Xu Hướng 9/2023 # Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Quốc Tế Imo 2023 # Top 16 Xem Nhiều

Bạn đang xem bài viết Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Quốc Tế Imo 2023 được cập nhật mới nhất tháng 9 năm 2023 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Dù Epsilon đã nói lời tạm biệt với bạn đọc từ ngày 13/2/2023 nhưng tinh thần Epsilon và đội ngũ Epsilon thì vẫn còn. Và có nghĩa là những sản phẩm mang tinh thần Epsilon vẫn sẽ còn được ra đời. Tinh thần đó ngắn gọn là: Chuyên nghiệp – Từ cộng đồng – Vì cộng đồng. Minh chứng cho tinh thần đó là tài liệu mà các bạn đang đọc “Giải và bình luận đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Toán Quốc tế 2023”, một đóng góp của đội ngũ Epsilon dành cho cộng đồng. Khi viết đội ngũ Epsilon, chúng tôi không chỉ muốn nhắc đến các người lính ngự lâm thuộc Ban biên tập (Epsilon staff) mà còn là những người đã luôn sát cánh cùng chúng tôi trong suốt hơn 2 năm qua trong quá trình xây dựng Epsilon thành một niềm yêu mến và sự chờ đợi của cộng đồng. Giải và bình luận đề thi, chúng tôi không chỉ muốn đem lại cho độc giả lời giải, đáp án để so khớp đúng sai mà hơn thế là những phân tích về hướng tiếp cận, về nguồn gốc, về lớp các bài toán tương tự. Chúng tôi cũng mạn phép đưa ra những bình luận chủ quan của mình về cái hay, cái dở, độ khó dễ, tính phù hợp, độ mới cũ của bài toán ngõ hầu giúp cho các thầy cô trong ban ra đề có thêm những ý kiến phản biện, để công tác đề thi ngày càng tốt hơn, chất lượng hơn. Hy vọng tập tài liệu này sẽ nhận được sự đón nhận của cộng đồng. Chúng tôi luôn lắng nghe những ý kiến đóng góp, trao đổi thẳng thắn của bạn đọc về nội dung tài liệu cũng như các vấn đề liên quan. Chúng ta là một cộng đồng. “If you want to go far, go together.” Mong các bạn tôn trọng về bản quyền của nhóm tác giả đã khẳng định rõ quan điểm: Bản quyền thuộc về tất cả các thành viên trong nhóm biên soạn (Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quang Hùng, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Tất Thu). Đây là thành quả của quá trình lao động miệt mài của nhóm để chia sẻ đến cộng đồng. Mọi người đều có thể xem tài liệu MIỄN PHÍ. Tuy nhiên, vui lòng ghi rõ nguồn khi chia sẻ. Tất cả các hoạt động mua bán, kinh doanh liên quan đến tài liệu này mà không được sự chấp thuận của nhóm là trái pháp luật. Chúng ta hãy lên án những hành vi vi phạm bản quyền để bảo vệ quyền lợi của các tác giả, của những sản phẩm trí tuệ. Xin cảm ơn. Trân trọng cảm ơn nhóm tác giả và xin mời các bạn có thể tải về để phục vụ cho công việc giảng dạy, học tập môn Toán của mình.

Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Chọn Đội Tuyển Imo 2023

Minh chứng cho tinh thần đó là tài liệu mà các bạn đang đọc “Giải và bình luận đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Toán Quốc tế 2023”, một đóng góp của đội ngũ Epsilon dành cho cộng đồng. Khi viết đội ngũ Epsilon, chúng tôi không chỉ muốn nhắc đến các người lính ngự lâm thuộc Ban biên tập (Epsilon staff) mà còn là những người đã luôn sát cánh cùng chúng tôi trong suốt hơn 2 năm qua trong quá trình xây dựng Epsilon thành một niềm yêu mến và sự chờ đợi của cộng đồng.

Giải và bình luận đề thi, chúng tôi không chỉ muốn đem lại cho độc giả lời giải, đáp án để so khớp đúng sai mà hơn thế là những phân tích về hướng tiếp cận, về nguồn gốc, về lớp các bài toán tương tự. Chúng tôi cũng mạn phép đưa ra những bình luận chủ quan của mình về cái hay, cái dở, độ khó dễ, tính phù hợp, độ mới cũ của bài toán ngõ hầu giúp cho các thầy cô trong ban ra đề có thêm những ý kiến phản biện, để công tác đề thi ngày càng tốt hơn, chất lượng hơn.

Hy vọng tập tài liệu này sẽ nhận được sự đón nhận của cộng đồng. Chúng tôi luôn lắng nghe những ý kiến đóng góp, trao đổi thẳng thắn của bạn đọc về nội dung tài liệu cũng như các vấn đề liên quan. Chúng ta là một cộng đồng.

“If you want to go far, go together.”

Mong các bạn tôn trọng về bản quyền của nhóm tác giả đã khẳng định rõ quan điểm:

Bản quyền thuộc về tất cả các thành viên trong nhóm biên soạn (Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quang Hùng, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Tất Thu).

Đây là thành quả của quá trình lao động miệt mài của nhóm để chia sẻ đến cộng đồng. Mọi người đều có thể xem tài liệu MIỄN PHÍ. Tuy nhiên, vui lòng ghi rõ nguồn khi chia sẻ.

Tất cả các hoạt động mua bán, kinh doanh liên quan đến tài liệu này mà không được sự chấp thuận của nhóm là trái pháp luật. Chúng ta hãy lên án những hành vi vi phạm bản quyền để bảo vệ quyền lợi của các tác giả, của những sản phẩm trí tuệ. Xin cảm ơn.

Trân trọng cảm ơn nhóm tác giả và xin mời các bạn có thể tải về để phục vụ cho công việc giảng dạy, học tập môn Toán của mình.

Việc Chọn Đội Tuyển Imo 2013 Có Vấn Đề?

(www.MATHVN.com) – Sau khi có Người đưa tin đã có bài đề cập đến việc gia đình học sinh Nguyễn Huy Tùng (Trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng) có khiếu nại đối với việc tuyển chọn đội tuyển dự thi IMO năm nay.

Bà Trần Thị Ánh Tuyết, mẹ của em Tùng cho biết, ngay từ khâu tuyển chọn học sinh vào đội tuyển Toán 2013 này có nhiều “luộm thuộm”. Tháng 4/2013, trên mạng của Bộ GD&ĐT có danh sách em Tùng nhưng cả gia đình và Trường Trần Phú đều không nhận được giấy báo. Khi gia đình gọi lên Trường ĐHSP Hà Nội thì được hẹn 3/5 lên tập trung. Lên đến nơi, khi họp phụ huynh, gia đình mới vỡ lẽ là Đoàn Hải Phòng thiếu lý lịch và ảnh thí sinh. Theo thông báo của thầy phụ trách, ngay 18h tối hôm đó, gia đình lại phải đưa em Tùng về Hải Phòng để làm hộ chiếu (kỳ thi olympic năm nay sẽ diễn ra ở Colombia).

Để tuyển chọn thí sinh vào Đội dự tuyển, các thí sinh phải làm 3 bài kiểm tra trong 3 tuần. Ngày 18/5, các em làm bài kiểm tra đầu tiên. Ngay sau khi kiểm tra, Tùng kể lại một số bạn rất hớn hở vì “trúng tủ”, các em này đã được luyện 4 – 5 lần. Qua tìm hiểu thì đây là đề thi Olympic Bungari năm 1997. Sở dĩ Tùng chưa được luyện vì em mới học lớp 11.

