Bạn đang xem bài viết Lý Thuyết Phương Trình Chứa Căn Môn Toán Lớp 10 được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
1. Phương trình chứa căn cơ bản
+) (sqrt {fleft( x right)} = gleft( x right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}gleft( x right) ge 0\fleft( x right) = {g^2}left( x right)end{array} right.)
+) (sqrt {fleft( x right)} = sqrt {gleft( x right)} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right) ge 0\fleft( x right) = gleft( x right)end{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}gleft( x right) ge 0\fleft( x right) = gleft( x right)end{array} right.)
ở đây, với các bài toán cụ thể các em có thể chọn một trong hai điều kiện (fleft( x right) ge 0) hoặc (gleft( x right) ge 0) phụ thuộc vào hai hàm (fleft( x right),gleft( x right)), hàm nào đơn giản hơn thì ta chọn, không cần giải hết các điều kiện (fleft( x right) ge 0) và (gleft( x right) ge 0)
+) (fleft( x right).sqrt {gleft( x right)} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}gleft( x right) = 0\left{ begin{array}{l}gleft( x right) ge 0\fleft( x right) = 0end{array} right.end{array} right.)
2. Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Phương pháp chung:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho căn có nghĩa.
– Bước 2: Chuyển vế để hai vế không âm.
– Bước 3: Bình phương hai vế để đưa về một trong các dạng phương trình căn cơ bản.
a) Phương pháp đặt ẩn phụ
Loại 1: (a.fleft( x right) + bsqrt {fleft( x right)} + c = 0)
Đặt (t = sqrt {fleft( x right)} ge 0) thì phương trình trở thành (a{t^2} + bt + c = 0)
Loại 2: (sqrt {fleft( x right)} + sqrt {gleft( x right)} + sqrt {fleft( x right).gleft( x right)} = hleft( x right))
Đặt (t = sqrt {fleft( x right)} + sqrt {gleft( x right)} ) và biến đổi phương trình về ẩn (t)
Loại 3: (sqrt {fleft( x right)} + sqrt {gleft( x right)} = hleft( x right))
Đặt ẩn phụ (u = sqrt {fleft( x right)} ,v = sqrt {gleft( x right)} ) đưa về hệ phương trình với ẩn (u,v)
b) Đưa về phương trình tích
Phương pháp chung:
Đoán nghiệm của phương trình để định hướng đưa về phương trình dạng tích hoặc nhân biểu thức liên hợp.
c) Sử dụng hằng đẳng thức đưa về phương trình cơ bản
Loại 1: (sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B} = sqrt[3]{C},,,,,,left( * right))
– Bước 1: Biến đổi (left( * right) Leftrightarrow {left( {sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B}} right)^3} = {left( {sqrt[3]{C}} right)^3} Leftrightarrow A + B + 3sqrt[3]{{AB}}left( {sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B}} right) = C,,,,left( {**} right))
– Bước 2: Thay (sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B} = sqrt[3]{C}) vào (left( {**} right)) ta được: (left( {**} right) Rightarrow A + B + 3sqrt[3]{{ABC}} = C)
– Bước 3: Giải phương trình trên và kết luận nghiệm
Loại 2: (sqrt {fleft( x right)} + sqrt {gleft( x right)} = sqrt {hleft( x right)} + sqrt {kleft( x right)} ) với (left[ begin{array}{l}fleft( x right) + hleft( x right) = gleft( x right) + kleft( x right)\fleft( x right).hleft( x right) = gleft( x right).kleft( x right)end{array} right.)
– Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: (sqrt {fleft( x right)} – sqrt {hleft( x right)} = sqrt {kleft( x right)} – sqrt {gleft( x right)} )
– Bước 2: Bình phương, giải phương trình hệ quả.
Loại 3: Căn trong căn
Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Lý thuyết & Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Phân tích thành tích.
– Đặt ẩn phụ.
