Xu Hướng 5/2023 # Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông: Giải Tích Hàm Một Biến Số (Giải Tích 1) # Top 6 View

Bạn đang xem bài viết Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông: Giải Tích Hàm Một Biến Số (Giải Tích 1) được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Thông tin tài liệu

Title: Giải tích hàm một biến số (Giải tích 1) Authors: Phạm, Ngọc Anh

Publisher: Học viện công nghệ Bưu chính Viễn thông URI: http://dlib.ptit.edu.vn/HVCNBCVT/1307 Appears in Collections:Khoa cơ bản

ABSTRACTS VIEWS

122

VIEWS & DOWNLOAD

Files in This Item:

Xin lỗi! Thư viện chưa thể cung cấp tài liệu bạn yêu cầu vì bạn không thuộc đối tượng phục vụ tài liệu số dạng toàn văn. Bạn có thể tham khảo bản in của tài liệu này tại Phòng đọc Thư viện (Tầng 1 – Nhà A3 hoặc gửi email yêu cầu về địa chỉ: ilc@ptit.edu.vn)

Phép Tính Vi Tích Phân Hàm Một Biến

Mọi vật xung quanh ta đều biến đổi theo thời gian. Chúng ta có thể nhận thấy điều đó qua sự chuyển động cơ học của các vật thể: ô tô, máy bay; sự thay đổi của các đại lượng vật lý: nhiệt độ, tốc độ, gia tốc; sự biến động kinh tế trong một xã hội: Giá cổ phiếu, lãi suất tiết kiệm,…. Tất cả các loại hình đó được gán một tên chung là đại lượng hay hàm số, nó phụ thuộc vào đối số nào đó, chẳng hạn là thời gian. Xem xét hàm số tức là quan tâm đến giá trị, tính chất và biến thiên của nó. Việc đó đặt ra như một nhu cầu khách quan của con người và xã hội.

Phép tính vi phân của hàm một biến số gắn liền với phép tính đạo hàm của hàm số. Khái niệm đạo hàm là một trong những tư tưởng quan trọng nhất của giải tích. Trong chương 2, chúng ta đã đặt vấn đề xem xét hàm số, nhưng vấn đề cốt lõi của hàm số là tốc độ biến thiên của nó chưa được xét đến. Nhờ vào khái niệm đạo hàm người ta có thể khảo sát toàn diện một đại lượng biến thiên. Khái niệm đạo hàm gắn liền với các đại lượng vật lý: vận tốc tại thời điểm t của một vật chuyển động, nhiệt dung của vật thể ở nhiệt độ to, cường độ dòng điện,v.v…; gắn liền với các hiện tượng hoá học: tốc độ phản ứng hoá học ở thời điểm t; gắn liền với các bài toán kinh tế xã hội: vấn đề tăng trưởng kinh tế, phương án tối ưu trong giao thông, trong sản xuất kinh doanh, v.v….

Chương III và chương IV trình bày phép tính tích phân, đây là phép tính cơ bản thứ hai của toán cao cấp. Hơn nữa, nó còn là phép tính ngược của phép tính vi phân. Chính vì thế để tính tích phân nhanh chóng, chính xác cần thông thạo phép tính đạo hàm của hàm số.

Bài toán tính giá trị gần đúng của một hàm số tại điểm x1 gần với điểm x0 mà giá trị f(x0) đã biết rất hay gặp trong thực tế: bài toán lập biểu đồ, bài toán nội suy,…. Việc tính toán trở nên đơn giản nhờ các phép tính cơ bản +, -, ., / và luỹ thừa khi đã khai triển hàm số thành chuỗi Taylor. Việc biểu diễn một tín hiệu phức tạp thành các tín hiệu đơn giản hoặc các sóng phức tạp thành các sóng đơn giản chính là nhờ vào việc khai triển một hàm số thành chuỗi Fourier. Để có được cơ sở giải thích cho các bài toán dạng trên cần nắm vững các nội dung của lý thuyết chuỗi.

