Bạn đang xem bài viết Phép Đối Xứng Tâm, Trắc Nghiệm Toán Học Lớp 11 được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.
Cho điểm . Phép biến hình biến điểm thành chính nó và biến mỗi điểm khác thành điểm sao cho là trung điểm của được gọi là phép đối xứng tâm .
Trong mặt phẳng cho , , gọi là ảnh của qua phép đối xứng tâm thì
3. Tính chất phép đối xứng tâm.
– Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
– Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
– Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
– Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
– Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. BÀI TẬP.
Phương pháp:
Sử dụng biểu thức tọa độ và các tính chất của phép đối xứng tâm.
Ví dụ 1. Cho điểm và đường thẳng . Tìm ảnh của qua phép đối xứng tâm .
Cách 1. Lấy điểm
Thay vào ta được
Vậy ảnh của là đường thẳng .
Cách 2. Gọi là ảnh của qua phép đối xứng tâm , thì song song hoặc trùng với nên phương trình có dạng .
Lại có .
Vậy .
Ví dụ 1. Cho đường thẳng và . Tìm phép đối xứng tâm biến thành và biến trục thành chính nó.
Lời giải:
Tọa độ giao điểm của với lần lượt là và .
Do phép đối xứng tâm biến thành và biến trục thành chính nó nên biến giao điểm của với thành giao điểm của với do đó tâm đối xứng là trung điểm của . Vậy tâm đỗi xứng là .
Ví dụ 1. Tìm tâm đối xứng của đường cong có phương trình .
Lấy điểm
Gọi là tâm đối xứng của và là ảnh của qua phép đối xứng tâm . Ta có
Thay vào ta được
Mặt khác nên do đó
Vậy là tâm đối xứng của .
Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là hình bình hành.
+ Nếu đỉnh được biến thành chính nó thì vô lí
+ Nếu biến thành (hoặc ) thì là trung điểm của ( hoăc là trung điểm của ) cũng vô lí.
Vậy được biến thành , lí luận tương tự thì chỉ được biến thành , vì vậy là trung điểm của hai đường chéo và nên tứ giác phải là hình bình hành.
Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng và hai điểm không thuộc . Hãy dựng tam giác có trọng tâm và hai đỉnh lần lượt thuộc và .
Cách dựng:
+ Dựng điểm sao cho
+ Gọi
Tam giác là tam giác phải dựng.
Chứng minh:
Dựa vào cách dựng ta có là trung điểm của và nên là trọng tâm của tam giác .
Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của và .
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm vá số . Dựng đường thẳng đi qua cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài bằng .
Lời giải: Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường thẳng cắt và tại sao cho ( giả sử ).
Mặt khác thuộc đường tròn đường kính nên là giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròndo đó xác định và là đường thẳng đi qua và song song với .
Cách dựng:
+ Dựng đường tròn đường kính .
+ Dựng đường tròn , và dựng giao điểm của đường tròn đường kính với đường tròn.
+ Từ dựng đường thẳng cắt tại và cắt tại thì là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh:
Mà .
Biện luận : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của đường tròn và đường tròn đường kính .
Ví dụ 1. Cho tam giác và đường tròn . Trên lấy điểm sao cho , là trung điểm của và là đỉnh thứ tư của hình bình hành . Với mỗi điểm trên đường tròn , ta dựng điểm sao cho . Tìm tập hợp điểm khi thay đổi trên
Khi đó:
Từ giả thiết suy ra , hay .
Ví dụ 2. Cho đường tròn và dây cung cố định, là một điểm di động trên , không trùng với . Hai đường tròn cùng đi qua và tiếp xúc với tại và . Gọi là giao điểm thứ hai của và . Tìm tập hợp điểm khi di động.
Tương tự .
Dễ thấy
Vậy tập hợp điểm là đường tròn ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm .
Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Đối Xứng, Phản Đối Xứng
Trắc nghiệm phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng
Bài 1: Nghiệm của phương trình 2(sinx + cosx) + sinxcosx = 2 là:
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Bài 3: Một nghiệm của phương trình sin 3x – cos 3 x = sinx -cosx là:
Bài 4: Tập nghiệm của phương trình tanx + cotx -2 = 0 là:
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Bài 5: Tập nghiệm của phương trình cos 3x + sin 3 x = sinx + cosx là:
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Bài 7: Cho phương trình 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0. Trong các phương trình sau, phương trình nào không tương đương với phương trình đã cho?
