Xu Hướng 2/2024 # Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Ba Ẩn – Bài Tập Vận Dụng # Top 5 Xem Nhiều

Bạn đang xem bài viết Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Ba Ẩn – Bài Tập Vận Dụng được cập nhật mới nhất tháng 2 năm 2024 trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Загрузка…

Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất ba ẩn – Bài tập vận dụng

Phương trình bậc nhất ba ẩn

Загрузка…

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

ax + by + cz = d

Trong đó:

x, y, z là 3 ẩn

a, b, c, d là các hệ số và a, b, c, d không đồng thời bằng 0.

Ví dụ:

2x + y + z = 0

x – y = 6

3y = 5

    Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

    Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

    1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 , d1, d2, d3 là các hệ số.

    Trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, a, b, c, b, c, dlà các hệ số.

    Mỗi bộ ba số ( x0, y0, z0 ) nghiệm đúng cả ba phương trình được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4).

      Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

      Giaỉ hệ phương trình (4) là tìm tất cả các bộ ba số (x, y, z) đồng thời nghiệm đúng cả 3 phương trình của hệ.

      Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để quy về giải hệ phương trình có ít ẩn số hơn.

      Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế giống như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

      Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

      Bài giải

      Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: ( -2, 1, 2)

      Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

      Ta có thể đưa hệ phương trình về dạng tam giác bằng cách khử ẩn số (khử ẩn x ở pt(2) rồi khử ẩn x và y ở pt(3), …). Dùng phương pháp cộng đại số giống như hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

      Bài giải:

      Trừ từng vế của pt(1) và pt(2) ta được hệ pt:

      Trừ từng vế của pt(1) và pt(3) ta được hệ pt:

      Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:

      Nhận xét: Để giải một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn ta thường biến đổi hpt đã cho về dạng tam giác bằng phương pháp khử dần ẩn số (phương pháp Gau-Xơ )

      Ví dụ 3: Giải hệ phương trình (II) bằng máy tính bỏ túi

      Hướng dẫn giải:

      Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gau-Xơ và bằng máy tính bỏ túi.

      Nhân hai vế của  pt (a) cho 2 rồi cộng với pt (b) theo từng vế; nhân hai vế của pt (a) cho (-2) rồi cộng với pt (c) theo từng vế ta được:

      Nhân hai vế của pt (b’) cho 7 và nhân hai vế của pt (c’) cho 5 rồi cộng lại theo từng vế tương ứng ta được:

      Vậy nghiệm của hpt (III) là:

      Ví dụ 5. Dùng máy tính bỏ túi giải các hệ phương trình sau:

      Gợi ý :

      Ví dụ 6. Bài tập thực tiễn

      Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu 5.349.000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5.600.000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu 5.259.000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu?

      Bài giải:

      Ví dụ 7: Gỉai hpt sau:

      Vậy nghiệm của hpt đã cho bằng (x, y, z) = (2, -2, 1).

      Загрузка…

      Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

      Published on

      Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Xem các bài viết khác tại: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap/toan-tap-toan-9/he-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an

      1. GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: (𝐼) { 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 ( 𝑑) (𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0) 𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 = 𝑐′( 𝑑′)(𝑎′2 + 𝑏′2 ≠ 0) TH1: Hệ (I) có một nghiệm  (d) cắt (d’)  𝑎 𝑎′ ≠ 𝑏 𝑏′ (a’, b’ # 0) TH2: Hệ (I) vô nghiệm  (d)

      2. GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126 b/ Với m = 2 thì hai hệ không tương đương với nhau. Giải Chú ý: Hai hệ phương trình gọi là tương đương nhau nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau. a/ Với m = 4. Ta có: (I) { 2𝑥 + 2𝑦 = 4 𝑥 + 𝑦 = 6 ↔ { 𝑥 + 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑦 = 6 Và (II) { 𝑥 − 𝑦 = 2 4𝑥 − 4𝑦 = 12 ↔ { 𝑥 − 𝑦 = 2 𝑥 − 𝑦 = 3 Thấy hai hệ này đều vô nghiệm nên suy ra chúng tương đương nhau. b/ Với m = 2. Ta có: (I) Trở thành { 2𝑥 + 2𝑦 = 2 𝑥 + 𝑦 = 6 ↔ { 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑥 + 𝑦 = 6 hệ này vô nghiệm (1) (II) trở thành { 𝑥 − 𝑦 = 2 2𝑥 − 4𝑦 = 12 ↔ { 𝑦 = 𝑥 − 2 𝑦 = 1 2 𝑥 − 3 Hai đường thẳng y = x – 2 và y = 1 2 𝑥 − 3 có hệ số góc khác nhau (1 # 1 2 ) nên chúng cắt nhau. Hệ (II) có một nghiệm duy nhất (2) Từ (1) và (2) suy ra hai hệ (I) và (II) không tương đương nhau khi m = 2 Ví Dụ 2: Cho hai hệ phương trình { 2𝑥 − 𝑦 = 4 −𝑥 + 3𝑦 = 3 (I) và { 𝑚𝑥 − 𝑦 = 4 2𝑥 + 𝑛𝑦 = 16 (II) a/ Hãy tìm nghiệm của hệ (I) bằng cách vẽ đồ thị của hai đường thẳng trong hệ. b/ Tìm m và n để hệ (I) và (II) tương đương nhau. Giải a/ Đường thẳng (d): 2x – y = 4 đi qua hai điểm (0; -4) và (2; 0).

