Xu Hướng 5/2023 # Phương Pháp Tính Các Tổng Được Viết Theo Quy Luật # Top 13 View | Ictu-hanoi.edu.vn

Xu Hướng 5/2023 # Phương Pháp Tính Các Tổng Được Viết Theo Quy Luật # Top 13 View

Bạn đang xem bài viết Phương Pháp Tính Các Tổng Được Viết Theo Quy Luật được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

I. Lý do chọn đề tài : Toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát triển và rèn luyện kỹ năng, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, kiên trì, tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng tư duy lôgíc cho học sinh . Trong chương trình toán học ở bậc trung học cơ sở các bài toán tính các tổng được viết theo quy luật là một dạng toán khá hay, thường xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi. Từ thực tiễn dạy học môn toán THCS cơ sở tôi thấy nhiều em học sinh chưa nắm được phương pháp cũng như chưa có kĩ năng giải các bài toán tính các tổng được viết theo quy luật. Với mục đích nâng cao chất lượng dạy học, đổi mới phương pháp dạy học, trang bị cho các em học sinh một số phương pháp và kỹ năng cơ bản khi tính các tổng được viết theo quy luật. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: ” Phương pháp tính các tổng được viết theo quy luật”. II. Mục đích nghiên cứu: 1) Đối với giáo viên 1. Xây dựng được cơ sở lý thuyết, các phương pháp giải các bài toán “Tính các tổng được viết theo quy luật”. 2. Phân dạng, xây dựng hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với từng đối tượng học sinh, có phương pháp giải của từng dạng. 2) Đối với học sinh 1. Nắm được các phương pháp giải các bài toán “Tính các tổng được viết theo quy luật”. 2. Vận dụng tốt các phương pháp giải toán để làm bài tập. 3. Phát huy khả năng độc lập suy nghĩ và tư duy sáng tạo trong việc giải toán. III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 1. Đối tượng: Học sinh lớp 6,7 2. Phạm vi : Các bài toán: “Tính các tổng được viết theo quy luật”. IV. Phương pháp nghiên cứu: 1. Nghiên cứu lý luận: – Tìm hiểu các dạng toán “Tính các tổng được viết theo quy luật”. 2. Nghiên cứu thực tế: – Khảo sát kỹ năng giải bài toán “Tính các tổng được viết theo quy luật” ở các lớp giảng dạy, và ở các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi. – Dự giờ trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi. Phần II : Nội dung A. Cơ sở lí thuyết 1. Tính chất của phép cộng – Tính chất giao hoán: – Tính chất kết hợp: – Tính chất cộng với 0: – Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: 2. Phương pháp chung: – Để tính các tổng được viết theo quy luật trước hết chúng ta cần tìm được quy luật viết các số hạng của tổng. Sau đó biến đổi để xuất hiện các số hạng đối nhau từ đó giản ước, rút gọn để tính ra kết quả. – Để tính tổng A trong một số trường hợp chúng ta tính k .A (k là một số khác 0) từ đó suy ra A. B. Các Bài toán và phương pháp giải: Ví dụ 1: Tính Giải: Cách 1: (có 50 ngoặc) (có 50 số hạng) Cách 2: Do đó: (có 100 số hạng) Nhận xét: – Trong cách 1, việc xác định hai số hạng của ngoặc cuối có vẻ hơi khó khăn. – Cách tính thứ hai tổng quát hơn, việc xác định số số hạng cũng đơn giản hơn. *Hãy