“Chúng tôi thấy không công bằng và sai vì trong quy chế ghi rõ: Đề thi chưa được làm ở bất kỳ nơi đâu. Điều kỳ lạ khác là ĐHSP thông báo là sẽ tổ chức 2 buổi kiểm tra vào các ngày thứ năm trong 2 tuần tới. Nhưng họ đột ngột thay đổi, cho thi luôn vào thứ bảy.

Hơn nữa đề thi thì kém chất lượng không bám sát yêu cầu của đề thi quốc tế. Đặc biệt, không hiểu sao Bộ GD&ĐT lại giao cho ĐHSP tổ chức trong khi trường này cũng có học sinh tham dự đội dự tuyển. Như thế là vi phạm quy chế. Không thể có chuyện vừa cử học sinh vừa tổ chức thi”.

Cũng theo phụ huynh này, chuyên gia nhiều năm phụ trách đội tuyển đi dự Olympic quốc tế đã nhận xét, hai đề bài kiểm tra sau không đủ tầm quốc tế, một học sinh bình thường cũng có thể làm được.

Ông Nguyễn Huy Hùng, phụ huynh em Tùng cho biết thêm, ngày 28/5/2013, tôi có gửi một Đơn kiến nghị Bộ GD&ĐT xem xét lại quy trình ra đề thi kiểm tra chọn Đội tuyển Olympic Toán quốc tế và tổ chức kiểm tra lại một cách công bằng, khách quan và trung thực. Tuy nhiên, đến nay tôi chưa nhận được trả lời của Bộ cũng như chưa thấy vấn đề trên được giải quyết triệt để.

“Ngày 6/6/2013, con trai tôi cho biết vào lúc 17h30 ông phó hiệu trưởng Trường THPT chuyên Sư phạm – ĐHSP Hà Nội đã thông báo danh sách 6 cháu được chọn vào đội tuyển Olympic Toán quốc tế năm 2013; 3 cháu còn lại được yêu cầu rời khỏi nơi tập huấn ngay trong tối cùng ngày. Cho tới thời điểm vừa nêu trên, trường ĐHSP không hề công bố kết quả kiểm tra cho các cháu như Bộ đã quy định tại công văn số 1754/BGDĐT- KTKĐCLGD ngày 18/3/2013”, ông Hùng bức xúc.

Trước khiếu nại của gia đình em Tùng, Bộ Giáo dục đã chính thức lên tiếng về việc này vào ngày hôm qua.

Về thắc mắc trong quá trình tập huấn và cho rằng đề thi kiểm tra chọn đội tuyển Toán học Olympic quốc tế không “xứng tầm”, Cục khảo thí khẳng định: Trường ĐH Sư phạm Hà Nội chỉ là đơn vị được Bộ GD-ĐT giao nhiệm vụ chủ trì tập huấn, không thực hiện việc triệu tập học sinh. Theo Kế hoạch ban đầu, Trường ĐHSP Hà Nội ấn định kiểm tra vào các ngày 18/5, 23/5 và 30/5. Tuy nhiên, nếu tổ chức vào ngày 30/5 thì việc chấm thi, xét chọn và báo cáo kết quả về Bộ trong những ngày đầu tháng 6 sẽ quá gấp. Hơn nữa, do lịch thi đột xuất, tối 25/5, Phó ban ra đề kiểm tra phải đi công tác nước ngoài.

Vì những lý do trên, Trường ĐH SP Hà Nội đã quyết định thay đổi lịch kiểm tra: kiểm tra bài cuối cùng vào ngày 25/5 thay vì ngày 30/5. Việc thay đổi lịch này đã được thông báo cho tất cả các học sinh tập huấn. Không có chuyện đột ngột thay đổi lịch kiểm tra nên tại buổi kiểm tra ngày 25/5 đủ 100% học sinh tham dự.

Quá trình tập huấn diễn ra nghiêm túc, đảm bảo công bằng đối với tất cả học sinh, không có học sinh nào được luyện tập riêng rẽ. Sau khi xem lại các đề kiểm tra thấy rằng đề kiểm tra lần thứ nhất có câu hỏi trùng lặp về ý tưởng với đề thi Olympic Bulgari 1997 là không vi phạm quy chế thi chọn học sinh giỏi quốc gia hiện hành. Nhằm đảm bảo cho kết quả kiểm tra khách quan, công bằng, chọn đúng học sinh có năng lực thực sự vào đội tuyển đi thi Olympic quốc tế, Trường ĐHSP Hà Nội đã mời các Giáo sư, chuyên gia giỏi ở các đơn vị: ĐH Quốc gia Hà Nội, ĐH Quốc gia chúng tôi Viện Toán học phối hợp cùng các giảng viên Khoa Toán của Trường tham gia các khâu ra đề kiểm tra, coi kiểm tra, chấm kiểm tra.

“Riêng Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, vì có học sinh trong đội dự tuyển nên cán bộ của trường không tham gia các khâu này. Kết quả chấm bài kiểm tra của các học sinh có điểm phân hóa rất khác nhau, cao nhất là 55,5 điểm và thấp nhất là 19,5 điểm. Do đó, ý kiến cho rằng đề thi kém chất lượng là không có cơ sở” – lãnh đạo Cục khảo thí nhấn mạnh.

Nguồn: Báo Người đưa tin và Báo Dân trí

– Sau khi có danh sách 6 học sinh tham dự IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế 54), báo điện tửđã có bài đề cập đến việc gia đình học sinh Nguyễn Huy Tùng (Trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng) có khiếu nại đối với việc tuyển chọn đội tuyển dự thi IMO năm nay.Trước khiếu nại của gia đình em Tùng, Bộ Giáo dục đã chính thức lên tiếng về việc này vào ngày hôm qua.

Tổng Hợp Đề Và Lời Giải Đề Chọn Đội Tuyển Tst Việt Nam

Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Tổng hợp đề và lời giải đề chọn đội tuyển TST Việt Nam.

Kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2012 đã diễn ra trong 2 ngày 16 và 17/04/2012 tại Hà Nội. Mỗi ngày thí sinh phải giải quyết 3 bài toán trong vòng 4 giờ 30 phút. Theo đánh giá chung, đề thi năm nay thuộc loại khó. Về phân môn, 6 bài toán được phân bố như sau: Bài 1. Hình học phẳng (Quỹ tích và điểm cố định) Bài 2. Tổ hợp (Phủ) Bài 3. Số học (Hệ thặng dư) Bài 4. Số học (Dãy số) Bài 5. Đại số (Bất đẳng thức) Bài 6. Tổ hợp (Lý thuyết đồ thị) So sánh với các bài toán hình ở vị trí bài 1 nhiều năm trở lại đây thì bài này khó hơn hẳn. Hướng giải theo con đường hình học thuần túy bắt buộc phải kẻ thêm khá nhiều đường phụ và điều này sẽ khiến nhiều bạn phải bỏ cuộc. Có một cách giải quyết trong trường hợp này là dùng phương pháp tọa độ do giả thiết cũng tương đối thuận lợi. Đôi khi cách tiếp cận bằng đại số cũng đem lại hiệu quả cao. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một cách làm bằng biến đổi vector như sau:

Ta thấy các điểm M, N chính là trung điểm của các đường cao tương ứng của tam giác ABC. Các điểm M, N, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính HD. Gọi R là điểm đối xứng với O qua đường thẳng BC và S là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCR với đường thẳng OD. Gọi F là chân đường cao kẻ từ C đến AB và T là trung điểm của DS. Dễ thấy T là điểm cố định.

