Bạn đang xem bài viết Giải Toán 7 Bài 11: Số Vô Tỉ. Khái Niệm Về Căn Bậc Hai được cập nhật mới nhất tháng 9 năm 2023 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 11
Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán lớp 7. Lời giải hay bài tập Toán 7 này gồm các bài giải tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán. Mời các bạn tham khảo.
Giải SGK Toán 7 bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 1 Bài 11 trang 41Tìm căn bậc hai của 16
Lời giải
Nên 4 và – 4 là các căn bậc hai của 16
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 1 Bài 11 trang 41Viết các căn bậc hai của: 3; 10; 25
Lời giải
Ta có: Các căn bậc hai của 3: √3 ;-√3
Các căn bậc hai của 10: √10 ;-√10
Các căn bậc hai của 25: 5 ; – 5
Bài 82 (trang 41 SGK Toán 7 Tập 1)Theo mẫu: Vì 2 2 = 4 nên √4 = 2. Hãy hoàn thành bài tập sau
a) Vì 5 2 = … nên √ = 5
b) Vì 7 … . = 49 nên … = 7
c) Vì 1 … = 1 nên √1 =
Lời giải:
a) Vì 5 2 = 25 nên √25 = 5
b) Vì 7 2 = 49 nên √49 = 7
c) Vì 1 2 = 1 nên √1 = 1
Bài 83 (trang 41 SGK Toán 7 Tập 1)Ta có √25 = 5 ; -√25 = -5 ; √(-5) 2 = √25 = 5
Theo mẫu trên hãy tính
Lời giải:
a) √36 = 6
b) -√16 = -4
Bài 84 (trang 41 SGK Toán 7 Tập 1)Nếu √x = 2 thì x 2 bằng
A. 2 ; B. 4 ; C. 8 ; D. 16
Lời giải:
Ta có √x = 2 nên x = 4
Vậy chọn D
Bài 85 (trang 42 SGK Toán 7 Tập 1)Điền số thích hợp vào ô trống.
Bài 86 (trang 42 SGK Toán 7 Tập 1)Sử dụng máy tính bỏ túi
Lời giải:
Hình dưới là cách bấm máy tính và kết quả của các phép tính trên:
………………………….
Giải Sách Bài Tập Toán 7 Bài 11: Số Vô Tỉ. Khái Niệm Về Căn Bậc Hai
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 7 Bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 106 trang 27 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Điền số thích hợp vào các bảng sau:Lời giải:
Bài 107 trang 28 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Tính: Bài 108 trang 28 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Trong các số sau đây số nào có căn bậc hai? Hãy cho biết căn bậc hai không âm của các số đó:a =0 b= -25 c= 1
Lời giải:
Các số có căn bậc hai:
Ta có
√a= 0 =0 √c =1 √d = 16 + 9 = √25 = 5
Bài 109 trang 28 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Hãy cho biết mỗi số sau đây là căn bậc hai của số nào:a= 2; b = -5; c =1; d =25; e =0; g = √7;
Lời giải:
a= 2 là căn bậc hai của 4
b = -5 là căn bậc hai của 25;
c = 1 là căn bậc hai của 1
d = 25 là căn bậc hai của 625
e = 0 là căn bậc hai của 0;
g = √7 là căn bậc hia của 7;
h = 3/4 là căn bậc hai của 9/16
i= √4 -3 = 2-3 =-1 là căn bậc chia của 1
Bài 110 trang 28 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Tìm căn bậc hai không âm của các số sau:a. 16; 1600;0,16; 16 2
c. 1; 100; 0,01; 10000
d. 0,04; 0,36; 1,44; 0,0121
Bài 111 trang 28 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Trong các số sau số nào bằng 3/7?Lời giải:
Tất cả các số đều bằng 3/7
Bài 112 trang 29 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Trong các số sau số nào không bằng 2,4? Bài 113 trang 29 sách bài tập Toán 7 Tập 1: a. Điền số thích hợp vào ô trống(…):b, Viết tiếp ba đẳng thức nữa vào danh sách trên.
Bài 114 trang 29 sách bài tập Toán 7 Tập 1: a) Điền số thích hợp vào chỗ trống:b, Viết tiếp ba đẳng thức nữa vào danh sách trên
Bài 115 trang 29 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho x là số hữu tỉ khác 0, y là một số vô tỉ. Chứng tỏ rằng : x + y và x.y là những số vô tỉ.Lời giải:
Giả sử x + y = z là một số hữu tỉ.