giải bài toán trong trường hợp tổng quát ? Tính KQ : áp dụng: Tính: Hãy nêu và giải bài toán tổng quát ? Ví dụ 2: Tính Giải: Nhận xét: Do đó: Lần lượt cho n=1, 2, 3,…,99 ta được: Do vậy *Cũng từ nhận xét trên ta có: nên ta có thể trình bày bài giải theo cách khác như sau: Ta tính 3E sau đó thay 3 lần lượt bởi 3-0 ; 4-1 ; 5-2;… Do đó : Bài tập vận dụng Tính: TQ: HD: Tính 4G ( hãy nêu và giải bài toán tổng quát?) Ví dụ 3: Tính Giải: Nhận xét: ………………… Nên ta trình bày như sau: * Hãy giải bài toán trong trường hợp tổng quát ? TQ: Chú ý: VD: (a=3 , k=2) Ví dụ 4: Tính Giải: Tương tự ví dụ trên ta có: =…. Hãy nêu và giải bài toán tổng quát ? Ví dụ 5: Tính Nhận xét: Nên ta tính M như sau: Các em cũng có thể trình bày như sau: Ta c ó: Khai thác bài toán: *Tính:1) 2) * Cho 1) Hãy viết số hạng tổng quát của M. 2) Tính M biết M có 100 số hạng. Ví dụ 6: Cho dãy số: a) Hãy viết số hạng tổng quát thứ n của dãy. b) Tìm số hạng thứ 50 của dãy. c) Tính tổng 50 số hạng đầu tiên của dãy. Giải: Dãy số đã cho có thể viết lại như sau: a) Xét các mẫu trong dãy: Ta thấy thừa số thứ nhất trong mỗi mẫu chia cho 3 đều dư 1 (hay chia cho 3 thiếu 2) nên có dạng: ; thừa số thứ hai trong mỗi mẫu chia cho 3 đều dư 1 nên có dạng: Do đó số hạng tổng quát thứ n của dãy là: b) Số hạng thứ 50 của dãy là: c) Gọi tổng 50 số hạng đầu tiên của dãylà A: Ta có: (Các bạn tự tính tiếp) Bài tập vận dụng : Bài 1: Tính Bài 2: Tính Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết: Bài 4: Tìm x biết: Bài 5: Tính Bài 6: Chứng minh rằng: a) b) Bài 7: Chứng minh rằng Bài 8: Cho dãy số a) Hãy viết số hạng tổng quát của dãy. b) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. c) Chứng tỏ rằng tổng 100 số hạng đầu của dãy nhỏ hơn . Bài 9: Tính tổng: Bài 10: Tính tổng: Bài 11:Tính tổng: với Bài 12: So sánh a) và b) và Bài 13: Tính nhanh Bài 14 : Tính Bài 15: Tính Bài 16: CMR : Bài 17: Tính Bài 18: Tính a) b) Ví dụ 7: Biết rằng Tính nhanh: Giải: Như vậy, nếu đặt P = thì S = 4P Do đó nếu cho S ta sẽ tính được P Ta có bài toán: Cho .Tính P = Bài 1: Biết rằng . Tính Bài 2: Biết rằng . Tính Nhận xét: Chúng ta có thể tăng số mũ của các luỹ thừa để có các bài toán khác: Bài 3: Biết rằng Tính nhanh: Bài 4: Biết rằng Tính nhanh: Ví dụ 8: Cho a) Viết số hạng tổng quát thứ n của A b) Tính giá trị của biểu thức A Hướng dẫn: a) A gồm các số chia cho 3 dư 2, tức là chia cho 3 thiếu 1, các số này mang dấu “+” nếu n lẻ và mang dấu “-“ nếu n chẵn. – Dạng tổng quát số hạng thứ n của A là với hoặc với b) gộp thành từng nhóm hai số được: (-3).17 = -51 Ví dụ 9: Tính Hướng dẫn: C1: Cộng từng nhóm 4 số ta được ( -8).50 = -400 C2: Cộng từng nhóm hai số (1+(-3) ; 3+(-7)… ta được: (-4). 