Bạn đang xem bài viết Tích Phân Hai Lớp Trong Tọa Độ Cực. Công Thức Đổi Biến được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Ví dụ: Xác định cận lấy tích phân sau trong tọa độ cực:
1. D giới hạn bởi :
Ta có: D giới hạn bởi đường tròn tâm O , bán kính 1 nên O nằm trong miền D, và mọi tia xuất phát từ O cắt biên tại 1 điểm có: r = 1 Do đó theo (3) ta có :
2 D giới hạn bởi
Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2 tia xuất phát từ O tiếp xúc với đường tròn chính là 2 tia ,
Do đường tròn đi qua O nên cận dưới r = 0, cận trên,: chuyển D qua tọa độ cực ta có
Vậy cận lấy tích phân của miền D là:
3. D giới hạn bởi
Hoàn toàn tương tự, bạn sẽ tìm được cận lấy tích phân của miền D là:
4. D là miền giới hạn bởi đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R bất kỳ.
Trong trường hợp này, việc tìm ra phương trình của 2 tia OA, OB sẽ rất vất vả, đôi khi lại không rơi vào các góc đặc biệt. Và việc tìm ra phương trình của cung lớn, cung nhỏ AB cũng không phải đơn giản.
Tuy nhiên, nếu tịnh tiến tâm đường tròn về góc tọa độ thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều vì sẽ trở về ví dụ 1.
Với miền D có dạng này, trước tiên ta đổi biến. Đặt:
Khi đó:
5. Cho với D là miền giới hạn bởi các đường thẳng:
Ở đây, tuy miền D là miền tam giác và ta dễ dàng xác định cận giới hạn của miền D là: , nhưng trong hàm lấy tích phân là nên việc lấy tích phân sẽ phức tạp. Do đó, cần chuyển sang tọa độ cực.
Khi đó: bạn dễ dàng nhận thấy miền D giới hạn bởi 2 tia , gốc O thuộc miền D nên chỉ cần tìm cận trên của r . Dựa vào hình vẽ: cận trên được xác định
Vậy:
Cách 2: xác định cận bằng phương pháp đại số.
Chuyển các phương trình đường cong sang tọa độ cực. Chú ý điều kiện ban đầu Khi đó: bạn sẽ có các trường hợp sau:
TH1: chỉ có duy nhất đường cong
Trường hợp này, ta tìm điều kiện của để . Khi đó, kết hợp điều kiện ta có cận của ; còn cận của r sẽ là:
Ví dụ 1: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi
Ta có:
Do đó cận lấy tích phân được xác định bởi:
Ví dụ 2: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi đường cong:
Rõ ràng, trong trường hợp này, việc vẽ miền D để xác định cận là việc làm tương đối khó khăn.
Nếu chuyển qua tọa độ cực, ta có:
Hay:
Do điểm (0;0) nằm trên đường cong, nên gốc O thuộc vào miền lấy tích phân D. Nên:
Như vậy, ta phải có điều kiện:
Nghĩa là: hoặc
Như vậy miền D gồm hai miền:
TH2: thu được 2 đường cong xác định bởi:
Với trường hợp này, ta phải tìm điều kiện của để:
Ví dụ: D là miền giới hạn nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính 1 và nằm trong đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1.
Theo giả thiết ta có:
Chuyển qua tọa độ cực ta có:
Hay:
Như vậy, ta phải có điều kiện:
Từ đó, ta có:
Vậy:
Ngoài ra, còn một số trường hợp khác dành cho các bạn nghiên cứu thêm.
3. Đổi biến trong tích phân kép:
Cho hàm số f(x;y) liên tục trong miền D đóng và bị chặn.
Xét phép đổi biến: (1)
Giả sử:
– D’ là tạo ảnh của D qua phép biến đổi (1)
– (1) xác định một song ánh từ D’ lên D. (Nghĩa là phép đổi biến biến miền D trong mp(Oxy) thành miền D’ trong mp(O’uv) sao cho mỗi điểm (u;v) thuộc D’ chỉ tương ứng duy nhất với 1 điểm (x;y) thuộc D).
– Các hàm số x(u;v) và y(u;v) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên D’, thỏa mãn điều kiện:
(J được gọi là định thức Jacobi của các hàm số x và y)
Khi đó, ta có công thức đổi biến sau:
(Ta công nhận công thức đổi biến trên)
Ví dụ: Tính với D giới hạn bởi: ; ; ;
Với miền D cho như trên, nếu làm theo cách thông thường, dù lấy theo phương nào, ta phải chia miền D thành nhiều miền nhỏ. Do đó, việc tính toán sẽ phức tạp.