      3. GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126 Đường thẳng (d’): -x + 3y = 3 đi qua hai điểm (0; 1) và(-3;0) Hai đường thẳng đó cắt nhau tại M(3; 2) Nghiệm của hệ (I) là (3; 2) b/ Để hệ (I) và (II) tương đương với nhau thì hệ (II) bắt buộc phải nhận nghiệm (3; 2) là nghiệm duy nhất. Thay x = 3; y = 2 vào hệ (II) được: { 3𝑚 − 2 = 4 6 + 2𝑛 = 16 ↔ { 𝑚 = 2 𝑛 = 5 Với m = 2 và n = 5 hệ (I) trở thành { 3𝑥 − 𝑦 = 4 2𝑥 + 5𝑦 = 16 dễ dàng kiểm tra hệ này có nghiệm duy nhất. Vậy với m = 2 và n = 5 hệ (I) và (II) tương đương nhau. Ví Dụ 3: Cho hệ phương trình: (I) { 2𝑥 = 4 −3𝑥 + 4𝑦 = −2 a/ Hãy đoán số nghiệm của hệ (I) b/ Tìm tập nghiệm của hệ (I) bằng phương pháp đồ thị.

      4. GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126 c/ Vẽ thêm đường thằng x + 2y = 4 trên cùng hệ trục tọa độ. Có nhận xét gì về nghiệm của hệ phương trình (II) { 𝑥 + 2𝑦 = 4 −3𝑥 + 4𝑦 = −2 ? Hãy giải hệ (II) bằng phương pháp thế để kiểm tra. Giải a/ Hệ có nghiệm duy nhất vì đường thằng (d1): 2x = 4 song song với trục tung còn đường thẳng (d2): -3x + 4y = – 2 không song song với trục tọa độ nào nên, (d1) và (d2) cắt nhau. b/ Hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm M(2; 1) nên hệ (I) có nghiệm duy nhất là (2; 1). c/ Đường thẳng (d3): x + 2y = 4 đi qua M(2; 1) và (4; 0) nên (2; 1) cũng là nghiệm duy nhất của hệ (II). Giải hệ (II) bằng phương pháp thế: (II)  { 𝑥 = −2𝑦 + 4 −3(−2𝑦+ 4) + 4𝑦 = −2 ↔ { 𝑥 = −2𝑦 + 4 10𝑦 − 12 = −2 ↔ { 𝑥 = −2𝑦 + 4 𝑦 = 1 ↔ { 𝑥 = 2 𝑦 = 1 Ví Dụ 4: Giải hệ phương trình: { 𝑥 − 2𝑦 = 1 ( 𝑚2 + 2) 𝑥 − 6𝑦 = 3𝑚 trong các trường hợp: a/ m = -1 b/ m = 0

      6. GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126 ↔ {√3𝑥 = −𝑦 + √2 𝑦 = 1 ↔ {√3𝑥 = −1 + √2 𝑦 = 1 ↔ { 𝑥 = √2−1 √3 𝑦 = 1 b/ HPT: { √6𝑥 + √2𝑦 = 2 𝑥 √2 − 𝑦 √3 = − 1 √6 ↔ { √3𝑥 + 𝑦 = √2 √3𝑥 − √2𝑦 = −1 ↔ { √3𝑥 + 𝑦 = √2 (1 + √2)𝑦 = 1 + √2 (trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai) ↔ {√3𝑥 = √2 − 1 𝑦 = 1 ↔ { 𝑥 = √2−1 √3 𝑦 = 1 Ví Dụ 6: Cho hệ phương trình: { 𝑥 4 + 𝑦 3 = 1 2 0,25𝑥 + 0,5𝑦 = 1 ( 𝐼) 𝑣à { √2𝑎𝑥 + √3𝑏𝑦 = 5 −√3𝑎𝑥 + √2𝑏𝑦 = 5√6 (𝐼𝐼) a/ Giải hệ (I) bằng phương pháp cộng đại số. b/ Biết hệ (I) và (II) tương đương nhau. Tìm các hệ số a và b. Giải a/ (I)  { 3𝑥 + 4𝑦 = 6 𝑥 + 2𝑦 = 4 ↔ { 3𝑥 + 4𝑦 = 6 2𝑥 + 4𝑦 = 8 ↔ {3𝑥 + 4𝑦 = 6 𝑥 = −2 ↔ { 𝑥 = −2 𝑦 = 3 b/ Do (I)  (II) nên (-2; 3) cũng là nghiệm duy nhất của hệ (II). Do đó ta có: { −2√2𝑎 + 3√3𝑏 = 5 2√3𝑎 + 3√2𝑏 = 5√6 ↔ {−4𝑎 + 3√6𝑏 = 5√2 6𝑎 + 3√6𝑏 = 15√2 ↔ { 10𝑎 = 10√2 6𝑎 + 3√6𝑏 = 15√2 ↔ { 𝑎 = √2 6√2 + 3√6𝑏 = 15√2 ↔ { 𝑎 = √2 3√6𝑏 = 9√2 ↔ { 𝑎 = √2 𝑏 = √3

      Recommended

      Các Dạng Toán Về Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Bài Tập Vận Dụng

      Đối với phương trình bậc nhất 1 ẩn cũng có khá nhiều dạng toán, chúng ta sẽ tìm hiểu các dạng toán này và vận dụng giải các bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn từ đơn giản đến nâng cao qua bài viết này.

