Bạn đang xem bài viết Hàm Trơn Không Giải Tích được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Xét hàm Hàm được gọi là trơn, còn gọi khả vi vô hạn, nếu nó có đạo hàm mọi cấp trên Hàm được gọi là hàm giải tích nếu nó trơn và chuỗi Taylor tại mọi điểm trên của nó đều hội tụ đến nó trong một lân cận của điểm đang xét.
Như ta đã biết hàm
là hàm trơn và không giải tích tại
Từ đây, không khó khăn lắm, ta có thể xây dựng được hàm trơn và không giải tích tại tối đa đếm được điểm. Liệu có hàm trơn nào mà nó không giải tích tại mọi nơi không?
Trước hết ta đến với điều kiện cần và đủ để một hàm trơn là hàm giải tích:
Cho trước hàm trơn . Khi đó điều kiện cần và đủ để giải tích là:
với bất kỳ điểm đều có các số dương (phụ thuộc ) sao cho
và
Việc kiểm tra hàm ở trên không thỏa mãn điều kiện này nói chung không đơn giản. Các bạn thử kiểm tra xem sao?
Ta sẽ dùng điều kiện trên để chỉ ra rằng tập các hàm giải tích là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật trong không gian các hàm trơn với khoảng cách được định nghĩa bởi
với giảm về , còn tăng đến
Với khoảng cách này không gian các hàm trơn là không gian Khi đó nó là không gian metric đầy đủ.
Từ điều kiện trên ta có:
– nếu giải tích tại thì có để ,
– nếu giải tích tại thì nó giải tích quanh một lân cận của điểm .
Khi đó tập các hàm giải tích thuộc vào hợp đếm được
Có thể thấy rằng:
– tập là đóng trong ,
.
Như vậy là tập không đâu trù mật. Mà là không gian metric đầy đủ nên
.
Như vậy có hàm trơn mà không giải tích tại mọi điểm.
Cách chứng minh trên, theo James Dugundji là của H. Salzmann và K. Zeller.
Cách tiếp cận khác chỉ ra cụ thể các hàm trơn và không giải tích tại mọi điểm. Để tiếp tục, tôi đưa ra cách của Sung S. Kim and Kil H. Kwon. Cách này có sử dụng hàm như trên. Cụ thể xét hàm
Kim và Kwon chứng minh được hàm
là hàm trơn và không đâu giải tích.
Có thể thấy hàm :
– là hàm không âm, tuần hoàn chu kỳ 1,
– trơn và có đạo hàm mọi cấp tại các điểm nguyên đều bằng 0.
Để chứng minh tính không đâu giải tích ta chỉ cần chứng minh không giải tích tại các điểm dạng:
với lẻ.
Các bạn thử giải thích tại sao?
Với , có
nên là các hàm giải tích tại
Còn với có
Ngoài ra
.
Do đó
không giải tích tại .
Nói cách khác không giải tích tại
Vài nhận xét về ví dụ cụ thể trên:
– Hàm là hàm không âm nên nếu lấy nguyên hàm của nó ta được hàm trơn, đơn điệu tăng và không đâu giải tích.
– Chuỗi Taylor của hàm tại các điểm hội tụ tại mọi điểm trên đường thẳng thực, nói cách khác nó có bán kính hội tụ .
Về nhận xét thứ hai, có hai câu hỏi:
– Tại những điểm khác , chuỗi Taylor của không hội tụ đến hàm trong lân cận của nó. Nó có hội tụ không? Bán kính hội tụ của nó liệu có bằng vô cùng?
– Có ví dụ nào khác về hàm trơn không đâu giải tích mà chuỗi Taylor tại bất kỳ điểm nào cũng có bán kính ?
Ta trả lời câu hỏi thứ hai bằng ví dụ
.
Giống ví dụ trước ta chỉ xét tại các điểm
với lẻ.
Từ đây dùng công thức Hadamard-Cauchy ta có
Như vậy bán kính hội tụ của chuỗi Taylor tại mỗi điểm bằng
Ta cũng gặp câu hỏi tương tự câu hỏi đầu cho hàm ở trên. Các bạn thử chứng minh tại những điểm còn lại chuỗi Taylor của hàm cũng có bán kính hội tụ ?
Với hàm , tại những điểm còn lại có những điểm giống như trường hợp hàm . Điều này được dẫn từ kết quả:
– (R. Boas) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn không đâu giải tích có bán kính hội tụ là tập trù mật trong .