Suy ra y = z -x ta có z hữu tỉ, x hữu tỉ thì z – x là một số hữu tỉ
y ∈ Q trái giả thiết y là số hữu tỉ
Vậy x + y là số vô tỉ
Giả sử x.y là một số vô tỉ
Suy ra y = z : x mà x ∈ Q, z ∈ Q
Suy ra y ∈ Q trái giả thiết y là số vô tỉ
Vậy xy là số vô tỉ
Bài 116 trang 29 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Biết a là số vô tỉ. Hỏi b là số vô tỉ hay hữu tỉ, nếu:a) a + b là số vô tỉ?
b) a.b là số hữu tỉ?
Vì a là số vô tỉ nên b là số vô tỉ
Vì a là số vô tỉ nên b là số vô tỉ
Bài 11.1 trang 29 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Trong các số √(289); (-1)/11; 0,131313…; 0,010010001…, số vô tỉ là số:(A) √(289); (B) (-1)/11;
(C) 0,131313…; (D) 0,010010001…
Hãy chọn đáp án đúng.
Lời giải:
Chọn (D) 0,010010001…
Bài 11.2 trang 29 sách bài tập Toán 7 Tập 1: √(256) bằng:(A) 128; (B) -128;
(C) 16; (D) ±16.
Hãy chọn đáp án đúng.
Lời giải:
Chọn (C) 16.
Bài 11.3 trang 30 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh:√(40+2) với √40 + √2.
Bài 11.4 trang 30 sách bài tập Toán 7 Tập 1:Hãy so sánh A và B.
Bài 11.5 trang 30 sách bài tập Toán 7 Tập 1:a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
b) Tìm giá trị lớn nhất của B.
Lời giải:
a) Ta có:
A đạt giá trị nhỏ nhất là 3/11 khi và chỉ khi x = -2.
Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 5/17 khi và chỉ khi x = 5.
Bài 11.6 trang 30 sách bài tập Toán 7 Tập 1:Tìm x ∈ Z và x < 30 để A có giá trị nguyên.
có giá trị nguyên nên (√x – 3) ⋮ 2.
Suy ra x là số chính phương lẻ.
Bài 11.7 trang 30 sách bài tập Toán 7 Tập 1:Tìm x ∈ Z để B có giá trị nguyên.
Lời giải:
Khi x là số nguyên thì √x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không phải số chính phương).
là số nguyên thì √x không thể là số vô tỉ, do đó √x là số nguyên và √x – 1 phải là ước của 5 tức là √x – 1 ∈ Ư(5). Để B có nghĩa ta phải có x ≥ 0 và x ≠ 1. Ta có bảng sau:
Vậy x∈{4; 0; 36} (các giá trị này đều thoả mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1).
Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 7 Bài 11: Số Vô Tỉ. Khái Niệm Về Căn Bậc Hai
Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 11 Giải bài tập Toán lớp 7 bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai với lời giải chi tiết, rõ ràng theo …
Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 11
Giải bài tập Toán lớp 7 bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc haiGiải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán lớp 7. Lời giải hay bài tập Toán 7 này gồm các bài giải tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán. Mời các bạn tham khảo
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 1 Bài 11 trang 41: Tìm căn bậc hai của 16
Lời giải
Nên 4 và – 4 là các căn bậc hai của 16
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 1 Bài 11 trang 41: Viết các căn bậc hai của: 3; 10; 25
Lời giải
Ta có: Các căn bậc hai của 3: √3 ;-√3
Các căn bậc hai của 10: √10 ;-√10
Các căn bậc hai của 25: 5 ; – 5
Bài 82 (trang 41 SGK Toán 7 Tập 1): Theo mẫu: Vì 2 2 = 4 nên √4 = 2. Hãy hoàn thành bài tập sau
a) Vì 5 2 = … nên √ = 5
b) Vì 7 … . = 49 nên … = 7
c) Vì 1 … = 1 nên √1 =
Lời giải:
a) Vì 5 2 = 25 nên √25 = 5
b) Vì 7 2 = 49 nên √49 = 7
c) Vì 1 2 = 1 nên √1 = 1
Bài 83 (trang 41 SGK Toán 7 Tập 1): Ta có √25 = 5 ; -√25 = -5 ; √(-5) 2 = √25 = 5
Theo mẫu trên hãy tính
Lời giải:
a) √36 = 6
b) -√16 = -4
Bài 84 (trang 41 SGK Toán 7 Tập 1): Nếu √x = 2 thì x 2 bằng
A. 2 ; B. 4 ; C. 8 ; D. 16
Lời giải:
Ta có √x = 2 nên x = 4
Vậy chọn D
Bài 85 (trang 42 SGK Toán 7 Tập 1): Điền số thích hợp vào ô trống.
