Bạn đang xem bài viết Giải Toán Lớp 8 Bài 4: Phương Trình Tích được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Giải Toán lớp 8 Bài 4: Phương trình tích
Bài 21 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:
Lời giải
Bài 22 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:
Lời giải
Bài 23 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:
Lời giải
Bài 24 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:
Lời giải
Bài 25 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:
Lời giải
Bài 26 (trang 17-18-19 SGK Toán 8 tập 2): TRÒ CHƠI ( chạy tiếp sức)
Chuẩn bị:
Giáo viên chia lớp thành n nhóm, mỗi nhóm gồm 4 em sao cho các nhóm đều có em học giỏi, học khá, học trung bình,…. Mỗi nhóm tự đặt cho nhóm mình một cái tên, chẳng…
Cách chơi:
Tổ chức mỗi nhóm học sinh ngồi theo hàng dọc, hàng ngang, hay vòng tròn quanh một cái bàn, tùy điều kiện riêng của lớp.
Giáo viên phát đề số 1 cho học sinh số 1 của các nhóm, đề số 2 cho học sinh số 2,…
Khi có hiệu lệnh, học sinh số 1 của các nhóm nhanh chóng mở đề số 1, giải rồi chuyển giá trị x tìm được cho bạn số 2 của nhóm mình. Khi nhận được giá trị x đó, học sinh số 2 mới được phép mở đề, thay giá trị của x vào, giải phương trình để tìm y rồi chuyển đáp số cho bạn số 3 của nhóm mình. Học sinh số 3 cũng làm tương tự. học sinh số 4 chuyển gái trị tìm được của t cho giáo viên (đồng thời là giám khảo).
Nhóm nào nộp kết quả đúng đầu tiên thì thắng cuộc.
Lời giải
– Học sinh 1: (đề số 1) 2(x -2) + 1 = x – 1
⇔ 2x – 4 – 1 = x -1 ⇔ x = 2
– Học sinh 2: (đề số 2) Thay x = 2 vào phương trình ta được:
(2 + 3)y = 2 + y ⇔ 5y = 2 + y ⇔ y = 1/2
– Học sinh 3: (đề số 3) Thay y = 1/2 vào phương trình ta được:
– Học sinh 4 (đề số 4) thay z = 2/3 vào phương trình ta được:
Vậy t = 2.
Cách Giải Phương Trình Trùng Phương, Phương Trình Tích
Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax4 + bx2 + c = 0) và phương trình tích cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.
° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.
– Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,…) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.
– Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.
a) (x – 3)(x 2 – 3x + 2) = 0
⇔ x – 3 = 0 hoặc x 2 – 3x + 2 = 0
+) x 2 – 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x 2 = 1; x 3 = c/a = 2.
* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x 1 = 3; x 2 = 1; x 3 = 2.
⇔ x + 3 = 0 hoặc x 2 – 2 = 0
⇔ 3x 2 – 5x + 1 = 0 hoặc x 2 – 4 = 0
+)Giải: 3x 2 – 5x + 1 = 0
+)Giải: x 2 – 4 = 0
⇔ (x – 2)(x + 2) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = -2.
* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
⇔ (2x 2 + x – 4 – 2x + 1)(2x 2 + x – 4 + 2x – 1) = 0
⇔ 2x 2 – x – 3 = 0 hoặc 2x 2 + 3x – 5 = 0
+) Giải: 2x 2 – x – 3 = 0
– Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.
+) Giải: 2x 2 + 3x – 5 = 0
– Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.
* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x 1 = -1; x 2 = 3/2; x 3 = 1; x 4 = -5/2.
° Cách giải phương trình trùng phương ax4 +bx2 + c = 0 (a≠0).
* Đặt t = x 2 (t≥0), khi đó ta được phương trình at 2 + bt + c = 0 (2)
– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.
– Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.
– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.
* Cụ thể như sau:
– Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a.
Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích.
– Biến đổi đưa về dạng pt tích: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.
– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : t 2 – 5t + 4 = 0 (2)
– Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 4
– Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;
+ Với t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.
– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.
– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : 2t 2 – 3t – 2 = 0 (2)
– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t 1 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;
– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.
– Đặt t = x 2 , điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : 3t 2 + 10t + 3 = 0 (2)
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t 1 = -1/3 <0 và t 2 = -3<0 đều không thỏa điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương
– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : 9t 2 – 10t + 1 = 0 (2)
+) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0
⇒ Phương trình (2) có nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 1/9.
– Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.
+ Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.
+ Với t = 1/9 ⇒ x 2 = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3.
– Đặt t = x 2 , điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : 5t 2 + 3t – 26 = 0 (2)
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
– Đối chiếu điều kiện chỉ có t 1 thỏa điều kiện, nên:
+ Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.
⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.
– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó, (1) trở thành : 0,3t 2 + 1,8t + 1,5 = 0 (2)
+ Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = -1 và t 2 = -c/a = -5.
– Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.
⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
– Điều kiện xác định: x ≠ 0.
– Quy đồng, khử mẫu ta được:
– Khi đó (1) trở thành : 2t 2 + 5t – 1 = 0 (2)
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương
Lý Thuyết &Amp; Giải Bài Tập Sgk Bài 4: Phương Trình Tích
Chương III: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn – Đại Số Lớp 8 – Tập 2
Bài 4: Phương Trình Tích
Qua nội dung bài 4 phương trình tích chương 3 toán đại số lớp 8 tập 2, giúp các bạn nắm được dạng phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0 và cách giải phương trình này. Từ đó các bạn biết cách giải phương trình đưa về dạng phương trình tích.
Tóm Tắt Lý Thuyết
1. Phương Trình Tích Và Cách Giải
* Phương trình tích có dạng:
A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(x – 5)(3x + 2) = 0
Giải:
(x – 5)(3x + 2) = 0
⇔ x – 5 = 0 hoặc 3x + 2 = 0
⇔ x = 5 hoặc (x = frac{1}{2})
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
x = 5 hoặc (x = frac{1}{2})
2. Áp Dụng
Ví dụ 2: Giải phương trình
(x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
Giải:
Phương trình đã cho tương đương
(x + 1)(x + 4) – (2 – x)(2 + x) = 0
(⇔ x^2 + 4x + x + 4 – (2^2 – x^2) = 0)
(⇔ x^2 + 4x + x + 4 – 4 + x^2 = 0)
(⇔ 2x^2 + 5x = 0 ⇔ x(2x + 5) = 0)
(⇔ x = 0) hoặc (x = frac{-5}{2})
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x = 0 hoặc (x = frac{-5}{2})
Các Bài Tập & Lời Giải Bài Tập SGK Bài 4 Phương Trình Tích
Hướng dẫn giải bài tập sgk bài 4 phương trình tích chương 3 toán đại số lớp 8 tập 2. Bài học giúp các bạn nắm được dạng phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0 và cách giải phương trình này.
Bài Tập 21 Trang 17 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 2
Giải các phương trình:
a. (3x – 2)(4x + 5) = 0
b. (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0
c. ()((4x + 2)(x^2 + 1) = 0)
d. (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0
Bài Tập 22 Trang 17 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 2
Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:
a. 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0;
b. ()((x^2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0)
