Bạn đang xem bài viết Phương Pháp Giải Các Dạng Bài Toán Phương Trình Mặt Phẳng được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
1 PP GIẢI CÁC DẠNG BT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : . Xác định 1 điểm và 1 VTPT . Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 Dạng 2: Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và – Từ ptmp(Q) VTPT n Q = (A;B;C) – Vì (P) – PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d – Từ (d) VTCP u d = (A;B;C) – Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n P=u d =(A;B;C) Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n P. Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R) – Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n Q ; VTPT n R – Vì (P) (Q) và (R) VTPT n P Qn và n P n R Chọn n P = [ n Q; n R] – Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n P = [ n Q; n R] Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng – Tính AB , AC và a = [ AB , AC ] – PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P= a = [ AB , AC ] Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q) – Tính AB , vtpt n Q và tính [ AB , n Q] – Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn n P=[ AB , n Q] – Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và – Tính VTPT n Q của mp (Q); VTCP u d của đường thẳng (d). – Tính [u d, n Q] – Vì (P) (Q) và d, n Q] – Từ đó viết được PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. – Tình trung điểm I của ABvà AB – Mp (P) đi qua I và nhận AB làm VTPT. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A – Tính VTCP u d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d) – Tính AM và [u d, AM ] – Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n P =[u d, AM ]. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Từ ( ) VTCP u và tính [u d, u ] – PT mp (P) đi qua M và có VTPT n = [u d, u ]. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q) – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Từ (Q) VTPT n Q và tính [u d, n Q] Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 2 – PT mp (P) đi qua M và có VTPT n =[u d, n Q]. Dạng 12: Viết PT mp (P) – Vì (P) ( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ) – Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D – Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h – Gọi VTPT của mp (P) là n – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Vì (d) nằm trong (P) u d. n P=0 (1) – PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 – d(A,(P)) = h (2) – Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 14: Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900 – Gọi VTPT của mp (P) là n – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Vì d (P) u d. n P=0 (1) – Tính cos ((P),(Q)) (2) – Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 15: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 900 – Gọi VTPT của mp (P) là n – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Vì d (P) u d. n P=0 (1) – Tính sin ((P),( )) (2) – Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất – Gọi H là hình chiếu của A lên (d) – Ta có : d(A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó d(A(P)) max AK = AH KH – Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Vì (P) (theo pt của mp (Q) , trong đó D’ DQ). – Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm được D’ – Từ đó ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r. – d(I,(P)) = 2 2R r (1) – Vì (P) (theo pt của mp (Q) , trong đó D’ DQ) – Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D’ viết được pt (P). Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Gọi VTPT của mp (P) là n Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 3 – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – d (P) u d. n P=0 (1) – Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) – Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P). Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r. – Vì d (P) u d. n P=0 (1) – Gọi VTPT của mp (P) là n chọn M trên đường thẳng d. – Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) – Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P). Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Bán kính r = 2 2( ,( ))R d I p để r min d(I,(P)) max – Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P) – Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) – Do đó: d(I,(P)) max AK = AH KH – PT mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT PP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc. Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c) PP: phương trình tham số của d là (d): 0 0 0 x x at y y bt z z ct với t R * Chú ý : Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0x x y y z z a b c * Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B – Tính AB – Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và – Từ pt( ) VTCP u – Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u làm VTCP Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P) – Tìm VTPT của mp(P) là n P – Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u d = n P Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2) – Từ (d1),(d2) 1 2 1 2, à u à uVTCPd d l v , 2u ]. – Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ 1u , 2u ] – Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u d= [ 1u , 2u ] Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp (P):Ax + By + Cz + D = 0 Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 4 (Q):A’x + B’y + C’z + D’ = 0 – Từ (P) và (Q) n P , n Q – Tính [ n P , n Q] – Xét hệ ‘ ‘ ‘ ‘ Ax + By + Cz +D =0 A 0x B y C z D . Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md – Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q]. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: – Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) – Hình chiếu cần tìm d’ = (P) (Q) Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) + Viết phương trình d’ đi qua M, H Dạng 8: Viết pt đg thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 *Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 * Tìm B = 2( ) d * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2 Đường thẳng cần tìm d = Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 – Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2 – Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3 – Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 Cách 1 : – Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 – Tìm giao điểm B = 2( ) d – Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 * Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d = Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d’ Cách 1 : – Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) – Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d’ – Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) * Tìm B = ( ) ‘P d * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước. – Tìm giao điểm A=d1 ( )P và B=d2 ( )P – Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d’ tại giao điểm I của (P) và d’. * Tìm giao điểm I’ = d’ ( )P * Tìm VTCP u của d’ và VTPT n của (P) và tính [u,n]v * Viết ptđt d qua I và có VTCP v Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : – Gọi 0 0 0 1( , , )M x at y bt z ct d , Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 5 và ‘ ‘ ‘0 0 0 2( ‘ ‘, ‘ ‘, ‘ ‘)N x a t y b t z c t d là các chân đường vuông góc chung của d1, d2 – Ta có hệ 11 2 2 . 0 , ‘ . 0 MN d MN u t t MN d MN u . – Thay t, t’ tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 . * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P) * Đường thẳng d = ( ) ( )Q R Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 . – Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 – Tìm giao điểm B = 1( ) d – Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc 0 0(0 ;90 ) (= 300, 450, 600) * Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c * Vì 11 . 0d d u u Vì 2 2 . . u u cos u u ( chú ý : nếu thay g … MẶT CẦU CẮT MẶT PHẲNG Bài 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm tạo giao điểm I của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) sao cho mặt phẳng (Q) cắt khối cầu theo thíêt diện là hình tròn có diện tích 12ẽ ,biết : 1) R tz ty tx d t 2 3 1 : ,(P):x-y-z+3=0 2) 01 03 : y zyx d , (P):x+y-2=0. Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 34 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) và cắt mặt phăng (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 18.biết: R tz ty tx d t 1 39 412 : và (P):y+4z+17=0. Bài 3: Trong không gian 0xyz , cho hai điểm A(0,0,-3),B(2,0,-1) ,và mặt phẳng (P):3x-8y+7z-1=0 . 1) (HVNH-2000): Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác đều . 2) Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P):x-y-z-2=0. MẶT CẦU TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) biết : 1) Tâm I(1,2,-1) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình : R z ty tx d t 1 1 : 2) Tâm I(3,-1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình : 017322 0322 : zyx zyx d Bài 2: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : R tz ty tx d t 32 1 21 :1 , 012 043 :2 zyx yx d Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1) tại điểm H(3,1,3) và có tâm thuộc đường thẳng (d2). Bài 3: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : 01 012 :1 zyx yx d , 012 033 :2 yx zyx d 1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng . 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình : R tz ty tx d t 33 2 21 : Bài 4: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : R)(t 46 32 23 :1 tz ty tx d , 015 0194 :2 zx yx d 1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng . 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình : 4 9 1 5 3 7 : zyxd Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : 4 1 32 2 :1 zyxd , 129 2 6 7 :2 zyxd 1) CMR hai đường thẳng đó song song với nhau. 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình : Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 35 R z ty tx d t 1 1 : Bài 6: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : 4 9 1 5 3 7 :1 zyxd , 4 18 1 4 3 :2 zyxd 1) CMR hai đường thẳng đó song song với nhau. 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình : R tz ty tx d t 1 3 23 : Bài 7: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : R)(t 33 2 21 :1 tz ty tx d , 31 23 2 :2 uz uy ux d 1) CMR hai đường thẳng đó chéo nhau. 2) Viết phương trình đường vuông góc chung của(d1) và (d2). 3) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). 4) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc mặt phẳng (P) : xy+z-2=0 Bài 8: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : 01 03 :1 zx zyx d , 01 0922 :2 zy zyx d 1) CMR hai đường thẳng đó chéo nhau. 2) Viết phương trình đường vuông góc chung của(d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):2x-y+3z-6=0. MẶT CẦU CẮT ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: (ĐHQG-96): Cho điểm I(2,3,-1) và đường thẳng (d) có phương trình : 0843 020345 : zyx zyx d 1) Xác định VTCP a của (d) suy ra phương trình mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với (d): 2) Tính khoảng cách từ I đến (d) từ đó suy ra phương trình mặt cầu (S) có tâm sao cho (S) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B thoả mãn AB=40. Bài 2: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : R tz ty tx d t 3 2 21 : , (P):2x-y-2z+1=0. 