Bài 86 (trang 42 SGK Toán 7 Tập 1): Sử dụng máy tính bỏ túi
Lời giải:
Hình dưới là cách bấm máy tính và kết quả của các phép tính trên:
Một Số Khái Niệm Về Giải Tích Không Trơn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
NGUYỄN THỊ THÙY
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Hà Nội – 2023
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
NGUYỄN THỊ THÙY
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
ThS. Bùi Ngọc Mười
Hà Nội – 2023
Lời cảm ơn
Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Bùi Ngọc Mười đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo là giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị cho tôi những kiến thức chuyên môn cần thiết trong quá trình học tập tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè đã động viên khuyến khích tôi hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu này. Trong quá trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2023 Sinh viên
Nguyễn Thị Thùy
i
Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp ” Một số khái niệm về giải tích không trơn ” được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Ngọc Mười. Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2023 Sinh viên
Nguyễn Thị Thùy
ii
Ký hiệu toán học
R
Tập tất cả các số thực.
Rn
Tập tất cả các vectơ có n chiều.
H
Không gian Hilbert thực.
B
Hình cầu đóng có tâm tại x bán kính r = 1.
bd S
Giới hạn của S .
cl S
Bao đóng S .
co S
Bao lồi của tập nón lồi S .
coS
Bao đóng S .
dom f
Miền hữu hiệu của f .
epi f
Trên đồ thị của f .
int S
Phần trong của S .
ProjS (u)
Phép chiếu của u trên S .
∂ conv f (x)
Dưới vi phân của f tại x.
∂ C f (x)
Gradient suy rộng của f tại x.
iii
2 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến 2.1 Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nón pháp tuyến Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Nón pháp tuyến xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Nón pháp tuyến Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Nón pháp tuyến cơ sở (nón pháp tuyến Mordukhovich) 30
Tài liệu tham khảo
36
iv
MỞ ĐẦU Giải tích không trơn nghiên cứu những hàm không nhất thiết khả vi theo nghĩa thông thường. Các cố gắng giảm nhẹ giả thiết về tính khả vi liên tục của các hàm được bắt nguồn từ các nhu cầu trong kĩ thuật sớm hơn trong toán học. Thực tiễn đòi hỏi một lý thuyết tối ưu mà các phương pháp của nó có khả năng áp dụng cho các bài toán thường gặp, ở đó các điều kiện về tính khả vi nói chung là bị phá vỡ. Giải tích không trơn ra đời nhằm đáp ứng yêu cầu đó. Tương tự thuật ngữ “phi tuyến” trong toán học có nghĩa là không nhất thiết tuyến tính, khái niệm “không trơn” cũng ngụ ý rằng không nhất thiết khả vi liên tục. Có thể xem giả thiết không trơn là sự mở rộng của giải tích lồi và giải tích cổ điển, bởi vì khi áp dụng cho các hàm lồi hoặc khả vi ta luôn có được kết quả quen biết. Những công trình đầu tiên nghiên cứu một cách hệ thống các hàm không trơn (không lồi) thuộc về Clarke (xem [2]). Cho đến nay, lý thuyết của Clarke được xem là hoàn chỉnh hơn cả. Ngoài những công trình cơ bản của Clarke, lý thuyết này còn nhận được sự đóng góp của một loạt các nhà toán học khác: Rockafellar, Aubin, Lebourg, Ioffe, Hiriart-Urruty, Goldstein, Thibault,… Hai lớp hàm quan trọng được xét ở đây là lớp hàm lồi và lớp hàm Lipschitz.