      I. Tóm tắt lý thuyết về Phương trình bậc nhất 1 ẩn

      1. Phương trình tương đương là gì?

      – Hai phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng có chung tập hợp nghiệm. Khi nói hai phương trình tương đương với nhau ta phải chú ý rằng các phương trình đó được xét trên tập hợp số nào, có khi trên tập này thì tương đương nhưng trên tập khác thì lại không.

      2. Phương trình bậc nhất 1 ẩn là gì? phương pháp giải?

      – Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 (a ≠ 0). Thông thường để giải phương trình này ta chuyển những đơn thức có chứa biến về một vế, những đơn thức không chứa biến về một vế.

      b) Phương pháp giải * Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương:

      + Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kívà đổi dấu hạng tử đó.

      + Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

      – Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = -b/a.

      – Phương trình ax + b = 0 được giải như sau:

      ax + b = 0 ⇔ ax = – b ⇔ x = -b/a.

      ⇒ Tập nghiệm S = {-b/a}.

      3. Phương trình quy về phương trình bậc nhất

      – Dùng các phép biến đổi như: nhân đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vế…để đưa phương trình đã cho về dạng ax + b = 0.

      4. Phương trình tích là những phương trình sau khi biến đổi có dạng:

      A(x) . B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

      5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

      – Ngoài những phương trình có cách giải đặc biệt, đa số các phương trình đều giải theo các bước sau:

      Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).

      Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu.

      Giải phương trình sau khi bỏ mẫu.

      Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không. Chú ý chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa.

      Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho là những giá trị thỏa ĐKXĐ.

      6. Giải toán bằng cách lập phương trình:

      Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập phương trình bểu thị mối quan hệ giữa các đạn lượng.

      – Bước 2: Giải phương trình.

      – Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa, rồi kết luận.

      – Quy đồng mẫu hai vế

      – Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu

      – Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.

      – Thu gọn về dạng ax + b = 0 và giải.

      – Dạng 1: 0x = 0: Phương trình có vô số nghiệm

      – Dạng 2: 0x = c (c ≠ 0): Phương trình vô nghiệm

      a) 3x – 2 = 2x – 3

      b) 7 – 2x = 22 – 3x

      c) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1

      d) 2( x + 3 ) = 2( x – 4 ) + 14

      e) 2x – 1 + 2(2 – x) = 1

      a) 3x – 2 = 2x – 3 ⇔ 3x – 2x = -3 + 2 ⇔ x = -1;

      Phương trình có tập nghiệm S = {-1}.

      b) 7 – 2x = 22 – 3x ⇔ -2x + 3x = 22 – 7 ⇔ x = 15 ;

      Phương trình có tập nghiệm S = {15}.

      c) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1 ⇔ x + 4x – 2x = 25 – 1 +12 ⇔ 3x = 36 ⇔ x =12 ;

      Phương trình có tập nghiệm S = {12}.

      d) 2( x + 3 ) = 2( x – 4 ) + 14 ⇔ 2x – 2x = -8 + 14 – 6 ⇔ 0x = 0

      Phương trình có vô số nghiệm: S = R

      e) 2x – 1 + 2(2 – x) = 1 ⇔ 2x – 1 + 4 – 2x = 1 ⇔ 2x – 2x = 1 + 1 – 4 ⇔ 0x = -2

      Phương trình vô nghiệm: S = Ø

      * Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

      a) 11 + 8x – 3 = 5x – 3 + x

      – Biện luận:

      b) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y

      c) x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5

      – Kết luận:

      d) 4 – 2x + 15 = 9x + 4 – 2x

      * Bài tập 2: Giải biện luận phương trình: 2(mx + 5) + 5 (x + m) = m (*)

      – Đây là dạng phương trình có chứa tham số, cách giải như sau:

      Thu gọn về dạng ax + b = 0 hoặc ax = -b, ta phải biện luận 2 trường hợp:

      Trường hợp a ≠ 0: phương trình có một nghiệm x = -b/a.

      _ Trường hợp a = 0, ta xét tiếp:

      + Nếu b ≠ 0, phương trình vô nghiệm

      + Nếu b = 0, PT vô số nghiệm

      – PT (*) ⇔ 2mx + 10 + 5x + 5m = m

      ⇔ (2m + 5)x = m – 5m -10

      ⇔ (2m + 5)x = -2(2m +5 )

      + Nếu 2m + 5 ≠ 0 ⇔ m ≠ -5/2 ⇒ phương trình có nghiệm x = -2;

      + Nếu 2m + 5 = 0 ⇔ m = -5/2 ⇒ phương trình có dạng 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm.

      Với m ≠ -5/2 phương trình có tập nghiệm S = {-2}.

      Với m = -5/2 phương trình có tập nghiệp là S = R.