1) (ĐHBK-98):Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1. 2) (ĐHBK-98):Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2,-1,3) qua đường thẳng (d) .Xác định toạ độ K. 3) Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB=12. 4) Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P). 5) Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 16ẽ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm A(1,0,1), B(2,1,2),C(1,-1,1),D(4,5,-5). 1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC). 2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 2: Cho bốn điểm 0(0,0,0),A(6,3,0), B(-2,9,1), S(0,5,8) Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 36 1) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA. 2) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K. 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 4) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau. Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm A(4,4,4), B(3,3,1), C(1,5,5), D(1,1,1). 1) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD. 2) (HVKTQS-98): Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung của AC và BD. 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 4) Tính thể tích tứ diện ABCD. Bài 4: cho bốn điểm A(-1,3,2), B(4,0,-3), C(5,-1,4), D(0,6,1). 1) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tham số của đường thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ của điểm H. 2) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tổng quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5,5,6), A(1,3,0), B(-1,1,4), C(1,-1,4), D(3,1,0). 1) Lập phương trình các mặt của hình chóp. 2) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . 3) Tính thể tích hình chóp SABCD Bài 6: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1,2,2), B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2). 1) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . 2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện. 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Bài 1: Lập phương trình mặt cầu nội tiếp hình chóp SABCD ,biết: 1) )0,0, 3 4( S ,A(0,-4,0), B(0,-4,0),C(3,0,0). Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đỉnh )4, 2 9 , 2 1(S đáy ABCD là hình vuông có A(-4,5,0) ,đươngf chéo BD có phương trình : 0 087 : z yx d 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chóp . 2) Lập phương trình nặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 3) Lập phương trình mặt cầu nội tíêp hình chóp. Bài 3: Cho ba điểm A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). 1) Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (0AB), (0BC), (0CA), (ABC). 2) Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện 0ABC . 3) Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (ABC). Bài 4: (HVKTMM-99):Cho bốn điểm A(1,2,2), B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2). 1) CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau. 2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện . 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 4) Viết phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ MẶT CẦU Bài 1: Cho mặt cầu 034: 222 zyxzyxS .xét vị trí tưpng đối của điểm A đối với mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: 1) điểm A(1,3,2). 2) điểm A(3,1,-4). 3) điểm A(-3,5,1). Bài 2: Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu 03242: 222 zyxzyxS .Sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất,biết: 1) điểm A(1,-2,0). 2) điểm A(1,1,-2). Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 37 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU Bài 1: Cho mặt cầu 06222: 222 zyxzyxS .Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (d) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,biết: 1) R tz ty tx d t 1 1 2 : 2. 012 032 : zy zyx d VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Bài 1: (ĐHDL-97):Trong không gian với hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình : 022: 222 xzyxS ,(P):x+z-1=0. 1) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S). 2) Tính bán kính và toạ độ tâm của đường tròn giao của (S) và (P). Bài 2: (ĐHSPV-99): Cho điểm I(1,2,-2) và mặt phẳng 2x+2y+z+5=0 . 1) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đường tròn có chu vi bằng 8ẽ . 2) CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng 2x-2=y+3=z. 3) Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với (S). Bài 3: (ĐHBK-A-2000): Cho hình chóp SABCD với S(3,2,-1), A(5,3,- 1), B(2,3,-4), C(1,2,0). 1) CMR SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân. 2) Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB. M là điểm bất kì thuộc mặt cầu tâm D, bán kính 18R .(điểm M không phụ thuộc mặt phẳng (ABC) ). Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đoạn tjẳmg MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó có đặc điểm gì ? Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đường tròn (C) có phương trình : 0 14 : 222 z zyxC .Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tiệp xúc với mặt phẳng: 2x+2y-z-6=0. Bài 5: (CĐHQ-96): Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình : 9)1()2()3(: 222 zyxS ,(P):x+2y+2z+11=0. Tìm điểm M sao cho M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) nhỏ nhất . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT CẦU Bài 1: Cho hai mặt cầu: 0722: 2221 yxzyxS , 02: 2222 xzyxS 1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau. 2) Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua điểm M(2,0,1). Bài 2: Cho hai mặt cầu: 9: 2221 zyxS , 06222: 2222 zyxzyxS 1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau. 2) Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua điểm M(-2,1,-1).