Khóa luận gồm 2 chương. Chương 1. “Dưới vi phân”. Chương 2.”Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến”. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không 1
thể tránh khỏi có những sai sót. Ngoài ra, một số kết quả (mệnh đề, định lí, hệ quả) được thừa nhận mà bỏ qua chứng minh. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để bản khóa luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
2
Chương 1 Dưới vi phân
1.1
Một số khái niệm cơ bản Cho X là không gian vectơ tôpô thực hoặc không gian vectơ chuẩn
3
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
(i) Tập S được gọi là lồi nếu với mọi cặp phần tử (x, y) của S ta có [x, y] = {αy + (1 − α)x : α ∈ [0, 1]} ⊂ S. (ii) Bao lồi của tập nón lồi S được định nghĩa là giao của tất cả các tập chứa S . Kí hiệu: co S ( n ) n X X co S = αi xi : n ∈ N , αi = 1 , α i ≥ 0 , x i ∈ S . i=1
i=1
(iii) Bao đóng của co S được gọi là bao lồi đóng. Kí hiệu: coS. Định nghĩa 1.2. (xem [1]) Cho f là một hàm giá trị thực mở rộng, f : X → R ∪ {+∞} . Ta gọi các tập dom f = {x ∈ X : f (x) < +∞} và epi f = {(x, r) ∈ X × R : f (x) ≤ r} , tương ứng là miền hữu hiệu của f và trên đồ thị của f . (i) f được gọi là hàm lồi trên tập lồi mở Ω ⊂ X nếu f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) ∀x, y ∈ Ω , ∀α ∈ [0, 1] . Khi Ω là không gian X ta nói f là hàm lồi.
4
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
(ii) f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom f nếu f (x) ≤ lim inf f (x). x→x
Ta nói f là nửa liên tục dưới trên X nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc X.
1.2
Từ đạo hàm đến dưới vi phân Trong phần này, ta bắt đầu với một số khái niệm cổ điển của vi
phân và chúng ta sẽ cố gắng tối ưu hóa các bài toán để giải thích sự phát triển của khái niệm vi phân từ đạo hàm Fréchet đến khái niệm gradient suy rộng. Cho X là không gian vectơ tôpô thực, f : X → R ∪ {+∞} là hàm giá trị thực mở rộng và x ∈ X. (i) Đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v ∈ X được xác định là f 0 (x; v) = lim δ −1 [f (x + δv) − f (x)] δ↓0
(1.1)
nếu giới hạn tồn tại. (ii) Ta nói f là khả vi Gâteaux tại x nếu tồn tại f 0 (x; v) với mọi v ∈ X và f 0 (x; ·) là tuyến tính liên tục. Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử fG0 (x) ∈ X ∗ (gọi là đạo hàm Gâteaux) thỏa mãn hfG0 (x), vi = f 0 (x; v), ∀v ∈ X.
5
(1.2)
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
6
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
1.2.1
NGUYỄN THỊ THÙY
Bài toán cực tiểu không ràng buộc
Hầu hết trong các bài toán tối ưu, ta bắt đầu xét bài toán cực tiểu như sau min f (x) : x ∈ S, ở đó f : S → R xác định trên S, với S là một tập con của không gian vectơ thực X. Ta định nghĩa hàm f như sau f (x) = +∞ với x ∈ / S, khi đó cực tiểu của hàm f trên S tương đương với cực tiểu của hàm f mới trên X. Do đó, không mất tính tổng quát ta xét trường hợp S = X. Cho hàm f : X → R và x là một điểm trong X. Ta xét bài toán cực tiểu không ràng buộc sau
(U P )
Định nghĩa 1.3. (xem [1]) (i) f có cực tiểu địa phương tại x khi và chỉ khi tồn tại một lân cận V của x sao cho f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ V. (ii) f có cực tiểu toàn cục tại x trên X khi và chỉ khi f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ X.
7
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
(1.3)
(1.4)
α , với mỗi x ∈ x + αB. Ta có Chọn ε ∈ (0, α) và δ ∈ 0, ε
x + δ(x − x) ∈ x + δεB ⊂ x + αB, thay vào (1.4) ta được f (x + δ(x − x)) − f (x) ≥ 0, α với mọi δ ∈ 0, và với mọi x ∈ x + εB. Do đó, f khả vi Gâteaux tại ε x, giới hạn
tồn tại hay hfG0 (x), x − xi ≥ 0 ∀x ∈ x + εB. Vậy định lí đã được chứng minh. Định nghĩa 1.4. (xem [1]) Cho f là một hàm liên tục lồi trên X và lấy x ∈ X. Ta định nghĩa dưới vi phân của f tại x như sau ∂ conv f (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, vi ≤ f 0 (x, v), ∀v ∈ X} . 8
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
Cụ thể là ∂ conv f (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, x − xi ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ X} .