Dễ dàng nhận thấy miền D bị giới hạn bởi 2 cặp đường thẳng song song. Cặp thứ nhất có dạng: và cặp thứ hai có dạng:
Do đó: thực hiện phép đổi biến. Đặt:
Và:
Trang: 1 2 3
Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 7: Biến Đổi Đơn Giản Biểu Thức Chứa Căn Thức Bậc Hai (Tiếp Theo)
Sách giải toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 7 trang 28: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 7 trang 29: Trục căn thức ở mẫu:
Bài 48 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1): Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Lời giải:
( Ghi nhớ: Khử căn ở mẫu tức là nhân cả tử và mẫu với thừa số có chứa căn.)
Bài 49 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1): Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Lời giải:
Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa
Lời giải:
Bài 51 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa
Lời giải:
Bài 52 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa
Lời giải:
Bài 53 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết biểu thức chữ đều có nghĩa):
Lời giải:
Bài 54 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):
Lời giải:
Nhận xét: Cách làm thứ nhật (nhận dạng tử có thể phân tích thành nhân tử để rút gọn nhân tử đó với mẫu thích hợp hơn cách làm thứ hai (trục căn thức ở mẫu rồi thu gọn). Vì trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn sẽ thêm nhiều phép nhân.
Bài 55 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
Lời giải:
a) ab + b√a + √a + 1 = [(√a) 2 b + b√a] + (√a + 1)
= b√a(√a + 1) + (√a + 1) = (√a + 1)(b√a + 1)
= (√x – √y)(√x + √y) 2
= (√x – √y)(√x + √y)(√x + √y)
= (x – y)(√x + √y)
Bài 56 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) 3√5, 2√6, √29, 4√2 ; b) 6√2, √38, 3√7, 2√14
Lời giải:
Vì √24 < √29 < √32 < √45
Nên ta sắp xếp được: 2√6 < √29 < 4√2 < 3√5
Vì √38 < √56 < √63 < √72
Nên ta sắp xếp được: √38 < 2√14 < 3√7 < 6√2
Bài 57 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): √25x – √16x = 9 khi x bằng
(A) 1 ; (B) 3 ; (C) 9 ; (D) 81
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Lời giải:
– Chọn D
⇔ 5√x – 4√x = 9 ⇔ √x = 9 ⇔ x = 81
Giải Bài Tập Sgk Công Nghệ Lớp 8 Bài 30: Biến Đổi Chuyển Động
Giải bài tập SGK Công nghệ lớp 8 bài 30: Biến đổi chuyển động
Giải bài tập sách giáo khoa môn Công nghệ 8
Giải bài tập SGK Công nghệ lớp 8 bài 30
được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp. Tài liệu sẽ giúp các em hệ thống lại những kiến thức đã học trong bài, định hướng phương pháp giải các bài tập cụ thể. Ngoài ra việc tham khảo tài liệu còn giúp các em rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Bài 30: Biến đổi chuyển động
Câu 1 trang 105 SGK Công Nghệ 8
Nêu cấu tạo, nguyên lý làm việc và ứng dụng của cơ cấu tay quay – con trượt?
Hướng dẫn trả lời
Cấu tạo:
1 – Tay quay
2 – Thanh truyền
3 – Con trượt
4 – Giá đỡ
Nguyên lí làm việc:
Khi tay quay 1 quay quanh trục A, đầu B của thanh truyền 2 chuyển động tròn làm con trượt 3 chuyển động tịnh tiến qua lại trên giá đỡ 4 – Nhờ đó chuyển động quay của tay quay biến thành chuyển động tịnh tiến qua lại của con trượt.
CƠ CẤU TAY QUAY – CON TRƯỢT ĐƯỢC ỨNG TRONG CÁC MÁY VÀ THIẾT BỊ NHƯ SAU:
Cơ cấu pít tông – xi lanh trong Ôtô, xe máy
Máy khâu đạp chân
Thanh răng
Bánh răng
Ngoài ra còn có cơ cấu bánh răng – thanh răng và cơ cấu vít đai ốc
Xe nâng
Dùng để nâng hạ mũi khoan
Ứng dụng
Cơ cấu bánh răng – thanh răng
Ứng dụng cơ cấu vit đai ốc
Ê tô
Khóa nước
Gá kẹp của thợ mộc
Câu 2 trang 105 SGK Công Nghệ 8
Nêu những điểm giống và khác nhau của cơ cấu tay quay – con trượt. Bánh răng – thanh răng?
