Bạn đang xem bài viết Giải Tích Hàm – Bách Khoa Toàn Thư Việt Nam được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Giải tích hàm là một nhánh của giải tích toán học hiện đại nghiên cứu hàm số
y = f ( x )
{displaystyle y=f(x)}
mà ít nhất một trong các biến số
x
{displaystyle x}
hoặc
y
{displaystyle y}
biến thiên trong một không gian vô hạn chiều. Nhìn chung, các nghiên cứu trong giải tích hàm có thể chia thành ba phần: 1) Giới thiệu và nghiên cứu các không gian vô hạn chiều; 2) Nghiên cứu về các hàm số đơn giản nhất, tức là, khi
x
{displaystyle x}
nhận giá trị trong không gian vô hạn chiều và
y
{displaystyle y}
Khái niệm về không gian
[
sửa
]
Không gian vector tô pô ( xem Không gian vector tô pô) là không gian tổng quát nhất trong giải tích hàm. Đây là các không gian vector (tuyến tính)
X
{displaystyle X}
trên trường các số phức
C
{displaystyle mathbb {C} }
(hoặc bất kỳ trường nào khác, ví dụ số thực
R
{displaystyle mathbb {R} }
) đồng thời là không gian tô pô có cấu trúc tuyến tính và cấu trúc tô pô tương thích với nhau theo nghĩa các phép tính tuyến tính liên tục trong tô pô của không gian này. Nếu
X
{displaystyle X}
là một không gian số metric, thì khi đó chúng ta một không gian vector metric.
Một trường hợp đặc biệt của không gian vector tô pô nhưng rất quan trọng khi khái niệm về chuẩn
‖ x ‖
{displaystyle lVert xrVert }
(chiều dài) của một vector được định nghĩa bằng tiên đề. Một không gian vector với một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn (xem Không gian định chuẩn). Nó có thể được metric hoá băng cách xác định metric dựa trên chuẩn:
ρ ( x , y ) := ‖ x − y ‖
{displaystyle rho (x,y):=lVert x-yrVert }
. Một không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach (xem Không gian Banach) nếu nó đầy đối với metric được sinh ra bởi chuẩn.
Trong rất nhiều không gian vector chúng ta có thể định nghĩa tích vô hướng (xem Tich vô hướng)
( x , y )
{displaystyle (x,y)}
đối với hai vector bất kỳ
x
{displaystyle x}
và
y
{displaystyle y}
. Tích vô hướng này là tổng quát hóa của tích vô hướng thông thường trong không gian Euclid ba chiều. Một không gian vector với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Đây là một trường hợp đặc biệt của không gian chuẩn với chuẩn được định nghĩa là
‖ x ‖ :=
( x , x )
{displaystyle lVert xrVert :={sqrt {(x,x)}}}
. Nếu không gian này đầy, thì nó được gọi là không gian Hilbert (xem Không gian Hilbert).
Các không gian vô hạn chiều được nghiên cứu trong giải tích hàm, tức là các không gian trong đó có một tập hợp vô hạn các vector tuyến tính độc lập.
Trên quan điểm hình học, không gian định chuẩn đơn giản nhất là không gian Hilbert
H
{displaystyle H}
, có các thuộc tính hầu hết giống với không gian hữu hạn chiều, vì trong không gian Hilbert chúng ta có thể đưa ra một khái niệm tương tự như góc giữa hai vector qua tích vô hướng. Đặc biệt, hai vector
x
{displaystyle x}
và
y
{displaystyle y}
được cho là trực giao:
x ⊥ y
{displaystyle xbot y}
, nếu
( x , y ) = 0
{displaystyle (x,y)=0}
. Chúng ta có khẳng định sau: Cho
G
{displaystyle G}
là một không gian con của
H
{displaystyle H}
, khi hình chiếu
x
G
{displaystyle x_{G}}
của một vector bất kỳ
x
{displaystyle x}
lên
G
{displaystyle G}
là một vector sao cho
x −
x
G
{displaystyle x-x_{G}}
trực giao với mọi vector trong
G
{displaystyle G}
. Do tính chất hình học này, một số lượng lớn các cấu trúc hình học có trong không gian hữu hạn chiều có thể được chuyển cho không gian Hilbert là một đối tương nghiên cứu mang đặc tính giải tích.