100 = -400 Ví dụ 10: Cho A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? A có bao nhiêu ước tự nhiên, ước nguyên. Giải: a) Gộp thành nhóm 4 số, ta được 25 nhóm, mỗi nhóm bằng -4. Do đó A = -100. Vì thế A chia hết cho 2, chia hết cho 5, không chia hết cho 3. Xét nên A có 9 ước tự nhiên, có 18 ước nguyên Bài tập: Bài 1: Cho a) Viết số hạng thứ n của A b) Tính A khi A có 100 số hạng Bài 2: Tính Ví dụ 11: Tính Giải: nên Do đó: Bài tập vận dụng: Bài 1: Tính Bài 2: So sánh A và B biết và Bài 3: Cho a) Chứng minh rằng: S chia hết cho 3 b) Chứng minh rằng: S chia hết cho 31 Bài 4: Chứng minh rằng tổng ( trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400. Bài 5: Chứng minh biểu thức : Chia hết cho Bài 6: Cho Tìm chữ số tận cùng của A. Bài 7: Cho Chứng minh rằng M chia hết cho 13 và 41. Bài 8: Chứng minh: 53 ! – 51 ! chia hết cho 29. Bài 9: Tính Bài 10: Hãy chứng tỏ rằng tổng: không phải là số tự nhiên. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát? Bài 11: Cho a) Chứng minh rằng A chia hết cho 126. b) Tìm chữ số tận cùng của A. C. bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất Việc phân chia kiến thức theo từng chuyên đề và ở mỗi chuyên đề được phân chia theo từng dạng bài, loại bài là hết sức cần thiết . Điều đó giúp các em có thể đi sâu hơn , phân tích đánh giá đầy đủ hơn đến từng nội dung kiến thức . Vì vậy chúng ta phải coi đây là việc làm thường xuyên, cần thiết nhằm làm cho kết quả học tập của các em cao hơn. Trong quá trình giảng dạy không những giáo viên phải tự nghiên cứu, phân tích tổng hợp kiến thức mà cần phải chú trọng việc dạy cho học sinh biết cách phân dạng các bài tập, tổng hợp kiến thức . Đây là nhiệm vụ chính của giáo viên trong quá trình dạy học và giáo dục. Qua nhiều năm giảng dạy tại trường THCS Dĩnh Trì tôi nhận thấy năng lực học tập của các em trong trường rất tốt. Tôi đã triển khai đề tài tại trường và có kết quả tốt. Từ đó tôi xin đề xuất: – Khi vận dụng đề tài, với mỗi khối lớp giáo viên có thể lựa chọn phạm vi kiến thức và lượng bài tập sao cho phù hợp với năng lực của mỗi đối tượng học sinh. – Vì đề tài áp dụng chủ yếu cho học sinh khá giỏi nên khi áp dụng giáo viên hãy áp dụng phương pháp gợi mở (nếu cần) và có thể yêu cầu học sinh khai thác bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau: Tương tự hoá, tổng quát hoá bài toán, vận dụng bài toán sang bài toán khác, tìm tính chung và tính riêng cho từng bài, từng dạng bài. Nhưng bên cạnh đó có thể chọn những bài toán cơ bản và cần thiết để dạy cho các đối tượng học sinh trung bình. Phần III : Kết luận Các em học sinh đã biết phân dạng và nhận biết được các dạng bài toán về “Tính các tổng được viết theo quy luật” một cách đúng đắn và chính xác . – Thông qua đánh giá trong khi ôn tập và kết quả các kì thi thì đa số các em đã biết phương pháp giải và giải tốt dạng toán này. – Tuy nhiên với sự hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy cũng như thời gian còn nhiều hạn chế, nên không tránh khỏi những thiếu sót khi nghiên cứu và giảng dạy chuyên đề này. Vậy bản thân tôi kính mong các thầy cô giáo đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy, các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chuyên đề được đầy đủ hơn. Xin chân thành cám ơn! Ngày 10 tháng 5 năm 2007 Người viết Nguyễn Thị Hằng Tài liệu tham khảo : 1/ Sách giáo khoa , SBT Toán 6, 7 (NXBGD) 2/ Một số vấn đề phát triển đại số 6,7 (Vũ Hữu Bình) 3/ Tạp chí Toán tuổi thơ, Toán học và tuổi trẻ ( NXB GD) 4/ Các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh (Bắc Giang)

