R{2}Þ (f(x) liên tục trên R Û f(x) liên tục tại x = 2 Vậy a = thì f(x) liên tục trên R. Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a; b] B1: Biến đổi để vế phải là số 0. Đặt f(x) là vế trái. B2: Tìm tập xác định của f(x). Chứng tỏ f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. B3: Tìm 2 số c, d thuộc [a; b] (c < d) sao cho f(c).f(d)<0. Þ có xo Î (c; d): f(xo) = 0. Kết luận phương trình có nghiệm thuộc [a; b]. Chú ý: Muốn chứng minh f(x) = 0 có 2, 3, ... nghiệm trên [a; b] thì cần tìm 2, 3, ...khoảng rời nhau mà trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm. Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0. Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho: + Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi. + Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0. Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp số ai và bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời nhau, f(ai).f(bi)<0 và hàm số y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [ai;bi]. VD1: Chứng tỏ phương trình a) 3x4 + 4x3 - x2 + 2x - 1 = 3x +4 có nghiệm thuộc (-1; 3) b) x4 - x2 + 4x = 2x2 + 6 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2) Giải Ta có: 3x4 + 4x3 - x2 + 2x - 1 = 3x +4 Û 3x4 + 4x3 - x2 - x - 2 = 0 Đặt f(x) = 3x4 + 4x3 - x2 - x - 2 TXĐ: D=R Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R Þ f(x) liên tục trên [-1; 3] Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3 Þ f(0).f(1) = - 6 < 0 Þ f(x) có nghiệm xo Î (0; 1). Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3) Ta có: x4 - x2 + 4x = 2x2 + 6 Û x4 - 3x2 + 4x - 6 = 0 Đặt f(x) = x4 - 3x2 + 4x - 6 TXĐ: D=R Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R Þ f(x) liên tục trên [1; 2] Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6 Þ f(1).f(2) =- 24 < 0 Þ f(x) có nghiệm xo Î (1; 2). Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2) VD2: Chứng minh rằng phương trình 2x3 - 3x2 - 3x + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2) Giải: Đặt f(x) = 2x3 - 3x2 - 3x + 2 TXĐ: D=R Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên RÞ f(x) liên tục trên các đoạn [-2;0], [0;1], [1; 2]. Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3; f(1) = - 1; f(2) = 1 nên f(-2).f(0) = -57 < 0 Þ f(x) có nghiệm x1 Î (-2; 0) f(0).f(1) = -3 < 0 Þ f(x) có nghiệm x2 Î (0; 1) f(1).f(2) = -1 < 0 Þ f(x) có nghiệm x3 Î (1; 2) Vậy phương trình 2x3 - 3x2 - 3x + 2= 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2). VD3: CMR phương trình: 2x3- 5x2 +x +1=0 có ít nhất hai nghiệm. Giải: Xét hàm số f(x)= 2x3-5x2+x+1. TXĐ: D=R Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3]. Ta lại có: f(0)=1; f(1)= -1; f(3)=13. Do đó f(0).f(1)<0 Þ f(x) có nghiệm x1 Î 0; 1) f(1).f(3)<0 Þ f(x) có nghiệm x2 Î (1; 3) Vậy phương trình: 2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm. VD4. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m2- 4)(x-1)6+ 5x2 -7x+1=0 Giải. Xét hàm số f(x)=(m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1. Ta có f(x) liên tục trên R, suy ra f(x) liên tục trên [1;2]. Ta có f(1)= -1; f(2) = m2+3. Do đó f(1).f(2)<0 Vậy phương trình (m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1= 0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2), nghĩa là có nghiệm. BÀI TẬP Bài 1. Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R. Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó. Bài 3.Chứng minh rằng phương trình: 2x5 +3x4 +3x2 -1= 0 có ít nhất 3 nghiệm. c) 2x3 +3x2 +10x +200= 0 luôn có nghiệm. 4x4 +2x2 -x -28= 0 luôn có nghiệm Bài 4 :Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại . Bài 5: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = -1 Bài 6: Cho hàm số f(x) = . Xác định m để hàm số liên tục trên R.. Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại : Bài 8: Xét tính liên tục của các hàm số sau: 1, tại x = -2 2, f(x) = tại x = 3 Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng a) b) Bài 10: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số sau liên tục tại x0. với x0 = 2 Bài 11:a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x - 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). d) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm . e) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 3: Hàm Số Liên Tục trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!