Các vấn đề về cấu trúc hình học trở nên phức tạp hơn khi chúng ta đi từ không gian Hilbert đến không gian Banach, và các không gian vector tô pô, vì phép chiếu trực giao không có nghĩa trong các không gian này. Ví dụ, trong không gian
φ
p
(
N
, 1 ≤ p ≤ ∞ )
{displaystyle varphi _{p}(mathbb {N} ,1leq pleq infty )}
, các vectơ
e
n
:= ( 0 , . . . , 0 , 1 , 0 , . . . )
{displaystyle e_{n}:=(0,…,0,1,0,…)}
tạo thành một cơ sở theo nghĩa mỗi vector
x ∈
φ
p
(
N
)
{displaystyle xin varphi _{p}(mathbb {N} )}
có thể biểu diễn “theo toạ độ”:
x =
∑
n = 1
∞
x
n
e
n
{displaystyle x=sum _{n=1}^{infty }x_{n}e_{n}}
Việc xây dựng cơ sở cho không gian
C [ a , b ]
{displaystyle C[a,b]}
Các không gian hàm cụ thể mà chúng ta biết đén đã được nghiên cứu chi tiết, vì tính chất của các không gian này thường xác định đặc tính của lời giải cho một vấn đề bằng các phương pháp giải tích hàm. Các định lý nhúng đối với các không gian Sobolev (xem Không gian Sobolev), và các tổng quát hóa khác nhau của chúng, có thể là một ví dụ.
Tổng trực giao H = ⨁ n = 1 ∞ H n {displaystyle H=bigoplus _{n=1}^{infty }H_{n}}
H
n
{displaystyle H_{n}}
Thương của một không gian: Cho ( x , y ) {displaystyle (x,y)}
X
{displaystyle X}
( x , x ) = 0
{displaystyle (x,x)=0}
x ≠ 0
{displaystyle xneq 0}
H
{displaystyle H}
X
{displaystyle X}
x
{displaystyle x}
( x , x ) = 0
{displaystyle (x,x)=0}
0 ∈ H
{displaystyle 0in H}
Tích tensor H = ⨁ n = 1 ∞ H n {displaystyle H=bigoplus _{n=1}^{infty }H_{n}}
H
n
{displaystyle H_{n}}
Phiếm hàm
[
sửa
]
Cho
X
{displaystyle X}
là một không gian Banach và
X
∗
{displaystyle X^{*}}
là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
X
{displaystyle X}
. Khi đó
X
∗
{displaystyle X^{*}}
là không gian vector đối với các phép tính cộng và nhan với một số thông thường. Tập hợp
X
∗
{displaystyle X^{*}}
sẽ trở thành một không gian Banach nếu ta đưa ra định nghĩa chuẩn như sau
‖
x
∗
‖ :=
sup
x ∈ X , ‖ x ‖ ≤ 1
‖ ⟨
x
∗
, x ⟩ ‖
{displaystyle lVert x^{*}rVert :=sup _{xin X,lVert xrVert leq 1}lVert langle x^{*},xrangle rVert }
ở đây
⟨
x
∗
, x ⟩
{displaystyle langle x^{*},xrangle }
là giá trị của phiếm hàm
x
∗
{displaystyle x^{*}}
tại
x
{displaystyle x}
. Không gian
X
∗
{displaystyle X^{*}}
được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của
X
{displaystyle X}
(xem Không gian liên hợp).
Nếu X là hữu hạn chiều, thì mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng
⟨
x
∗
, x ⟩ =
∑
n = 1
d
x
n
∗
x
n
{displaystyle langle x^{*},xrangle =sum _{n=1}^{d}x_{n}^{*}x_{n}}
với
d
{displaystyle d}
là số chiều của
X
{displaystyle X}
,
x
n
{displaystyle x_{n}}
là toạ độ của
x
{displaystyle x}
và
x
n
∗
{displaystyle x_{n}^{*}}
là các số được xác đinh bởi phiếm hàm
X
∗
{displaystyle X^{*}}
. Công thức này còn đúng trong không gian Hilbert
H
{displaystyle H}
: Theo định lý Riesz, đối với mọi phiến hàm tuyến tính liên tục
x
∗
∈
X
∗
{displaystyle x^{*}in X^{*}}
, tồn tại một phần tử
a ∈ X
{displaystyle ain X}
, sao cho
⟨
x
∗
, x ⟩ = ( a , x )
{displaystyle langle x^{*},xrangle =(a,x)}
Công thức này cho thấy không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó.