Số Tiền Tiếng Anh Được Đọc Và Viết Như Thế Nào? Các Quy Tắc Cần Nhớ

Trong tiếng anh, số tiền được đọc như thế nào?

Trong tiếng anh chữ “A” có thể thay thế “one” và dùng “and” trước số cuối cùng.

Bắt đầu từ 21-99 ta dùng dấu gạch nối ngang.

Đối với những giá trị tiền lớn hơn 1, bạn thêm dấu “s” vào giá trị tiền

“Only” có nghĩa là chẵn.

Lưu ý với các số tiền kết thúc bằng tận cùng là “-ty” bạn phải chuyển thành “-tieth”.

Một số ví dụ về cách đọc mà bạn có thể tham khảo

1,000,000: One million Vietnam dongs (only). (Một trăm nghìn chẵn).

2,566,000: Two million five hundred and sixty-six thousand Vietnam dongs. (Hai triệu năm trăm sáu mươi sáu triệu)

11$ – Eleven dollars (Mười một đô-la)

199€ – A (one) hundred and ninety-nine euros. (một trăm chin mươi chín euros)

Trong tiếng anh, số tiền được viết như thế nào?

Trong tiếng anh có 5 quy tắc chính để viết bằng tiếng anh.

Quy tắc 1

Đối với những mệnh giá tiền có 4 số trở lên, ta dùng dấu “,” để tách ra.

Đối với số thập phân ra dùng dấu “.” để tách số tiền.

Ex : 1,000,000.00 USD – “one million US dollars (only)” – (một triệu đô–la Mĩ)

Quy tắc 2

Tương tự như khi đọc, đối với những giá trị lớn hơn 1, bạn thêm dấu “s” vào giá trị tiền và bắt đầu từ 21-99 ta dùng dấu gạch nối ngang

Ex : 22 US dollars – “twenty- two dollars” (Hai mươi hai đô la Mỹ)

Quy tắc 3

Đối với tiền lẻ trong tiếng anh, ta dùng “pount” hoặc viết đúng mệnh giá.

Ex :

$1.12 viết là “one pount twelve dollars” – (1.12 đô – la)

$2.22 viết là “two dollars twenty-two cents” – (2.22 đô – la)

Quy tắc 4

Tuyệt đối không được viết tắt bất cứ kí hiệu nào của đơn vị tiền tệ.

Trường hợp ngoại lệ khi đọc và viết số tiền trong tiếng Anh

Các số như 12 (dozen); 100 (hundred); 1,000,000.00 (1 million); 1 billion (1 tỷ) nếu bạn đọc hoặc viết bằng tiếng Anh thì không thêm “s” ở sau để thể hiện số nhiều của mức độ tiền tệ.

Ký hiệu đơn vị thông dụng được dùng trong tiếng Anh

US Dollar USD

Euro EUR

British Pound GBP

Indian Rupee INR

Australian Dollar AUD

Canadian Dollar CAD

Singapore Dollar SGD

Swiss Franc CHF

Malaysian Ringgit MYR

Japanese Yen JPY

Chinese Yuan Renminbi CNY

Một số đơn vị tiền tệ bắt gặp trong tiếng Anh

Hundred Trăm

Thousand Nghìn

Million Triệu

Billion Tỷ

Thousand billion Nghìn tỷ

Trillion Triệu tỷ

Những đoạn hội thoại về tiền trong tiếng Anh

Tình huống 1 (Situation 1)

A: How much is this fish? – Con cá này bao nhiêu tiền vậy?

B: It’s $15. – Giá là 15 đô.

Tình huống 2 (Situation 2)

A: How much are these candies? – Những viên kẹo này bao nhiêu tiền vậy?

B: They cost 67.000 dong – chúng có giá 67.000 đồng

A: They are cheap. – Chúng thật rẻ

Tình huống 3 (Situation 3)

A: Good morning. Do you need any help? – Chào buổi sáng. Các bạn có cần mình giúp gì không?

B: I want to rent a car, how much does it cost? – Tôi muốn thuê một chiếc xe ô tô, chiếc xe này thuê bao nhiêu tiền vậy?

A: We rent cars by the hour. Every hour is 100,000 dong. – Chúng tôi cho thuê xe ôto theo giờ. Mỗi giờ là 100.000 đồng.

B: Ok. I choose it. – Được, tôi chọn nó.

XEM THÊM:

Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

Phương pháp quy nạp toán học

I. Quy nạp toán học

Cho ({n_0}) là một số nguyên dương và (P(n)) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên (n ge {n_0}).

(1) Nếu (P({n_0})) là đúng.

(2)  Giả sử (P(k)) đúng, ta chứng minh được (P(k + 1))cũng đúng với mọi số tự nhiên (k ge {n_0});

thì kết luận mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên (n ge {n_0}) .