Bài 8: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx + cosx = 1 – 0.5sin2x là:
Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sinxcosx – sinx – cosx + m = 0 có nghiệm?
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Bài 10: Từ phương trình 5sin2x – 16(sinx – cosx) + 16 = 0, ta tìm được sin(x – π/4) có giá trị bằng:
Bài 11: Từ phương trình (1 + √3)(cosx + sinx) – 2sinxcosx – √3-1=0, nếu ta đặt t = cosx + sinx thì giá trị của t nhận được là:
A. t = 1 hoặc t = √2. B. t = 1 hoặc t = √3.
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Bài 13: Từ phương trình √2(sinx + cosx) = tanx + cotx, ta tìm được cosx có giá trị bằng:
Bài 14: Từ phương trình 1 + sin3x + cos3x = 3/2 . sin2x, ta tìm được cos(x + π/4) có giá trị bằng:
Bài 15: Nếu (1 + √5)(sinx-cosx)+sin2x-1-√5=0 thì sinx bằng bao nhiêu?
A. sinx = √2/2. B. sinx = √2/2 hoặc sinx = -√2/2.
C. sinx = -1 hoặc sinx = 0. D. sinx = 1 hoặc sinx = 0.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
phuong-trinh-luong-giac.jsp
Giải Sbt Toán 8 Bài 8: Đối Xứng Tâm
Giải SBT Toán 8 Bài 8: Đối xứng tâm
Bài 92 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vẽ, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm c
Lời giải:
Tứ giác ABCD là hình bình hành:
⇒ AB
Xét tứ giác BMCD ta có:
BM
BM = CD (gt)
Suy ra: Tứ giác BMCD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ MC
AD
Xét tứ giác BCND ta có: DN
Suy ra: Tứ giác BCND là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ CN
Từ (1) và (2) suy ra: M, C, N thẳng hàng và MC = CN.
Bài 93 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vẽ trong đó DE
Lời giải:
Ta có: DE
DF
Tứ giác AEDF là hình bình hành.
I là trung điểm của AD nên EF đi qua trung điểm I là IE = IP (tính chất hình bình hành)
Vậy E và F đối xứng qua tâm I.
Bài 94 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng Với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
Lời giải:
* Xét tứ giác ABCD, ta có:
MA = MC (gt)
MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
⇒ AD
* Xét tứ giác ACBE, ta có:
AN = NB (gt)
NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE
Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE
Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
Bài 95 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng với nhau qua điểm A.
Lời giải:
* Vì E đối xứng với D qua AB
⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE
⇒ AD = AE (tỉnh chất đường trung trực)
Nên ΔADE cân tại A
Suy ra: AB là đường phân giác của ∠(DAE) ⇒ ∠A 1= ∠A 2
* Vì F đối xứng với D qua AC
⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF
⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực)
Nên ΔADF cân tại A
Suy ra: AC là phân giác của ∠(DAF)
⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD
Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.
Bài 96 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh đối AD, BC ở E, F. Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua điểm O.
Lời giải:
Xét ΔOED và ΔOFB, ta có:
∠(EOD)= ∠(FOB)(đối đỉnh)
OD = OB (tính chất hình bình hành)
∠(ODE)= ∠(OBF)(so le trong)
Do đó: ΔOED = ΔOFB (g.c.g)
⇒ OE = OF
Vậy O là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm O
Bài 97 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bên, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh H và K đối xứng với nhau qua điểm O
Lời giải:
Xét hại tam giác vuông AHO và CKO, ta có:
∠(AHO)= ∠(CKO)= 90 o
OA = OC (tính chất hình bình hành)
∠(AOH)= ∠(COK)(đối đỉnh)
Suy ra: ΔAHO = ΔCKO (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ OH = OK
Vậy O là trung điểm của HK hay điểm H đối xứng với điểm K qua điểm O
Bài 98 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D. Vẽ điểm N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng MNCB là hình bình hành.
Lời giải:
* Xét tứ giác AOBM, ta có:
DA = DB (gt)
DO = DM (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
⇒ BM
* Xét tứ giác AOCN, ta có: EA = EC (gt)
EO = EN (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
⇒ CN
Từ (1) và (2) suy ra:BM
Vậy tứ giác BMNC là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Bài 99 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giácABC, các đường trungtuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Gọi H là điểm đối xứng với G qua D, I là điểm đối xứng với G qua E, K là điểm đối xứng với G qua F. Tìm các điểm đối xứng với A, với B, với C qua G.