Đối với không gian Banach, tình hình trở nên phức tạp hơn: Có thể xây dựng
X
∗ ∗
:= (
X
∗
)
∗
,
X
∗ ∗ ∗
:= ( (
X
∗
)
∗
)
∗
, . . .
{displaystyle X^{**}:=(X^{*})^{*},X^{***}:=((X^{*})^{*})^{*},…}
nhưng những không gian này có thể rất khác biệt. Mặt khác, luôn tồn tại một phép nhúng chính tắc từ
X
{displaystyle X}
vào
X
∗ ∗
{displaystyle X^{**}}
đặt tướng ứng phần tử
x
∗ ∗
∈
X
∗ ∗
{displaystyle x^{**}in X^{**}}
x∗∗ ∈ X∗∗ với mọi phần tử
x ∈ X
{displaystyle xin X}
theo công thức
⟨
x
∗ ∗
,
x
∗
⟩ = ⟨
x
∗
, x ⟩
{displaystyle langle x^{**},x^{*}rangle =langle x^{*},xrangle }
. Các không gian
X
{displaystyle X}
có
X
∗ ∗
= X
{displaystyle X^{**}=X}
được gọi là không gian phản xạ. Nói chung, trong trường hợp không gian Banach, ngay cả sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến tính không tầm thường (nghĩa là, không đồng nhất bằng 0) cũng không phải là một vấn đề đơn giản. Vấn đề này dễ dàng được giải quyết một cách khẳng định nhờ có định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach).
Đối với một số không gian cụ thể, không gian liên hợp có thể được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, đối với phần lớn các không gian Banach, và đặc biệt là đối với không gian véc tơ tôpô, các phiếm hàm là các phần tử kiểu mới không thể biểu diễn đơn giản bằng ngôn ngữ của giải tích cổ điển. Các phần tử của không gian liên hợp còn được gọi là hàm suy rộng (xem Hàm suy rộng).
Toán tử
[
sửa
]
Một trong những đối tượng chính của các nghiên cứu trong giải tích hàm là toán tử
A
{displaystyle A}
từ không gian vector tô pô
X
{displaystyle X}
vào không gian vector tô pô
Y
{displaystyle Y}
(phần lớn,
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
là định chuẩn hay Hilbert), trước tiên là cả các toán tử tuyến tính (xem Toán tử tuyến tính).
Khi
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
có
d
{displaystyle d}
chiều hữu hạn, toán tử tuyến tính
A
{displaystyle A}
có dạng
( A x
)
j
=
∑
n = 1
d
a
j n
x
n
,
{displaystyle (Ax)_{j}=sum _{n=1}^{d}a_{jn}x_{n},}
ở đây
x
1
, . . .
x
d
{displaystyle x_{1},…x_{d}}
là toạ độ của vector
x
{displaystyle x}
đối với một cơ sở nhất định, và
A ( x
)
1
, . . . , ( A x
)
d
{displaystyle A(x)_{1},…,(Ax)_{d}}
là toạ độ của vector
y = A x
{displaystyle y=Ax}
. Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, mỗi toán tử tuyến tính đối với các cơ sở xác định trong
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
, có một ma trận tương ứng
(
a
i j
)
i , j = 1
d
{displaystyle (a_{ij})_{i,j=1}^{d}}
. Việc nghiên cứu những toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều thuộc về đại số tuyến tinh (xem Đại số tuyến tính).
Tình hình trở nên phức tạp hơn khi
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
là không gian vô hạn chiều (thậm chí cả khi là không gian Hilbert). Trước hết, hai lớp toán tử xuất hiện ở đây: các toán tử liên tục hay toán tử bị chặn) và toán tử không liên tục. Các toán tử loại đầu tiên là đơn giản hơn, nhưng loại thứ hai lại hay gặp hơn, ví dụ: các toán tử vi phân là toán tử không liên tục.
Lớp quan trọng (nhất là đối với cơ học lượng tử) của các toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert đã được nghiên cứu hầu như triệt để (xem Toán tử tự liên hợp).
