Bạn đang xem bài viết Kiến Thức Cơ Bản Đại Số Lớp 10: Phương Trình Và Hệ Phương Trình được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn. A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phương trình một ẩn Là mệnh đề chứa một biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi là ẩn số, f(x) là vế trái; g(x) là vế phải. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa. Mỗi số x0 thoả mãn ĐKXĐ sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng, là một nghiệm của phương trình. Một phương trình có tập nghiệm bằng rỗng gọi là phương trình vô nghiệm. 2. Phương trình tương đương (PTTĐ), phương trình hệ quả (PTHQ) Cho hai phương trình (PT): f1(x) = g1(x) (1) & f2(x) = g2(x) (2). + PT (2) là (PTHQ) của PT (1) , kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) nếu tập nghiệm của (1) là tập con của tập nghiệm của (2). + Hai phương trình (1) và (2) là tương đương, kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x), nếu các tập nghiệm của (1) và của (2) bằng nhau. 3. Phép biến đổi tương đương Định lý : Gọi D là ĐKXĐ của PT f(x) = g(x) và h(x) là biểu thức xác định thì a) f(x) = g(x) f(x) + h(x) = g(x) + h(x). b) f(x) = g(x) f(x) . h(x) = g(x) . h(x) , nếu h(x) 0 , . 4. Phương trình bậc nhất một ẩn + Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó x là ẩn số, a, b R ; a0. x được gọi là ẩn còn a, b là các hệ số. + PT ax + b = 0 với a0 có nghiệm duy nhất x = -b/a. 5. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 Nếu a 0, PT có nghiệm duy nhất x = -b/a. Nếu a = 0, b 0, PT vô nghiệm. Nếu a = 0, b = 0, PT có nghiệm x R. B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Bài 3.1 Các cặp PT sau có tương đương không ? a) 2x + 3 = 8 – 3x và . b) 2x + 3 = 8 – 3x và 2x + 3 + = 8 – 3x + . Bài 3.2 Giải các phương trình : a) 2x – 1 + ; b) Bài 3.3 Cho các phương trình bậc nhất với tham số m : 3mx – 4 = 2(m – x) và m(4x – 1) = 5x + 1 . Xác định các giá trị của m để hai phương trình có một nghiệm chung. ài 3.4 Giải các phương trình sau : a) ; b) c) ; d) Bài 3.5 Giải và biện luận phương trình với ẩn số x : a) m2(x-1) = 9x + 3m ; b) c) ; d) . Bài 3.6 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b : a) ; b) . Bài 3.7 Tìm giá trị của tham số sao cho phương trình : a) vô nghiệm . b) có vô số nghiệm . c) có nghiệm duy nhất . C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 3.8 Các cặp PT sau có tương đương không ? a) 3x + 1 = 2x + 4 và 3x + 1 + = 2x + 4 + b) 3x +1 = 2x + 4 và 3x +1 + = 2x + 4 + Bài 3.9 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn số). 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) 3a) ; 3b) 4a) ; 4b) 5a) ; 5b) 6a) ; 6b) . 7a) ; 7b) Bài 3.10 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b : a) ; b) Bài 3.11 Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm : a) ; b) Bài 3.12 Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R : a) ; b) Bài 3,13 Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm : a) ; b) Bài 3.14 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm : a) ; b) §2. Phương trình – hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn số + Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , trong đó a, b, c là các số đã biết với a.b 0 ; x, y là hai ẩn số. + Cặp số (x0 ; y0) thoả mãn ax0 + by0 = c thì (x0 ; y0) được gọi là một nghiệm của (1). + + Phương trình bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm, biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng ax + by = c . 2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (1) a) Nếu a 0 , b 0, phương trình (1) có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là : . Tập nghiệm của (1) được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đồ thị hàm số : . Còn gọi là đường thẳng ax + by = c. b) Nếu a = 0 , b 0, phương trình có dạng by = c . Công thức nghiệm tổng quát là : . Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tạo độ . c) Nếu a 0 , b =0, phương trình có dạng ax = c . Công thức nghiệm tổng quát là : . Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm có tạo độ . d) Nếu a = 0, b = 0, c 0 thì hệ vô nghiệm. e) Nếu a = b = c = 0 thì mọi cặp số (x ; y) , đều là nghiệm của phương trình. 3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số + Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng : (I) : trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn. + Kí hiệu : , gọi là định thức của hệ (1). ; . Ta có qui tắc Crame để giải hệ (I) như sau : Nếu D 0 hệ (I) có một nghiệm duy nhất (x0 ; y0) được xác định bỡi công thức : . Nếu D = 0 va ø Dx 0 (hoặc Dy 0) thì hệ (I) vô nghiệm. Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm là tập nghiệm của (1) hoặc của (2). 4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Gọi d1 là đường thẳng a1x + b1y = c1 và d2 là đường thẳng a2x + b2y = c2 . Hệ (I) có nghiệm duy nhất d1 và d2 cắt nhau. Hệ (I) vô nghiệm d1 Hệ (I) có vô số nghiệm d1 d2. O x y O x y d 1 d2 O x y d1 d 2 B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Bài 3.15 Giải phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ : a) 4x – 3y = 6 ; b) -3x + 2y = 4 Bài 3.16 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y : a) (3m – 2)x + (m+1)y = m – 2 ; b) (m2 – 1)x + (m+1)y = m2 – m -2 Bài 3.17 Cho k là một số thực xác định. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho cặp số là nghiệm của phương trình đó. Bài 3.18 Giải các hệ phương trình : a) ; b) c) ; d) e) ; g) Bài 3.19 Cho hệ phương trình : (I) ; trong đó m là tham số . Với giá trị nào của m hệ (I) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó. Bài 3.20 Cho hệ phương trình : (I) ; trong đó m là tham số. Với giá trị nào của m hệ (I) có vô số nghiệm. Viết công thức nghiệm của hệ trong trường hợp đó. Bài 3.21 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình (I) . Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm duy nhất, hãy tìm một hệ thức giữa x và y độc lập với tham số a. Bài 3.22 1) Cho hệ phương trình với tham số m : (I) . Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên . 2) Cho hệ phương trình với tham số m : (I) . Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên . C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 3.23 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y : a) (2m – 3)x + (m-1)y = m + 2 ; b) (m2 – 4)x + (m-2)y = m2 + m -6 Bài 3.24 Cho k là một số thực xác định. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho cặp số là nghiệm của phương trình đó. Bài 3.25 Giải các hệ phương trình : a) ; b) c) ; d) e) ; g) Bài 3.26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y) 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) 3a) ; 3b) 4a) ; 4b) Bài 3.27 1) Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . 2) Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . Bài 3.28 Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là các số nguyên. Lúc đó tìm (x;y) : 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) Bài 3.29 Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau : và Bài 3.30 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất : §3. Phương trình bậc hai một ẩn số A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Công thức nghiệm Phương trình bâïc hai (một ẩn x) có dạng ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c là các số đã biết gọi là các hệ số ; x là ẩn số. Đặt là biệt thức của (1). Nếu = 0 (’= 0), phương trình (1) có một nghiệm kép tính bỡi công thức : x1 = x2 = -b/2a ( hay x1 = x2 = -b’/a) Nếu < 0 (’< 0), phương trình (1) vô nghiệm. Định lý Vi-et và ứng dụng Định lý : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có các nghiệm là x1 và x2 thì tổng và tích các nghiệm của phương trình là : S = . Ứng dụng : * Nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a + b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm x2 = c/a . Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a – b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm x2 = -c/a . * Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì các số ấy là nghiệm của phương trình : x2 -Sx + P = 0 * Phân tích một tam thức bậc hai thành thừa số Nếu 3.Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0 Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 trong đó a hoặc b hoặc c có chứa tham số .Bài toán giải và biện luận phương trình đượpc tiến hành như sau : Bước 1: xét trường hợp a = 0 (nếu a có chứa tham số ) (giả sử tham số là m) Từ a = 0 m = thay giá trị m vào b và c . Phương trình là bx + c = 0 với b, c là số đã biết. Có một trong hai khả năng sau xảy ra : Nếu b = 0 và c 0 ( 0x + c = 0 với c 0) thì phương trình vô nghiệm. Nếu b = 0 và c = 0 (0x + 0 = 0 ) thì phương trình có vô nghiệm xTXĐ Bước 2: Xét trường hợp a 0 m Tính biệt số (Chú ý dấu của và ’như nhau) Biện luận theo dấu của (hoặc ’) : Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x0 = -b/2a (hoặc x0 = -b’/a) Bước 3: Tóm tắt lại các kết quả. (Bước này có thể bỏ qua nếu làm bài không kịp thời gian) 4. Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 Nếu ac < 0 x1 < 0 < x2 (gt x1 < x2 ) (tức là phương trình có 2 nghiệm trái dấu). -Nếu S < 0 thì x1 < x2 < 0 (phương trình có hai nghiệm âm). Tóm tắt mục này như sau : Nếu P < 0 x1 < 0 < x2 Nếu 0 < x1 & … Tìm giá trị m để biểu thức A = có giá trị nhỏ nhất. Bài 3.69 Cho phương trình : x2 + px + q = 0 có hai nghiệm dương . Chứng minh rằng : phương trình qy2 +(p – 2rq)y + 1 – pr = 0 cũng có các nghiệm đều dương. Bài 3.70 Tìm tất cả các số thực dương a, b, c, d sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn : Phương trình ax2 + bdx + c = 0 có hai nghiệm là x1 và x2. Phương trình bx2 + cdx + a = 0 có hai nghiệm là x2 và x3 . Phương trình cx2 + adx + b = 0 có hai nghiệm là x3 và x1. §4. Một số hệ phương trình bậc hai , hai ẩn số đặc biệt A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai. Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại. Đem thế vào phương trình bậc hai rồi giải phương trình nhận được. Ví dụ : Giải hệ phương trình : Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn Hệ đối xứng loại I : có dạng trong đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x, y mà nếu ta đổi x thành y và y thành x thì chúng không thay đổi. Tức là: f(x , y) = f(y, x) và g(x , y) = g(y , x). Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y. Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm các nghiệm với ẩn số x, y. Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là S2 – 4P 0 Ví dụ : Giải hệ phương trình : Hệ đối xứng loại II : có dạng nếu đổi x thành y và đổi y thành x thì phương trình này của hệ trở thành phương trình kia của hệ và ngược lại. Tức là: f(y , x) = g(x, y) và g(y , x) = f(x , y). Cách giải : Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) của hệ ta thu được phương trình mới biến đổi về dạng : (x – y).h(x, y) = 0 (3) Phương trình (3) + Với x = y thay vào (1) hoặc (2) thì được phương trình một ẩn x (hoặc y). + Với h(x , y) = 0 ta giải tìm x theo y hoặc tìm y theo x rồi thay vào (1) hoặc (2) thì thu được phương trình một ẩn, giải tìm ẩn đó rồi tính ẩn còn lại. Ví dụ : Giải hệ phương trình : a) ; b) c) Hệ đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn Hệ có dạng : ,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức f(x , y) và g(x , y) có tất cả các số hạng đều là bậc hai theo hai ẩn x , y.. Cách giải: + kiểm tra x = 0 hoặc y = 0 có thoả mãn là nghiệm của hệ hay không. +Xét trường hợp x0 (hoặc y0). Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) sẽ đưa đến việc xác định k (hoặc t) và giải tiếp một phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y) Ví dụ : Giải hệ phương trình CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Bài 3.71 Cho hệ phương trình : (I) với m là tham số. Giải hệ (I) với m = 1. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm. Bài 3.72 Xác định giá trị của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất : Bài 3.73 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.74 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.76 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.77 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.78 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.79 Giải hệ phương trình : Bài 3.80 Giải hệ phương trình : a) ; b) C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 3.81 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình : Bài 3.82 Chứng minh rằng hệ phương trình : luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m Bài 3.83 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.84 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.85 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.86 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.87 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.88 Giải hệ phương trình : a) ; b) Bài 3.89 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.90 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) Bài 3.91 Giải hệ phương trình : a) ; b) ; c) PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ DẠNG ax + b = 0 TÀI LIỆU BỔ SUNG Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn số). 