Lời giải:
* Ta có: GD = DH (tính chất đối xứng tâm)
⇒ GH = 2GD (l)
GA = 2GD (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: GA = GH
Suy ra điểm đối xứng với điểm A qua tâm G là H.
* Ta có: GE = EI (tính chất đối xứng tâm)
⇒ GI = 2GB (3)
GB = 2GE (tính chất đường trung tuyên của tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: GB = GI
Suy ra điểm đối xứng với điểm B qua tâm G là I.
GF = FK (tỉnh chất đối xứng tâm)
⇒ GK = 2GF (5)
GC = 2GF (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (6)
Từ (5) và (6) Suy ra: GC = GK
Suy ra điểm đối xứng với điểm C qua tâm G là điểm K
Bài 100 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng cắt đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E, F. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành.
Lời giải:
* Xét ΔOAE và ΔOCF, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành)
∠(AOE)= ∠(COF)(đối đỉnh)
∠(OAE)= ∠(OCF)(so le trong)
Do đó: ΔOAE = ΔOCF (g.c.g)
⇒ OE = OF (l)
* Xét ΔOAG và ΔOCH, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành)
∠(AOG) = ∠(COH)(dối đỉnh)
∠(OAG) = ∠(OCH)(so le trong).
Do đó: ΔOAG = ΔOCH (g.c.g)
⇒ OG = OH (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Bài 101 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm G đối xứng với A qua Oy.
a. Chứng minh rằng OB = OC
b. Tính số đo góc xOy để B đối xứng với A qua O
Lời giải:
a. Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên Ox là đường trung trực của đoạn AB.
⇒ OA = OB (tính chất đường trung trực) (1)
Vì C đối xứng với A qua trục Ọy nên Oy là đườngtrung trực của đoạn AC.
⇒ OA = OC (tỉnh chất đường trung trực) (2)
Từ (l) và (2) suy ra: OB = OC.
b. Vì OB = OC nên để điểm B đối xứng với C qua tâm O cần thêm điều kiện B, O, C thằng hàng
ΔOAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là đường phân giác của ∠(AOB) ⇒ ∠O 1= ∠O 3
ΔOAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là đường phân giác của ∠(AOC) ⇒ ∠O 2= ∠O 4
Vì B, O, C thẳng hàng nên:
Vậy ∠(xOy) = 90 o thì B đối xứng với C qua tâm O
Bài 102 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua M. Tính số đo các góc ABK, ACK
Lời giải:
Ta có K là điểm đối xứng của H qua tâm M nên MK = MH
Xét tứ giác BHCK, ta có:
BM = MC (gt)
MK = MH (chứng minh trên)
Suy ra: Tứ giác BHCK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Suy ra: KB
Ta có: CH ⊥ AB (gt)
Suy ra: KB ⊥ AB nên ∠(KBA) = 90 o
Ta có: BH ⊥ AC (gt)
Suy ra: CK ⊥ AC nên ∠(KCA) = 90 o
Bài 103 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng? Với các hình đó, hãy chỉ ra tâm đối xứng của hình.
a. Đoạn thẳng AB.
b. Tam giác đều ABC.
c. Đường tròn tâm O.
Lời giải:
a. Đoạn thẳng AB là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đoạn thẳng AB là trung điểm của nó.
b. Tam giác đều ABC là hình không có tâm đối xứng.
c. Đường tròn tâm O là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của (O) là tâm của đường tròn đó.
Bài 104 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó.
a. Vẽ điểm B đối xứng với O qua A. Qua B vẽ đường thẳng song song với Ox, cắt Oy ở C. Gọi D là giao điểm của CA và Ox. Chứng minh rằng các điểm C và D đối xứng với nhau qua điểm A.
b. Từ đó suy ra cách dựng hình đường thẳng đi qua A, cắt OX, Oy ở C, D sao cho A là trung điểm của CD.
Lời giải:
a. Xét ΔOAD và ΔBAC, ta có:
OA = OB (tính chất đối xứng tâm)
Do đó: ΔOAD = ΔBAC (g.c.g)
⇒ AD = AC
Suy ra: C đối xứng với D qua tâm A.
b. Cách dựng:
– Dựng B đối xứng với O qua tâm A.