Trong số các lớp đặc biệt của các toán tử trên một không gian Banach, các toán tử liên tục hoàn toàn hoặc toán tử compact (xem Toán tử liên tục hoàn toàn, Toán tử compact) có vai trò quan trọng nhất. Nếu
A
{displaystyle A}
là một toán tử compact, thì phương trình
x − A x = y
{displaystyle x-Ax=y}
(với
y
{displaystyle y}
là một vector cho trước và
x
{displaystyle x}
là vector cần tìm) đã được nghiên cứu kỹ. Các khẳng định tương tự đối với phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều cũng đúng đối với phương trình này (còn được gọi là lý thuyết Fredholm). Đối với toán tử compact
A
{displaystyle A}
, người ta nghiên cứu điều kiện để các vector vector riêng của
A
{displaystyle A}
X
{displaystyle X}
Các kết quả cơ bản
[
sửa
]
Bây giờ chúng ta sẽ điểm qua một số kết quả cơ bản quan trọng nhất của giải tích hàm. Đó là định lý Hahn-Banach, nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, định lý ánh xạ mở Banach-Schauder và đinh lý đồ thị đóng.
Trước tiên là định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach). Định lý HahnBanach là một công cụ trung tâm trong giải tích hàm. Nó cho phép mở rộng các phiếm hàm tuyến tính bị chặn, được xác định trên một không gian con của không gian vector ra toàn bộ không gian, và nó cũng cho thấy rằng có “đủ” phiếm hàm tuyến tính liên tục được xác định trên mỗi không gian định chuẩn để nghiên cứu không gian liên hợp của nó trở nên đáng được quan tâm. Chúng ta có định lý sau đây.
Định lý Hahn-Banach. Nếu
p : X →
R
{displaystyle p:Xto mathbb {R} }
là một hàm dưới tuyến tính xác định trên không gian vector thực
X
{displaystyle X}
, và
φ
{displaystyle varphi }
là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên một không gian con
Y
{displaystyle Y}
của
X
{displaystyle X}
sao cho
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ X ,
{displaystyle varphi (x)leq p(x)forall xin X,}
thì tồn tại một hàm tuyến tính
/
l a m b d a
{displaystyle /lambda}
xác đinh trên toàn bộ không gian
X
{displaystyle X}
sao cho
λ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ Y , λ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ X
{displaystyle lambda (x)=varphi (x)forall xin Y,lambda (x)leq p(x)forall xin X}
.
Nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, hay còn được gọi là Định lý BanachSteinhaus (xem Định lý Banach-Steinhaus). Nguyên lý này khẳng định rằng đối với một họ các toán tử tuyến tính liên tục (và do đó bị chặn) có miền xác định là một không gian Banach, sự bị chặn theo từng điểm tương đương với sự bị chặn đều theo chuẩn. Định lý này được công bố lần đầu tiên vào năm 1927 bởi Stefan Banach và Hugo Steinhaus, nhưng nó cũng đã được Hans Hahn chứng minh một cách độc lập. Cụ thể hơn, chúng ta có định lý sau đây.
Định lý Banach-Steinhaus. Cho
X
{displaystyle X}
là không gian Banach và
Y
{displaystyle Y}
là một không gian véc tơ định chuẩn. Giả sử
F
{displaystyle F}
là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ
X
{displaystyle X}
đến
Y
{displaystyle Y}
. Nếu với mọi
x i n X
{displaystyle x inX}
ta có
sup
T ∈ F
‖ T ( x )
‖
Y
< ∞
{displaystyle {text{sup}}_{Tin F}lVert T(x)rVert _{Y}<infty }
khi đó
sup
T ∈ F
‖ T ( x )
‖
B ( X , Y )
< ∞
{displaystyle {text{sup}}_{Tin F}lVert T(x)rVert _{B(X,Y)}<infty }
Định lý lập ánh xạ mở [sửa] Bài chi tiết: Định lý lập ánh xạ mở. Định lý lập ánh xạ mở, hay còn được gọi là định lý Banach-Schauder (được đặt tên theo Stefan Banach và Juliusz Schauder), là một kết quả cơ bản cho biết nếu một toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach là một phép tính thì đó là một ánh xạ mở. Cụ thể hơn,: [2]
Định lý ánh xạ mở. Nếu
X
{displaystyle X}
và
Y
{displaystyle Y}
là không gian Banach và
A : X → Y
{displaystyle A:Xto Y}
là toán tử tuyến tính liên tục từ
X
{displaystyle X}
lên
Y
{displaystyle Y}
, thì
A
{displaystyle A}
là một ánh xạ mở, tức là, nếu
U
{displaystyle U}
là tập hợp mở trong
X
{displaystyle X}
, thì
A ( U )
{displaystyle A(U)}
là tập hợp mở trong
Y
{displaystyle Y}
.