Các dạng phương trình sau ta có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương:
Phương trình có dạng a.f(x) + b.√(f(x) ) + c = 0 ta đặt √(f(x)) = t
Ngoài ra ta còn có phương pháp phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp
Với A, B không đồng thời bằng không
Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải phương trình sau √(2x-3) = x-3
Hướng dẫn:
Ta có
Bài 2: Giải phương trình sau
Hướng dẫn:
Phương trình tương đương với phương trình
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1
Bài 3: Giải phương trình sau √(2x-1) + x 2 – 3x + 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 – √2
Bài 4: Giải phương trình sau x 2 + √(x 2 + 11) = 31
Hướng dẫn:
Đặt t = √(x 2 + 11), t ≥ 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành:
t 2 + t – 42 = 0 ⇔
Vì t ≥ 0 ⇒ t = 6, thay vào ta có √(x 2 + 11) = 6
x 2 + 11 = 36 ⇔ x = ±5
Vậy phương trình có nghiệm là x = ±5
Bài 5: Giải phương trình sau
Hướng dẫn:
Đặt t = √(3x 2 – 2x + 2), điều kiện t ≥ 0. Khi đó √(3x 2 – 2x + 9) = √(t 2 + 7)
Phương trình trở thành √(t 2 + 7) + t = 7
Vậy phương trình có hai nghiệm x = (1 ± √22)/3
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp
Lý Thuyết Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Hay, Chi Tiết
1. Tìm điều kiện xác định của một phương trình
Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.
Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau
a) (x – 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x – 2).
b) (x – 1)/(1 – 2x) = 1.
Hướng dẫn:
a) Ta thấy x + 2 ≠ 0 khi x ≠ – 2 và x – 2 ≠ 0 khi x ≠ 2.
Do đó ĐKXĐ của phương trình (x – 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x – 2) là x ≠ ± 2.
b) Ta thấy 1 – 2x ≠ 0 khi x ≠ 1/2.
Do đó ĐKXĐ của phương trình (x – 1)/(1 – 2x) = 1 là x ≠ 1/2.
2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ta thường qua các bước:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình tìm được.
Bước 4: Kết luận.
Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn thoả mãn ĐKXĐ của phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Bước 1: Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ 2.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu
Ta có:
⇒ 2( x – 2 )( x + 2 ) = x( 2x + 3 )
Bước 3: Giải phương trình
Ta có: 2( x – 2 )( x + 2 ) = x( 2x + 3 ) ⇔ 2( x 2 – 4 ) = 2x 2 + 3x
Bước 4: Kết luận
So sánh với ĐKXĐ, ta thấy x = – 8/3 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { – 8/3 }.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Hướng dẫn:
+ ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ – 5.
+ Ta có:
⇒ ( 2x + 5 )( x + 5 ) – 2x 2 = 0
⇔ 2x 2 + 10x + 5x + 25 – 2x 2 = 0 ⇔ 15x = – 25 ⇔ x = – 5/3.
+ So sánh với ĐKXĐ ta thấy x = – 5/3 thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 5/3 }.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ:
Ta có:
⇔ 4x = 16 ⇔ x = 4.
Vây phương trình đã cho có nghiệm x = 4.
b) ĐKXĐ:
Ta có:
⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.
c) ĐKXĐ:
Bài 2: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ: x ≠ – 1;x ≠ 3.
Ta có:
⇔ -2x + 2 = 3x – 1
⇔ 5x = 3 ⇔ x = 3/5.
Kết hợp điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3/5.
b) ĐKXĐ: x ≠ 3, x ≠ 4, x ≠ 5, x ≠ 6.
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0;x = 9/2.
c) ĐKXĐ: x ≠ 1 hoặc x = -1.
Ta có:
⇔ 8x = – 10 ⇔ x = – 5/4.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = – 5/4.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn
Chia sẻ cách giải các bất phương trình vô tỷ và các dạng bất phương trình vô tỉ thường gặp. Các phương pháp, kỹ thuật xử lý bất PT vô tỷ.