c. (x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0)
d. x(2x – 7) – 4x + 14 = 0;
e. ((2x – 5)^2 – (x + 2)^2 = 0)
f. (x^2 – x – (3x – 3) = 0)
Bài Tập 23 Trang 17 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 2
Giải các phương trình:
a. x(2x – 9) = 3x(x – 5)
b. 0,5(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1)
c. 3x – 15 = 2x(x – 5)
d. ()(frac{3}{7}x – 1 = frac{1}{7}x(3x – 7))
Bài Tập 24 Trang 17 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 2
Giải các phương trình:
a. ()((x^2 – 2x + 1) – 4 = 0)
b. (x^2 – x = -2x + 2)
c. (4x^2 + 4x + 1 = x^2)
d. (x^2 – 5x + 6 = 0)
Bài Tập 25 Trang 17 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 2
Giải các phương trình:
a. ()(2x^3 + 6x^2 = x^2 + 3x)
b. ((3x – 1)(x^2 + 2) = (3x – 1)(7x – 10))
Bài Tập 26 Trang 17 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 2
TRÒ CHƠI (chạy tiếp sức)
Chuẩn bị:
Giáo viên chia lớp thành n nhóm, mỗi nhóm gồm 4 em sao cho các nhóm đều có em học sinh giỏi, học khá, học trung bình,… Mỗi nhóm tự đặt cho nhóm mình một cái tên, chẳng hạn, nhóm “Con Nhím”, nhóm “Ốc nhồi”, nhóm “Đoàn Kết”, … Trong mỗi nhóm, học sinh tự đánh số từ 1 đến 4. Như vậy sẽ có n học sinh số 1, n học sinh số 2,…
Giáo viên chuẩn bị 4 đề toán về giải phương trình, đánh số từ 1 đến 4. Mỗi đề toán được photocoppy thành n bản và cho mỗi bản một phong bì riêng. Như vậy sẽ có n bì chứa đề toán số 1, n bì chứa đề toán số 2,… Các đề toán được chọn theo nguyên tắc sau:
Đề số 1: Giải phương trình 2(x – 2) + 1 = x – 1
Đề số 2: Thế giá trị của x (bạn số 1 vừa tìm được) vào rồi tìm y trong phương trình (x + 3)y = x + y
Đề số 3: Thế giá trị của y (bạn số 2 vừa tìm được) vào rồi tìm z trong phương trình (frac{1}{3} + frac{3z + 1}{6} = frac{3y + 1}{3})
Cách chơi:
Tổ chức mỗi nhóm học sinh ngồi theo hàng dọc, hàng ngang, hay vòng tròn quanh một cái bàn, tùy điều kiện riêng của lớp
Giáo viên phát đề số 1 cho học sinh số 1 của các nhóm, đề số 2 cho học sinh số 2,…
Khi có khẩu lệnh, học sinh số 1 của các nhóm nhanh chóng mở đề số 1, giải rồi chuyển giá trị x tìm được cho bạn số 2 của nhóm mình. Khi nhận được giá trị x đó, học sinh số 2 mới được phép mở đề, thay giá trị của x vào, giải phương trình để tìm y rồi chuyển đáp số cho bạn số 3 của nhóm mình. Học sinh số 3 cũng làm tương tự… Học sinh số 4 chuyển giá trị tìm được của t cho giáo viên (đồng thời là giám khảo).
Nhóm nào nộp kết quả đúng đầu tiên thì thắng cuộc.
TRÒ CHƠI (chạy tiếp sức)
Chuẩn bị:
Giáo viên chia lớp thành n nhóm, mỗi nhóm gồm 4 em sao cho các nhóm đều có em học sinh giỏi, học khá, học trung bình,… Mỗi nhóm tự đặt cho nhóm mình một cái tên, chẳng hạn, nhóm “Con Nhím”, nhóm “Ốc nhồi”, nhóm “Đoàn Kết”, … Trong mỗi nhóm, học sinh tự đánh số từ 1 đến 4. Như vậy sẽ có n học sinh số 1, n học sinh số 2,… Giáo viên chuẩn bị 4 đề toán về giải phương trình, đánh số từ 1 đến 4. Mỗi đề toán được photo coppy thành n bản và cho mỗi bản một phong bì riêng. Như vậy sẽ có n bì chứa đề toán số 1, n bì chứa đề toán số 2,… Các đề toán được chọn theo nguyên tắc sau:
Cách chơi:
Tổ chức mỗi nhóm học sinh ngồi theo hàng dọc, hàng ngang, hay vòng tròn quanh một cái bàn, tùy điều kiện riêng của lớp
Giáo viên phát đề số 1 cho học sinh số 1 của các nhóm, đề số 2 cho học sinh số 2,…
Khi có khẩu lệnh, học sinh số 1 của các nhóm nhanh chóng mở đề số 1, giải rồi chuyển giá trị x tìm được cho bạn số 2 của nhóm mình. Khi nhận được giá trị x đó, học sinh số 2 mới được phép mở đề, thay giá trị của x vào, giải phương trình để tìm y rồi chuyển đáp số cho bạn số 3 của nhóm mình. Học sinh số 3 cũng làm tương tự… Học sinh số 4 chuyển giá trị tìm được của t cho giáo viên (đồng thời là giám khảo).