VIOLYMPIC TOÁN 6 (15.12.2023)

VIOLYMPIC TOÁN 7 (14.12.2023)

VIOLYMPIC TOÁN 8 (14.12.2023)

VIOLYMPIC TOÁN 9 (13.12.2023)

Đề và đáp án đề kiểm tra chọn đội tuyển toán lớp 10 THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (04.12.2023)

Đề thi chọn đội tuyển môn Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2023 có lời giải chi tiết (29.11.2023)

Phương pháp pqr (22.11.2023)

Ứng dụng dãy số và giải các bài toán phương trình hàm – Võ Quốc Bá Cẩn (17.11.2023)

Một số ứng dụng của định lý Feuerbach (17.11.2023)

Một số ứng dụng của đường Đẳng giác (17.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 18 (15.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 17 (15.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 16 (15.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 15 (15.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 14 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 12 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 11 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 10 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 9 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 8 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 7 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 6 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 5 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 4 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 3 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 2 (14.11.2023)

Tạp chí Epsilon số 1 (13.11.2023)

Một lớp bất đẳng thức ba biến – Võ Quốc Bá Cẩn (13.11.2023)

Một số bài toán ứng dụng Bất đẳng thức Vasc (13.11.2023)

Bài toán kỳ 3 – Hình học phẳng (09.11.2023)

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán TPHCM năm học 2023 – 2023 ngày 2 (02.11.2023)

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán TPHCM năm học 2023 – 2023 ngày 1 (02.11.2023)

Mở rộng bài toán hình học trong đề thi VMO 2023 – Trần Quang Hùng (29.10.2023)

Các bài hình học phẳng ôn thi học sinh giỏi quốc gia – Lê Bá Khánh Trình (25.10.2023)

Bài toán kỳ 2 – Số học (24.10.2023)

Bài toán kỳ 1 – Bất đẳng thức (24.10.2023)

Hai bài toán dãy số trong đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội năm 2023 (23.10.2023)

Đề thi và lời giải đề chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán trường THPT Năng Khiếu năm 2023 (23.10.2023)

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn toán thành phố Hà Nội năm học 2023-2023 (21.10.2023)

Một số bài toán hình học phẳng từ các chuyên gia Việt Nam (17.10.2023)

Đề thi Olympic toán Quốc tế IMO năm 2023 (27.09.2023)

Cấp số – Dãy số dùng cho học sinh chuyên – Lê Quang Ánh (19.09.2023)

Dãy số và giới hạn của dãy số (19.09.2023)

Đi tìm công thức tổng quát dãy số (19.09.2023)

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số – Nguyễn Tất Thu (19.09.2023)

Phương pháp quy nạp toán học – Nguyễn Hữu Điển (18.09.2023)

Bài giảng Hình học – Gặp gỡ toán học năm 2023 – Lê Viết Ân (12.09.2023)

Bước nhảy Viet ứng dụng trong Số học (12.09.2023)

Một số bài toán tìm giới hạn của dãy tổng – Huỳnh Chí Hào (06.09.2023)

Một số bài toán tìm giới hạn của dãy truy hồi – Huỳnh Chí Hào (06.09.2023)

Một số dạng toán Dãy số và giới hạn ôn thi Học sinh giỏi (06.09.2023)

Một số phương pháp xây dựng bài toán về dãy số – Trần Nam Dũng (06.09.2023)

Một số ứng dụng lượng giác trong dãy số – Nguyễn Đình Thức (06.09.2023)

Một số ứng dụng sai phân để tính tổng – Đinh Công Hướng (06.09.2023)

Phương trình và hệ phương trình trong dãy số (06.09.2023)

Sử dụng lượng giác để tính tổng của một dãy số – Hoàng Minh Quân (06.09.2023)

Ứng dụng tính chẵn lẻ trong giải các bài toán Tổ hợp (06.09.2023)

Từ bài toán quen thuộc đến bài hình trong đề thi VMO năm 2023 (22.08.2023)

Những kiến thức hình học xoay quanh tứ giác điều hòa và ứng dụng (22.08.2023)

Một vài tính chất xung quanh cấu hình đường tròn Conway (22.08.2023)

Bài tập Hình học trường Đông của thầy Sỹ Đức Quang và thầy Lê Bá Khánh Trình (22.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO năm 2023 sở GDĐT Quảng Bình (22.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO năm 2023 sở GDĐT Phú Thọ (22.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO năm 2023 sở GDĐT Hà Tĩnh (22.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO năm 2023 sở GDĐT Hà Nội (22.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO sở GDĐT tỉnh Bắc Ninh năm 2023 (22.08.2023)

Một bổ đề hay trong chứng minh Bất đẳng thức – Lê Xuân Đại – THPT chuyên Vĩnh Phúc (22.08.2023)

Bài tập tổng hợp ôn thi TST (21.08.2023)

Bất đẳng thức Schur và ứng dụng (21.08.2023)

Ứng dụng nguyên lý Dirichle trong giải các bài toán Hình học tổ hợp (21.08.2023)

Ứng dụng của Bất biến và nửa bất biến (21.08.2023)

Tô màu cho bảng ô vuông – Lê Phúc Lữ (21.08.2023)

Một số bài tập Hình học tổ hợp cơ bản (21.08.2023)

Đếm bằng hai cách trong các bài toán Tổ hợp – Lê Phúc Lữ (21.08.2023)

Đếm bằng hai cách trong các bài toán Hình học Tổ hợp, từ JBMO đến IMO (21.08.2023)

Bổ đề chặn tích trong chứng minh Bất đẳng thức (21.08.2023)

Chuỗi bài toán về Tổ hợp – Lê Phúc Lữ (21.08.2023)

Các bài toán về Multiset – Tập hợp – Lê Phúc Lữ (21.08.2023)

Các bài toán trên lưới nguyên – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Ước chung lớn nhất và số mũ đúng trong một số bài toán Tổ hợp – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Tuyển tập một số chuyên đề ôn thi HSG phần Số học – Tổ hợp (20.08.2023)

Phân tích và mở rộng bài toán số học trong kỳ thi VMO năm 2013 (20.08.2023)

Kỹ thuật số mũ đúng và định lý LTE – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Hàm Phi và hàm Zigma – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Hai bổ đề Lifting trong số học – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Định lý Wolstenholme và ứng dụng – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Dãy số và các tính chất số học – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Các định lý và bổ đề trong số học – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Một số bài toán Hình học phẳng có dạng Nếu – thì – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Kỹ thuật trực giao chùm điều hòa trong giải các bài toán hình phẳng – Lê Phúc Lữ (20.08.2023)

Đường thẳng Nagel đi qua tâm Spieker – Lê Phúc Lữ (19.08.2023)

Đường thẳng Euler và mở rộng – Trần Quang Hùng (19.08.2023)

Định lý Ptomely và ứng dụng (19.08.2023)

Bài toán bất đẳng thức hình học trong kỳ thi IMO năm 1961 (19.08.2023)