Giáo Án Môn Đại Số &Amp; Giải Tích 11 Tiết 1: Hàm Số Lượng Giác

Tiết dạy: 01 Bài 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

– Nắm được định nghĩa hàm số sin và côsin, từ đó dẫn tới định nghĩa hàm số tang và hàm số côtang như là những hàm số xác định bởi công thức.

– Nắm được tính tuần hoàn và chu kì của các HSLG sin, côsin, tang, côtang.

– Biết tập xác định, tập giá trị của 4 HSLG đó, sự biến thiên và biết cách vẽ đồ thị của chúng.

– Diễn tả được tính tuần hoàn, chu kì và sự biến thiên của các HSLG.

– Biểu diễn được đồ thị của các HSLG.

– Xác định được mối quan hệ giữa các hàm số y = sinx và y = cosx, y = tanx và y = cotx.

Ngày soạn: 15/08/2008 Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tiết dạy: 01 Bàøi 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. MỤC TIÊU: Kiến thức: Nắm được định nghĩa hàm số sin và côsin, từ đó dẫn tới định nghĩa hàm số tang và hàm số côtang như là những hàm số xác định bởi công thức. Nắm được tính tuần hoàn và chu kì của các HSLG sin, côsin, tang, côtang. Biết tập xác định, tập giá trị của 4 HSLG đó, sự biến thiên và biết cách vẽ đồ thị của chúng. Kĩ năng: Diễn tả được tính tuần hoàn, chu kì và sự biến thiên của các HSLG. Biểu diễn được đồ thị của các HSLG. Xác định được mối quan hệ giữa các hàm số y = sinx và y = cosx, y = tanx và y = cotx. Thái độ: Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng từng trường hợp cụ thể. Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống. II. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập kiến thức đã học về lượng giác ở lớp 10. III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: 1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: H. Đ. 3. Giảng bài mới: TL Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Ôn tập một số kiến thức đã học về lượng giác 15' H1. Cho HS điền vào bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt. H2. Trên đtròn lượng giác, hãy xác định các điểm M mà sđ = x (rad) ? · Các nhóm thực hiện yêu cầu. Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm hàm số sin và côsin 18' · Dựa vào một số giá trị lượng giác đã tìm ở trên nêu định nghĩa các hàm số sin và hàm số côsin. H. Nhận xét hoành độ, tung độ của điểm M ? Đ. Với mọi điểm M trên đường tròn lượng giác, hoành độ và tung độ của M đều thuộc đoạn [-1; 1] I. Định nghĩa 1. Hàm số sin và côsin a) Hàm số sin Qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx sin: R ® R x sinx đgl hàm số sin, kí hiệu y = sinx Tập xác định của hàm số sin là R. b) Hàm số côsin Qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx cos: R ® R x cosx đgl hàm số côsin, kí hiệu y = cosx Tập xác định của hàm số cos là R. Chú ý:Với mọi x Ỵ R, ta đều có: -1 £ sinx £ 1, -1 £ cosx £ 1 . Hoạt động 3: Củng cố 10' · Nhấn mạnh: - Đối số x trong các hàm số sin và côsin được tính bằng radian. · Câu hỏi: 1) Tìm một vài giá trị x để sinx (hoặc cosx) bằng ; ; 2 2) Tìm một vài giá trị x để tại đó giá trị của sin và cos bằng nhau (đối nhau) ? 1) sinx = Þ x =; sinx = Þ x = ; sinx = 2 Þ không có 2) sinx = cosx Þ x = ; 4. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 2 SGK. Đọc tiếp bài "Hàm số lượng giác". IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

Hàm Trơn Không Giải Tích

Xét hàm Hàm được gọi là trơn, còn gọi khả vi vô hạn, nếu nó có đạo hàm mọi cấp trên Hàm được gọi là hàm giải tích nếu nó trơn và chuỗi Taylor tại mọi điểm trên của nó đều hội tụ đến nó trong một lân cận của điểm đang xét.

Như ta đã biết hàm

là hàm trơn và không giải tích tại

Từ đây, không khó khăn lắm, ta có thể xây dựng được hàm trơn và không giải tích tại tối đa đếm được điểm. Liệu có hàm trơn nào mà nó không giải tích tại mọi nơi không?