Nhóm nào nộp kết quả đúng đầu tiên thì thắng cuộc.
Trên là lý thuyết bài 4 phương trình tích chương 3 toán đại số lớp 8 tập 2. Giúp học sinh biết cách giải phương trình có dạng A(x).B(x) = 0 và cách giải phương trình này.
Các bạn đang xem Bài 4: Phương Trình Tích thuộc Chương III: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn tại Đại Số Lớp 8 Tập 2 môn Toán Học Lớp 8 của chúng tôi Hãy Nhấn Đăng Ký Nhận Tin Của Website Để Cập Nhật Những Thông Tin Về Học Tập Mới Nhất Nhé.
Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
LUẬN VĂN THẠC SĨ:PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Thái nguyên – năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
Chuyên ngành:phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 604640
LUẬN VĂN THẠC SĨ:PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS.Nguyễn Minh Hà Thái nguyên – năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
Chuyên ngành:phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 604640
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Thái nguyên – năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại : Trường Đại học Khoa học – ĐHTN Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Minh Hà Phản biện 1: ……………………………………………………. Phản biện 2: ……………………………………………………. Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại : Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Vào hồi ……giờ … ngày …. tháng …. năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên và thư viện trường Đại học Khoa học.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC Trang
Lời nói đầu 01
Chương 1. Hai bài toán một bản chất 03 1.1. Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện 03 1.2. Phương trình và bài toán giải phương trình 05 1.2.1. Đẳng thức 05 1.2.2. Phương trình 05 1.2.3. Ba phương pháp giải phương trình 06 1.2.4. Phương trình hệ quả, phương trình tương đương 09 1.3. Quỹ tích và bài toán tìm quỹ tích 12 1.3.1. Cái nhìn tổng quan 12 1.3.2. Thuận-đảo, biến đổi hệ quả và thử lại 13 1.3.3. Thuận đảo đồng thời ,biến đổi tương đương 21 1.3.4. Đảo-phản đảo, đoán nhận và khẳng định 26
Chương 2. Dự đoán quỹ tích và giới hạn quỹ tích 32 2.1. Suy luận toán học và suy luận có lí 32 2.1.1. Định nghĩa và ví dụ 32 2.1.2. Tính tương đối 32 2.1.3. Chú ý 33 2.2. Công đoạn dự đoán quỹ tích – sai lầm thường gặp 33 2.2.1. Thế nào là công đoạn dự đoán quỹ tích 33 2.2.2. Công đoạn dự đoán quỹ tích nằm ở đâu 33 2.2.3. Những phép suy luận có lí cơ bản 37 2.3. Công đoạn giới hạn quỹ tích – Sai lầm tràn lan 39 2.3.1. Thế nào là công đoạn giới hạn quỹ tích 39 2.3.2. Có hay không công đoạn giới hạn quỹ tích 39
Tài liệu tham khảo 53
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Minh Hà.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy về công tác giảng dạy cùng với sự hướng dẫn tận tình trong thời gian tác giả học cao học và hoàn thành luận văn. Trong quá trình học tập, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và giảng dạy nhiệt tình của GS.TSKH.Hà Huy Khoái, GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu, PGS.TS. Nông Quốc Chinh, PGS.TS.Lê Thị Thanh Nhàn, TS.Nguyễn Thị Thu Thuỷ, cùng nhiều thầy cô công tác tại các trường Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo Trường ĐH Khoa học – Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Yên Dũng số I, tỉnh Bắc Giang, đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học cao học. Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn bè, đồng nghiệp, đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Luận văn này sẽ không được hoàn thành nếu thiếu sự thông cảm, chia sẻ và sự động viên kịp thời của gia đình. Xin gửi tới gia đình lời cảm ơn chân thành và sâu sắc.