Xu Hướng 3/2023 # Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Mũ Và Bài Tập Áp Dụng # Top 3 View | Ictu-hanoi.edu.vn

Xu Hướng 3/2023 # Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Mũ Và Bài Tập Áp Dụng # Top 3 View

Bạn đang xem bài viết Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Mũ Và Bài Tập Áp Dụng được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Các em đã ôn tập về luỹ thừa trong bài hướng dẫn trước, trong phần này chúng ta sẽ ôn lại kiến thức về phương trình mũ và bất phương trình mũ. Nếu các em chưa nhớ các tính chất của hàm số mũ, các em có thể xem lại Tại Đây

+ Là dạng phương trình a x = b; (*), với a, b cho trước và 0<a≠1

– Nếu b≤ 0: Phương trình (*) vô nghiệm

II. Phương pháp giải Phương trình mũ và Bất phương trình mũ

1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

– Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

– Logorit hoá và đưa về cùng cơ số:

⇔ x= -2 hoặc x = -3

⇔ x = 1

2. Phương pháp dùng ẩn phụ

* Loại 1: Các số hạng trong PT, BPT có thể biểu diễn qua af(x) nên đặt t = af(x).

– Hay gặp một số dạng sau:

+ Dạng 3: trùng phương ẩn t.

– Hay gặp một số dạng sau: ⇒ Chia 2 vế cho a2f(x) đưa về loại 1 dạng 1 ⇒ Chia 2 vế cho a3f(x) đưa về loại 1 dạng 2

Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho hoặc với n là số tự nhiên lớn nhất có trong Pt Sau khi chia ta sẽ đưa được Pt về loại 1.

Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

⇒ Chia 2 vế của Pt cho cf(x) và đưa về dạng 1.

3. Phương pháp logarit hóa

+ Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT, BPT mũ cơ bản ( phương pháp này gọi là logarit hóa)

+ Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

1. Bất phương trình mũ cơ bản

– Nếu 0 <a < 1 thì nghiệm của bất PT là x < log a b

2. Giải bất phương trình bằng phương pháp đưa về cùng một cơ số

3. Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

C. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT MŨ

⇔ x 2 – 4x = 0 ⇔ x(x- 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4

(cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a – b + c =0 nên có 1 nghiệm x = -1 nghiệm còn lại x = -c/a = -2)

(cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a + b + c =0 nên có 1 nghiệm x = 1 nghiệm còn lại x = c/a = 2)

với t = 1 ⇔ 3 x = 1 ⇔ x=0

với t = 3 ⇔ 3 x = 3 ⇔ x=1

b) 9 x – 3.6 x + 2.4 x = 0 chia 2 vế của phương trình cho 4 x ta được phương trình sau

với t = 1 ⇔ (3/2) x = 1 ⇔ x=0

với t = 1 ⇔ 5 x = 1 ⇔ x=0

với t = 5 ⇔ 5 x = 5 ⇔ x=1

t 2 – 2t – 15 = 0 ⇔ t = 5 (nhận) hoặc t = -3 (loại)

với t = 5 ⇔ 5 x = 1 ⇔ x=0

* Giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hoá

a) 3 x = 2 ta logarit cơ số 3 hay vế

hoặc có thể làm như sau, lấy logarit cơ số 2 của 2 vế ta được

⇔ x+ chúng tôi 23 = 0 ⇔ x(1+ log 2 3) = 0 ⇔ x = 0

⇔ x < -2 + log 0,3 7

⇔ x-1 ≥ x 2-3 ⇔ -x 2 + x + 2 ≥ 0 ⇔ -1≤x≤2

Giải Sbt Toán 12 Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Logarit

Để rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và hiệu quả hơn, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit, chắc chắn nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh đạt kết quả cao hơn trong học tập.