Trước hết ta đến với điều kiện cần và đủ để một hàm trơn là hàm giải tích:

Cho trước hàm trơn . Khi đó điều kiện cần và đủ để giải tích là:

với bất kỳ điểm đều có các số dương (phụ thuộc ) sao cho

và

Việc kiểm tra hàm ở trên không thỏa mãn điều kiện này nói chung không đơn giản. Các bạn thử kiểm tra xem sao?

Ta sẽ dùng điều kiện trên để chỉ ra rằng tập các hàm giải tích là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật trong không gian các hàm trơn với khoảng cách được định nghĩa bởi

với giảm về , còn tăng đến

Với khoảng cách này không gian các hàm trơn là không gian Khi đó nó là không gian metric đầy đủ.

Từ điều kiện trên ta có:

– nếu giải tích tại thì có để ,

– nếu giải tích tại thì nó giải tích quanh một lân cận của điểm .

Khi đó tập các hàm giải tích thuộc vào hợp đếm được

Có thể thấy rằng:

– tập là đóng trong ,

Như vậy là tập không đâu trù mật. Mà là không gian metric đầy đủ nên

Như vậy có hàm trơn mà không giải tích tại mọi điểm.

Cách chứng minh trên, theo James Dugundji là của H. Salzmann và K. Zeller.

Cách tiếp cận khác chỉ ra cụ thể các hàm trơn và không giải tích tại mọi điểm. Để tiếp tục, tôi đưa ra cách của Sung S. Kim and Kil H. Kwon. Cách này có sử dụng hàm như trên. Cụ thể xét hàm

Kim và Kwon chứng minh được hàm

là hàm trơn và không đâu giải tích.

Có thể thấy hàm :

– là hàm không âm, tuần hoàn chu kỳ 1,

– trơn và có đạo hàm mọi cấp tại các điểm nguyên đều bằng 0.

Để chứng minh tính không đâu giải tích ta chỉ cần chứng minh không giải tích tại các điểm dạng:

với lẻ.

Các bạn thử giải thích tại sao?

Với , có

nên là các hàm giải tích tại

Còn với có

Ngoài ra

Do đó

không giải tích tại .

Nói cách khác không giải tích tại

Vài nhận xét về ví dụ cụ thể trên:

– Hàm là hàm không âm nên nếu lấy nguyên hàm của nó ta được hàm trơn, đơn điệu tăng và không đâu giải tích.

– Chuỗi Taylor của hàm tại các điểm hội tụ tại mọi điểm trên đường thẳng thực, nói cách khác nó có bán kính hội tụ .

Về nhận xét thứ hai, có hai câu hỏi:

– Tại những điểm khác , chuỗi Taylor của không hội tụ đến hàm trong lân cận của nó. Nó có hội tụ không? Bán kính hội tụ của nó liệu có bằng vô cùng?

– Có ví dụ nào khác về hàm trơn không đâu giải tích mà chuỗi Taylor tại bất kỳ điểm nào cũng có bán kính ?

Ta trả lời câu hỏi thứ hai bằng ví dụ

Giống ví dụ trước ta chỉ xét tại các điểm

với lẻ.

Từ đây dùng công thức Hadamard-Cauchy ta có

Như vậy bán kính hội tụ của chuỗi Taylor tại mỗi điểm bằng

Ta cũng gặp câu hỏi tương tự câu hỏi đầu cho hàm ở trên. Các bạn thử chứng minh tại những điểm còn lại chuỗi Taylor của hàm cũng có bán kính hội tụ ?

Với hàm , tại những điểm còn lại có những điểm giống như trường hợp hàm . Điều này được dẫn từ kết quả:

– (R. Boas) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn không đâu giải tích có bán kính hội tụ là tập trù mật trong .

– (Z. Zahorski) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn hội tụ trong một lân cận của điểm đang xét và không hội tụ đến hàm trơn trong lân cận bất kỳ của điểm đang xét là tập thuộc phạm trù thứ nhất dạng nghĩa là hợp đếm được các tập đóng không đâu trù mật.