Định lý đồ thị đóng. Bài chi tiết: Định lý đồ thị đóng Định lý đồ thị khép kín nói lên điều sau: Nếu
X
{displaystyle X}
là không gian tô pô và
Y
{displaystyle Y}
là một không gian compact Hausdorff, thì đồ thị của một ánh xạ tuyến tính
A
{displaystyle A}
từ
X
{displaystyle X}
đến
Y
{displaystyle Y}
đóng khi và chỉ khi
A
{displaystyle A}
là liên tục [3].
Tài liệu tham khảo
[
sửa
]
N. I. [N. I. Akhiezer] Ahiezer, Theory of linear operators in Hilbert space, 1–2 , Pitman, 1984 (Translated from Russian).
S. S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Hafner, 1932.
S. S. Banach, A course of functional analysis, Kiev, 1948 (In Ukrainian).
N. Bourbaki, Elements of mathematics. Topological vector spaces, Springer, 1987 (Translated from French).
J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer, 1985.
N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators, 1–3 , Interscience, 1958–1971.
P. Enflo,¨ A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta. Math. , 130 (1973) pp. 309–317.
A. Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo , 8 (1956) pp. 1–79.
E. Hille and R.S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc., 1957.
L. V. Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, Uspekhi Mat. Nauk , 3 : 6 (1948) pp. 89–185 (In Russian).
L. V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functionalanalysis in normierten Raumen ¨ , Akademie Verlag, 1964 (Translated from Russian).
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis, 1–2 , Graylock, 1957–1961 (Translated from Russian).
J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces , 1–2 , Springer, 1977–1979.
M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, 1–4 , Acad. Press, 1972–1978.
F. Riesz and B. Szokefalvi-Nagy, ¨ Functional analysis, F. Ungar, 1955 (Translated from French).
W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.
H. H. Schaefer, Topological vector spaces, Macmillan, 1966.
S. L. Sobolev, Applications of functional analysis in mathematical physics, Amer. Math. Soc., 1963 (Translated from Russian).
W. I. [V.I. Sobolev] Sobolew, Elemente der Funktionalanalysis, H.Deutsch , Frankfurt a.M., 1979 (Translated from Russian).
K. Yosida, Functional analysis, Springer, 1980, pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5.
Từ Giải Nobel Y Học 2022, Con Đường Nào Cho Bệnh Nhân Ung Thư Việt Nam?
Theo đó, nhà miễn dịch học James P. Allison đã tìm ra loại protein CTLA-4 có chức năng kích thích khả năng của các tế bào miễn dịch T trong việc chống lại khối u nếu như được “thả phanh”. Với nguyên lý trên, nhà miễn dịch học Tasuku Honjo phát hiện ra loại protein PD-1 trong tế bào miễn dịch cũng có khả năng tương tự nhưng khác cơ chế hoạt động của CTLA-4.
Cơ chế hoạt động của protein PD-1 trong việc điều trị ung thư, phát hiện của ông Honjo. Ảnh: Twitter/Nobel Prize.Trả lời báo chí, BS Lê Tuấn Anh, Phó Giám đốc Trung tâm Ung bướu, Bệnh viện (BV) Chợ Rẫy (TP.HCM) cho biết : “Trên bề mặt các tế bào bạch cầu lympho có những thụ thể được gọi là các điểm kiểm soát miễn dịch (chốt kiểm) hoạt động như những “công tắc” để điều hòa hoạt động giúp tránh các tế bào bạch cầu hoạt động quá mức sinh ra các bệnh tự miễn.
Tế bào ung thư có thể tạo ra một số chất để tắt “công tắc”, khiến tế bào bạch cầu lympho rơi vào trạng thái ngủ yên. Từ đó giúp chúng thoát khỏi sự tấn công của các tế bào miễn dịch. Các nhà khoa học đã tìm ra cơ chế này, tạo ra nền tảng cho liệu pháp miễn dịch trong ung thư” – BS Tuấn Anh cho biết.
Bằng việc lợi dụng hệ thống miễn dịch để chống lại tế bào ung thư, nhiều hãng dược phẩm lớn đã sản xuất ra các kháng thể đơn dòng như Pembrolizumab, Nivolumab, Atezolimumab, Durvalumab… để trung hòa các chất thủ phạm trên bề mặt tế bào ung thư, kích hoạt các tế bào bạch cầu lympho tăng hoạt động trở lại, giúp nhận diện và tiêu diệt tế bào ác tính.