– Qua B dựng đường thẳng song song Ox cắt Oy tại C.
– Dựng tia CA cắt OX tại D.
Ta có D là điểm cần dựng.
Chứng minh:
Xét ΔOAD và ΔBAC, ta có:
OA = OB (tính chất đối xứng tâm)
Do đó: ΔOAD = ΔBAC (g.c.g)
⇒ AD = AC
Suy ra: C đối xứng với D qua tâm A.
Bài 105 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh BC. Gọi O là trung điểm của AM. Dựng điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AC sao cho E đối xứng với F qua O
Lời giải:
Cách dựng:
– Qua điểm M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.
– Qua điểm M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại F.
Chứng minh:
Ta có: ME
MF
Nên tứ giác AEMF là hình bình hành.
Ta có: O là trung điểm của AM
Suy ra: EF đi qua O (tính chất hình bình hành)
⇒ OE = OF
Vậy E đối xứng với F qua tâm O
Bài 8.1 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau:
a. Trung điểm của một đoạn thẳng là tâm đối xứng của đoạn thẳng đó.
b. Giao điểm hai đường chéo của một hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
c. Trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó.
d. Tâm của một đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Lời giải:
a. Đúng
b. Đúng
c. Sai
d. Đúng
Bài 8.2 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM và trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng với A qua G.
Chứng minh rằng I là điểm đối xứng với G qua M.
Lời giải:
I đối xứng với A qua tâm G
ta có: GA = GI, GM ∈ GA ( tính chất đường trung tuyến của tam giác)
Suy ra: GM ∈ GI
Mà: GM + MI = GI
Suy ra: GM = MI nên điểm M là trung điểm của GI
Vậy I đối xứng với G qua tâm M.
Giải Bài Tập Sbt Toán 8 Bài 8: Đối Xứng Tâm
Giải bài tập môn Toán Hình học lớp 8
Bài tập môn Toán lớp 8
Giải bài tập SBT Toán 8 bài 8: Đối xứng tâm được VnDoc sưu tầm và đăng tải, tổng hợp lý thuyết. Đây là lời giải hay cho các câu hỏi trong sách bài tập nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 8. Hi vọng rằng đây sẽ là những tài liệu hữu ích trong công tác giảng dạy và học tập của quý thầy cô và các em học sinh.
Giải bài tập SBT Toán 8 bài 6: Đối xứng trực Giải bài tập SBT Toán 8 bài 7: Hình bình hành Giải bài tập SBT Toán 8 bài 9: Hình chữ nhật
Câu 1: Cho hình vẽ, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm c
Lời giải:
Tứ giác ABCD là hình bình hành:
⇒ AB
Xét tứ giác BMCD ta có:
BM
BM = CD (gt)
Suy ra: Tứ giác BMCD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ MC
AD
Xét tứ giác BCND ta có: DN
Suy ra: Tứ giác BCND là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ CN
Từ (1) và (2) suy ra: M, C, N thẳng hàng và MC = CN.
Câu 2: Cho hình vẽ trong đó DE
Lời giải:
Ta có: DE
DF
Tứ giác AEDF là hình bình hành.
I là trung điểm của AD nên EF đi qua trung điểm I là IE = IP (tính chất hình bình hành)
Vậy E và F đối xứng qua tâm I.
Câu 3: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng Với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
Lời giải:
* Xét tứ giác ABCD, ta có:
MA = MC (gt)
MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
⇒ AD
* Xét tứ giác ACBE, ta có:
AN = NB (gt)
NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE
Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE
Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng với nhau qua điểm A.
Lời giải:
* Vì E đối xứng với D qua AB
⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE
⇒ AD = AE (tỉnh chất đường trung trực)
Nên ΔADE cân tại A
Suy ra: AB là đường phân giác của ∠(DAE) ⇒ ∠A1= ∠A2
* Vì F đối xứng với D qua AC
⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF
⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực)
Nên ΔADF cân tại A
Suy ra: AC là phân giác của ∠(DAF)
⇒ ∠A3= ∠A4
∠(EAF) = ∠(EAD) + ∠(DAF) = ∠A1+ ∠A2+ ∠A3+ ∠A4= 2(∠A1+ ∠A3) = 2.90 o= 180 o
⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD
Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh đối AD, BC ở E, F. Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua điểm O.