Sử dụng công thức tổng quát trong tìm giói hạn dãy số – Lê Phúc Lữ (19.08.2023)

Dãy số đơn điệu và dãy số có giới hạn – Lê Phúc Lữ (19.08.2023)

Các bài toán tồn tại trong giải tích (19.08.2023)

Bài giảng về dãy số năm 2023 – Võ Quốc Bá Cẩn (19.08.2023)

40 năm Olympic Toán học quốc tế (1959 – 2000) – Vũ Dương Thụy (19.08.2023)

Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4 Toán 10 từ năm 2000 đến năm 2012 (19.08.2023)

Tuyển tập đề thi APMOS từ năm 2002 đến năm 2012 (19.08.2023)

Tuyển tập các bài toán từ đề thi chọn đội tuyển dự thi VMO cả nước năm 2023 – tập 1 (18.08.2023)

Tuyển tập các bài toán trong đề thi chọn đội tuyển các tỉnh, thành phố năm 2023 (18.08.2023)

Tuyển tập 20 năm đề thi Olympic 30 tháng 4 toán 11 – Võ Anh Dũng (18.08.2023)

Tổng hợp đề thi và lời giải trường Đông ba miền năm 2023 – Trần Nam Dũng (18.08.2023)

Tổng hợp đề thi và lời giải Olympic 30 tháng 4 năm 2006 (18.08.2023)

Tổng hợp đề thi và lời giải của kỳ thi HSG Châu Á – Thái Bình Dương APMO từ năm 1989 đến 2023 (18.08.2023)

Tổng hợp đề chính thức và lời giải các kỳ thi chọn đội tuyển VNTST từ năm 2005 đến 2010 (18.08.2023)

Tổng hợp các bài toán ôn thi VMO cực chất và lời giải chi tiết năm 2023 (16.08.2023)

Tổng hợp các bài toán được đề nghị và lời giải chi tiết các kỳ thi IMO từ năm 1959 đến năm 2009 (16.08.2023)

Olympic toán tập 6 năm 1998 – 48 đề thi và lời giải – Nguyễn Hữu Điển (16.08.2023)

Olympic toán tập 5 năm 1998 – 49 đề thi và lời giải – Nguyễn Hữu Điển (16.08.2023)

Olympic toán tập 4 năm 1998 – 51 đề thi và lời giải – Nguyễn Hữu Điển (16.08.2023)

Olympic toán tập 3 năm 2000 – 33 đề thi và lời giải – Nguyễn Hữu Điển (16.08.2023)

Olympic toán tập 2 năm 2000 – 49 đề thi và bài giải – Nguyễn Hữu Điển (16.08.2023)

Olympic Toán tập 1 năm 2000 – 52 đề thi và lời giải – Nguyễn Hữu Điển (16.08.2023)

Lời giải cho những bài toán khó trong đề thi thử VMO – Phạm Hy Hiếu (16.08.2023)

Lời giải chi tiết đề thi chọn Đội tuyển quốc gia Việt Nam dự thi IMO năm 2000 (16.08.2023)

Lời giải chi tiết đề thi chọn Đội tuyển quốc gia Việt Nam dự thi IMO năm 1990 (16.08.2023)

Đề thi và lời giải kỳ thi chon đội tuyển dự thi VMO của trường PTNK – ĐHQG TPHCM năm 2023 (16.08.2023)

Đề thi và lời giải HSG quốc gia môn Toán VMO năm 2023 (16.08.2023)

Đề thi và lời giải chọn đội tuyển dự thi VMO của Sở GDĐT Hà Tĩnh năm 2023 – 2023 (16.08.2023)

Đề thi và lời giải chọn đội tuyển dự thi VMO của trường PTNK – ĐHQG TPHCM năm 2023 (16.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết Olympic KHTN năm 2023 (15.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi IMO – VNTST năm 2014 (15.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi IMO – VNTST năm 2013 (15.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi IMO – VNTST năm 2012 (15.08.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi IMO – VNTST năm 2011 (15.08.2023)

Đề thi chọn đội tuyển dự thi IMO của Trung Quốc năm 2012 (15.08.2023)

Bài tập luyện thi chọn đội tuyển IMO năm 2023 – Lê Phúc Lữ (15.08.2023)

Phương pháp đánh giá để giải phương trình vô tỉ (15.08.2023)

Đạo hàm của đa thức trong các kỳ thi HSG môn Toán – Lê Phúc Lữ (14.08.2023)

Đa thức và dãy số trong các kỳ thi HSG các nước năm 2023 – Lê Phúc Lữ (14.08.2023)

Đa thức đẹp nhưng có nghiệm xấu – Lê Phúc Lữ (13.08.2023)

Tuyển tập những bài tập bất đẳng thức trong đề thi chọn đội tuyển các tỉnh, thành phố năm 2023 (13.08.2023)

Bất đẳng thức đại số và phương pháp PQR – Lê Phúc Lữ (13.08.2023)

Xây dựng phương trình hàm từ những hẳng đẳng thức hay – Lê Việt Hải, Đào Thái Hiệp (08.08.2023)

Ứng dụng số học để giải phương trình hàm – Nguyễn Hoàng Cương (08.08.2023)

Tổng hợp một số dạng toán phương trình hàm đặc trưng và phương pháp giải – Hoàng Mạnh Thắng (08.08.2023)

Tổng hợp 200 bài toán phương trình hàm từ các đề thi các nước với lời giải chi tiết (08.08.2023)

Thiết lập hàm số và một số phương pháp giải phương trình hàm (08.08.2023)

Sử dụng tính chất ánh xạ giải một số lớp phương trình hàm – Nguyễn Đình Thức (08.08.2023)

Phương trình hàm trong các lớp hàm số lượng giác và ứng dụng – Nguyễn Trung Nghĩa (08.08.2023)

Phương trình hàm trên tập số nguyên và ứng dụng (08.08.2023)

Phương pháp hàm trong lớp hàm liên tục một biến tự do – Kiều Đình Minh (08.08.2023)

Phương pháp giới hạn dãy số trong chứng minh bất đẳng thức hàm (08.08.2023)

Phương pháp giải phương trình hàm trên tập rời rạc (08.08.2023)

Những kinh nghiệm thường gặp khi giải phương trình hàm (08.08.2023)

Những điều cần biết về phương trình hàm trên tập số nguyên (08.08.2023)

Những bài toán phương trình hàm trong đề thi học sinh giỏi quốc gia – VMO (08.08.2023)

Những bài toán phương trình hàm trên tập số nguyên không âm – Trần Nam Dũng (08.08.2023)

Những bài phương trình hàm lượng giác và cách giải chi tiết (08.08.2023)

Một số dạng phương trình hàm hay ôn thi học sinh giỏi – Nguyễn Tấn Đạt (08.08.2023)

Giải phương trình hàm bằng phương pháp thêm biến (07.08.2023)

Giải bất đẳng thức hàm qua bằng phương pháp qua giới hạn dãy số – Trịnh Đào Chiến (07.08.2023)

Đơn ánh, toàn ánh và song ánh trong các bài toán phương trình hàm (07.08.2023)

Các dạng phương trình hàm từ cơ bản đến nâng cao và cách tiếp cận (07.08.2023)

Từ bài toán giải tích đến biểu diễn tổng lũy thừa theo đa thức đối xứng – Lê Phúc Lữ (06.08.2023)