      – Để giải phương trình tích, ta áp dụng công thức:

      A(x).B(x) ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

      – Ta giải hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

      a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

      b) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

      a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

      ⇔ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0

      ⇔ 3x = 2 hoặc 4x = -5

      ⇔ x = 2/3 hoặc x = -5/4

      Vậy tập nghiệm là S = {2/3; -5/4}

      b) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

      ⇔ (x – 3)(2x + 5) = 0

      ⇔ x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

      ⇔ x = 3 hoặc 2x = -5

      ⇔ x = 3 hoặc x = -5/2

      Vậy tập nghiệp là S = {3; -5/2}

      * Bài tập: Giải các phương trình sau

      a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

      b) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

      c) 4x – 10)(24 + 5x) = 0

      d) (5x + 2)(x – 7) = 0

      e) (5x + 2)(x – 7) = 0

      h) (x – 1)(2x + 7)(x 2 + 2) = 0

      – Trong đó A(x), B(x), C(x), D(x) là các đa thức chứa biến x

      + Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

      Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

      Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

      Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.

      Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

      a) (x+3)/x = (5x+3)/(5x-1) (*)

      a) (x+3)/x = (5x+3)/(5x-1)

      – ĐKXĐ của PT: x ≠ 0 và 5x-1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 1/5;

      ⇔ (5x – 1)(x + 3) = x(5x – 3)

      ⇔ 11x = 3 ⇔ x = 3/11 (thoả mã ĐKXĐ)

      Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3/11}.

      – ĐKXĐ của PT: x – 1 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 và x ≠ -1

      Quy đồng và khử mẫu ta được:

      ⇔ 4x = 6x 2 – 6x

      ⇔ 2x(3x – 5) = 0

      ⇔ 2x = 0 hoặc 3x – 5 = 0

      ⇔ x = 0 hoặc x = 5/3 (thoả ĐKXĐ)

      Vậy tập nghiệp S = {0; 5/3}.

      * Bài tập 1: Giải các phương trình sau

      a) Giải phương trình với a = – 3.

      c) Giải phương trình với a = 0.

      + Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:

      Bước 1: Lập phương trình

      – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

      – Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

      Bước 2: Giải phương trình

      Bước 3: Trả lời; Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

      Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng 13

      – Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc, biểu thị bởi số 1. – Năng suất làm việc là phần việc làm được trong một đơn vị thời gian. Gọi A là khối lượng công việc, n là năng suất, t là thời gian làm việc. Ta có: A=nt . – Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.

      Gọi số nguyên nhỏ là x, thì số nguyên lớn là x+1; ta có: 2x + 3(x+1) = 13

      – Gọi d là quãng đường động tử đi, v là vận tốc, t là thời gian đi, ta có: d = vt. – Vận tốc xuôi dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước – Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước

      Bài 1: Tổng của 4 số là 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chi cho 2 thì bốn kết quả đó bằng nhau. Tìm 4 số ban đầu.

      Bài 4: Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi?

      – Chia số bé cho 7 ta được thương là: x/7

      – Chia số lớn cho 5 ta được thương là: (x+12)/5

      – Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình:

      – Giải phương trình ta được x = 28 ⇒ vậy số bé là 28. ⇒ Số lớn là: 28 +12 = 40.

      Tăng tử thêm 2 đơn vị thì ta được tử mới là: x + 2

      Tăng mẫu thêm 2 đơn vị thì được mẫu mới là: x + 3 + 2 = x +5

      ⇒ 2( x + 2 ) = x + 5

      ⇔ 2x – x = 5 – 4

      ⇔ x = 1 (thảo điều kiện); vậy phân số đã cho là 1/4

      * Ví dụ 1: Hai đội công nhân làm chung 6 ngày thì xong công việc. Nếu làm riêng, đội 1 phải làm lâu hơn đội 2 là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải mất bao lâu mới hoàn thành công việc.

      + Loại toán này có các loại thường gặp sau:

      1. Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều tuyến đường.

      2. Toán chuyển động thường.

      3. Toán chuyển động có nghỉ ngang đường.

      4. Toán chuyển động ngược chiều.

      5. Toán chuyển động cùng chiều.

      6. Toán chuyển động một phần quãng đường.

      Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17) (km).

      Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:

      Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi

      2(x+17) – (10/3)x = 10

      Giải phương trình ta được x = 18.(thỏa mãn đk).

      Vậy vận tốc ca nô là 18 (km/h).

      Vận tốc ô tô là: 18 + 17 = 35 (km/h).

      – Với các bài toán chuyển động dưới nước, các em cần nhớ:

      – Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: x + 4 (km/h).

      – Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x – 4 (km/h).

      Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x+4) (h).

      Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x-4) (h).

      – Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h20′ = 25/3 (h) nên ta có phương trình:

      – Giải phương trình trên được x 1 = -5/4 (loại) và x 2 = 20 (thoả).

      Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là: 20 (km/h).

      – Dạng chuyển động có nghỉ ngang đường, các em cần nhớ:

      Vận tốc lúc sau là 1,2x (km/h).

      – Thời gian đi quãng đường đầu là:163/x (h)

      – Thời gian đi quãng đường sau là: 100/x (h)

      – Theo bài ra ta có phương trình:

      – Giải phương trình ta được x = 30 (thoả ĐK)

      Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.

      Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30′với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?

      – Dạng chuyển động ngược chiều, các em cần nhớ:

      Hai chuyển động để gặp nhau thì: S 1 + S 2 = S

      Hai chuyển động đi để gặp nhau: t 1 = t 2 (không kể thời gian đi sớm).

      – Thời gian đi của xe 1 là x + 3/2 (h).

      – Quãng đường xe 2 đi là: 35x (km).

      – Quãng đường xe 1 đi là: 30(x + 3/2) (km).

      – Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:

      – Giải phương trình trên được: x = 2 (thoả ĐK)

      Vậy sau 2 giờ 2 xe gặp nhau.

      – Dạng chuyển động cùng chiều, các em cần nhớ:

      + Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.

      + Cùng khởi hành: t c/đ chậm – t c/đ nhanh = t nghỉ (tđến sớm)

      – Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h).

      – Vận tốc của ca nô là x = 12 (km/h).

      – Thời gian thuyền đi là: 20/x

      – Thời gian ca nô đi là: 20/(x+12)

      – Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h20′ =16/3 (h) và đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình:

      – Giải phương trình được x 1 = -15 (loại); x 2 = 3 (thoả)

      Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h.

      + Dạng chuyển động 1 phần quãng đường, các em cần nhớ:

      _ t chuyển động trước – t chuyển động sau = t đi sau (t đến sớm)

      + Chú ý cho các em nếu gọi cả quãng đường là x thì một phần quãng đường là: x/2; x/3; 2x/3;…

      Bài 1: Một xe vận tải đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, rồi từ B quay ngay về A với vận tốc 40 km/h. Cả đi và về mất một thời gian là 5 giờ 24 phút. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B.

      * Đ/S: 120 km.

      Bài 2: Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h. Sau đó 3 giờ, một xe hơi đuổi theo với vận tốc 50 km/h. Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp?

      * Đ/S: 2 (h).

      Bài 3: Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Đi được 24 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc trên quãng đường còn lại giảm còn 40 km/h. Vì vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B.

      * Đ/S: 80 km.

      Bài 4: Lúc 6 giờ 15 phút, một ô tô đi từ A để đên B với vận tốc 70 km/h. Khi đến B, ô tô nghỉ 1 giờrưỡi, rồi quay về A với vận tốc 60 km/h và đến A lúc 11 giờ cùng ngày. Tính quãng đường AB.

      * Đ/S: 105 km.

      Bài 5: Một chiếc thuyền đi từ bến A đến bến B hết 5 giờ, từ bến B đến bến A hết 7 giờ. Hỏi một đám bèo trôi theo dòng sông từ A đến B hết bao lâu?

      * Đ/S: 35 (h).

      III. Bài tập luyện tập có lời giải về phương trình bậc nhất 1 ẩn

      Bài 8 trang 10 sgk toán 8 tập 2: Giải các phương trình sau

      a) 4x – 20 = 0

      b) 2x + x + 12 = 0

      c) x – 5 = 3 – x

      d) 7 – 3x = 9 – x

      a) 4x – 20 = 0 ⇔ 4x = 20 ⇔ x = 5

      ⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

      b) 2x + x + 12 = 0 ⇔ 3x + 12 = 0 ⇔ 3x = -12 ⇔ x = -4

      ⇒ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -4

      c) x – 5 = 3 – x ⇔ x + x = 5 + 3 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4

      ⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

      d) 7 – 3x = 9 – x ⇔ 7 – 9 = 3x – x ⇔ -2 = 2x ⇔ x = -1

      ⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.

      Bài 9 trang 10 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm.

      a) 3x – 11 = 0 ⇔ 3x = 11 ⇔ x = 11/3 ⇔ x≈3,67

      b) 12 + 7x = 0 ⇔ 7x = -12 ⇔ x = -12/7 ⇔ x≈-1,71

      c) 10 – 4x = 2x – 3 ⇔ 10+ 3 = 2x + 4x ⇔ 6x = 13 ⇔ x = 13/6 ⇔ x≈2,17

      a) 3x – 2 = 2x – 3

      b) 3 – 4u + 24 + 6u = u + 27 + 3u

      c) 5 – (x – 6) = 4.(3 – 2x)

      d) -6(1,5 – 2x) = 3(-15 + 2x)

      e) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7

      a) 3x – 2 = 2x – 3 ⇔ 3x – 2x = -3 + 2 ⇔ x = -1.

      ⇒ Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

      b) 3 – 4u + 24 + 6u = u + 27 + 3u

      ⇔ -4u + 6u – u – 3u = 27 – 3 – 24 ⇔ -2u = 0 ⇔ u = 0.

      ⇒ Vậy phương trình có nghiệm u = 0.

      c) 5 – (x – 6) = 4.(3 – 2x) ⇔ 5 – x + 6 = 12 – 8x

      ⇔ -x + 8x = 12 – 5 – 6 ⇔ 7x = 1 ⇔ x = 1/7

      ⇒ Vậy phương trình có nghiệm x=1/7

      d) -6(1,5 – 2x) = 3(-15 + 2x) ⇔ -6.1,5 + (-6).(-2x) = 3.(-15) + 3.2x

      ⇔ -9 + 12x = -45 + 6x ⇔ 12x – 6x = -45 + 9 ⇔ 6x = -36 ⇔ x = -6.