Hiện tại, Bộ Y tế đã cấp visa lưu hành cho thuốc Pembrolizumab tại Việt nam và được chỉ định điều trị cho các trường hợp như:
(1) Bệnh nhân trưởng thành bị melanoma tiến triển (không thể cắt bỏ hoặc di căn);
(2) Điều trị bước đầu ung thư phổi không tế bào nhỏ di căn ở người lớn;
(3) Điều trị ung thư phổi không tế bào nhỏ tiến triển tại chỗ hoặc di căn ở người lớn có tỷ lệ khối u (TPS) ≥ 1% và những người đã nhận được ít nhất một phác đồ hóa trị liệu trước đó.
Nhiều bệnh viện như BV Ung bướu TPHCM, BV K Hà Nội, BV Bình Dân (TPHCM)… đã triển khai liệu pháp trên.
Tuy nhiên, không phải bệnh nhân ung thư nào cũng có thể được điều trị bằng phương pháp này mà cần phải làm một số xét nghiệm về mô bệnh học để xác định khả năng điều trị có hiệu quả hay không.
Bên cạnh đó một đợt dùng thuốc cũng khá tốn kém bởi mỗi lọ thuốc có giá hơn 62 triệu đồng. Mỗi lần bệnh nhân sử dụng 2 lọ thuốc, phác đồ dùng thuốc 3 tuần một lần và kéo dài 1 – 2 năm hoặc hơn. Chưa kể nhiều chi phí khác như xét nghiệm, dịch các loại…
Theo Đ.P
Lao động
Hàm Trơn Không Giải Tích
Xét hàm Hàm được gọi là trơn, còn gọi khả vi vô hạn, nếu nó có đạo hàm mọi cấp trên Hàm được gọi là hàm giải tích nếu nó trơn và chuỗi Taylor tại mọi điểm trên của nó đều hội tụ đến nó trong một lân cận của điểm đang xét.
Như ta đã biết hàm
là hàm trơn và không giải tích tại
Từ đây, không khó khăn lắm, ta có thể xây dựng được hàm trơn và không giải tích tại tối đa đếm được điểm. Liệu có hàm trơn nào mà nó không giải tích tại mọi nơi không?
Trước hết ta đến với điều kiện cần và đủ để một hàm trơn là hàm giải tích:
Cho trước hàm trơn . Khi đó điều kiện cần và đủ để giải tích là:
với bất kỳ điểm đều có các số dương (phụ thuộc ) sao cho
và
Việc kiểm tra hàm ở trên không thỏa mãn điều kiện này nói chung không đơn giản. Các bạn thử kiểm tra xem sao?
Ta sẽ dùng điều kiện trên để chỉ ra rằng tập các hàm giải tích là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật trong không gian các hàm trơn với khoảng cách được định nghĩa bởi
với giảm về , còn tăng đến
Với khoảng cách này không gian các hàm trơn là không gian Khi đó nó là không gian metric đầy đủ.
Từ điều kiện trên ta có:
– nếu giải tích tại thì có để ,
– nếu giải tích tại thì nó giải tích quanh một lân cận của điểm .
Khi đó tập các hàm giải tích thuộc vào hợp đếm được
Có thể thấy rằng:
– tập là đóng trong ,
.
Như vậy là tập không đâu trù mật. Mà là không gian metric đầy đủ nên
.
Như vậy có hàm trơn mà không giải tích tại mọi điểm.
Cách chứng minh trên, theo James Dugundji là của H. Salzmann và K. Zeller.
Cách tiếp cận khác chỉ ra cụ thể các hàm trơn và không giải tích tại mọi điểm. Để tiếp tục, tôi đưa ra cách của Sung S. Kim and Kil H. Kwon. Cách này có sử dụng hàm như trên. Cụ thể xét hàm
Kim và Kwon chứng minh được hàm
là hàm trơn và không đâu giải tích.
Có thể thấy hàm :
– là hàm không âm, tuần hoàn chu kỳ 1,
– trơn và có đạo hàm mọi cấp tại các điểm nguyên đều bằng 0.
Để chứng minh tính không đâu giải tích ta chỉ cần chứng minh không giải tích tại các điểm dạng:
với lẻ.