II. Phương pháp quy nạp toán học

Quy trình chứng minh mệnh đề (P(n)) đúng với mọi số tự nhiên (n ge {n_0}, )({n_0} in mathbb{N}) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Bước 1: (Cơ sở) Kiểm tra (P({n_0})) là mệnh đề đúng. Nghĩa là mệnh đề đúng với (n={n_0})

Bước 2: (Xây dựng giả thiết quy nạp) Giả sử mệnh đề đúng với (k ge {n_0}). Nghĩa là mệnh đề đúng với (n= k ge {n_0})

Bước 3. (Quy nạp) Ta chứng mệnh đề (P(k + 1)) cũng đúng. Nghĩa là mệnh đề đúng với (n= k+1)

Kết luận:  (P(n)) đúng với (forall n ge {n_0}).

III. Ví dụ minh họa

Vấn đề 1: Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức – Bất đẳng thức

Bước 1: Tính (P({n_0}),{rm{ }}Q({n_0})) rồi chứng minh (P({n_0}) = Q({n_0}))

Bước 2: Giả sử (P(k) = Q(k);{rm{ }}k in mathbb{N},k ge {n_0}), ta cần chứng minh

(P(k + 1) = Q(k + 1)).

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng (forall n in {{rm N}^*}) ta luôn có đẳng thức sau:

(1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2})

Giải

Đặt ({A_n} = 1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2},)

Bước 1. (Bước cơ sở). Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.

Với n=1, ta có: (1 = frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1) (đúng)

Bước 2. (Xây dựng giả thiết quy nạp)

Giả sử mệnh đề đúng với (n = k ge 1).

nghĩa là:

({A_n} = 1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2},) 

Bước 3. (Quy nạp) ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

Nghĩa là: ({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = ,frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2})

Thật vậy: ({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = ,frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1)) 

(Leftrightarrow {A_{n + 1}} = ,frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}) . Suy ra mệnh đề đúng với n= k+1.

Vậy (1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2}) (forall n in {{rm N}^*}).

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng (forall n in {{rm N}^*}) ta luôn có đẳng thức sau:

(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3})

Giải

Đặt ({A_n} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}) 

Với n= 1: ({(2.1 – 1)^2} = frac{{1.({{4.1}^2} – 1)}}{3} = 1). Suy ra An đúng với n=1.

Giả sử với (n = k ge 1) ta có:

(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh: 

({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + ,{[2(n + 1) – 1]^2} = ,frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3},)

Ta có: (VT = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + ,{[2(n + 1) – 1]^2}) 

Theo giả thiết quy nạp ở trên: (VT = frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3} + ,{[2(n + 1) – 1]^2})

= (frac{{4{n^3} – n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}) (= frac{{4{n^3} – n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3})

(= frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}) (= frac{{4{n^3} + 4{n^2} + ,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3})

(VT = frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}) (1)

Ta lại có: ({rm{VP}} = ,frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3},)

(= ,frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) – 1]}}{3},)

(= ,frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 – 1)}}{3},)

({rm{VP}} = ,frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3},) (2)

Từ (1) và (2): ({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + ,{[2(n + 1) – 1]^2} = ,frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3},)

Vậy (1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}) (forall n in {{rm N}^*}).

Vấn đề 2: Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học

Ví dụ 3

Chứng minh rằng (forall n in {{rm N}^*}) :

({n^3} + 2n) chia hết cho 3.

Giải

Đặt ({A_n} = {n^3} + 2n)

Bước 1. (Bước cơ sở). Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.

Với n= 1: ({A_n} = 1 + 2 = 3, vdots ,3)

Bước 2. (Xây dựng giả thiết quy nạp). Giả sử mệnh đề đúng với (n = k ge 1) 

nghĩa là:

({A_n} = {n^3} + 2n,, vdots ,,3) (giả thiết quy nạp)

Bước 3. (Quy nạp). Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

Thật vậy: 

({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1),, vdots ,,3)

Ta có: ({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1), = ,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2)

(= ,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1))

Theo giả thiết quy nạp: ({n^3} + 2n,, vdots ,,3) 

Đồng thời: (3({n^2} + n + 1),, vdots ,,3)

Vậy ({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1),, vdots ,,3)

Kết luận: ({n^3} + 2n,, vdots ,,3) (forall n in {{rm N}^*})

Ví dụ 4:

Cho (n) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ({a_n} = {16^n}-15n-1 vdots 225)

Giải

( bullet ) Với (n = 1) ta có: ({a_1} = 0 Rightarrow {a_1} vdots 225).