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Văn Chính Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 Dự đoán quỹ tích là công đoạn quan trọng trong quá trình giải bài toán tìm quỹ tích. Trong công đoạn dự đoán quỹ tích người làm toán không chỉ sử dụng các phép suy luận toán học mà còn có thể sử dụng các phép suy luận có lí. Do đó công đoạn dự đoán quỹ tích chỉ được thực hiện trên giấy nháp của người làm toán. Công đoạn giới hạn quỹ tích xét cho cùng chỉ là một bộ phận của phần thuận mà ở đó lẽ ra phải sử dụng các phép suy luận toán học thì không ít người làm toán lại sử dụng các phép suy luận có lí. Nói cách khác, không có công đoạn giới hạn quỹ tích. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 CHƢƠNG 1 HAI BÀI TOÁN, MỘT BẢN CHẤT 1.1. Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện là bài toán quen thuộc với tất cả chúng ta. Về hình thức, nó được phát biểu như sau. Tìm tất cả các đối tượng A( ).a
Kí hiệu A( )a biểu thị đối tượng A có tính chất .a
Cùng với kí hiệu A( ),a ta còn dùng kí hiệu A( )a để biểu thị đối tượng A không có tính chất .a
Các kí hiệu A( )a và A( )a có hiệu lực trong toàn bộ luận văn này. Trong bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải hiểu là “tìm hết” chứ không phải là “tìm được”. Nói một cách chính xác, tìm tập hợp { }A A( ) .a
Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có ba phương pháp giải, được mô hình hoá như sau. Phương pháp 1, biến đổi hệ quả và thử lại*. Bước 1, biến đổi hệ quả*. A( ) A .a Þ Î T
Bước 2, thử lại*. A A( ).Î Þ aT
Phương pháp 2, biến đổi tương đương*. A( ) A .a Û Î T
Chú ý: Về phương diện logic, phương pháp biến đổi tương đương cũng chính là phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phương pháp nào trong hai phương pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi hỏi người giải toán phải có kĩ năng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Phương pháp 3, đoán nhận và khẳng định*. Bước 1, đoán nhận*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng { }A( ) .ÐaT
Bước 2, khẳng định*. A A( ).Ï Þ aT
A A( ).Î Þ aT
Chú ý: Nếu sử dụng phương pháp đoán nhận và khẳng định thì ta phải có công đoạn đoán nhận tập hợp T trước khi tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh A A( ).Î Þ aT
Như vậy, phương pháp đoán nhận và khẳng định không tự nhiên bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Vì lí do trên, phương pháp đoán nhận và khẳng định ít được sử dụng hơn phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Cần phải nói thêm rằng, để giải bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, về phương diện lôgic, song hành với các phương pháp 1, 3 còn có hai phương pháp giải khác, được mô hình hoá như sau. Phương pháp 1‟, bao gồm hai bước. Bước 1. TA A( ).Ï Þ a
Bước 2. TA( ) A .a Þ Ï
Phương pháp 3‟, bao gồm hai bước. Bước 1. A( ) A .a Þ Î T
Bước 2. TA( ) A .a Þ Ï
Tuy nhiên, trong thực tế giải toán, để giải các bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, người ta chỉ sử dụng các phương pháp 1, 2, 3, các phương pháp 1‟, 3‟ không bao giờ được sử dụng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 2 3xx
Lời giải. Bước 1, biến đổi hệ quả. Giả sử x0 là nghiệm của phương trình, ta có
002 2 3xx là đẳng thức đúng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ví dụ 2, biến đổi tương đương. Giải phương trình sau.
2x 3 x 2- = –
x 3 2
x2
8 Kết luận. Phương trình có nghiệm 32
Ví dụ 3, đoán nhận và khẳng định. Giải phương trình sau.
f(x)
f(x0) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên 1( ; )2 (3). Từ (2) và (3) suy ra (1) có đúng hai nghiệm. Kết luận. Phương trình có hai nghiệm, x = 0 và x = 1. Nhận xét. Công đoạn chỉ ra tập hợp 1, 2 là tập hợp nghiệm không tự nhiên.