– (Z. Zahorski) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn hội tụ trong một lân cận của điểm đang xét và không hội tụ đến hàm trơn trong lân cận bất kỳ của điểm đang xét là tập thuộc phạm trù thứ nhất dạng nghĩa là hợp đếm được các tập đóng không đâu trù mật.
Share this:
Like this:
Số lượt thích
Đang tải…
Giải Tích Hàm Là Gì (Tiếng Pháp) ?
Analyse fonctionnelle (mathématiques)
Giải tích hàm
L’analyse (Giải tích) fonctionnelle (hàm) est (là) la (các, sự, những, của, việc) branche (là một nhánh) des (của) mathématiques (của toán học) et (và) plus (hơn, thêm, nhiều) particulièrement (đặc biệt là) de (của, các, trong, về) l’analyse (Giải tích) qui (mà, trong đó) étudie (nghiên cứu) les (các, những) espaces (không gian) de (của) fonctions (các hàm) .
Giải tích hàm là một nhánh của Toán học, đặc biệt trong Giải tích nghiên cứu những không gian của các hàm
Elle (Nó) prend (có) ses (của mình) racines (nguồn gốc) historiques (lịch sử) dans (trong, ở, tại, vào, năm) l’étude (nghiên cứu) des (của, các, trong, về) transformations (những biến đổi) telles (như, chẳng hạn, ví dụ, như vậy) que (mà, đó, rằng, là, có) la (các, sự, những, của, việc) transformation de (của, các, trong, về) Fourier et (và, và các) dans (trong, ở, tại, vào, năm) l’étude des équations différentielles ou (hoặc) intégro-différentielles.
Nó có nguồn gốc lịch sử của mình trong việc nghiên cứu biến đổi như biến đổi Fourier và các nghiên cứu về phương trình vi phân hoặc vi – tích phân
Le terme fonctionnelle trouve son (của nó) origine dans le cadre du calcul des variations, pour désigner des fonctions dont les arguments sont (là những) des (các) fonctions.
Thuật ngữ hàm có nguồn gốc trong các tính toán của các biến, để biểu thị các hàm mà đối số là những hàm.
Son emploi (Dùng, sử dụng) a (có, đã có) été généralisé (khái quát, tổng quát) à (với, các, bằng) de (của, các, trong, về) nouveaux (mới) domaines (những miền) par (qua, bởi, bằng, của) le (các, sự, những, của, việc) mathématicien et (và) physicien italien Vito Volterra. Le (Các, sự, những, của, việc) mathématicien (nhà toán học) polonais (Ba Lan) Stefan Banach est (là, đang có, được) souvent (thường được, thường là, thường được) considéré (xem xét, coi, được coi là) comme (như, chẳng hạn như, như là) le (các, sự, những, của, việc) fondateur (người sáng lập, nhà sáng lập) de (của, các, trong, về) l’analyse fonctionnelle moderne.
Việc sử dụng thuật ngữ đã được tổng quát đến các miền mới bởi các nhà toán học và nhà vật lý người Ý Vito Volterra. Nhà toán học Ba Lan Stefan Banach thường được coi là người sáng lập của giải tích hàm hiện đại.
Les (Các) espaces (lĩnh vực) de (của) l’analyse fonctionnelle (giải tích hàm)
Các lĩnh vực của Giải tích hàm
Les (Các, sự, những, của, việc) espaces de (của, các, trong, về) base (cơ sở, căn cứ) de l’analyse fonctionnelle sont (đầy đủ, là, được, đang những, là những) les (các, sự, những, của, việc) espaces vectoriels normés complets (đầy đủ) sur (về, khoảng, về việc, về các) le (các, sự, những, của, việc) corps des (của, các, trong, về) nombres (số, con số, số lượng, số điện thoại) réels (số thực) ou (hoặc) des nombres complexes (số phức). De (Của, các, trong về) tels (như vậy, chẳng hạn, ví dụ) espaces sont (là, được, đang những, là những) appelés (được gọi là) les (các, sự, những, của, việc) espaces de (của, các, trong, về) Banach.
Các không gian dựa trên giải tích hàm đầy đủ không gian vectơ định chuẩn trong miền số thực hoặc số phức. Không gian như vậy được gọi là không gian Banach.
Les (Các, sự, những, của, việc) espaces de (của, các, trong, về) Hilbert, constituent (là, được) un (một) cas (trường hợp) particulier important, où (đâu, nơi, mà) la (các, sự, những, của, việc) norme est (là) issue (sau) d’un produit scalaire. Ces (Những, các, đây là) derniers (cuối cùng) jouent (đóng vai trò) par (qua, bởi, bằng của) exemple (ví dụ, như) un (một) rôle (vai trò) important dans la formulation mathématique de la mécanique quantique. L’analyse fonctionnelle peut aussi être effectuée dans un cadre plus général, celui des espaces vectoriels topologiques, tels que les espaces de Fréchet.