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) 3a) ; 3b) 4a) ; 4b) 5a) ; 5b) 6a) ; 6b) . Bài 2: Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm : a) ; b) Bài 3: Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R : a) ; b) Bài 4: Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm : a) ; b) Bài 5: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm : a) ; b) Bài 1: Giải và biện luận bất phương trình : a) ; b) Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm với mọi x a) ; b) Bài 3: Tìm tham số m để hai bất phương trình sau tương đương : a) và b) và Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất : a) ; b) Bài 5: Tìm các giá trị của tham số m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm : a) ; b) HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHO LỚP 10) Hệ phương trình dạng Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y) 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) 3a) ; 3b) 4a) ; 4b) Bài 2: 1) Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . 2) Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . Bài 3: Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là các số nguyên. Lúc đó tìm (x;y) : 1a) ; 1b) 2a) ; 2b) Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau : và Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất : PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1)Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m 1) (m+1)x2-(2m+1)x+(m-2)=0 ; 2) mx2+2x+1=0 3) (m2-5m-36)x2-2(m+4)x+1=0 ; 4) 2×2-6x+3m-5=0 Bài 2)Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 2×2-11x+13=0. Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau : 1) A = ; 2) B = 3) C = ; 4) D = Bài 3)Chứng tỏ rằng kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia. Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm của phương trình x2+mx+n=0. Bài 5)Cho a,b là nghiệm của phương trình x2+px+1=0 và b,c là nghiệm của phương trình x2+qx+2=0 .Chứng minh rằng : (b-a)(b-c)=pq-6. Bài 6)Cho hai phương trình x2+p1x+q1=0 (1) và x2+p2x+q2=0 (2) biết p1p2=2(q1+q2) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm . Bài 7)Cho hai số là các nghiệm của phương rình x2+px+q=0 .Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm số là . Bài 8)Cho phương trình x2+4x+m+1=0 (1) 1.Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức 2.Định m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm. 3.Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x1 thì phương trình : (m+1)x2+4x+1=0 cũng có một nghiệm dương . Bài 9)Cho phương trình 2×2+2(m+1)x+m2+4m+3=0. 1.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1. 2.Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =. Bài10)Cho hai phương trình x2+3x+2a=0 (1) và x2+6x+5a=0 (2).Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia . Bài11)Tìm các giá trị nguyên của a,b để phương trình : x2+ax+b=0 có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện : Bài12)Xác định m để phương trình mx2+(2m+1)x-1=0 có ít nhất một nghiệm dương . Bài13)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình x2+2mx+4=0 .Hãy tìm các giá trị của m để xảy ra đẳng thức :. Bài14)Tìm các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2×2-(a+1)x+a+3=0 bằng 1. Bài15)Hãy tìm các giá trị của k để các nghiệm của phương trình :2×2-(k+2)x+7=k2 trái dấu nhau và là nghịch đảo của nhau về giá trị tuyệt đối. tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình. Bài17)Tìm các giá trị của m để phương trình : 1. có cả hai nghiệm đều âm. 2. có cả hai nghiệm đều dương. Bài18)Giải và biện luận phương trình : Bài19)Cho phương trình . 1.Xác định m để phương trình có một nghiêïm x=-1 và tìm nghiệm còn lại. 2.Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm dương. Bài20)Xác định m để phương trình (x-2)[x2-2(m+1)x+m2+5]=0 có ba nghiệm phân biệt . Bài22)Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : 1.(m+3)x4-3(m-1)x2+4m=0 ; 2. (m-1)x4+(2m-3)x2+m-1=0 Bài23)Cho phương trình : x2-2(m-1)x+m2-3m+4=0. 1.Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 2.Xác định m để . 3.Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất . Bài24)Cho phương trình .Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm Bài25)Cho phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = trong đó x1,x2 là hai nghiệm của phương trình . Bài26)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho : x1< 1 < x2 Bài27)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho : . Bài28)Tìm m để phương trình có nghiệm thoả điều kiện <x2 Bài29)Tìm m để phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2). Bài30)Tìm các giá trị của m để phương trình (m+1)x2-3mx+4m=0 : 1. Có một nghiệm thuộc (-1;1), còn nghiệm kia nhỏ hơn -1. 2. Có nghiệm lớn hơn 1. Bài31) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ,trong đó có một nghiệm lớn hơn 3 còn nghiệm kia nhỏ hơn 2. Bài32)Tìm các giá trị của m để số -4 nằm giữa hai nghiệm của phương trình : (m+3)x2-2(m-1)x+4m =0 . Bài33)Tìm các giá trị của m để phương trình (m-5)x2-(m-9)x+m-5=0 có: 1. Hai nghiệm lớn hơn -3 . 2. Hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 . Bài34)Cho phương trình (3m-5)x2-2(3m+2)x+4m-1=0 .Xác định m để phương trình có : 1. Hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn -1. 2. Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;0] Bài35)Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 1. ; 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHUNG CHO LTĐH) Giải các hệ phương trình sau : 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) 10) ; 11) ; 12) 13) ; 14) ; 15) 16) ; 17) 18) ; 19) ; 20) 21) ; 22) ; 23) 24) ; 25) 26*) ; 27*) ; 28*) 29*) ; 30*)
Phương Trình Và Hệ Phương Trình
Published on
www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang Phone: 0935 334 225