Phương trình hàm đa thức (06.08.2023)

Nghiệm của đa thức với yếu tố giải tích (06.08.2023)

Một số bài toán về đa thức và áp dụng – Nguyễn Vũ Thanh (06.08.2023)

Kỹ thuật sử dụng các định lý nội suy giải các bài toán đa thức – Nguyễn Văn Mậu (06.08.2023)

Định nghĩa đa thức và các phép toán trên đa thức (06.08.2023)

Định lý Mason và ứng dụng – Vũ Thanh Tú (06.08.2023)

Đa thức hoán vị được (06.08.2023)

Đa thức đối xứng hai biến và ứng dụng của nó (06.08.2023)

Đa thức Chevbyshev (05.08.2023)

Đa thức bất khả quy – Lê Xuân Đại (04.08.2023)

Đa thức bất khả quy – Hoàng Ngọc Minh (04.08.2023)

Công thức nội suy Lagrange – Lê Xuân Đại (04.08.2023)

Chuyên đề nghiệm của đa thức (04.08.2023)

Chuyên đề đa thức và số học (04.08.2023)

Chuyên đề đa thức một biến và ứng dụng (04.08.2023)

Các đa thức dạng Fibonacci và ứng dụng (04.08.2023)

Các bài toán về nghiệm của đa thức và ứng dụng (04.08.2023)

Bài giảng về đồ thị của đa thức và ứng dụng (04.08.2023)

Ứng dụng bất đẳng thức dạng Cauchy – Schwarz dạng Engel trong chứng minh bất đẳng thức (04.08.2023)

Tuyển tập những bài toán bất đẳng thức trong đề thi học sinh giỏi các nước (04.08.2023)

Tuyển tập bất đẳng thức (04.08.2023)

Tuyển tập 500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc từ đề thi học sinh giỏi cả nước – Cao Minh Quang (04.08.2023)

Tuyển tập 50 bài toán bất đẳng thức ôn thi Học sinh giỏi môn Toán năm 2023 – 2023 (04.08.2023)

Tổng hợp một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức (04.08.2023)

Tổng hợp các bài toán bất đẳng thức trong các đề thi HSG các tỉnh thành năm 2014 – 2023 (04.08.2023)

Tổng hợp 567 bất đẳng thức hay và khó có lời giải chi tiết (04.08.2023)

Sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh bất đẳng thức khác (04.08.2023)

Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức – Trần Xuân Đáng (04.08.2023)

Sáng tạo bất đẳng thức – Phạm Kim Hùng (04.08.2023)

Phương pháp kinh điển trong giải toán bất đẳng thức – Võ Quốc Bá Cẩn (04.08.2023)

Phương pháp dồn biến thừa trừ trong chứng minh bất đẳng thức (04.08.2023)

Phương pháp chuyển vị trong chứng minh bất đẳng thức hoán vị (04.08.2023)

Những cách giải bất đẳng thức độc đáo trong bài giảng Seminar (04.08.2023)

Những bất đẳng thức chọn lọc qua các kỳ thi học sinh giỏi thế giới (03.08.2023)

Những bài toán bất đẳng thức hay trong các kỳ thi HSG – Võ Quốc Bá Cẩn (03.08.2023)

Một số bất đẳng thức nâng cao – Nguyễn Vũ Thanh (03.08.2023)

Một số bài toán hằng số tốt nhất trong chứng minh bất đẳng thức – Lê Xuân Đại (03.08.2023)

Lời giải cho một lớp các bất đẳng thức đồng bậc – Nguyễn Minh Tuấn (03.08.2023)

Dồn biến cổ điển và bất đẳng thức Jack Garfulken (03.08.2023)

Chuyên đề bất đẳng thức từ tập thể trường THPT chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị (03.08.2023)

Chuyên đề bất đẳng thức hiện đại – Võ Quốc Bá Cẩn (03.08.2023)

Chuyên đề bất đẳng thức – Võ Quốc Bá Cẩn (02.08.2023)

Các bài toán về bất đẳng thức trong các kỳ thi toán quốc tế (02.08.2023)

Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p, q, r (02.08.2023)

Bất đẳng thức dạng thuần nhất và phương pháp giải – Phạm Văn Thuận (02.08.2023)

Bất đẳng thức B-C-S và ứng dụng của nó (02.08.2023)

Bài viết về bất đẳng thức Schur và Vornicu Schur – Võ Quốc Bá Cẩn (02.08.2023)

400 bài toán Bất đẳng thức, cực trị với lời giải chi tiết (02.08.2023)

Bất đẳng thức Nesbitt và ứng dụng (02.08.2023)

Bất đẳng thức giữa các lượng trung bình (02.08.2023)

Bất đẳng thức đồng bậc – Huỳnh Tấn Châu (02.08.2023)

170 bài toán Bất đẳng thức hay và khó kèm lời giải chi tiết (02.08.2023)

Tuyển tập những bài Phương trình, hệ phương trình hay và khó trong các đề thi HSG (01.08.2023)

Tuyển chọn các bài Phương trình – Hệ phương trình – Bất phương trình trong đề thi HSG năm 2011 (01.08.2023)

Tuyển chọn 100 câu hệ phương trình kèm lời giải chi tiết (01.08.2023)

Tổng hợp các phương pháp đặc sắc trong giải toán phương trình chứa căn (01.08.2023)

Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải toán hệ phương trình (01.08.2023)

Sử dụng đạo hàm để giải toán phương trình – bất phương trình – hệ phương trình (01.08.2023)

Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình ôn thi học sinh giỏi quốc gia (01.08.2023)

Phương pháp giải một số phương trình có chứa hàm hợp (01.08.2023)

Phương pháp giải phương trình vô tỉ thường gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi (01.08.2023)

Chuyên đề các dạng phương trình – hệ phương trình và cách giải sáng tạo (01.08.2023)

Các phương pháp giải phương trình – hệ phương trình độc đáo (01.08.2023)

Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 4 tháng 9 năm 2023 (26.07.2023)

Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 3 tháng 9 năm 2023 (26.07.2023)

Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 2 tháng 9 năm 2023 (26.07.2023)

Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 1 tháng 9 năm 2023 (26.07.2023)

Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 4 tháng 8 năm 2023 (26.07.2023)

Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 3 tháng 8 năm 2023 (26.07.2023)

Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 2 tháng 8 năm 2023 (26.07.2023)

Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 1 tháng 8 năm 2023 (26.07.2023)

Tuyển tập Đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi VMO cả nước năm 2023 (29.06.2023)

Tuyển tập Đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi VMO cả nước năm 2023 (28.06.2023)

Một số phương pháp giải các bài toán về số học qua các kỳ thi học sinh giỏi (25.05.2023)

Lý thuyết sơ cấp của các số (25.05.2023)

Lý thuyết số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT (25.05.2023)

Kỹ thuật sử dụng nguyên lý Canto trong toán sơ cấp (25.05.2023)

Đột phá đỉnh cao bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề Số học (25.05.2023)

Chuyên đề Số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT (25.05.2023)

Chuyên đề Căn nguyên thủy (25.05.2023)

Các định lý về số học và ứng dụng của nó trong giải toán (25.05.2023)

Các bài giảng về số học (đồng dư, phương trình nghiệm nguyên, hàm số học) (25.05.2023)