Ví dụ 4, đoạn nhận và khẳng định. Giải phương trình sinx sin2 sin3 4 2xx
Lời giải. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích, theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có sinx – sin2x – sin3x = (sinx – sin3x) – sin2x = 2cos2x.sin(- x) – sin2x 2 2 2 2(4sin 1)( os 2 sin 2 ) (4sin 1) 5 4 2.x c x x x
Vậy phương trình vô nghiệm. Nhận xét. Vì phương trình vô nghiệm nên trong lời giải trên không có bước đoán nhận mà chỉ có bước khẳng định. 1.2.4. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng Cách trình bày lời giải các ví dụ 1, ví dụ 2 trong mục 1.2.3 là cách trình bày chuẩn khi giải phương trình bằng các phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại, phương pháp biến đổi tương đương. Nhưng cách trình bày đó quá rườm rà.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 Để khắc phục tình trạng này, người ta đưa ra hai khái niệm: phương trình hệ quả, phương trình tương đương. Để cho đơn giản, ta chỉ giới thiệu khái niệm phương trình hệ quả, phương trình tương đương đối với phương trình một ẩn. Đối với phương trình nhiều ẩn, ta có định nghĩa tương tự. Định nghĩa 1. Nếu tập hợp nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nằm trong tập hợp nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x), kí hiệu f(x) = g(x) f1(x) = g1(x). Định nghĩa 2. Hai phương trình f(x) = g(x) và f1(x) = g1(x) được gọi là tương đương nếu chúng có chung tập hợp nghiệm, kí hiệu f(x) = g(x) f1(x) = g1(x). Đương nhiên f(x) = g(x) f1(x) = g1(x) khi và chỉ khi f(x) = g(x) f1(x) = g1(x) và f1(x) = g1(x) f(x) = g(x). Nhờ hai khái niệm trên, lời giải của các ví dụ 1, ví dụ 2 trong mục 1.2.3 được trình bày một cách đơn giản hơn. Lời giải đơn giản cho ví dụ 1. Giải phương trình sau.
2 2 3xx
Lời giải. Bước 1, biến đổi hệ quả. Ta có 2 2 3xx Þ22x 4x 4 4x 12x 9- + = – +23x 8x 5 0Þ – + =Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Bước 2, thử lại. Vì 1 2 1 1 2.1 3- = ¹ – = – nên x1= không phải là nghiệm của phương trình. Vì 5 1 52 2. 33 3 3– = = – nên 5x3= là nghiệm của phương trình. Kết luận. Phương trình có nghiệm là 53. Nhận xét. + Khi giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại chỉ được dùng dấu hệ quả (Þ). + Phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại thực sự ưu việt khi giải những phương trình vô nghiệm (không có nghiệm nên không có bước thử lại). Lời giải đơn giản cho ví dụ 2. Giải phương trình sau.
2x 3 x 2- = –
Lời giải. Ta thấy:
2x 3 x 2- = –
x 3 2Û = +
Kết luận. Phương trình có nghiệm 32
Nhận xét. Khi giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương chỉ được dùng dấu tương đương (Û). 1.3. Quỹ tích và bài toán tìm quỹ tích 1.3.1. Cái nhìn tổng quan Quỹ tích của các điểm M( ) là hình (H) = M( ) .
Tìm quỹ tích của những điểm M( ) là tìm hình (H) gồm những điểm M( ), cụ thể hơn, mô tả về mặt hình học hình (H) = M( ) .