Lời giải:
Xét ΔOED và ΔOFB, ta có:
∠(EOD)= ∠(FOB)(đối đỉnh)
OD = OB (tính chất hình bình hành)
∠(ODE)= ∠(OBF)(so le trong)
Do đó: ΔOED = ΔOFB (g.c.g)
⇒ OE = OF
Vậy O là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm O
Câu 6: Cho hình bên, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh H và K đối xứng với nhau qua điểm O
Lời giải:
Xét hại tam giác vuông AHO và CKO, ta có:
∠(AHO)= ∠(CKO)= 90 o
OA = OC (tính chất hình bình hành)
∠(AOH)= ∠(COK)(đối đỉnh)
Suy ra: ΔAHO = ΔCKO (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ OH = OK
Vậy O là trung điểm của HK hay điểm H đối xứng với điểm K qua điểm O
Câu 7: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D. Vẽ điểm N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng MNCB là hình bình hành.
Lời giải:
* Xét tứ giác AOBM, ta có:
DA = DB (gt)
DO = DM (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
⇒ BM
* Xét tứ giác AOCN, ta có: EA = EC (gt)
EO = EN (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
⇒ CN
Từ (1) và (2) suy ra:BM
Vậy tứ giác BMNC là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Câu 8: Cho tam giácABC, các đường trungtuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Gọi H là điểm đối xứng với G qua D, I là điểm đối xứng với G qua E, K là điểm đối xứng với G qua F. Tìm các điểm đối xứng với A, với B, với C qua G.
Lời giải:
* Ta có: GD = DH (tính chất đối xứng tâm)
⇒ GH = 2GD (l)
GA = 2GD (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: GA = GH
Suy ra điểm đối xứng với điểm A qua tâm G là H.
* Ta có: GE = EI (tính chất đối xứng tâm)
⇒ GI = 2GB (3)
GB = 2GE (tính chất đường trung tuyên của tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: GB = GI
Suy ra điểm đối xứng với điểm B qua tâm G là I.
GF = FK (tỉnh chất đối xứng tâm)
⇒ GK = 2GF (5)
GC = 2GF (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (6)
Từ (5) và (6) Suy ra: GC = GK
Suy ra điểm đối xứng với điểm C qua tâm G là điểm K
Câu 9: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng cắt đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E, F. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành.
Lời giải:
* Xét ΔOAE và ΔOCF, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành)
∠(AOE)= ∠(COF)(đối đỉnh)
∠(OAE)= ∠(OCF)(so le trong)
Do đó: ΔOAE = ΔOCF (g.c.g)
⇒ OE = OF (l)
* Xét ΔOAG và ΔOCH, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành)
∠(AOG) = ∠(COH)(dối đỉnh)
∠(OAG) = ∠(OCH)(so le trong).
Do đó: ΔOAG = ΔOCH (g.c.g)
⇒ OG = OH (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Câu 10: Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm G đối xứng với A qua Oy.
a, Chứng minh rằng OB = OC
b, Tính số đo góc xOy để B đối xứng với A qua O
Lời giải:
a, Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên Ox là đường trung trực của đoạn AB.
⇒ OA = OB (tính chất đường trung trực) (1)
Vì C đối xứng với A qua trục Ọy nên Oy là đườngtrung trực của đoạn AC.
⇒ OA = OC (tỉnh chất đường trung trực) (2)
Từ (l) và (2) suy ra: OB = OC.
b, Vì OB = OC nên để điểm B đối xứng với C qua tâm O cần thêm điều kiện B, O, C thằng hàng
ΔOAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là đường phân giác của ∠(AOB) ⇒ ∠O1= ∠O3
ΔOAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là đường phân giác của ∠(AOC) ⇒ ∠O2= ∠O4
Vì B, O, C thẳng hàng nên:
∠O1+∠O2+∠O3+∠O4 = 180 o ⇒ 2 ∠O1+ 2 ∠O2= 180 o
⇒ ∠O1+∠O2= 90o ⇒ ∠(xOy) = 90 o
Vậy ∠(xOy) = 90o thì B đối xứng với C qua tâm O
Cập nhật thông tin chi tiết về Phép Đối Xứng Tâm, Trắc Nghiệm Toán Học Lớp 11 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!