1. ĐẠI SỐ 10 GV: PHAN NHẬT NAM PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 chúng tôi ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I. lý thuyết: 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) x0 là một nghiệm của (1) nếu “f(x0) = g(x0)” là một mệnh đề đúng. Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x 1 ( ) thì cần điều kiện P(x) 0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x) 0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2. (1) (2) khi và chỉ khi S1 = S2. {(1) , (2) là hai phương trình tương đương nhau} (1) (2) khi và chỉ khi S1 S2. { (2) là phương trình hệ quả của (1)} 3. Phép biến đổi tương đương Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. II. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình 2 1 1 2 3 0x x x x Giải: Điều Kiện: 1 0 1 1 1 0 1 x x x x x Thay x = 1 vào phương trình ta thu được ” 2 1 1 1 1 1 2.1 3 0 ” là mệnh đề đúng . Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là 1S
3. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 chúng tôi Ví dụ 2: Chứng tỏ hai phương trình sau tương đương nhau: 2 2 2 1 0 1 x x x (1) và 4 22 7x x (2) Giải: Giải phương trình 1: Điều kiện: 1x 2 2 2 0 ( )2 1 2 (1) 0 2 0 2 ( )1 x loaix x x x x loaix Do đó tập nghiệm của (1) là 1S Giải phương trình 2: 2 2 4 0 4 4 (2) 2 3( 4) 22 7 6 0 x x x x xx x x x không tồn tại x R Do đó tập nghiệm của (2) là 2S Từ đó ta có: 1 2S S nên (1) và (2) là hai phương trình tương đương nhau (đpcm) III. Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x 5 5 3 12 4 4 b) x x x 1 1 5 15 3 3 c) x x x 2 1 1 9 1 1 d) x x x 2 2 3 15 5 5 Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x1 1 2 b) x x1 2 c) x x1 1 d) x x1 1 e) x x x 3 1 1 f) x x x2 1 2 3 * Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x2 3( 3 2) 0 b) x x x2 1( 2) 0 c) x x x x 1 2 2 2 d) x x x x x 2 4 3 1 1 1 Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x2 1 b) x x1 2 c) x x2 1 2 d) x x2 2 1
4. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 chúng tôi Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x x1 1 b) x x x x 2 2 1 1 c) x x x x2 2 d) x x x x 1 1 2 2 Bài 6. Tìm tập nghiệm của phương trình: 1x x x Bài 7. Giải các phương trình: a. 2 1 1x x b. 2 1 2 3 0x x x x Bài 8. Tìm m để hai phương trình sau tương đương nhau 1 3 7x x , 2 ( 1) ( 3) 2 2 0m x m x m Bài 9. Sử dụng phép biến đổi hệ quả để giải phương trình sau: a. 2 2 2 7 7 x x x x x b. 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I. Lý thuyết: Chú ý: Khi a 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) m x m x2 ( 2) 2 3 b) m x m x m( ) 2 b) m x m m x( 3) ( 2) 6 d) m x m x m2 ( 1) (3 2) e) m m x x m2 2 ( ) 2 1 f) m x m x m2 ( 1) (2 5) 2 ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a 0 (1) có nghiệm duy nhất b x a a = 0 b 0 (1) vô nghiệm b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x
5. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 chúng tôi Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: a) x a x b b a a b a b ( , 0) b) ab x a b b x( 2) 2 ( 2a) c) x ab x bc x b b a b c a c b 2 3 ( , , 1) 1 1 1 d) x b c x c a x a b a b c a b c 3 ( , , 0) Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x R. a) m x n( 2) 1 b) m m x m2 ( 2 3) 1 c) mx x mx m x2 ( 2)( 1) ( ) d) m m x x m2 2 ( ) 2 1 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x 2 10 50 1 2 3 (2 )( 3) b) x x x x x x 1 1 2 1 2 2 1 c) x x x x 2 1 1 3 2 2 d) x x x 2 2 3 5 1 4 e) x x x x x x 2 2 2 5 2 2 15 1 3 f) x x x x2 2 3 4 2 ( 1) (2 1) Bài 5. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx m x 1 3 2 b) mx m x m 2 3 c) x m x x x m 1 2 1 d) x m x x x 3 1 2 e) m x m m x ( 1) 2 3 f) x x x m x 1 Bài 6. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5 b) mx x x1 2 c) mx x x2 1 d) x m x m3 2 2 e) x m x m 2 f) x m x 1 Bài 7. Tím tất cả các gia trị nguyên của m để phương trình ( 1)( 1)m x x m có nghiệm nguyên Bài 8. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt : 1 (2 3) (1 ) 3 0x m x m m x Bài 9. Tìm m để phương trình 2 3mx x m x x có nghiệm duy nhất
8. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 chúng tôi iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) x x m2 5 3 1 0 b) x x m2 2 12 15 0 c) x m x m2 2 2( 1) 0 d) m x m x m2 ( 1) 2( 1) 2 0 e) m x m x2 ( 1) (2 ) 1 0 f) mx m x m2 2( 3) 1 0 g) x x m2 4 1 0 h) m x m x m2 ( 1) 2( 4) 1 0 Bài 5. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = x x2 2 1 2 ; B = x x3 3 1 2 ; C = x x4 4 1 2 ; D = x x1 2 ; E = x x x x1 2 2 1(2 )(2 ) a) x x2 5 0 b) x x2 2 3 7 0 c) x x2 3 10 3 0 d) x x2 2 15 0 e) x x2 2 5 2 0 f) x x2 3 5 2 0 Bài 6. (Trích TSĐH Khối A – 2003) Tìm m để đồ thị (C) của hàm số 2 1 mx x m y x cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương. Bài 7. (Trích TSĐH Khối A – 2003) Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị (C) và d tương ứng của hàm số sau (C): 2 2 4 2 x x y x và d: 2 2y mx m . Bài 8. (Trích TSĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2 2 2 1x mx x Bài 9. (Trích TSĐH Khối D – 2006) Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C): 3 3 2y x x tại ba điểm phân biệt. Bài 10. (Trích TSĐH Khối D – 2009) Tìm m để đường thẳng : 2d y x m cắt đồ thị (C) của hàm số 2 x x m y x tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. Bài 11. (Trích TSĐH Khối A – 2010) Tìm m để phương trình : 3 2 2 (1 ) 0x x m x m có ba nghiệm 1 2 3, ,x x x sao cho 2 2 2 1 2 3 4x x x Bài 12. (Trích TSĐH Khối A – 2011) Tìm m để phương trình: 1 2 1 x x m x có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x sao cho 2 2 1 2 1 1 (2 1) (2 1) f x x đạt giá trị lớn nhất. Bài 13. Cho phương trình: m x m x m2 ( 1) 2( 1) 2 0 (*). Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
9. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 chúng tôi Bài 14. Cho phương trình: x m x m2 2(2 1) 3 4 0 (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = x x3 3 1 2 . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x2 2 1 2, . HD: a) m 2 2 b) x x x x1 2 1 2 1 c) A = m m m2 (2 4 )(16 4 5) d) m 1 2 7 6 e) x m m x m2 2 2 2(8 8 1) (3 4 ) 0 Bài 15. Cho phương trình: x m x m m2 2 2( 1) 3 0 (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x2 2 1 2 8 . HD: a) m = 3; m = 4b) x x x x x x2 1 2 1 2 1 2( ) 2( ) 4 8 0 c) m = -1; m = 2. Bài 16. Cho phương trình: x m m x m2 2 3 ( 3 ) 0 . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) x x x2 2 21; 5 2 7; 5 2 7 . Bài 17. (nâng cao) Cho phương trình: x x x2 2 2 2 sin 2 cos ( là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi . b) Tìm để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.
10. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 chúng tôi PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Lý thuyết: 1. Định nghĩa và tính chất phương trình chứa trị tuyệt đối A khi A A A khi A 0 0 A A0, A B A B. . A A 2 2 A B A B A B. 0 A B A B A B. 0 A B A B A B. 0 A B A B A B. 0 Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. Dạng 1: f x g x( ) ( ) C f x f x g x f x f x g x 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) C g x f x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Dạng 2: f x g x( ) ( ) C f x g x 1 2 2 ( ) ( ) C f x g x f x g x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( ) Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. 2. Phương trình chứa căn Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. Dạng 1: f x g x( ) ( ) f x g x g x 2 ( ) ( ) ( ) 0 Dạng 2: f x g x f x g x f x hay g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) 0) Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0 t f x t at bt c2 ( ), 0 0 Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( ) Đặt u f x v g x( ), ( ) với u, v 0. Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( ) Đặt t f x g x t( ) ( ), 0 . 3. phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) a. Cách giải: t x t ax bx c at bt c 2 4 2 2 , 0 0 (1) 0 (2)
11. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 chúng tôi b. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng. (1) vô nghiệm voâ nghieäm coù nghieäm keùp aâm coù nghieäm aâm (2) (2) (2) 2 (1) có 1 nghiệm coù nghieäm keùp baèng coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi aâm (2) 0 (2) 1 0, (1) có 2 nghiệm coù nghieäm keùp döông coù nghieäm döông vaø nghieäm aâm (2) (2) 1 1 (1) có 3 nghiệm coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi döông(2) 1 0, (1) có 4 nghiệm coù nghieäm döông phaân bieät(2) 2 c. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn Dạng 1: x a x b x c x d K vôùi a b c d( )( )( )( ) , – Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( ) – PT trở thành: t cd ab t K2 ( ) 0 Dạng 2: x a x b K4 4 ( ) ( ) – Đặt a b t x 2 a b b a x a t x b t, 2 2 – PT trở thành: a b t t K vôùi4 2 2 4 2 12 2 0 2 Dạng 3: ax bx cx bx a a4 3 2 0 ( 0) (phương trình đối xứng) – Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được: PT a x b x c xx 2 2 1 1 0 (2) – Đặt t x hoaëc t x x x 1 1 với t 2 . – PT (2) trở thành: at bt c a t2 2 0 ( 2) . II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 1 3 b) x x4 7 2 5 c) x x2 3 2 0 d) x x x2 6 9 2 1 e) x x x2 4 5 4 17 f) x x x2 4 17 4 5 g) x x x x1 2 3 2 4 h) x x x1 2 3 14 i) x x x1 2 2 Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5 b) mx x x1 2 c) mx x x2 1 d) x m x m3 2 2 e) x m x m 2 f) x m x 1
12. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 chúng tôi Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x4 7 4 7 b) x x2 3 3 2 c) x x x1 2 1 3 d) x x x x2 2 2 3 2 3 e) x x x2 2 5 2 7 5 0 f) x x3 7 10 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x2 2 1 1 0 b) x x x2 2 5 1 7 0 c) x x x2 2 5 1 5 0 d) x x x2 4 3 2 0 e) x x x2 4 4 2 1 1 0 f) x x x2 6 3 10 0 Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 3 3 b) x x5 10 8 c) x x2 5 4 d) x x x2 12 8 e) x x x2 2 4 2 f) x x x2 3 9 1 2 g) x x x2 3 9 1 2 h) x x x2 3 10 2 i) x x x2 2 ( 3) 4 9 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 2 6 9 4 6 6 b) x x x x2 ( 3)(8 ) 26 11 c) x x x x2 ( 4)( 1) 3 5 2 6 d) x x x x2 ( 5)(2 ) 3 3 e) x x2 2 11 31 f) x x x x2 2 8 4 (4 )( 2) 0 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x1 1 1 b) x x3 7 1 2 c) x x2 2 9 7 2 d) x x x x2 2 3 5 8 3 5 1 1 e) x x3 3 1 1 2 f) x x x x2 2 5 8 4 5 g) x x3 3 5 7 5 13 1 h) x x3 3 9 1 7 1 4
13. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 chúng tôi Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 ) b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16 c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1 d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3 e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5 f) x x x x x2 3 2 1 4 9 2 3 5 2 g) x x x x22 1 1 3 h) x x x x2 9 9 9 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14 b) x x x x5 4 1 2 2 1 1 c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4 Bài 6. Giải các phương trình sau: a) x x4 2 3 4 0 b) x x4 2 5 4 0 c) x x4 2 5 6 0 d) x x4 2 3 5 2 0 e) x x4 2 30 0 f) x x4 2 7 8 0 Bài 7. Tìm m để phương trình: i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm a) x m x m4 2 2 (1 2 ) 1 0 b) x m x m4 2 2 (3 4) 0 c) x mx m4 2 8 16 0 Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297 b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36 c) x x4 4 ( 1) 97 d) x x4 4 ( 4) ( 6) 2 e) x x4 4 ( 3) ( 5) 16 f) x x x x4 3 2 6 35 62 35 6 0 g) x x x x4 3 2 4 1 0
14. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 chúng tôi Bài 9. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc 2 1. 2 2 5 10 1 7 2x x x x 2. 1 2 3 1 x x x x 3. 2 3 1212 x xxxx 4. 211 24 2 xxxx 5. xxxx 33)2)(5( 2 6. 22 4324 xxxx 7. 5 1 5 2 4 22 x x xx 8. xxxx 1 3 2 1 2 9. 234413 2 xxxx 10. 63297 2 xxxx Bài 10. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: a. (D – 2006) 2 2 1 3 1 0x x x b. (D – 2013) 2 2 2 1 x x x x c. (B – 2012) 2 1 4 1 3x x x x d. (D – 2011) 2 8 1 1 4 x x x e. (B – 2011) 2 3 2 6 2 4 4 10 3x x x x f. (A. 2009) 3 2 3 2 3 6 5 8 0x x Bài 11. Giải các phương trình sau bằng phép nhân liên hợp: a. (B – 2010) 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x b. (Tích B – 2013) 2 3 3 3 1 5 4x x x x c. (TNTHPTQG – 2015) 2 2 2 8 1 2 2 2 3 x x x x x x d. (Trích A – 2014) 3 2 8 1 2 10x x x e. (Tích B – 2014) 2 2 3 2x x x HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I. Lý thuyết:
15. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 chúng tôi 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a x b y c a b a b a x b y c 2 2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( 0, 0) Giải và biện luận: Tính các định thức: a b D a b 1 1 2 2 , x c b D c b 1 1 2 2 , y a c D a c 1 1 2 2 . Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 5 4 3 7 9 8 b) x y x y 2 11 5 4 8 c) x y x y 3 1 6 2 5 d) x y x y 2 1 2 1 2 2 1 2 2 e) x y x y 3 2 16 4 3 5 3 11 2 5 f) x y y 3 1 5x 2 3 Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 1 8 18 5 4 51 b) x y x y 10 1 1 1 2 25 3 2 1 2 c) x y x y x y x y 27 32 7 2 3 45 48 1 2 3 d) x y x y 2 6 3 1 5 5 6 4 1 1 e) x y x y x y x y 2 9 3 2 17 f) x y x y x y x y 4 3 8 3 5 6 Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: Xét D Kết quả D 0 Hệ có nghiệm duy nhất yx DD x y D D ; D = 0 Dx 0 hoặc Dy 0 Hệ vô nghiệm Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm
16. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 chúng tôi a) mx m y m x my ( 1) 1 2 2 b) mx m y m x m y ( 2) 5 ( 2) ( 1) 2 c) m x y m m x y m ( 1) 2 3 1 ( 2) 1 d) m x m y m x m y m ( 4) ( 2) 4 (2 1) ( 4) e) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2 f) mx y m x my m 2 1 2 2 5 Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2 b) mx y x m y m 1 4( 1) 4 c) mx y x my m 3 3 2 1 0 Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. a) mx y m x my m 2 1 2 2 5 b) mx m y m x my 6 (2 ) 3 ( 1) 2 c) mx m y m x my ( 1) 1 2 2 Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) ax y b x y3 2 5 b) y ax b x y2 3 4 c) ax y a b x y a2 d) a b x a b y a a b x a b y b ( ) ( ) (2 ) (2 ) e) ax by a b bx ay ab 2 2 2 f) ax by a b bx b y b 2 2 4 Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x y z x y z x y z 3 1 2 2 5 2 3 0 b) x y z x y z x y z 3 2 8 2 6 3 6 c) x y z x y z x y z 3 2 7 2 4 3 8 3 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
17. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 chúng tôi I. lý thuyết: 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 Hệ có dạng: (I) f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0 (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). Đặt S = x + y, P = xy. Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. Giải hệ (II) ta tìm được S và P. Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2 0 . 3. Hệ đối xứng loại 2 Hệ có dạng: (I) f x y f y x ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2) (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I) f x y f y x f x y ( , ) ( , ) 0 (3) ( , ) 0 (1) Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) x y g x y( ). ( , ) 0 x y g x y( , ) 0 . Như vậy, (I) f x y x y f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 . Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 4. Hệ đẳng cấp bậc hai Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d a x b xy c y d 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 . Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). Khi x 0, đặt y kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0( ; ) thì y x0 0( ; ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0 . II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 2 2 4 8 2 4 b) x xy x y 2 24 2 3 1 c) x y x y 2 ( ) 49 3 4 84 d) x xy y x y x y 2 2 3 2 3 6 0 2 3 e) x y xy x y 3 4 1 0 3( ) 9 f) x y xy x y 2 3 2 6 0
18. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 chúng tôi g) y x x x y 2 4 2 5 0 h) x y x y y2 2 2 3 5 3 2 4 i) x y x xy y2 2 2 5 7 Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y x y m2 2 6 b) x y m x y x2 2 2 2 c) x y x y m2 2 3 2 1 Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x y xy x y2 2 11 2( ) 31 b) x y x xy y2 2 4 13 c) xy x y x y x y2 2 5 8 d) x y y x x y 13 6 6 e) x x y y x y xy 3 3 3 3 17 5 f) x x y y x xy y 4 2 2 4 2 2 481 37 Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y xy m x y m2 2 3 2 b) x y m x y xy m m2 2 2 1 2 3 c) x y m xy x y m ( 1)( 1) 5 ( ) 4 Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: a) x x y y y x 2 2 3 2 3 2 b) x y x y y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2 c) x x y y y x 3 3 2 2 d) y x y x x y x y 3 4 3 4 e) y y x x x y 2 2 2 2 2 3 2 3 f) x y y y x x 2 2 1 2 1 2 Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x x my y y mx 2 2 3 3 b) x y m m y x m m 2 2 2 2 (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) c) xy x m y xy y m x 2 2 ( 1) ( 1) Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 1 3 3 13 b) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 7 c) y xy x xy y 2 2 2 3 4 4 1 d) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 5 4 38 5 9 3 15 e) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 3 9 4 5 5 f) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 8 4 0 5 7 6 0 Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x mxy y m x m xy my m 2 2 2 2 ( 1) b) xy y x xy m 2 2 12 26 c) x xy y m y xy 2 2 2 4 3 4
19. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 chúng tôi BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) m x m x m2 2 4 3 b) a b x a a a b a b x2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) c) a x ab b x a b2 2 2 2 2 d) a ax b ax b2 ( ) 4 5 Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x m x m x x 2 1 1 1 b) m x m x m x 2 2 1 1 c) mx m x x x 2 1 1 2 1 1 1 d) x x m1 2 3 Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x x m2 2 12 15 0 b) x m x m2 2 2( 1) 0 b) x mx m2 1 0 d) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0 Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại: a) x mx m x2 0 3 1 0; 2 b) x m x m x2 2 02 3 0; 1 . Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt iv) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x x3 3 1 2 0 ; x x2 2 1 2 3 a) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0 b) x m x m2 2 2( 1) 0 c) x m x m2 2 2( 1) 2 0 d) m x m x m2 ( 2) 2( 1) 2 0 e) m x m x m2 ( 1) 2( 4) 1 0 f) x x m2 4 1 0 Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy:
20. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 chúng tôi i) Giải và biện luận phương trình. ii) Khi phương trình có hai nghiệm x x1 2, , tìm hệ thức giữa x x1 2, độc lập với m. a) x m x m2 ( 1) 0 b) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0 c) m x m x m2 ( 2) 2( 1) 2 0 d) x m x m2 2 2( 1) 2 0 Bài 7. Giải các phương trình sau: a) x x2 2 6 12 b) x x2 2 11 31 c) x x16 17 8 23 d) x x x2 2 8 3( 4) e) x x x2 3 9 1 2 0 f) x x x2 51 2 1 g) x x x2 2 ( 3) 4 9 h) x x3 1 3 1 Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x x4 3 10 3 2 b) x x x5 3 2 4 c) x x x3 4 2 1 3 d) x x x x2 2 3 3 3 6 3 e) x x x2 2 3 3 5 f) x x x3 3 5 2 4 g) x x x2 2 2 1 1 4 h) 811 xxx Bài 9. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 1 2 1 2 b) x x x x x 3 2 1 2 1 2 c) x x x x 4 2 2 1 1 2 d) x x x x2 2 13 7 e) x x x x2 2 2 3 1 3 4 f) x x x x2 2 2 3 2 1 9 g) x x x x2 2 2 4 2 2 h) x x x x2 2 2 5 3 5 23 6
21. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 chúng tôi Bài 10. Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. a) mx y m x my a 2 1 2 2 1 b) mx y m x my m 3 2 1 c) x y m x y m 2 4 2 3 3 d) x y y x m 2 5 2 10 5 Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x y y x2 2 1 6 b) x y x x y y 2 2 4 2 2 4 5 13 c) x y y x x y 2 2 3 3 30 35 d) x y x y x y 3 3 5 5 2 2 1 e) x y xy x y x y 2 2 4 4 2 2 7 21 f) x y xy x y x y2 2 11 3( ) 28 Bài 12. Giải các hệ phương trình sau: a) x y xy x y x y 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 5 1 ( )(1 ) 49 b) y x x y x y x y 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 1 24 c) x y x y x y x y 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 d) x y x y x y xy 2 2 2 31 1 1 ( )(1 ) 6 e) x y y x y x xy y x xy xy x y 2 2 2 2 6 1 4 f) xy xy x y xy 1 4 1 ( ) 1 5 Bài 13. Giải các hệ phương trình sau: a) x x y y y x 2 2 3 2 3 2 b) x x y y y x 3 3 2 2 c) x x y y y x 3 3 3 8 3 8 d) x y y y x x 2 2 1 2 1 2 e) x y x y x y 2 2 3 2 3 2 f) y y x x x y 2 2 2 2 2 3 2 3
Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Các phương trình lượng giác cơ bản
sinx=m
m ∈ [-1;1] thì:
sinx=sinα (α = SHIFT sin)
x = α + k2.π hoặc x = pi – α + k2.π (α: rad, k∈Z)
hoặc sinx=sina
x = a + k.360° hoặc x = 180° – a + k.360° (a: độ°, k∈Z)
Nếu m không là “giá trị đặc biệt” thì:
x = arcsinm + chúng tôi (arc = SHIFT sin)
x = pi – arcsinm + k2.pi
Đặc biệt:
cosx=m
m ∈ [-1;1] thì:
cosx=cosα (α = SHIFT sin)
x = ±α + chúng tôi (α: rad, k∈Z)
hoặc cosx=cosa
x = ±a + k.360° (a: độ°, k∈Z)
Nếu m không là “giá trị đặc biệt” thì:
x = ±arccosm + chúng tôi (arc = SHIFT cos)
Đặc biệt:
tanx=m
tanx=tanα (α = SHIFT tan)
hoặc tanx=tana
Nếu m “không là giá trị đặc biệt thì
x = arctan(m) + k.pi
cotx=m
cotx=cotα (α = SHIFT tan(1/m))
hoặc cotx=cota
Nếu m “không là giá trị đặc biệt thì
x = arccot(m) + k.pi
Xem lại các giá trị lượng giác của các góc, cung đặc biệt:
Một số dạng toán
Biến đổi
sinf(x) = -sing(x) = sin(-g(x))
sinf(x) = cosg(x) → sinf(x) = sin(pi/2 – g(x))
sinf(x) = -cosg(x) → cosg(x) = -sinf(x) = sin(-f(x)) → cosg(x) = cos(pi/2 – f(x))
Khi có , ta thường “hạ bậc tăng cung”.
Tìm nghiệm và số nghiệm
1) Giải phương trình A với x ∈ a.
Trước hết tìm họ nghiệm của phương trình a.
Xét x trong a. Lưu ý k ∈ Z. Khi tìm được k, quay lại họ nghiệm để tìm ra nghiệm x.
2) Tìm số nghiệm k
Các bước tương tự như trên.
Tìm được k → số nghiệm.
Tìm giâ trị lớn nhất và nhỏ nhất
Tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất
Giải phương trình
1) Với nghiệm âm lớn nhất
Xét x < 0 (k ∈ Z)
Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.
2) Với nghiệm dương nhỏ nhất
Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.
Tìm tập giá trị
Tìm tập giá trị của phương trình A.
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai.
Đặt phương trình lượng giác (sin, cos…) = t (nếu có điều kiện)
Tìm đỉnh I (-b/2a; -Δ/4a)
Tìm miền giá trị tại hai điểm thuộc t (thay 2 giá trị đó vào t) rồi rút ra kết luận.
Chú ý: Asinx + Bcosx = C
Điều kiện ≥Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Giải phương trình lượng giác cơ bản
A. Phương pháp giải
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx= m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:
Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: – 1 ≤ m ≤ 1.
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx=m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx= m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ
+ Các trường hợp đặc biệt :
* Sinx=0 ⇔ x=kπ
* Sinx= 1 ⇔ x= π/2+k2π
* Sinx= -1 ⇔ x= (-π)/2+k2π
* cos= 0 ⇔ x= π/2+kπ
* cosx= 1 ⇔ x=k2π
* cosx=- 1 ⇔ x= π+k2π
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Hỏi x=7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. 2sinx – √3=0.
B. 2sinx+ √3=0.
C. 2cosx- √3=0
D.2cosx+ √3=0.
Lời giải
Chọn A
Cách 1.
Với x=7π/3 , suy ra .
Cách 2. Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình sin(2x/3- π/3)=0.
A. x=kπ (k∈Z)
B. .
C. .
D. .
Lời giải.
Chọn D.
Ta có : sin(2x/3- π/3)=0.
⇔ 2x/3- π/3=kπ (k∈Z)
⇔ 2x/3= π/3+kπ ⇔ x= π/2+ k3π/2 ( k∈Z).
Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y= sin3x và y= sinx bằng nhau?
A.
B.
C.
D.
Lời Giải.
Chọn B.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx
Ví dụ 4. Giải phương trình cot(3x-1)= -√3
A.
B.
C.
D.
Lời Giải.
Chọn A.
Ta có cot(3x-1)= -√3 ⇒ cot(3x-1)= cot(-π/6) .
⇔ 3x-1= (-π)/6+kπ ⇔ x= 1/3- π/(18 )+k. π/3 = 1/3+ 5π/(18 )+(k-1). π/3
Đặt k- 1=l suy ra nghiệm phương trình x= 1/3+ 5π/(18 )+l. π/3
A. sinx= √2/2
B. sinx= √2/2
C. cotx= 1
D.cot2x = 1
Lời giải
Chọn C.
Ta có: tanx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).
Xét đáp án C, ta có cotx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).
Cách 2. Ta có đẳng thức tanx=1/cotx . Kết hợp giả thiết tanx=1, ta được cotx=1. Vậy hai phương trình tanx= 1 và cotx= 1 là tương đương.
Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Lời giải
Chọn C.
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx= a.
Do đó, phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos(2x- π/3)-m=2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.
A. T= 6
B. T=3
C. T= – 3
D. T= – 6
Lời giải
Chọn D.
Phương trình cos(2x- π/3)-m=2 ⇔ cos(2x- π/3)= m+2.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
– 1 ≤ m+2 ≤ 1 ⇔ – 3 ≤ m ≤ -1.
Mà m nguyên nên m∈{-3;-2;-1}
Suy ra: T= – 3+ ( -2)+ (-1)= – 6
Ví dụ 8. Giải phương trình: tan(π/3+x)=tan π/4
A. -π/12+kπ
B. π/12+kπ
C. -π/3+kπ
D. -π/4+kπ
Lời giải
Ta có: tan(π/3+x)=tan π/4
⇔ π/3+x= π/4+kπ ( k∈Z)
⇔ x= π/4- π/3+kπ= (-π)/12+kπ
Chọn D .
Ví dụ 9. Giải phương trình: cos((x+ π)/4)= 1/2
A. x= π/3+4kπ hoặc x= (- π)/3+k4π)
B. x= π/12+4kπ hoặc x= (- π)/12+k4π)
C. x= π/3+4kπ hoặc x= (- 7π)/3+k4π)
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: cos((x+ π)/4)= 1/2 hay cos((x+ π)/4)= cos π/3
Chọn C
Ví dụ 10. Giải phương trình : sinx= 2/5
A. x= α+k2π hoặc x= – α+k2π
B. x= α+k2π hoặc x= π+ α+k2π
C. x= α+kπ hoặc x= π- α+kπ
D. x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π
Với sinα= 2/5
Lời giải
Vì – 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5
Khi đó sinx= 2/5 ⇔ sinx= sinα nên x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π
Chọn D
Ví dụ 11. Giải phương trình tanx= 2
A. 2+ kπ
B. arctan 2+ kπ
C.2+ k2π
D. arctan 2+ k 2π
Lời giải
Ta có: tanx = 2 ⇒ x= arctan2+ kπ ( k∈Z)
Chọn B.
Ví dụ 12. Giải phương trình : cot(π/3+x)=cot(π+x)/2
A. π/3+ k4π
B. π/3+ k2π
C. π/3+ kπ
D. π/6+ kπ
Lời giải
Ta có: cot(π/3+x)=cot (π+x)/2
⇒ π/3+x= (π+x)/2+kπ với k∈Z
⇒ x- x/2= π/2- π/3+kπ
⇒ x/2= π/6+kπ x=π/3+ k2π
Chọn B.
Ví dụ 13. Giải phương trình cos(40 0+ x)= cos( 80 0 -x)
D. Cả A và C đúng
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 14. Giải phương trình: cos(x+ 10 0) = 1/3
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có: cos( x+10 0) = 1/3
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Giải phương trình cos(π/3-x)=0
A. – π/2+l2π
B. – π/3+l2π
C. π/6+l2π
D. – π/6+l2π
Câu 2: Phương trình: sin( 2x/3- π/3)=0 có nghiệm là:
A.
B.x=kπ .
C.
D.
Câu 3: Nghiệm của phương trình: sinx.(2cosx-√3)=0 là:
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
Chọn A
D.
Câu 4:Cho phương trình sin(x-10 0) = 2m+ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm ?
A. 1
B.2
C. 3
D .4
Câu 5: Giải phương trình sinx= -1/3
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
Chọn C.
Ta có: sinx=-1/3
D.
Câu 6: Giải phương trình cot x = 3
A. arccot 3 + k. π ( k∈Z)
B. arctan 3 + k. π ( k∈Z)
C. arccot 3 + k. 2π ( k∈Z)
D. – arccot 3 + k. π ( k∈Z)
Câu 7: Giải phương trình cos(x+ π)/3= (- 1)/2
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
Chọn B
Câu 8: Giải phưởng trình sinx=sin(2x- π/3)
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
Chọn D.
Câu 9:
Câu 10: Giải phương trình tanx=(- √3)/3
A. – π/6+kπ
B. π/6+kπ
C. – π/3+kπ
D. π/3+k2π
Câu 11: Giải phương trình cot( x- π/2)=cot( (π/4-x)
A. 3π/8+kπ
B. 3π/8+kπ/2
C. 3π/4+kπ/2
D. 3π/4+kπ
Câu 12: Giải phương trình tanx = cot( x+ π/3)
A. π/12+ kπ
B. π/6+ kπ/2
C. π/12- kπ/2
D. π/3+ kπ
Câu 13: Giải phương trình sinx = cosx
A. π/4+k2π
B. π/4+kπ
C. π/2+kπ
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Lời giải
Ta có: sinx = cosx
⇒ sinx= sin(π/2-x)
.
Chọn B.
Câu 14: Nghiệm của phương trình sin3x= cosx là:
A. .
B. .
C. .
D. .
Hiển thị lời giải
Lời giải
Chọn A.
Ta có: sin3x= cosx
.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Cập nhật thông tin chi tiết về Kiến Thức Cơ Bản Đại Số Lớp 10: Phương Trình Và Hệ Phương Trình trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!