Bài tập ôn thi Olympic toán chuyên đề số học toàn miền Nam lần thứ XVIII (25.05.2023)

Một số tính chất và ứng dụng của hàm định giá P-Adic (25.05.2023)

Một số tính chất số học của hệ số Nhị thức (24.05.2023)

Những ứng dụng của định lý Viete trong giải các bài toán Số học (24.05.2023)

Số học qua các kỳ thi các nước trên thế giới năm 2023 (24.05.2023)

Sử dụng giới hạn dãy số giải quyết các bài toán Đại số và Số học (24.05.2023)

Tổng hợp những bài toán Số học hay ôn thi học sinh giỏi quốc gia VMO 2023 – phần 1 (24.05.2023)

Ứng dụng lý thuyết đồng dư trong bài toán chia hết (24.05.2023)

Vẻ đẹp phần nguyên từ những tính chất cơ bản (24.05.2023)

Định lý phần dư Trung Hoa và ứng dụng trong giải toán số học (24.05.2023)

Ứng dụng của tỉ số phương tích trong giải bài toán Hình học phẳng (23.05.2023)

Từ một bài toán trên diễn đàn Aops tới một số tìm tòi hay trong hình học phẳng (23.05.2023)

Từ bổ đề quen thuộc đến liên hợp đẳng giác trong tứ giác (23.05.2023)

Từ bài hình ngày 1 trong đề Lạng Sơn TST 2023-2023 tới một lớp bài chứng minh tiếp xúc (23.05.2023)

Tuyển tập những bài toán Hình học phẳng hay và khó ôn thi HSG quốc gia (22.05.2023)

Tuyển tập các lời giải hay cho các bài toán hình học phẳng khó (22.05.2023)

Tổng hợp đề thi đề nghị cho kỳ thi HSG Hình học IGO năm 2023 (22.05.2023)

Tìm tòi và phát triển một lớp bài toán hình học có giả thiết hay (22.05.2023)

Tìm tòi mở rộng một bài hình học hay trong đề chọn đội tuyển Quảng Ninh 2023-2023 (22.05.2023)

Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng trong đề thi chọn đội tuyển quốc tế TST (22.05.2023)

Phương pháp vẽ đường phụ trong chứng minh các bài toán hình học (22.05.2023)

Mở rộng và khai thác một bài toán hay trong đề Brazil TST 2023 (22.05.2023)

Một số tính chất của hai đường đẳng giác, hai điểm liên hợp đẳng giác và ứng dụng (22.05.2023)

Một số bài toán hình học hay trên báo Toán học tuổi trẻ năm 2023 (22.05.2023)

Một hướng chứng minh mới cho định lí Feuerbach cùng khai thác (22.05.2023)

Một bài toán tới chuỗi bài toán đẹp trong hình học phẳng (22.05.2023)

Một bài toán hay về mô hình trực tâm trong hình học phẳng (22.05.2023)

Kĩ thuật sử dụng định lí Menelaus trong giải một số bài toán hình học (22.05.2023)

Khám phá ứng dụng của cực và đối cực trong hình học phẳng (22.05.2023)

Khai thác một bài toán hay dạng tiếp xúc trong mặt phẳng (22.05.2023)

Khai thác cho một chùm bài toán hay về đường thẳng Euler và các mở rộng của nó (22.05.2023)

Gợi ý một số lời giải của một số bài toán Hình học phẳng khó trong đề thi chọn HSG và đội tuyển (22.05.2023)

Đường thẳng Simsons và đường thẳng Steiner – một số ứng dụng trong giải toán (22.05.2023)

Định lý con bướm trong hình học và những ứng dụng (22.05.2023)

Định lý Anne và những ứng dụng của nó trong giải bài toán hình học (22.05.2023)

Chuyên đề định lý Ptolemy và ứng dụng trong hình học phẳng (22.05.2023)

Bàn một chút về hai lời giải và các mở rộng cho một bài toán hay trên báo Toán học tuổi trẻ (22.05.2023)

Giới thiệu phương pháp giải bài toán tổ hợp trong Gặp gỡ toán học (22.05.2023)

Ứng dụng phương pháp đếm bằng hai cách thông thường qua bảng các ô vuông trong các bài toán tổ hợp (21.05.2023)

Ứng dụng phương pháp ánh xạ trong giải toán tổ hợp (21.05.2023)

Từ công thức Picard đến công thức Euler (21.05.2023)

Tổng hợp 200 bài toán tổ hợp hay ôn thi học sinh giỏi (21.05.2023)

Tổ hợp, chỉnh hợp, số cách chọn các tập con của một tập hợp (21.05.2023)

Tính ứng dụng của bất biến trong các bài toán về thuật toán của lý thuyết trò chơi (21.05.2023)

Tính chẵn lẻ trong các bài toán tổ hợp (21.05.2023)

Phương pháp xây dựng cấu hình trong giải toán tổ hợp trong các kỳ thi VMO, VNTST hay IMO (21.05.2023)

Phương pháp truy hồi trong giải toán tổ hợp (21.05.2023)

Phương pháp tô màu trong bài toán tổ hợp (21.05.2023)

Phương pháp song ánh trong giải bài toán tổ hợp ứng dụng giải đề thi HSG (21.05.2023)

Những vấn đề hay trong tổ hợp dành cho HSG (21.05.2023)

Nguyên lý Dirichlet (21.05.2023)

Nguyên lý cực hạn (21.05.2023)

Nguyên lý bất biến (21.05.2023)

Mở đầu về bài toán đếm và những ứng dụng xung quanh nó (21.05.2023)

Một số bài toán về tập [2n] (21.05.2023)

Một số bài toán về lưới và điểm nguyên (21.05.2023)

Nguyên lý bất biến (kỹ năng giải và sáng tạo bài mới) (21.05.2023)

Hai phương pháp giải bài toán trò chơi bốc vật (21.05.2023)

Đơn biến và bài toán hội tụ (21.05.2023)

Chuyên đề Đẳng thức tổ hợp (21.05.2023)

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tổ hợp – Rời rạc (dành cho học sinh chuyên Toán – Tin) (21.05.2023)

Bất biến và nửa bất biến – tác giả Lê Anh Vinh (21.05.2023)

Bất biến và nửa bất biến trong các trò chơi (20.05.2023)

Bài toán đếm và bài toán tồn tại tổ hợp (20.05.2023)

Tuyển tập Đề thi Olympic 30 tháng 4 môn Toán lần thứ 19 năm 2013 (04.05.2023)

Một số chuyên đề Toán Tổ hợp – BDHSG THPT – Phạm Minh Phương (04.05.2023)

Số học – Bà chúa của toán học (04.05.2023)

Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO năm 2023 – Sở Giáo dục và Đạo tạo Bắc Ninh (03.05.2023)

Những định lý chọn lọc trong Hình học phẳng và Các bài toán áp dụng (03.05.2023)

Bổ đề cát tuyến và ứng dụng trong giải một số bài toán (03.05.2023)

Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm 2011 (03.05.2023)

Tài liệu chuyên Toán bài tập Hình học 12 (03.05.2023)

Chuyền đề Số học (21.04.2023)

Dãy số và các tính chất số học (14.04.2023)

Tuyển chọn các bài toán hình học ôn thi VMO, TST (14.04.2023)

Các bài toán hay và khó về ứng dụng hàng điểm điều hòa (14.04.2023)