Giải SBT Toán 12 bài 5

Bài 2.30 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình mũ sau:

b) 5−5x−6=1

c) (1/7)−2x−3=7 x+1

d) 32 x+5/x−7=0,25.125 x+17/x−3

Hướng dẫn làm bài:

⇔2x−3=x−5⇔x=−2

b)

5−5x−6=5 0⇔x 2 −5x−6=0

⇔[x=−1;x=6

c)

(1/7)−2x−3=(1/7) −x−1⇔x 2−2x−3=−x−1⇔x 2 −x−2=0

⇔[x=−1;x=2

Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế, ta được:

Phương trình đã cho có hai nghiệm: x=5+15log25±√Δ′/7−3log25 đều thỏa mãn điều kiện

Bài 2.31 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình mũ sau:

Hướng dẫn làm bài:

4t+1−3/t=0⇔4t 2+t−3=0⇔[t=−1(l);t=3/4

Do đó, (3/4)x=(3/4) 1. Vậy x = 1.

Do đó,

Bài 2.32 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:

Hướng dẫn làm bài:

a) Vẽ đồ thị của hàm số: y=2 −x và đường thẳng y = 3x +10 trên cùng một hệ trục tọa độ (H. 57) ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = -2. Thử lại, ta thấy x = -2 thỏa mãn phương trình đã cho.

Mặt khác, hàm số y=2 −x=(1/2) x luôn nghịch biến, hàm số y = 3x + 10 luôn đồng biến.

Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất.

b) Vẽ đồ thị của hàm số y=(1/3) −x và đường thẳng y = -2x + 5 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.58), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1. Thử lại, ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình đã cho.

Mặt khác, hàm số y=(1/3)−x=3 x luôn đồng biến, hàm số y = -2x + 5 luôn nghịch biến.

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất.

c) Vẽ đồ thị của hàm số y=(1/3) x và đường thẳng y = x + 1 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.59), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0. Thử lại, ta thấy x = 0 thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, y=(1/3) x là hàm số luôn nghịch biến, hàm số y = x +1 luôn đồng biến.

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và đường thẳng y = 11 – x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.60), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2. Thử lại, ta thấy x = 2 thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, y=3 x luôn đồng biến, y = 11 – x luôn nghịch biến. Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất.

Bài 2.33 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình logarit sau:

a) logx+logx 2=log9x

Hướng dẫn làm bài:

logx+2logx=log9+logx

⇔logx=log3⇔x=3

4logx+log4+logx=2log10+3logx

⇔logx=log5⇔x=5

c) Ta có điều kiện của phương trình đã cho là:

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:

log 4[(x+2)(x+3)x−2/x+3]

=log 416⇔x 2 −4=16⇔[x=2√5;x=−2√5

Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện (1).

⇔[log 3(x−2)=0;log 5 x−1=0⇔[x=3;x=5

Bài 2.34 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:

b) log 3 x=−x+11

Hướng dẫn làm bài:

a) Vẽ đồ thị của hàm số log 1/3 x=3xvà đường thẳng y = 3x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.61), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x=1/3

Thử lại, ta thấy giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, hàm số y=log 1/3 x luôn nghịch biến, hàm số y = 3x luôn đồng biến. Vậy x=1/3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

b) Vẽ đồ thị của hàm số y=log 3 x và đường thẳng y = – x + 11 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.62) , ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 9. Lập luận tương tự câu a), ta cũng có đây là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

c) Vẽ đồ thị của các hàm số y=log 4x và y=4/x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.63), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 4. Ta cũng có hàm số y=log 3 x luôn đồng biến, hàm số y=4/x luôn nghịch biến trên (0;+∞)(0;+∞) . Do đó, x = 4 là nghiệm duy nhất.

d) Vẽ đồ thị của các hàm số y=16 x và y=log1/2x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.64), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x=1/4. Thử lại, ta thấy x=1/4 thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, hàm số luôn đồng biến, hàm số luôn nghịch biến.