      ⇒ Vậy phương trình có nghiệm x = -6.

      e) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7 ⇔ 0,1 – 2.0,5t + 2.0,1 = 2t – 2.2,5 – 0,7

      ⇔ 0,1 – t + 0,2 = 2t – 5 – 0,7 ⇔ 0,1 + 0,2 + 5 + 0,7 = 2t + t ⇔ 6 = 3t ⇔ t = 2.

      ⇒ Vậy phương trình có nghiệm t = 2.

      – Kết luận: nghiệm x = 1

      – Kết luận: nghiệm là -51/2

      – Kết luận: nghiệm x = 1

      – Kết luận: nghiệm x = 0.

      ⇔ x+2 = x+3

      ⇔ x-x = 3-2

      ⇔ 0 = 1

      Theo em, bạn Hòa giải đúng hay sai?

      – Các giải của bạn Hoà sai, ở bước 2 không thể chia 2 vế cho x vì chưa biết x = 0 hay x ≠ 0, cách giải đúng như sau:

      x(x + 2) = x(x + 3) ⇔ x(x + 2) – x(x + 3) = 0

      ⇔ x(x+2-x-3) = 0 ⇔ x(-1) = 0 ⇔ x = 0

      a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

      b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0

      d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

      a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

      ⇔ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0

      +) 3x – 2 = 0 ⇔ 3x = 2 ⇔ x =2/3

      +) 4x + 5 = 0 ⇔ 4x = -5 ⇔ x = -5/4

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={2/3;-5/4}

      b) (2,3x – 6,9).(0,1x + 2) = 0

      ⇔ 2,3x – 6,9 = 0 hoặc 0,1x + 2 = 0

      +) 2,3x – 6,9 = 0 ⇔ 2,3x = 6,9 ⇔ x = 3.

      +) 0,1x + 2 = 0 ⇔ 0,1x = -2 ⇔ x = -20.

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={3;-20}

      ⇔ 4x + 2 = 0 hoặc x 2 + 1 = 0

      + 4x + 2 = 0 ⇔ 4x = -2 ⇔ x = -1/2

      + x 2 + 1 = 0 ⇔ x 2 = -1 (PT vô nghiệm).

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={-1/2}

      d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

      ⇔ 2x + 7 = 0 hoặc x – 5 = 0 hoặc 5x + 1 = 0

      +) 2x + 7 = 0 ⇔ 2x = -7 ⇔ x=-7/2

      +) x – 5 = 0 ⇔ x = 5.

      + 5x + 1 = 0 ⇔ 5x = -1 ⇔ x=-1/5

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={-7/2;-1/5}

      Bài 22 trang 17 SGK Toán 8 tập 2: Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:

      a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0;

      b) (x 2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0;

      d) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0;

      f) x 2 – x – (3x – 3) = 0.

      a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

      ⇔ (2x + 5)(x – 3) = 0

      ⇔ 2x + 5 = 0 hoặc x – 3 = 0

      +) 2x + 5 = 0 ⇔2x = -5 ⇔ x = -5/2

      +) x – 3 = 0 ⇔x = 3.

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={-5/2;3}

      b) (x 2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0

      ⇔ (x – 2)(x + 2) + (x – 2)(3 – 2x) = 0

      ⇔ (x – 2)[(x + 2) + (3 – 2x)] = 0

      ⇔ (x – 2)(5 – x) = 0

      ⇔ x – 2 = 0 hoặc 5 – x = 0

      +) x – 2 = 0 ⇔ x = 2

      +) 5 – x = 0 ⇔ x = 5.

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={2;5}

      c) x 3 – 3x 2 + 3x – 1 = 0 [có dạng hằng đẳn thức]

      ⇔ (x – 1) 3 = 0 ⇔ x – 1 = 0

      ⇔ x = 1.

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={1}

      d) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

      ⇔ x(2x – 7) – 2(2x – 7) = 0

      ⇔(x – 2)(2x – 7) = 0

      ⇔ x – 2 = 0 hoặc 2x – 7 = 0

      +) x – 2 = 0 ⇔ x = 2.

      +) 2x – 7 = 0 ⇔ 2x = 7 ⇔ x = 7/2

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={7/2;2}

      ⇔ [(2x – 5) – (x + 2)].[(2x – 5) + (x + 2)]= 0

      ⇔ (x – 7)(3x – 3) = 0

      ⇔ x – 7 = 0 hoặc 3x – 3 = 0

      +) x – 7 = 0 ⇔ x = 7

      +) 3x – 3 = 0 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1.

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S = {1;7}.

      f) x 2 – x – (3x – 3) = 0

      ⇔ x(x – 1) – 3(x – 1) = 0

      ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0

      ⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 3 = 0

      +) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

      +) x – 3 = 0 ⇔ x = 3

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 3}.

      – Điều kiện xác định: (x+5)≠0 ⇒ x≠-5.