Mở rộng bài toán phương trình hàm trong kỳ thi VMO 2023 (13.04.2023)

Phương trình hàm qua các kỳ thi Olympic (13.04.2023)

Số đặc biệt: số Fermat, số Mersenne, số Hoàn hảo (08.04.2023)

Định lý thặng dư Trung Hoa và một số ứng dụng – Nguyễn Duy Liên – THPT chuyên Vĩnh Phúc (08.04.2023)

Bước nhảy Viete – Hà Tuấn Dũng – THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội (03.04.2023)

Cấp và căn nguyên thủy – Lê Xuân Đại – THPT chuyên Vĩnh Phúc (03.04.2023)

Kí hiệu Legendre, thặng dư toàn phương và bổ đề Gauss (29.03.2023)

Bình Luận Về Đề Thi Imo 2023

Tính điểm đồng đội thì năm nay VN xếp thứ 20, thua nhiều nước, trong đó có cả một số nước ASEAN cũng đứng trên VN.Việt Nam vẫn tự hào là giỏi toán, nhưng chuyện chỉ đứng thứ 20 thể hiện đúng thực chất hơn tình hình giáo dục và khoa học của Việt Nam. Những năm trước đạt thành tích cao, một phần là do luyện gà chọi chứ không phải do nền giáo dục và khoa học khá hơn các nước khác, kể cả các nước láng giềng. Riêng về nền toán học có thể vẫn còn nhỉnh hơn các nước láng giềng, nhưng đà đi xuống tương đối có thể nhìn thấy rất rõ. Lý do rất đơn giản: đầu tư khoa học kém, hệ thống giáo dục tồi, đầy giáo điều và gian dối, giờ lại có thêm bộ trưởng đạo văn!

Việc các bạn Việt Nam có những bài không làm được không chứng tỏ là các bạn kém thông minh hơn một số đoàn khác (như Mỹ, Thái, Ukraina, v.v.), nhưng chứng tỏ một điều, là việc dạy cách tư duy để “gặp bài nào cũng chiến được” ở Việt Nam còn thiếu, nên gặp các bài “lạ” là rất dễ rụng. Cái cách tư duy “áp dụng vào đâu cũng được” (chứ không phải các dạng bài học thuộc) mới chính là điểm cốt lõi của toán học, cần dùng nhiều về sau. Các bạn trẻ, các thầy cô cần đặc biệt chú trọng hơn điều này!

Bài thứ nhất là một bài hình học phẳng thuộc loại dễ, thậm chí có thể nói là dễ hơn một số bài hình học thi THPT2023 ở Việt Nam! Không có gì đáng ngạc nhiên khi tất cả các bạn của đoàn Việt Nam đều làm được bài này. Bản thân tôi thử làm trong lúc đợi máy bay chỉ mất mấy phút lào ra.

Có thể làm bài này chẳng hạn bằng cách kẻ mấy đường trung trực của tam giác (cũng là đường kính của hình tròn ngoại tiếp), rồi so sánh các cung bằng nhau, suy ra các góc bằng nhau, rồi tính góc qua cung tròn tương ứng v.v.

Nếu như có hai số dương liền nhau thì toàn bộ dãy sẽ phải là dương. Gỉa sử i là chỉ số sao cho tích ai a(i+1) là lớn nhất, thì khi đó a(i+2) là số lớn nhất của dãy, suy ra tích a(i+1) a(i+2) còn lớn hơn ai a(i+1) trừ khi ai = a(i+2), suy ra ai = a(i+2), suy ra a(i+3) cũng là số lớn nhất và phải bằng a(i+2), v.v. suy ra tất cả các số bằng nhau, và như ta đã biết trường hợp này không có lời giải.

Như vậy là cứ sau một số dương phải đến một số âm. Sau hai số âm liền nhau thì tiếp theo là số dương theo công thức quy nạp. Nếu cứ âm, âm, dương, âm, âm, dương, … thì tức là n chia hết cho 3. Nếu có dương, âm, dương, liền nhau, không mất tính tổng quát (vì tính tuần hoàn) có thể gỉa sử

Lần ngược lại a2, với a2.a3 +1 = a4 < -1 suy ra a2 < -4.

Cứ thế lần ngược lại (với a0=an) suy ra các số âm trong dãy theo chiều ngược ngày càng âm nặng, các số dương ngày càng về gần 0, suy ra dãy không thể tuần hoàn.

(Để cho chặt chẽ thì phải viết “dương hoặc bằng 0” thay vì “dương” và đổi một số bất đẳng thức ở phía trên thành có thể có dấu bằng)

Bài thứ 3. Bài này khá là khó, chỉ có một bạn VN làm được. Khó bởi vì nó không làm theo kiểu quy nạp được. Có thể xây dựng tam gíac phản pascal với n hàng cho n =1,2,3,4,5, nhưng sau 5 là tắc tịt, cố xây dựng để chứng minh tồn tại dẫn đến mất nhiều thời gian vô ích. Phải chuyển hướng sang chứng minh không tồn tại khi n đủ lớn (ở đây n=2023 là qúa lớn luôn)

Nhận xét là đi từ đỉnh trên cùng xuống dưới, có thể đi sao cho số tiếp theo bằng số trước đó cộng một số khác trên cùng hàng. Dẫn đến nếu đi như vậy đến số ở hàng cuối cùng, thì số đó bằng tổng của n số ở n hàng khác nhau, suy ra n số đó khác nhau, và tổng nhỏ nhất là 1+…+n chính bằng số lớn nhất, suy ra số cuối cùng đó chính là N= 1+…+n và các số từ 1 đến n được phân bố trên n hàng khác nhau mỗi hàng một số.

Tiếp theo, xét n số lớn nhất: N -(n-1), N-(n-2), .., N. Câu hỏi là các số đó phải được phân bố ở đâu như thế nào? Ta gọi các số đó là số lớn, còn các số từ 1 đến n gọi là số nhỏ.

Với mỗi một số lớn ở hàng không phải là hàng dưới cùng thì phải có 1 số nhỏ nằm dưới nó. Mà trên mỗi hàng chỉ có 1 số nhỏ, suy ra là nếu có 2 số lớn nằm trên cùng 1 hàng mà không phải hàng dưới cùng thì hai số đó phải chụm vào nhau để chung 1 số nhỏ. Suy ra là chỉ có hàng sát dưới cùng mới có thể có đến 2 số lớn, các hàng trên đó nhiều nhất là một số lớn.

—

Ngày thứ hai gồm 3 bài, trong đó có bài số 6 là một bài hình học phẳng đề bài ngắn gọn nhưng lại là bài khó học sinh VN bị rụng hết. So sánh với các đề bài thi HSG ở Việt Nam phần lớn là loằng ngoằng rối rắm vẽ rất nhiều đường phụ, thì đề bài số 6 này có vẻ thú vị hơn nhiều. Bài 4 và bài 5 thuộc diện khó vừa phải, nhiều người làm được.

Bài số 4. Bài này cần nghĩ mẹo một chút. Tìm ra mẹo thì gỉai xong rất nhanh trong vòng vài phút, còn nếu không thì cứ thử loanh quanh mãi.

Đáp số của bài 4 là 1/4 tổng số điểm, trong trường hợp này là 400/4 = 100, tức là bạn đi đầu luôn đặt được (ít nhất) 100 viên sỏi đỏ, và bạn đi sau có chiến thuật để bạn đi đầu không đặt được qúa 100 viên.