Không gian Hilbert là một trường hợp đặc biệt quan trọng, trong đó tiêu chuẩn là kết quả của một sản phẩm vô hướng. Họ chơi như một vai trò quan trọng trong việc xây dựng toán học của cơ học lượng tử. Giải tích hàm cũng có thể được thực hiện trong một bối cảnh tổng quát hơn, đó là không gian vectơ tôpô, chẳng hạn như không gian Fréchet.
Des objets d’étude importants en analyse fonctionnelle sont les opérateurs linéaires continus définis sur les espaces de Banach et de Hilbert. Ceux-ci mènent naturellement à la définition des C*-algèbres.
Đối tượng nghiên cứu quan trọng trong giải tích hàm là các toán tử tuyến tính liên tục được xác định trên không gian Banach và Hilbert. Những cách tự nhiên dẫn đến định nghĩa của C *-đại số.
Les espaces de Hilbert peuvent être complètement classifiés : il existe un espace de Hilbert unique à un isomorphisme près pour chaque cardinal de la base hilbertienne. Les espaces de Hilbert de dimension finie sont entièrement connus en algèbre linéaire, et les espaces de Hilbert séparables sont isomorphes à l’espace de suites ℓ2.
Không gian Hilbert có thể hoàn toàn phân loại: có một không gian đẳng cấu Hilbert duy nhất cho mỗi hồng y của cơ sở Hilbert. Không gian Hilbert của kích thước hữu hạn được biết đầy đủ trong đại số tuyến tính, và không gian Hilbert tách là đẳng cấu với không gian ℓ 2 dãy phòng.
La séparabilité étant importante pour les applications, l’analyse fonctionnelle des espaces de Hilbert traite surtout de cet espace et de ses morphismes. Un des problèmes ouverts en analyse fonctionnelle est de prouver que tout opérateur borné sur un espace de Hilbert séparable possède un sous-espace stable fermé non trivial. Ce problème du sous-espace invariant (en) a déjà été résolu dans beaucoup de cas particuliers.
Sự phân chia là quan trọng cho các ứng dụng, giải tích hàm của không gian Hilbert chủ yếu giao dịch với khu vực này và morphisms của mình. Một trong những vấn đề mở giải tích hàm là để chứng minh rằng bất kỳ toán tử giới hạn trên một không gian Hilbert tách có một không gian con đóng ổn định không tầm thường. Vấn đề này của không gian con bất biến (trong) đã được giải quyết trong nhiều trường hợp đặc biệt.
Les espaces de Banach sont beaucoup plus compliqués à étudier que les espaces de Hilbert. Il n’y a pas de définition unique de ce qui pourrait constituer une base, par exemple.
Không gian Banach là phức tạp hơn nhiều nghiên cứu hơn không gian Hilbert. Không có định nghĩa duy nhất của những gì có thể tạo thành một cơ sở, ví dụ.
Pour tout nombre réel p ≥ 1, un exemple d’espace de Banach est donné par l’ensemble de toutes les fonctions mesurables au sens de Lebesgue dont la puissance p-ième de la valeur absolue a une intégrale finie (voir les espaces Lp).
Đối với bất kỳ số thực p ≥ 1, một ví dụ về không gian Banach được đưa ra bởi các thiết lập của tất cả các hàm đo Lebesgue có sức mạnh của các giá trị tuyệt đối p-thứ có thể tách rời hữu hạn (xem không gian Lp) .
Dans les espaces de Banach, une grande partie de l’étude implique le dual topologique : l’espace de toutes les formes linéaires continues. Comme en algèbre linéaire, le bidual (le dual du dual) n’est pas toujours isomorphe à l’espace original, mais il y a toujours un morphisme injectif naturel d’un espace dans son bidual.
La notion de dérivée est étendue aux fonctions arbitraires entre espaces de Banach via le concept de différentielle ; la différentielle de Fréchet d’une fonction en un certain point est, lorsqu’elle existe, une certaine application linéaire continue.
Khái niệm phái sinh được mở rộng để không gian Banach tùy ý giữa việc sử dụng các khái niệm về hàm khác biệt, sự khác biệt Fréchet của một hàm tại một điểm nhất định là, khi có một số liên tục tuyến tính.
Ici nous énumérons quelques résultats importants d’analyse fonctionnelle :
Ở đây chúng tôi liệt kê một số kết quả quan trọng của phân tích chức năng:
Le principe de la borne uniforme est un résultat sur des ensembles d’opérateurs bornés.