( bullet ) Giả sử ({a_k} = {16^k} – 15k – 1 vdots 225), ta chứng minh

({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} – 15(k + 1) – 1 vdots 225)

Thậ vậy: ({a_{k + 1}} = {16.16^k} – 15k – 16 = {16^k} – 15k – 1 – 15left( {{{16}^k} – 1} right))

                      ( = {a_k} – 15left( {{{16}^k} – 1} right))

Vì ({16^k} – 1 = 15.left( {{{16}^{k – 1}} + {{16}^{k – 2}} + … + 1} right) vdots 15) và ({a_k} vdots 225)

Nên ta suy ra ({a_{k + 1}} vdots 225). Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 5

Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi ((n ge 3)) bằng ((n – 2){180^0}).

Lời giải:

( bullet ) Với (n = 3) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng ({180^0})

( bullet ) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với (k < n), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là (left( {k – 1} right){180^0}) và (left( {n – k – 1} right){180^0}).

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là ((k – 1 + n – k – 1){180^0} = (n – 2){180^0})

Suy ra mệnh đề đúng với mọi (n ge 3).

IV. Luyện tập 

Câu 1: Chứng minh mệnh đề ” (forall n in {N^ * })ta luôn có (1 + 2 + … + n = frac{{nleft( {n + 1} right)}}{2})” bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?

A. n=0

B. n=1

C. n=2

D. n=3

—————–

Cách Giải Dạng Toán Tính Tổng Các Số Được Lập Từ Một Số Chữ Số Cho Trước

Tính tổng các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số: 0, 4, 5, 6.

Bước 1: Vẽ sơ đồ cây các số lập được để tính được số lần xuất hiện của các chữ số 4, 5, 6 ở các hàng trăm, chục, đơn vị.

(Trường hợp này, trong các chữ số cho trước có chữ số 0 nên số lần xuất hiện của các chữ số ở các hàng khác nhau. Khi tính tổng ta không cần tính số lần xuất hiện của chữ số 0)

Bước 2: Nhận xét

– Hàng trăm: Mỗi chữ số 4, 5, 6 xuất hiện 6 lần.

– Hàng chục: Mỗi chữ số 4, 5, 6 xuất hiện 4 lần.

– Hàng đơn vị: Mỗi chữ số 4, 5, 6 xuất hiện 4 lần.

Để tính tổng các số có ba chữ số khác nhau được được lập từ 4 chữ số: 0, 3, 6, 9, ta sử dụng bảng sau để diễn giải:

Bước 3: Kết luận: Tổng cần tìm là 9660

*Khi gặp bài tương tự HS chỉ việc thay chữ số vào bảng cuối và tính tổng:

Ví dụ: Tính tổng các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số: 0, 2, 3, 5.

Tính tổng các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số: 2, 3, 5, 6.

Trường hợp này không có chữ số 0 nên số lần xuất hiện của các chữ số ở các hàng như nhau. Mỗi chữ số đều xuất hiện ở mỗi hàng 6 lần.

Tính nhẫm tổng: (2+3+5+6) x 6 = 96

Tổng = 96 trăm + 96 chục + 96 đơn vị = 96×100+96×10+96 = 9600 + 960 + 96 = 10656

Tính tổng các số có 3 chữ số được lập từ 3 chữ số: 2, 3, 5.

Trường hợp này, số các số có 3 chữ số lập được là 3 x 3 x 3 = 27 số. Số lần xuất hiện của các chữ số ở các hàng trăm, chục, đơn vị là như nhau. Mỗi chữ số đều xuất hiện ở mỗi hàng 9 lần.

Tính nhẫm tổng: (2+3+5) x 9 = 90

Tổng = 90 x 100 + 90 x 10 + 90 = 9000 + 900 + 90 = 9990.

Cập nhật thông tin chi tiết về Phương Pháp Tính Các Tổng Được Viết Theo Quy Luật trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!