Để thấy có thể đặt 100 viên, chỉ cần chú ý là có 200 chỗ có tổng tọa độ x+y là số chẵn. Cứ đặt vào đó thì khoảng cách giữa các viên không thể là căn hai của 5.

Để thấy cách của bạn đi sau chặn bạn đi trước sao cho không qúa 100, chia bàn cờ thành 10 x 10 = 100 bảng vuông nhỏ 4×4. Trong mỗi bảng 4×4 vẽ 4 đường mỗi đường gồm 4 đỉnh như sau, ví dụ cho bảng đầu tiên:

(1,1), (3,2), (4,4), (2,3) (2,1), (4,2), (3,3), (1,3) … (hai đường kia tương tự)

Cứ khi bạn đi trước đi vào một trong các đường đó, thì bạn đi sau cũng đi vào đường đó sao cho bạn đi trước không thể đi thêm vào đường đó nữa. Thế nên chỉ đi được vào mỗi đường 1 viên.

Bài số 5. Bài này là một bài số học tương đối dễ. Ta chỉ dùng đến tính chất sau:

A(n+1)/ A1 + An/A(n+1) – An/A1 là số nguyên với mọi n đủ lớn.

Gỉa sử như p là một thừa số nguyên tố của A1. Nếu như với mọi n đủ lớn An đều chia hết cho p, thì ta chia tất cả các số An với n đủ lớn và A1 cho p rồi xét tiếp.

Nếu gỉa sử bây giờ với mọi thừa số nguyên tố p của A1 ta có một số An không chia hết cho p, trong đó n lớn hơn là cái số “đủ lớn” trong điều kiện phía trước. Suy ra A(n+1) đồng dư với An modulo p. Tức là tất cả các số đều đồng dư với nhau modulo p (với n đủ lớn). Tỉ mỉ hơn thì ta có tất cả các số An đồng dư với nhau modulo A1 khi n đủ lớn.

Nhưng mà như thế có nghĩa là An/A(n+1) là số nguyên khi n đủ lớn, và suy ra A(n+1) <= An. Dãy không thể gỉam mãi được nên đến lúc nào đó thì dừng.

Bài số 6 về hình học. Bài này thuộc loại khó, tuy tất nhiên nếu tìm ra hướng gỉai đúng thì … không còn khó nữa.

Có một cách gỉai như sau:

Đặt tên các góc XAB và XCD là a, XBC và XDA là b, AXB là 1 (1 không phải là số 1, mà là góc thứ 1, cần viết dấu mũ trên 1 để cho rõ nhưng ở đây tôi không viết được mũ), góc BXC là 1, CXD là 3, DXA là 4, tất nhiên ta có 1+2+3+4 = 2 pi.

sin(1).sin(3).sin (pi – b – 2).sin(pi-b-4)= sin2.sin4.sin(a).sin(a)

và

sin(2).sin(4).sin (pi – a – 1).sin(pi-a-3)= sin1.sin3. sin(b).sin(b)

Bây giờ dùng công thức 2 sin(x)sin(y) = cos (x-y) – cos (x+y) để đơn gỉan hóa các biểu thức trên, đồng thời đặt A=2a, B=2b, Z= 1+3 – pi, u= cos (1-3), v = cos (2-4), ta được các đẳng thức sau:

(u+cosZ)/(v+cosZ) = (u+cos(A+Z))/(1- cosB) = (1-cosA)/(v+cos(b-Z))

Điều cần phải chứng minh là Z=0.

cosZ – cos (A+Z) < 1 – cosA

và

(nếu như Z < 0, và với các giới hạn về các góc A,B,Z như trong bài toán)

(cộng/trừ các tử số với tử số, mẫu số với mẫu số trong các đẳng thức, rồi dùng các bất đẳng thức dẫn tới mâu thuẫn)

Lời Giải Và Bình Luận Đề Toán Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia 2023

Lời giới thiệu của tác giả

Bài viết này theo góc độ cá nhân của tác giả, chủ yếu muốn nhận xét, đánh giá từ tổng quan cho đến chi tiết từng câu trong đề thi HSG QG năm nay (sẽ không nêu các bài toán tương tự hay mở rộng, tổng quát như các năm trước). Trong bài viết này, tác giả có sử dụng lời giải, ý tưởng của các thầy: Nguyễn Ngọc Duy (GV PTNK TPHCM), Trần Quang Hùng (GV chuyên KHTN Hà Nội), Trần Xuân Hùng (GV THPT Vĩnh Xuân, Huế), Phạm Tiến Kha (GV ĐHSP TPHCM), Trần Quốc Luật (GV chuyên Lê Hồng Phong TPHCM), Nguyễn Văn Linh (SV ĐHSP Hà Nội), Nguyễn Song Minh (Hà Nội), Nguyễn Quang Tân (GV chuyên Lào Cai), Nguyễn Tăng Vũ (GV PTNK TPHCM) và bạn: Huỳnh Văn Y (KHTN TPHCM), Nguyễn Nguyễn (HS PTNK TPHCM). Xin cám ơn thầy Trần Nam Dũng (GV PTNK TPHCM) và anh Võ Quốc Bá Cẩn (GV Archimedes Academy Hà Nội) đã động viên nhiều trước đó để tác giả thực hiện bài viết này.

Nhận xét tổng quan

* Ngày 1: từng bài toán đều có những cái khó riêng, hầu như nếu không nắm được các bổ đề thì không thể xử lý trọn vẹn. Có bài thì phát biểu đơn giản nhưng theo kiểu lý thuyết, có bài thì cách xây dựng cầu kỳ, rắc rối khiến các thí sinh ngay cả ở phần sở trường của mình cũng không thể phát huy tốt. Phân tích kỹ ra hơn, phải nói rằng có nhiều ý trong đề bài dường như chặn hết các đường suy luận của những thí sinh tiếp cận vấn đề theo hướng tự nhiên. * Ngày 2: cả ba bài toán đều ít nhiều liên hệ tới các đề thi VMO cũ (1994, 2023, 2010) và đã được đề cập trong các bài giảng, tài liệu. Thí sinh đa số lấy được điểm ở bài 5 và 6 nhưng tính cũ của các bài phần nào đã khiến cho những thí sinh chưa đọc qua các đề thi trên gặp khó khăn. Phân bố khó dễ giữa hai ngày không hợp lý khi có bài mức độ nhẹ nhàng, đáng lẽ nên được sắp xếp ở ngày đầu để tạo tâm lý thoải mái, cũng là động lực cho thí sinh thì lại nằm ở ngày thứ hai. * Đề thi chọn HSG quốc gia hàng năm luôn là đề được cộng đồng Olympic, từ giáo viên, học sinh và những bạn yêu Toán đón nhận nhiều nhất. Với quy mô toàn quốc, được đầu tư bởi các chuyên gia nhiều kinh nghiệm, VMO luôn hứa hẹn là đề thi mang tính sư phạm, chuyên môn, khách quan và gợi mở, định hướng phát triển phong trào nhất mỗi năm. Thật đáng tiếc rằng trong đề thi VMO 2023 này, thật khó để nhìn nhận ra được các đặc điểm như thế!

Đầy đủ đề thi và lời giải trong file PDF

Cập nhật thông tin chi tiết về Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Quốc Tế Imo 2023 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!