(1.5)
(1.6)
Chứng minh. Do f là hàm lồi nên cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục. Do đó x là một cực tiểu toàn cục của f ta có f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ X ⇔ 0 = h0, x − xi ≤ f (x) − f (x) ⇔ 0 ∈ ∂ conv f (x).
Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Mệnh đề 1.2. (xem [1, Proposition 1.3, p. 7]) Nếu f là một hàm liên tục lồi và khả vi Gâteaux tại x thì ∂ conv f (x) = {fG0 (x)}. Chứng minh. 9
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
Lấy ζ là một phần tử của ∂ conv f (x). Do đó, hζ, vi ≤ f 0 (x; v) ∀v ∈ X. Mặt khác, từ vi phân Gâteaux của f tại x ta có f 0 (x; v) = hfG0 (x), vi ∀v ∈ X. Do đó hζ, vi ≤ hfG0 (x), vi ∀v ∈ X. Vậy ζ = fG0 (x) hay ∂ conv f (x) = {fG0 (x)}. Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
1.2.2
Bài toán cực tiểu ràng buộc
Ta xét bài toán cực tiểu ràng buộc sau
(CP )
ở đó f là hàm liên tục lồi và S là một tập lồi đóng trong X. Ta định nghĩa nón tiếp xúc và nón pháp tuyến cho tập lồi đóng là T conv (S; x) = cl [R+ (S − x)] = cl {λ(s − x) : λ ≥ 0, s ∈ S} và N conv (S; x) là nón cực âm của T conv (S; x), nghĩa là N conv (S; x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, vi ≥ 0, ∀v ∈ T conv (S; x)}. 10
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
1.3
Dưới vi phân Giả sử X là không gian vectơ định chuẩn và f : X → R là hàm
1.3.1
Gradient suy rộng (dưới vi phân Clarke)
Ta thấy rằng hàm dưới vi phân liên tục lồi cũng được định nghĩa thông qua đạo hàm theo hướng f 0 (x, ·). Tương tự như vậy, ta định nghĩa gradient suy rộng bằng cách sử dụng một khái niệm mới của đạo hàm khả vi. Trong phần trước ta đã biết đạo hàm theo hướng f 0 (x, ·) mất hầu hết các đặc trưng của nó và nó không thích hợp để dùng xác định gradient suy rộng. Khái niệm mới của đạo hàm theo hướng còn được gọi là đạo hàm theo hướng suy rộng (xem [2]) và được định nghĩa như sau f 0 (x; v) = lim sup t−1 [f (x + tv) − f (x)]. x→x t↓0
11
(1.7)
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
Gradient suy rộng của f tại x được định nghĩa như sau ∂ C f (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, vi ≤ f 0 (x; v), ∀v ∈ X}.
(1.8)
Mệnh đề 1.3. (xem [1, Proposition 1.5, p.11]) (1) Hàm v 7→ f 0 (x; v) là hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính, và thỏa mãn 0
f (x; v) ≤ k kvk , ∀v ∈ X.
(1.9)
(2) Với mỗi α ∈ R ta có (αf )0 (x; v) = αf 0 (x; v) và ∂ C (αf )(x) = α∂ C f (x). (3) Nếu f có cực tiểu hoặc cực đại địa phương tại x thì 0 ∈ ∂ C f (x). (4) Gradient suy rộng ∂ C f (x) là tập lồi khác rỗng, w∗ -tập con compact trong X ∗ thì ∂ C f (x) ⊂ kB∗ . (5) Nếu xn và ζn tương ứng là hai dãy trong X và X ∗ sao cho ζn ∈ ∂ C f (xn ) và xn hội tụ mạnh đến x và ζn hội tụ yếu đến ζ, khi đó ta có ζ ∈ ∂ C f (x). (6) Định lí giá trị trung bình: Nếu f là Lipschitz địa phương trên một lân cận mở chứa đoạn [x, y], khi đó tồn tại z ∈ [x, y] và ξ ∈ ∂ C f (z) thỏa mãn f (y) − f (x) = hξ, y − xi. (7) Quy tắc hàm hợp: Cho F : H → Rn là Lipschitz địa phương tại x và cho g : Rn → R là Lipschitz địa phương tại F (x). Khi đó hàm g ◦ F là Lipschitz địa phương tại x và 12
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
f (x + tλv) − f (x) tλ
= λf 0 (x; v). Suy ra hàm f 0 (x; ·) thuần nhất dương.