Nguyên tắc thống nhất ràng buộc là một kết quả trên bộ của các toán tử bị chặn.
Le théorème spectral donne une formule intégrale pour les opérateurs normaux sur un espace de Hilbert. Il est d’une importance centrale dans la formulation mathématique de la mécanique quantique.
Định lý phổ cho một công thức tích hợp cho toán tử bình thường trên một không gian Hilbert. Nó có tầm quan trọng trong việc xây dựng toán học của cơ học lượng tử.
Le théorème de Hahn-Banach permet de prolonger des formes linéaires définies sur un sous-espace à l’espace tout entier, tout en conservant la norme.
Định lý Hahn-Banach cho phép mở rộng các hình thức tuyến tính được định nghĩa trên một không gian con cho toàn bộ không gian, trong khi duy trì các tiêu chuẩn.
L’un des triomphes de l’analyse fonctionnelle fut de montrer que l’atome d’hydrogène était stable.
Một trong những thành tựu của giải tích hàm là để cho thấy rằng các nguyên tử hydro đã được ổn định.
Bài Tập Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Tích Phân
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN-FULL
MỤC LỤCLoại (. HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1Loại TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 5Loại TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 7Loại ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 9Loại TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1 14Loại TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2 15Loại TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 19Loại TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 20Loại TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY 23
Loại (. HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ1. Định nghĩaCho hàm số xác định trên khoảng . Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số nếu với mọi .Nhận xét. Nếu là một nguyên hàm của thì cũng là nguyên hàm của .Ký hiệu: .2. Tính chất( .( .( .3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặpBảng nguyên hàm
, là hằng số
Câu 1. Hàm số có nguyên hàm trên nếu:A. xác định trên . B. có giá trị lớn nhất trên .C. có giá trị nhỏ nhất trên . D. liên tục trên .Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?A. Nếu là một nguyên hàm của trên và là hằng số thì .B. Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên .C. là một nguyên hàm của trên .D. .Câu 3. Xét hai khẳng định sau:(I) Mọi hàm số liên tục trên đoạn đều có đạo hàm trên đoạn đó.(II) Mọi hàm số liên tục trên đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó.Trong hai khẳng định trên:A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.Câu 4. Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên đoạn nếu:A. Với mọi , ta có .B. Với mọi , ta có .C. Với mọi , ta có .D. Với mọi , ta có , ngoài ra và .Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số xác định trên khoảng , câu nào là sai?(I) là nguyên hàm của trên nếu và chỉ nếu .(II) Nếu liên tục trên thì có nguyên hàm trên .(III) Hai nguyên hàm trên của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.A. Không có câu nào sai. B. Câu (I) sai.C. Câu (II) sai. D. Câu (III) sai.Câu 6. Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng . Giả sử cũng là một nguyên hàm của trên khoảng . Khi đó:A. trên khoảng .B. trên khoảng , với là hằng số.C. với mọi thuộc giao của hai miền xác định, là hằng số.D. Cả ba câu trên đều sai.Câu 7. Xét hai câu sau:(I) , trong đó và tương ứng là nguyên hàm của .(II) Mỗi nguyên hàm của là tích của với một nguyên hàm của .Trong hai câu trên:A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai?A. . B. .C. . D. ( là hằng số).Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?A. là một nguyên hàm của .B. là một nguyên hàm của .C. Nếu và đều là nguyên hàm của hàm số thì (hằng số).D..Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?A. Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì mọi nguyên hàm của đều có dạng ( là hằng số).B. .C. là một nguyên hàm của hàm số .D. là một
Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông: Giải Tích Hàm Một Biến Số (Giải Tích 1)
Thông tin tài liệu
Title: Giải tích hàm một biến số (Giải tích 1) Authors: Phạm, Ngọc Anh
Publisher: Học viện công nghệ Bưu chính Viễn thông URI: http://dlib.ptit.edu.vn/HVCNBCVT/1307 Appears in Collections:Khoa cơ bản
ABSTRACTS VIEWS
122
VIEWS & DOWNLOAD
14
Files in This Item:
Xin lỗi! Thư viện chưa thể cung cấp tài liệu bạn yêu cầu vì bạn không thuộc đối tượng phục vụ tài liệu số dạng toàn văn. Bạn có thể tham khảo bản in của tài liệu này tại Phòng đọc Thư viện (Tầng 1 – Nhà A3 hoặc gửi email yêu cầu về địa chỉ: ilc@ptit.edu.vn)
Cập nhật thông tin chi tiết về Hàm Trơn Không Giải Tích trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!