Phương Trình Mặt Cầu Và Các Dạng Toán Liên Quan
Hình học giải tích không gian Viết phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước. Tìm tâm mặt cầu (a; b; c) ?, bán kính (R 0) Đáp số: pt mặt cầu dạng chính tắc: I. Dạng 1: Phương trình mặt cầu biết tâm (m; n; p) 1. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): bán kính: 2. Mặt cầu cắt mp(P): theo một đường tròn có bán kính R’ cho trước. bán kính mặt cầu: 3. Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng d: bán kính mặt cầu: 4. Mặt cầu cắt đường thẳng theo dây cung có độ dài cho trước bán kính mặt cầu: II. Dạng 2: Phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d: và thỏa mãn điều kiện cho trước. Từ giả thiết suy ra d: tâm Sử dụng các công thức dạng tìm tâm ?, bán kính phương trình chính tắc của mặt cầu. III. Dạng 3: Phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): tại (cho trước). mặt cầu tiếp xúc mp(P) tại Sử dụng các công thức dạng từ đó tìm ra phương trình chính tắc của mặt cầu. BÀI 04. MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU 2( )x R 0Ax By Cz D 2( .( ))Am Bn Cp Dd PA C 0Ax By Cz D 222\’ )R P 0x za c ,, )ddu MIR du 222( )2lR d 0x za c 000x aty btz ct 0( )I at bt ct 0Ax By Cz D 0( )M mp P ()IM mp Pbk IM )IM Pu CR IM 02 2( )()I At Bt CtR t ??IR Khóa học LTĐH KIT-1: Môn toán (Thầy Phan Huy Khải) Chuyên đề 08. Hình học giải tích không gian chúng tôi Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang IV. Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết tọa độ các đỉnh A, B, C, D. là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD Mặt cầu có phương trình: V. Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu đia qua điểm A, B, thỏa mãn điều kiện cho trước. Trong đó tọa độ A, B, đã cho. là tâm mặt cầu đi qua điểm A, B, C. (1) Dựa vào điều kiện cho trước: Tâm thuộc mặt phẳng (P) có phương trình: cho trước. Từ giả thiết suy ra hệ: Phương trình chính tắc. 2. Mặt cầu tiếp xúc với mp, đường thẳng cho trước. Mặt cầu tiếp xúc với mp(P): đường thẳng d: Biến đổi hệ về dạng tham số: Xét là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P1) có phương trình: là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P2) có phương trình: là vectơ chỉ phương của đường thẳng thảo mãn hệ (1) Sử dụng công thức mặt cầu tiếp xúc với mp Giải (1) trong phương trình Phương trình mặt cầu dạng chính tắc. VI.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt cầu Ví dụ: Cho mặt cầu (S): điểm A(0; -3; -2). Tìm điểm thuộc mặt cầu (S) để MA max; min? )I 221 1222 2223 3AI BIa dAI CI da dAI DI 22( ?I AI 2( )x R )I 221 1222 2a dAI BIa dAI CI 0Ax By Cz D 1222 2( )a da AIAx By Cz D 0Ax By Cz D 0x za c 112 2b xxxb x 11;?y z 1( )n C 10A D 2( )n C 20A D 12,u n 12( \’; \’; \’) ?P c )I z 1( \’ \’ \’ ?I AI ))d mp R ?t R 2( 2) 1) 2) 9x z Khóa học LTĐH KIT-1: Môn toán (Thầy Phan Huy Khải) Chuyên đề 08. Hình học giải tích không gian chúng tôi Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang VI.2. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P): đạt giá trị lớn nhất, bé nhất. Kẻ MH, IK Vì thẳng hàng. Tìm giải giống dạng 1. Giáo viên: Phan Huy Khải Nguồn chúng tôi 0Ax By Cz D ()mp P ))MH IH IM IK IM mp R ));;( ))MinMH mp RI HMaxMH mp R ()IK mc SBên trên chỉ là phần trích dẫn của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font muốn xem hết tài liệu và khôngbị lỗi font vui lòng download tài liệu về máy
Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12
Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng, Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12, Giai Bai Tap Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian, Phương Trình Mặt Phẳng Oxy, Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12, Chuyên Đề 8.3 Phương Trình Mặt Phẳng, Chuyên Đề 22 Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Oxyz, Phương Trình 2 Mặt Phẳng Vuông Góc, [luyện Tập] Bài 2: Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm, Tìm D Trong Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực, Phương Trình D Là Giao Tuyến 2 Mặt Phẳng, Cách Viết Phương Trình Mặt Phẳng, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Đi-ô-phăng Tuyến Tính, Các Kiểu Nhiệm Vụ Trong Chủ Đề Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số, Bài 4 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Violet, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Đáp án 80 Bài Toán Hình Học Giải Tích Phẳng, Giải Bài Tập Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng, Giải Hệ Phương Trình ôn Thi Vào 10, Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Hai Một ẩn, Bài Tập Giải Phương Trình Lớp 8, Giải Phương Trình 9x-7i 3(3x-7u), Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Cầu, Giải Phương Trình (8x-4x^2-1)(x^2+2x+1)=4(x^2+x+1), Giải Phương Trình 6 ẩn, Hệ Phương Trình ôn Thi Đại Học Có Lời Giải, Giải Phương Trình 7-(2x+4)=-(x+4), Giải Phương Trình 7-3x=9-x, Giải Phương Trình 8.3^x+3.2^x=24.6^x, Giải Phương Trình 7+2x=22-3x, Giải Phương Trình 8, Giải Phương Trình 7x+21=0, Giải Phương Trình 7x-3/x-1=2/3, Giải Phương Trình 8(x+1/x)^2+4(x^2+1/x^2)^2-4(x^2+1/x^2)(x+1/x)^2=(x+4)^2, Bài Giải Phương Trình, C Giải Phương Trình Bậc 2, Đề Bài Giải Phương Trình Bậc 2, Bài Giải Phương Trình Bậc 2, Giải Bài Tập Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một ẩn, Code C Giải Phương Trình Bậc 2, Bài Tập Chuyên Đề Giải Phương Trình, Bài 5 Giải Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu, Giải Bài Tập Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn, Giải Bài Tập Phương Trình Tích, Giải Bài Tập Bài 5 Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu, Phương Trình Bậc Hai Một ẩn Và Cách Giải, Chuyên Đề Giải Hệ Phương Trình Lớp 9, Chuyên Đề Giải Phương Trình Lớp 8, Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn, Phương Trình 1 ẩn Và Cách Giải, Giải Bài Tập Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu, Bài Giải Phương Trình Đạo Hàm Riêng, Bài Giải Phương Trình Logarit, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 10, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Tròn, Giải Bài Tập Bằng Cách Lập Phương Trình, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng, Bài Giải Phương Trình Tiếp Tuyến, Bài 5 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Lớp 12 Nâng Cao, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Phương Trình Giải Thích Sự Xâm Thực Của Nước Mưa, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình 9, Bài 6+7 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Phương Trình Giải Thích Câu Tục Ngữ Nước Chảy Đá Mòn, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Giải Phương Trình 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8, Bài Giảng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Giải Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian, Phương Trình 35x=53x Không Tương Đương Với Phương Trình Nào Dưới Đây, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet,
Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng, Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12, Giai Bai Tap Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian, Phương Trình Mặt Phẳng Oxy, Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12, Chuyên Đề 8.3 Phương Trình Mặt Phẳng, Chuyên Đề 22 Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Oxyz, Phương Trình 2 Mặt Phẳng Vuông Góc, [luyện Tập] Bài 2: Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm, Tìm D Trong Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực, Phương Trình D Là Giao Tuyến 2 Mặt Phẳng, Cách Viết Phương Trình Mặt Phẳng, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Trình Đi-ô-phăng Tuyến Tính, Các Kiểu Nhiệm Vụ Trong Chủ Đề Phương Trình Mặt Phẳng, Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số, Bài 4 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Violet, Bài Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế, Đáp án 80 Bài Toán Hình Học Giải Tích Phẳng, Giải Bài Tập Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng, Giải Hệ Phương Trình ôn Thi Vào 10, Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Hai Một ẩn, Bài Tập Giải Phương Trình Lớp 8, Giải Phương Trình 9x-7i 3(3x-7u), Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Cầu, Giải Phương Trình (8x-4x^2-1)(x^2+2x+1)=4(x^2+x+1), Giải Phương Trình 6 ẩn, Hệ Phương Trình ôn Thi Đại Học Có Lời Giải, Giải Phương Trình 7-(2x+4)=-(x+4), Giải Phương Trình 7-3x=9-x, Giải Phương Trình 8.3^x+3.2^x=24.6^x, Giải Phương Trình 7+2x=22-3x, Giải Phương Trình 8, Giải Phương Trình 7x+21=0, Giải Phương Trình 7x-3/x-1=2/3, Giải Phương Trình 8(x+1/x)^2+4(x^2+1/x^2)^2-4(x^2+1/x^2)(x+1/x)^2=(x+4)^2, Bài Giải Phương Trình, C Giải Phương Trình Bậc 2, Đề Bài Giải Phương Trình Bậc 2, Bài Giải Phương Trình Bậc 2, Giải Bài Tập Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một ẩn, Code C Giải Phương Trình Bậc 2, Bài Tập Chuyên Đề Giải Phương Trình,
Giải Bài Tập Toán 12 Chương 3 Bài 2: Phương Trình Mặt Phẳng
Giải bài tập Toán 12 chương 3 bài 2: Phương trình mặt phẳng
Bài tập Toán 12 trang 80, 81 SGK
Giải bài tập Toán 12 Hình học chương 3 bài 2
VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh lớp 12 tài liệu: , tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán lớp 12 chương 3 bài 2. Mời các bạn và thầy cô tham khảo.
Bài 1 (trang 80 SGK Hình học 12): Viết phương trình mặt phẳng: Lời giải Bài 2 (trang 80 SGK Hình học 12): Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3)
Lời giải:
Bài 3 (trang 80 SGK Hình học 12):
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải:
Bài 4 (trang 80 SGK Hình học 12): Lập phương trình mặt phẳng:
a) Chứa trục Ox và điểm P (4; -1; 2)
b) Chứa trục Oy và điểm Q (1; 4; -3)
c) Chứa trục Oz và điểm R (3; -4; 7)
Lời giải:
Bài 5 (trang 80 SGK Hình học 12): Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD)
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Lời giải:
Bài 6 (trang 80 SGK Hình học 12): Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x – y + 3z + 4 = 0
Lời giải:
Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng ( β) : 2x – y + 3z + 4 = 0 nên phương trình của mp(α) có dạng 2x – y + 3z + D =0
Vậy phương trình của mp(α) là: 2x – y + 3z – 11= 0
Bài 7 (trang 80 SGK Hình học 12): Lập phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng ( β) : 2x – y + z – 7 = 0
Lời giải:
Bài 8 (trang 81 SGK Hình học 12): Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau;
a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 =0
b) 3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0
Lời giải:
Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 12): Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) 2x – y + 2z – 9 = 0 (α)
b) 12x – 5z + 5 = 0 ( β)
c) x = 0 ( γ;)
Lời giải:
Bài 10 (trang 81 SGK Hình học 12): giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Lời giải:
Cập nhật thông tin chi tiết về Phương Pháp Giải Các Dạng Bài Toán Phương Trình Mặt Phẳng trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!