13
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
NGUYỄN THỊ THÙY
Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính. f 0 (x; v + ω) = lim sup x→x t↓0
= f 0 (x; ω) + f 0 (x; v), bởi vì x + tv → x khi x → x và t ↓ 0. Do đó f 0 (x; ·) dưới cộng tính. (2) Cho α ≥ 0, ta kiểm tra được (αf )0 (x; v) = αf 0 (x; v) do đó ∂ C (αf )(x) = α∂ C f (x) ∀α ≥ 0. Khi α = −1 thì ∂ C (−f )(x) = −∂ C f (x). Do đó (−f )0 (x; v) = f 0 (x; −v). Thật vậy, từ định nghĩa của đạo hàm theo hướng suy rộng ta có (−f )0 (x; v) = lim sup t−1 [−f (x + tv) − (−f )(x)] x→x t↓0
= lim sup t−1 [f (x0 − tv) − f (x0 )] x0 →x t↓0
= f 0 (x; −v). Với mỗi ζ ∈ ∂ C (−f )(x), ∀v ∈ X ta có 14
Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 7 Bài 1: Khái Niệm Về Biểu Thức Đại Số
Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 1
Giải bài tập Toán lớp 7 bài 1: Khái niệm về biểu thức đại sốGiải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 1: Khái niệm về biểu thức đại số với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán lớp 7. Lời giải hay bài tập Toán 7 này gồm các bài giải tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán. Mời các bạn tham khảo
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 1 trang 24: Hãy viết biểu thức số biểu thị diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng bằng 3 (cm) và chiều dài hơn chiều rộng 2 (cm).
Lời giải
Biểu thức số biểu thị diện tích hình chữ nhật đã cho là: 3. (3+2)
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 1 trang 25: Viết biểu thức biểu thị diện tích của các hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 (cm).
Lời giải
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là: a(cm)
Biểu thức số biểu thị diện tích các hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 (cm) là: a. (a+2)
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 1 trang 25: Viết biểu thức đại số biểu thị:
a) Quãng đường đi được sau x (h) của một ô tô đi với vận tốc 30 km/h;
b) Tổng quãng đường đi được của một người, biết rằng người đó đi bộ trong x (h) với vận tốc 5 km/h và sau đó đi bằng ô tô trong y(h) với vận tốc 35 km/h.
Lời giải
a) Biểu thức đại số biều thị quãng đường đi của ô tô là: 30.x
b) Biểu thức đại số biểu thị quãng đường đi của người đó là: 5.x+35.y
Bài 1 (trang 26 SGK Toán 7 tập 2): Hãy viết các biểu thức đại số biểu thị:
a) Tổng của x và y
b) Tích của x và y
c) Tích của tổng x và y với hiệu của x và y.
Lời giải:
a) Tổng của x và y là x + y
b) Tích của x và y là xy
c) Tích của tổng x và y với hiệu của x và y là (x + y)(x – y)
Bài 2 (trang 26 SGK Toán 7 tập 2): Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích hình thang có đáy lớn là a, đáy nhỏ là b, đường cao là h (a, b và h có cùng đơn vị đo).
Lời giải:
Hình thang có đáy lớn là a, đáy nhỏ là b, đường cao là h thì biểu thức tính diện tích hình thang là:
Bài 3 (trang 26 SGK Toán 7 tập 2): Dùng bút chì nối các ý 1), 2), …, 5) với a), b), …, e) sao cho chúng có cùng ý nghĩa (chẳng hạn như nối ý 1) với e)):
Lời giải:
Làm tương tự ta được kết quả sau:
Bài 4 (trang 27 SGK Toán 7 tập 2): Một ngày mùa hè, buổi sáng nhiệt độ là t độ, buổi trưa nhiệt độ tăng thêm x độ so với buổi sáng, buổi chiều lúc mặt trời lặn nhiệt độ lại giảm đi y độ so với buổi trưa. Hãy viết biểu thức đại số biểu thị nhiệt độ lúc mặt trời lặn của ngày đó theo t, x, y.