Vậy x=1/4 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 2.35 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình logarit:

c) x 3log3x−2/3logx=100

Hướng dẫn làm bài:

Đặt t=log 2(2 x+1), ta có phương trình

t(1+t)=2⇔t 2+t-2=0

log(x log9)=log9.logx và log(9 logx)=logx.log9

Suy ra:

Đặt t=x log9, ta được phương trình 2t=6⇔t=3⇔x log9=3

⇔log(x log9)=log3

⇔log9.logx=log3

⇔logx=log3/log9

⇔logx=1/2

(3log 3 x−2/3logx).logx=7/3

Đặt t=logx, ta được phương trình 3t 4−2/3t 2 −7/3=0

⇔[logx=1;logx=−1⇔[x=10;x=110

1+2/t=t⇔t 2 −t−2=0, t≠0

Bài 2.36 trang 126 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải phương trình 25 x−6.5 x+5=0 (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)

Hướng dẫn làm bài:

Đáp số: x = 0; x = 1.

Bài 2.37 trang 126 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải phương trình: 4 2x+√x+2+2=4 2+√x+2+2+4x−4 (Đề thi đại học năm 2010, khối D)

Hướng dẫn làm bài:

Điều kiện: x≥−2

Phương trình tương đương với:

(2 4x−2 4)(2 2√x+2−2−4)=0. Suy ra:

⇔[2 4x−2 4=0;2 2√x+2−2−4=0⇔[x=1;2√x+2=x 3 −4

Nhận thấy x≥ và phương trình có một nghiệm x = 2. Trên [;+∞), hàm số f(x)=2√x+2−x 3+4 có đạo hàm f(x)=2√x+2−x 3+4 nên f(x) luôn nghịch biến. Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = 2.

Bài 2.38 trang 126 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải phương trình:

(Đề thi Đại học năm 2011, khối D)

Hướng dẫn làm bài:

Điều kiện: −1≤x≤1

Phương trình đã cho tương đương với:

⇔t=1

Suy ra x = 0. Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Giải Phương Trình Mũ Và Logarit Bằng Phương Pháp Hàm Số

hàm f(x) tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).

* Tính chất 2: Nếu hàm f(x) tăng trong khoảng (a;b) và hàm g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b), (do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b): f(x 0) = g(x 0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)).

Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).

– Với x < x 0 ⇔ f(x) < f(x 0) ⇔ f(x) < k, nên phương trình vô nghiệm.

Kết luận: x = x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

° Bài tập vận dụng giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số

– Với bài tập này thì vế trái làm hàm mũ hoặc logarit, vế phải là hàm hằng.

– Ta có: VT = 2 x + 5 x , là hàm đồng biến

VP = 7, là một hàm hằng.

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

– Mặt khác, ta thấy: với x = 1 thì:

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

– Điều kiện: x ≥ -3.

– Ta có: VT = log 3(x+3) + log 5(x+5) là một hàm đồng biến

VP = 2 là hàm hằng

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

– Mặt khác, ta thấy: với x = 0 (thỏa điều kiện x ≥ -3) thì:

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

– Với bài tập này thì vế trái làm hàm mũ hoặc logarit, vế phải là hàm số bậc 1.

– Ta có: VT = 5 x , là hàm đồng biến

VP = 6 – x, là một hàm nghịch biến.

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

– Mặt khác, ta thấy: với x = 1 thì:

VT = 5 1 = 5; VP = 6 – 1 = 5 ⇒ VT = VP

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

– Ta có: VT = log 6 x , là hàm đồng biến

VP = 7 – x, là một hàm nghịch biến.

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

– Mặt khác, ta thấy: với x = 6 thì:

VT = log 6 6 = 1; VP = 7 – 6 = 1 ⇒ VT = VP

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 6.

– Ta có: VT = log 2x + log 5(2x+1) , là hàm đồng biến.

VP = 2 là hàm hằng.

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

– Mặt khác, ta thấy: với x = 2 thì:

VT = log 22 + log 5(2.2+1) = 1 + 1 = 2 = VP.

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

* Cũng có thể lập luận như sau:

– Nhận thấy x = 2 là nghiệm.

⇒ Phương trình vô nghiệm.