      ⇔ 2x – 5 = 3(x + 5)

      ⇔ 2x – 5 = 3x + 15

      ⇔ -5 – 15 = 3x – 2x

      ⇔ x = -20 (thỏa mãn điều kiện xác định).

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}.

      – Điều kiện xác định: x ≠ 0.

      ⇔ 3x = 12

      ⇔ x = 4 (thỏa đkxđ).

      – Điều kiện xác định: x ≠ 3.

      ⇔ x 2 + 2x – (3x + 6) = 0

      ⇔ x(x + 2) – 3(x + 2) = 0

      ⇔ (x + 2)(x – 3) = 0

      ⇔ x + 2 = 0 hoặc x – 3 = 0

      +) x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (Thỏa mãn đkxđ).

      +) x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (Không thỏa mãn đkxđ)

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}.

      – Điều kiện xác định: x ≠ -2/3.

      ⇔ 5 = (2x – 1)(3x + 2)

      * Lời giải bài 28 trang 22 SGK Toán 8 tập 2:

      ⇔ 2x.3x – 3x.1 + 2x.2 – 2.1 = 5

      ⇔ 6x 2 – 3x + 4x – 2 = 5

      ⇔ 6x 2 – 6x + 7x – 7 = 0 [tách hạng tử để phân tích nhân tử]

      ⇔ (x – 1)(6x + 7) = 0

      ⇔ x – 1 = 0 hoặc 6x + 7 = 0

      +) x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

      +) 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = – 7 ⇔ x = -7/6 (thỏa mãn đkxđ)

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S={1;-7/6}

      Bài 28 trang 22 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình:

      – Điều kiện xác định: x ≠ 1.

      ⇔ 2x – 1 + x – 1 = 1

      ⇔ 3x – 2 = 1

      ⇔ x = 1 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

      ⇒ Vậy phương trình vô nghiệm.

      – Điều kiện xác định: x ≠ -1.

      ⇔ 5x + 2x + 2 = -12

      ⇔ 7x + 2 = -12

      ⇔ 7x = -14

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}

      – Điều kiện xác định: x ≠ 0.

      ⇔ x 3(x – 1) – (x – 1) = 0

      ⇔ (x – 1)(x 3 – 1) = 0

      ⇔ (x – 1)(x – 1)(x 2 + x + 1) = 0

      ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

      ⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.

      – Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1.

      ⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) = 2x(x + 1)

      ⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) – 2x(x + 1) = 0

      ⇔ 0x – 2 = 0

      ⇒ Phương trình vô nghiệm.

      a) 3 – 4x(25-2x) = 8x 2 + x – 300

      a) 3 – 4x(25-2x) = 8x 2 + x – 300

      ⇔ 101x = 303 ⇔ x = 3.

      ⇒ Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}.

      ⇔ 8 – 24x – 4 – 6x = 140 – 30x – 15

      ⇔ 8 – 24x – 4 – 6x = 140 – 30x – 15

      ⇔ 0x = 121 ⇒ PT vô nghiệm

      ⇔ 5(5x + 2) – 10(8x – 1) = 6(4x + 2) – 150

      ⇔ 25x + 10 – 80x + 10 = 24x + 12 – 150

      ⇔ 25x – 80x – 24x = 12 – 150 – 10 – 10

      ⇔ -79x = -158 (bước này cũng có thể viết: 79x = 158)

      ⇔ x = 2.

      ⇒ Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}.

      ⇔ 3(3x + 2) – (3x + 1) = 12x + 10

      ⇔ 9x + 6 – 3x – 1 = 12x + 10

      ⇔ 9x – 3x – 12x = 10 + 1 – 6

      ⇔ -6x = 5 ⇔ x = -5/6.

      ⇒ Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-5/6}.

      Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

      a) 6x 2 – 5x +3 = 2x – 3x(3 – 2x)

      d) (x-4)(x+4) – 2(3x-2) = (x-4) 2

      Đ/S: a) x=-3/2 ; b) x = -5 ; c) x = 17/19 ; d) x = 14; e) x = -2/3

      Bài tập 2: Giải các phương trình

      a) (4x-3)(2x-1) = (x-3)(4x-3)

      b) 25x 2 – 9 = (5x+3)(2x+1)

      e) (x-2)(x+2)(x 2-10) = 72

      Đ/S: a) S={3/4;-2} ; b) S={-3/5;4/3} ; c) S={2/5;6} ;

      d) S={-1;-2;2} ; e) S={-4;4}; f) S={-2;-1;-1/2}

      Bài tập 3: Giải các phương trình

      Đ/S: a) x=-100; b) x = -15

      Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

      Đ/S: a) x=-9/2; b) x=-1 ; c) x=0

      Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)

      Cập nhật lúc: 13:12 17-09-2024 Mục tin: LỚP 9

      Tài liệu tiếp tục giới thiệu thêm về các dạng hệ phương trình nâng cao và phương pháp giải của từng dạng.