Lời giải:
Biểu thức đại số biểu thị nhiệt độ lúc mặt trời lặn là: t + x – y
Bài 5 (trang 27 SGK Toán 7 tập 2): Một người hưởng mức lương là a đồng trong một tháng.
Hỏi người đó nhận được bao nhiêu tiền, nếu:
a) Trong một quý lao động, người đó bảo đảm đủ ngày công và làm việc có hiệu suất cao nên được thưởng thêm m đồng?
b) Trong hai quý lao động, người đó bị trừ n đồng (n < a) vì nghỉ một ngày công không phép?
Lời giải:
a) Một quý có 3 tháng do đó trong 1 quý người đó lãnh được 3a đồng.
Vì đảm bảo đủ ngày công và làm việc có hiệu quả cao nên trong quý người đó được hưởng thêm m đồng.
Vậy trong một quý người đó được lãnh tất cả là 3a + m (đồng).
b) Trong hai quý lao động (6 tháng) người đó lãnh được 6a (đồng) tiền lương. Theo đề bài, trong quý lao động người đó chỉ còn lãnh được 6a – n (đồng).
Các Dạng Toán Về Căn Bậc 2, Căn Bậc 3 Và Cách Giải
– Định nghĩa: Căn bậc hai của 1 số không âm a là số x sao cho x 2 = a.
– Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a.
– Mọi số a đề có duy nhất một căn bậc 3.
B. Các dạng toán về căn bậc 2 căn bậc 3
– Giải bất phương trình để tìm giá trị của biến
Ví dụ: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa
⇔ 3x ≥ 12 ⇔ x ≥ 4
⇔ 3x – 6 < 0 ⇔ x < 2
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau
– Vận dụng các phép biến đổi và đặt nhân tử chung
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau
Ví dụ: Giải phương trình sau
– Kết luận: x=4 là nghiệm
– Thực hiện các phép biến đổi đẳng thức chứa căn bậc 2
– Vận dụng phương pháp chứng minh đẳng thức A = B
+ Chứng minh A = C và B = C
+ Biến đổi A về B hoặc B về A (tức A = B)
* Ví dụ: Chứng minh đẳng thức
– Vậy ta có điều cần chứng minh
C. Bài tập về Căn bậc 2, Căn bậc 3
* Bài 2 (trang 6 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh:
a) 2 và √3; b) 6 và √41; c) 7 và √47
b) Ta có: 6 = √36 mà 36 < 41 ⇒ √36 < √41
* Bài 4 (trang 7 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm số x không âm, biết:
– Lưu ý: Vì x không âm (tức là x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.
– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 15 2 ⇔ x = 225
– Kết luận: x = 225
– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 7 2 ⇔ x = 49
– Kết luận: x = 49
– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2
– Kết luận: 0 ≤ x < 2
– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: 2x < 16 ⇔ x < 8
– Kết luận: 0 ≤ x < 8
* Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
b) Tương tự: -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0
d) Tương tự: 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ -7/3.
* Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:
* Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:
* Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x biết:
* Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh:
* Lời giải bài 10 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:
a) Ta có: VT = (√3 – 1) 2 = (√3) 2 – 2√3 + 1 = 3 – 2√3 + 1 = 4 – 2√3 = VP
⇒ (√3 – 1) 2 = 4 – 2√3 (đpcm)
* Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử:
* Lưu ý: Bạn có thể tìm các căn bậc ba ở trên bằng máy tính bỏ túi và ghi nhớ một số lũy thừa bậc 3 của các số < 10: 2 3 = 8; 3 3 = 27; 4 3 = 64; 5 3 = 125; 6 3 = 216; 7 3 = 343; 8 3 = 512; 9 3 = 729;
* Bài 68 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Tính
* Bài 69 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh
a) 5 và ∛123. b) 5∛6 và 6∛5.
D. Bài tập luyện tập căn bậc 2 căn bậc 3
Bài tập 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa
Bài tập 2: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa
Bài tập 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa
Bài tập 4: Thực hiện các phép tính sau
Bài tập 5: Rút gọn các biểu thức sau
Bài tập 6: Giải các phương trình sau
a) x≤3; b) x=2; c) x≥2; d) x=2; e) vô nghiệm;
f) x=1; g) x=0; x=-1/2; h) x=√3; x=-1-√3; i) x=-1; k) x-2;
Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Toán 7 Bài 11: Số Vô Tỉ. Khái Niệm Về Căn Bậc Hai trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!