Theo định nghĩa trên bài toán tìm quỹ tích là một bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện. Do đó để giải bài toán tìm quỹ tích cũng chỉ có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau: biến đổi hệ quả và thử lại, biến đối tương đương, đoán nhận và khẳng định. Theo thói quen, với bài toán quỹ tích, thay cho các thuật ngữ biến đổi hệ quả và thử lại, biến đối tương đương, đoán nhận và khẳng định người ta dùng các thuật ngữ thuận-đảo, thuận đảo đồng thời, đảo-phản đảo.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Về phương diện logic, phần thuận trong lời giải bài toán tìm quỹ tích và bước biến đổi hệ quả trong bài toán giải phương trình có cùng bản chất. Khi ta bắt đầu phần thuận với câu „„ giả sử M có tính chất ‟‟ và kết thúc phần thuận với câu „„ vậy M thuộc hình (H) ‟‟ cũng giống như khi ta bắt đầu bước biến đổi hệ quả với câu „„ giả sử x0 là nghiệm của phương trình ‟‟ và kết thúc bước biến đổi hệ quả với câu „„ vậy x0 thuộc tập hợp 12a ,a , ‟‟. Tương tự, phần đảo của bài toán tìm quỹ tích và bước thử lại của bài toán giải phương trình có cùng bản chất logic. Tuy nhiên, cũng có những điểm khác biệt trong quá trình thực hành. Khi ta bắt đầu phần đảo với câu „„giả sử M thuộc hình (H) ‟‟ cũng là lúc ta tin chắc rằng kết thúc phần đảo sẽ là câu „„ vậy M có tính chất ‟‟. Ngược lại, khi ta bắt đầu bước thử lại với câu „„ giả sử x0 thuộc tập hợp 12a ,a , ‟‟ ta không thể tin chắc rằng kết thúc bước thử lại sẽ là câu „„ vậy x0 là nghiệm của phương trình ‟‟. Nói cách khác, khi giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp thuận đảo,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 người giải toán phải thực hiện phần thuận hoàn chỉnh tới mức hình (H), tập hợp chứa các điểm M có tính chất , chính là tập hợp các điểm M có tính chất .
Từ đó, theo định lí Thasles, NP
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
(Hình 1)
Đảo. Giả sử I thuộc đoạn EF (h.1). Đặt P = AI ∩ BC. Lấy M, N thuộc AB, AC sao cho MP
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Thuận. Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC (h.2). Dễ thấy G thuộc MA và 1MG MA3
(Hình 2)
Dễ thấy 1333M M MA V ((O’)) V (V (O)) e((O)) (O) và G là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó G thoả mãn điều kiện đề bài. Kết luận. Quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC là đường tròn (O‟).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 Nhận xét. + Lời giải trên và lời giải ví dụ 1 trong mục 1.2.3 có cùng bản chất logic. + Trong phần đảo, nhờ phép vị tự 1133MMVV dễ dàng chỉ ra điểm A thuộc (O) sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trong (O) và khác O. Các điểm B,C chạy trên (O) sao cho BAC 90 . Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn BC. Lời giải. Gọi R là bán kính của (O), gọi I là trung điểm của OA (h.3). Thuận. Giả sử M là trung điểm của BC. Vì BAC 90 nên MA = MB (1). Vì OMB 90 nên 2 2 2 2OM BM OB R (2).
Vì A nằm trong O nên OA < R (3). Theo công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác, chú ý rằng với (1), (2) và (3), ta có
Do đó M thuộc đường tròn (I, 222R OA2). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
(Hình 3)
Suy ra đường tròn (I, 222R OA2) nằm trong đường tròn (O). Do đó M nằm trong (O). Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM, cắt (O) tại B, C. Theo công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác, chú ý rằng 222R OAIM ,2
Suy ra AM = BM = CM.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Vậy M thoả mãn điều kiện đề bài. Kết luận. Quỹ tích của M là đường tròn (I, 222R OA2). Nhận xét. + Lời giải trên và lời giải ví du 1 trong mục 1.2.3 có cùng bản chất logic. + Nếu không có kết luận đường tròn (I, 222R OA2) nằm trong đường tròn (O) thì không thể chỉ ra sự tồn tại của các điểm B, C, lỗi này rất nhiều người mắc.
Ví dụ 4. Cho đường trong (O). Các điểm A, B, C thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn, tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác ABC. Lời giải. Trước hết xin phát biểu không chứng minh một bổ đề quen thuộc. Bổ đề. Nếu O, H, G theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC thì G thuộc đoạn OH và OH = 3OG. Trở lại giải ví dụ 4. Gọi R là bán kính của (O). Thuận. Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC (h.4).
Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Toán Lớp 8 Bài 4: Phương Trình Tích trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!