+ Nếu 0<x<2 thì:

⇒ Phương trình vô nghiệm.

→ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

– Ta thấy:

VT = (1/3) x-1 : của phương trình là một hàm nghịch biến.

VP = log 2 x + 1: của phương trình là một hàm đồng biến.

→ Vì vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

– Mặt khác, ta nhẩm thấy x = 1 là nghiệm của phương trình vì:

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

– Điều kiện: x≠0

– Nhận thấy:

– Do đó phương trình (*) tương đương với phương trình:

– Đối chiếu điều kiện x = 0 (loại), x = 2 (nhận).

⇒ Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 2.

Xem lời giải

Giải Phương Trình Mũ Logarit Hay Và Khó Lớp 12

c. (m in (dfrac{5}{2};6))

C. Lời giải

Đáp án câu 1

a

Gợi ý

+ Thay lần lượt giá trị của (m) và và kiểm tra xem phương trình có nghiệm trong (left( { – 1;0} right)) hay không.

+ Tính các giá trị (fleft( 0 right),fleft( { – 1} right)) rồi kiểm tra (fleft( 0 right).fleft( { – 1} right) < 0) thì ta kết luận phương trình có nghiệm trong (left( { – 1;0} right)).

Đáp án chi tiết

– Từ các đáp án đã cho, ta thấy giá trị $m=2$ không thuộc đáp án C nên ta thử $m=2$ có thỏa mãn bài toán hay không sẽ loại được đáp án. 

Thử với $m=2$ ta được phương trình : ({12^x} + {2.3^x} – 2 = 0;) ( f( – 1) = dfrac{{ – 5}}{4};) (f(0) = 1) ( Rightarrow f(0).f( – 1) < 0)

Do đó, phương trình có nghiệm trong khoảng $(-1;0)$, mà đáp án C không chứa $m=2$ nên loại C.

– Lại có giá trị $m=3$ thuộc đáp án C nhưng không thuộc hai đáp án A và D nên nếu kiểm tra $m=3$ ta có thể loại tiếp được đáp án.

Mà hàm số này đồng biến khi $m=3$ nên $f(x)<0,forall xin (-1;0)$, suy ra phương trình $f(x)=0$ sẽ không có nghiệm trong $(-1;0)$, loại B.

– Cuối cùng, ta thấy giá trị $m=1$ thuộc đáp án A và không thuộc đáp án D nên ta sẽ thử $m=1$ để loại đáp án.

Thử với $m=1$ ta được phương trình : ({12^x} + {3.3^x} – 1 = 0;) (f( – 1) = dfrac{{ – 11}}{{12}};,f(0) = 3) ( Rightarrow f(0).f( – 1) < 0)

Do đó phương trình $f(x)=0$ sẽ có nghiệm trong $(-1;0)$ nên loại D và chọn A.

Đáp án cần chọn là: a

Đáp án câu 2

a

Gợi ý

Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số là biến đổi về dạng ${a^{fleft( x right)}} = {a^{gleft( x right)}} Leftrightarrow fleft( x right) = gleft( x right)$

Đáp án chi tiết

${4^{2{rm{x}} + 5}} = {2^{2 – x}} Leftrightarrow {2^{4{rm{x}} + 10}} = {2^{2 – x}} Leftrightarrow 4{rm{x}} + 10 = 2 – x Leftrightarrow 5{rm{x}} =  – 8 Leftrightarrow x = dfrac{{ – 8}}{5}$

Đáp án cần chọn là: a

Đáp án câu 3

a

Gợi ý

Giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số bằng cách đưa (1 = {2^0}.)

Đáp án chi tiết

({2^{2{x^2} – 7x + 5}} = 1 Leftrightarrow {2^{2{x^2} – 7x + 5}} = {2^0} Leftrightarrow 2{x^2} – 7x + 5 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1\x = dfrac{5}{2}end{array} right..)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Đáp án cần chọn là: a

Cập nhật thông tin chi tiết về Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Mũ Và Bài Tập Áp Dụng trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!