Các bạn thử giải thích tại sao?
Với , có
nên là các hàm giải tích tại
Còn với có
Ngoài ra
.
Do đó
không giải tích tại .
Nói cách khác không giải tích tại
Vài nhận xét về ví dụ cụ thể trên:
– Hàm là hàm không âm nên nếu lấy nguyên hàm của nó ta được hàm trơn, đơn điệu tăng và không đâu giải tích.
– Chuỗi Taylor của hàm tại các điểm hội tụ tại mọi điểm trên đường thẳng thực, nói cách khác nó có bán kính hội tụ .
Về nhận xét thứ hai, có hai câu hỏi:
– Tại những điểm khác , chuỗi Taylor của không hội tụ đến hàm trong lân cận của nó. Nó có hội tụ không? Bán kính hội tụ của nó liệu có bằng vô cùng?
– Có ví dụ nào khác về hàm trơn không đâu giải tích mà chuỗi Taylor tại bất kỳ điểm nào cũng có bán kính ?
Ta trả lời câu hỏi thứ hai bằng ví dụ
.
Giống ví dụ trước ta chỉ xét tại các điểm
với lẻ.
Từ đây dùng công thức Hadamard-Cauchy ta có
Như vậy bán kính hội tụ của chuỗi Taylor tại mỗi điểm bằng
Ta cũng gặp câu hỏi tương tự câu hỏi đầu cho hàm ở trên. Các bạn thử chứng minh tại những điểm còn lại chuỗi Taylor của hàm cũng có bán kính hội tụ ?
Với hàm , tại những điểm còn lại có những điểm giống như trường hợp hàm . Điều này được dẫn từ kết quả:
– (R. Boas) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn không đâu giải tích có bán kính hội tụ là tập trù mật trong .
– (Z. Zahorski) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn hội tụ trong một lân cận của điểm đang xét và không hội tụ đến hàm trơn trong lân cận bất kỳ của điểm đang xét là tập thuộc phạm trù thứ nhất dạng nghĩa là hợp đếm được các tập đóng không đâu trù mật.
Share this:
Like this:
Số lượt thích
Đang tải…
Giải Tích Hàm Là Gì ?
(Trích từ trang http://vi.wikipedia.org/wiki/Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_h%C3%A0m)
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian vector được trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng.
Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử đã dẫn đến việc nghiên cứu các đại số topo, một đối tượng khác của giải tích hàm. Các kết quả và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn, …
Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm, …, đến nay giải tích hàm tích lũy được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học.
Các khái niệm cơ bản
Các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian (còn gọi là đồng cấu). 2 trường hợp đặc biệt quan trọng là các phiếm hàm tuyến tính liên tục (dạng tuyến tính liên tục) và các tự đồng cấu.
Giống như với các không gian, ta có các đại số tương ứng. Các đại số này dựa trên mô hình của đại số các tự đồng cấu, vì thế nên lý thuyết tổng quát về các đại số còn được gọi là lý thuyết đại số toán tử. Chú ý là khác với các không gian, các đại số thường chỉ xét trên trường số phức. Điều này là tự nhiên vì các tự đồng cấu chỉ có thể nghiên cứu “tốt” khi trường cơ sở là đóng đại số. Ngoài ra, dựa trên các tự đồng cấu tự liên hợp, người ta định nghĩa một lớp đại số định chuẩn rất quan trọng là các C*-đại số, không có sự tương ứng với các không gian!
Vào năm 1932, Banach xuất bản cuốn sách “Lý thuyết toán tử”, nội dung bao gồm những kết quả được biết vào thời đó về lý thuyết các không gian định chuẩn, đặc biệt là các định lý của Banach đã công bố trong các bài báo từ năm 1922-1929… Cuốn sách này làm cho Giải tích hàm có một tác động như cuốn sách của Van der Waerden về đại số, được xuất bản hai năm trước đó. Các nhà giải tích trên thế giới bắt đầu nhận thức được sức mạnh của phương pháp mới và áp dụng chúng vào các lĩnh vực khác nhau; các ký hiệu và thuật ngữ của Banach được chấp nhận rộng rãi, không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach rồi chẳng bao lâu, lý thuyết này trở thành một phần bắt buộc trong chương trình đại học… (Theo J. Dieudonné (1981))
Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Tích Hàm – Bách Khoa Toàn Thư Việt Nam trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!