10 kỹ thuật xử lý bất phương trình vô tỉ gồm:
Phương pháp biến đổi tương đương
Kỹ thuật chia điều kiện
Kỹ thuật khai căn
Kỹ thuật phân tích thành nhân tử
Kỹ thuật nhân chia liên hợp
Kỹ thuật đặt ẩn phụ – Đặt ẩn phụ lượng giác
Kỹ thuật đánh giá trong bất phương trình
Kỹ thuật sử dụng tích vô hướng của véc tơ để giải bất phương trình
Kỹ thuật khảo sát hàm số để đánh giá bất phương trình vô tỉ
Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm
Phương pháp biến đổi tương đương
Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Cộng trừ hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Nhân chia hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn dương hoặc âm mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình. Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương. Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.
Kỹ thuật lũy thừa hai vế
Ở kỹ thuật này, đặc biệt chú ý tới điều kiện của bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.
Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.
Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh.
Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản.
Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.
Phương pháp đặt ẩn phụ
Một số yêu cầu là: Dạng này học sinh cần nhớ cách đặt ẩn và từ đó mở rộng cho bài toán tương tự chú ý tới các điều kiện của ẩn.
– Nhớ được cách xét tính đơn điệu của một hàm số, lập bảng biến thiên… – Nhớ các bất đẳng thức. – Thường áp dụng cho các Bài toán bất phương trình vô tỉ đặc thù, phức tạp không có thuật toán cụ thể nhưng hay có trong các kì thi đại học các năm gần đây. Hai bất đẳng thức cơ bản nhất là: Bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski
Để giải bất phương trình ta khảo sát hoặc căn cứ vào tính chất của các hàm số đưa ra bảng biến thiên và từ bảng biến thiên đưa ra kết luận.
Đây là cách đánh giá bất phương trình vô tỉ khá thông minh, các cách làm được dựa vào kinh nghiệm của người giải bài tập. Dựa vào mức độ va chạm với các loại bài tập đó.
10 kỹ thuật xử lý bất phương trình vô tỉ gồm:
Phương pháp biến đổi tương đương
Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Cộng trừ hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Nhân chia hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn dương hoặc âm mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình. Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương. Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.
Kỹ thuật lũy thừa hai vế
Ở kỹ thuật này, đặc biệt chú ý tới điều kiện của bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.
Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.
Phương pháp biến đổi tương đương
Kỹ thuật chia điều kiện
Kỹ thuật khai căn
Kỹ thuật phân tích thành nhân tử
Kỹ thuật nhân chia liên hợp
Kỹ thuật đặt ẩn phụ – Đặt ẩn phụ lượng giác
Kỹ thuật đánh giá trong bất phương trình
Kỹ thuật sử dụng tích vô hướng của véc tơ để giải bất phương trình
Kỹ thuật khảo sát hàm số để đánh giá bất phương trình vô tỉ
Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm
Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh.
Một số yêu cầu là: Dạng này học sinh cần nhớ cách đặt ẩn và từ đó mở rộng cho bài toán tương tự chú ý tới các điều kiện của ẩn.
– Nhớ được cách xét tính đơn điệu của một hàm số, lập bảng biến thiên… – Nhớ các bất đẳng thức. – Thường áp dụng cho các Bài toán bất phương trình vô tỉ đặc thù, phức tạp không có thuật toán cụ thể nhưng hay có trong các kì thi đại học các năm gần đây. Hai bất đẳng thức cơ bản nhất là: Bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski
Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản.
Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.
Kỹ thuật khảo sát hàm số để đánh giá bất phương trình
Để giải bất phương trình ta khảo sát hoặc căn cứ vào tính chất của các hàm số đưa ra bảng biến thiên và từ bảng biến thiên đưa ra kết luận.
Đây là cách đánh giá bất phương trình vô tỉ khá thông minh, các cách làm được dựa vào kinh nghiệm của người giải bài tập. Dựa vào mức độ va chạm với các loại bài tập đó.
Cập nhật thông tin chi tiết về Lý Thuyết Phương Trình Chứa Căn Môn Toán Lớp 10 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!