      V. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

      Đặt ẩn phụ là việc chọn các biểu thức (f(x,y);g(x,y)) trong hệ phương trình để đặt thành các ẩn phụ mới làm đơn giản cấu trúc của phương trình, hệ phương trình. Qua đó tạo thành các hệ phương trình mới đơn giản hơn, hay quy về các dạng hệ quen thuộc như đối xứng, đẳng cấp…

      Đễ tạo ra ẩn phụ người giải cần xử lý linh hoạt các phương trình trong hệ thông qua các kỹ thuật: Nhóm nhân tử chung, chia các phương trình theo những số hạng có sẵn, nhóm dựa vào các hằng đẳng thức, đối biến theo đặc thù phương trình…

      Ta quan sát các ví dụ sau:

      VI. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC:

      Điểm mấu chốt khi giải hệ bằng phương pháp biến đổi theo các hằng đẳng thức:

      Ta xét các ví dụ sau:

      VII. KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y

      Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn (x) hoặc (y) ta có thể nghỉ đến các hướng xử lý như sau:

      * Nếu (Delta ) chẵn, ta giải theo rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp

      * Nếu (Delta ) không chẵn ta thường xử lý theo cách:

      + Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có (Delta ) chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức

      + Dùng điều kiện (Delta ge 0 ) để tìm miền giá trị của biến . Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá trị vừa tìm được:

      Ta xét các ví dụ sau: VIII. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

      Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ (x, y)

      Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Bài Tập Vận Dụng

      Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế như thế nào? qua đó vận dụng giải các bài tập minh họa vận dụng phương pháp này để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.

      I. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

      1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

      – Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

      – Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d):  ax + by = c

      Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung

      Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

      2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

      + Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: <img title="small left{egin{matrix} ax+by=c a'x + b'y=c' end{matrix}

      + Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

      – Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

      (d)

      (d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất

      (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

      + Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

      II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế

      a) Quy tắc thế

      Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:

      + Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

      + Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

      b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

      + Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

      + Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

      * Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

      a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=4 2x-y=0 end{matrix}

      b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=1 x-y=3 end{matrix}

      * Lời giải:

      a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=4 2x-y=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x+y=4 y=2x end{matrix}

       <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x+2x=4 y=2x end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 4x=4 y=2x end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x=1 y=2 end{matrix}

      b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=1 x-y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 2(3+y)+3y=1 x=3+y end{matrix}

       <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 5y=-5 x=3+y end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=-1 x=2 end{matrix}

      III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

      * Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

      a) <img title="small left{egin{matrix} x-y=3 3x-4y=2 end{matrix}

      c) <img title="small left{egin{matrix} x+3y=-2 5x-4y=11 end{matrix}

      * Lời giải:

      a) <img title="small left{egin{matrix} x-y=3 3x-4y=2 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3+y 3(3+y)-4y=2 end{matrix}

        <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3+y 9-y=2 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=10 y=7 end{matrix}

        ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (10;7)

      b) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 7x-3y=5 4x+y=2 end{matrix}

        <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 7x-3(2-4x)=5 y=2-4x end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 7x-6+12x=5 y=2-4x end{matrix}

        <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 19x=11 y=2-4x end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{11}{19} y=frac{-6}{19} end{matrix}

        ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)

      c) <img title="small left{egin{matrix} x+3y=-2 5x-4y=11 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y 5(-2-3y)-4y=11 end{matrix}

        <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y -10-15y-4y=11 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y 19y=-21 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{25}{19} y=-frac{21}{19} end{matrix}

        ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)

      * Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế

      a) <img title="small left{egin{matrix} 3x-2y=11 4x-5y=3 end{matrix}

      * Lời giải:

      a) <img title="small left{egin{matrix} 3x-2y=11 4x-5y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{11}{3}+frac{2}{3}y 4(frac{11}{3}+frac{2}{3}y)-5y=3 end{matrix}

        <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=(11+2y)/3 frac{4}{3}(11+2y)-5y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=(11+2y)/3 frac{44}{3}+frac{8}{3}y-5y=3 end{matrix}

        <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{1}{3}(11+2y) -frac{7}{3}y=-frac{35}{3} end{matrix} ight.Leftrightarrowleft{egin{matrix} x=7 y=5 end{matrix}

        ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (7;5)

      b) <img title="small g_white fn_cm small g_white fn_cm small left{egin{matrix} x/2-y/3=1 5x-8y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 5(frac{2}{3}y+2)-8y=3 end{matrix}

        <img title="small g_white fn_cm small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 frac{10}{3}y+10-8y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 -frac{14}{3}y=-7 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3 y=3/2 end{matrix}

        ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (3;3/2)

      Chuyên Đề Và Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

      HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ

      A. MỤC TIÊU: Học sinh nắm được– Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: và Cách giải – Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

      B. NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNDạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

      Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

      Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

      2.- Bài tập:Bài 1: Giải các hệ phương trình1) 2) 3) 4)

      Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

      Bài tập: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trìnhPhương pháp giải:Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệi) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b – Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm – Nếu b0 thì hệ vô nghiệm ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) i) Nếu m2 – 4 0 hay m2 thì x = Khi đó y = – . Hệ có nghiệm duy nhất: (;-)

      ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệmVậy: – Nếu m2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (;-)– Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R – Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệmBài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚCPhương pháp giải:Giải hệ phương trình theo tham sốViết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyênTìm m nguyên để f(m) là ước của k

      Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

      HD Giải:

      để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất

      Bài 2:Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)

      HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, nĐịnh

      Cập nhật thông tin chi tiết về Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Ba Ẩn – Bài Tập Vận Dụng trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!