Hướng dẫn trả lời
Giống: đều nhằm để biến đổi chuyển động quay thành chuyển động tịnh tiến và ngược lại
Khác nhau: Bánh răng – thanh răng có thể biến đổi chuyển động quay đều của bánh răng thành chuyển động tịnh tiến đều của thanh răng và ngược lại.
Tay quay – con trượt: khi tay quay đều con trượt tịnh tiến không đều
Câu 3 trang 105 SGK Công Nghệ 8
Trình bày cấu tạo, nguyên lý làm việc và ứng dụng của cơ cấu tay quay – thanh lắc?
Hướng dẫn trả lời
Cấu tạo:
Tay quay, Thanh truyền, Thanh lắc, Giá đỡ
Nguyên lý làm việc
Nếu tay quay là một khâu dẫn, khi tay quay 1 quay đều quanh trục A, thông qua thanh truyền 2 làm thanh lắc 3 lắc qua lắc lại quanh trục D một góc nào đó.
Câu 4 trang 105 SGK Công Nghệ 8
Tìm một vài ví dụ về ứng dụng của các cơ cấu trên trong đồ dùng gia đình?
Hướng dẫn trả lời
Trong quạt máy (có tuốc năng) ứng dụng cơ cấu tay quay – thanh lắc.
Trong bếp dầu (bộ phận điều chỉnh dây tim) có cơ cấu bánh răng – thanh răng
Tích Phân Hàm Phân Thức Luyện Thi Đại Học
Published on
Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học
1. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨCI. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức Có dạng x m (a bx n ) p dx với a, b R , m, n, p Q, n, p 0 Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau. m 1 m 1Cụ thể xét bộ ba số p; ; p n nTH 1: Nếu p Z thì ta đặt x t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n m 1 s pTH 2: Nếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bx n hoặc t a bx n n rĐặc biệt r- Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bx n s r- Nếu p Z và p 2,3,… ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p 2 TPTP một lần, khi p 3 sTPTP hai lần, … m 1 s a bx nTH 3: Nếu p Z , p , r , s Z thì ta đặt tr n r xnBài tập giải mẫu:TH 1: Nếu p Z thì ta đặt x t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n 4 dxBài 1: Tính tích phân sau I 1 x 1 x Giải: 4 1 4 1 dx 1Ta có I x 1 x 2 dx 1 x 1 x 1 1Nhận xét: m 1, n , p 1 Z q 2 2Cách 1: x t2Đặt x t dx 2tdt 1
2. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x 4 t 2Đổi cận x 1 t 1 2 2 2 t dt 1 1 2 4Khi đó I 2 2 dt 2 2 2 ln t ln 1 t 2 ln 1 1 t 1 t t 1 t 1 t 1 t 1 3Cách 2: x t 1 2 Đặt 1 x t dx 2 t 1 dt x 4 t 3Đổi cận x 1 t 2 2 t 1 dt 3 dt 3 1 1 3 4Khi đó I 2 2 2 2 dt 2 ln t 1 ln t 2ln 2 2 t 1 t t 1 t 2 t 1 t 2 3 m 1 s pTH 2: Nếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bx n hoặc t a bx n n rĐặc biệt r- Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bx n s r- Nếu p Z và p 2,3,… ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p 2 TPTP một lần, khi p 3 sTPTP hai lần, … 1Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I x 3 1 x 2 dx 0Giải: 1 1Phân tích I x 3 1 x 2 dx x 2 1 x 2 .xdx 0 0 1 m 1Nhận xét: m 3, n 2, p 2 2 nCách 1: x2 1 t 2Đặt t 1 x 2 xdx tdt x 1 t 0Đổi cận x 0 t 1 0 1 1 1 1 1 2Khi đó I t 1 t 2 2 dt t 1 t dt t 2 2 2 t 4 dt t 3 t 5 3 5 0 15 1 0 0Cách 2: 2
3. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x2 1 t 2Đặt t 1 x dt xdx 2 x 1 t0Đổi cận x 0 t 1 1 0 1 1 1 1 1 3 3 3 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2Khi đó I t 1 t dt t 1 t dt t t dt t t 2 21 20 2 0 23 3 15 0Cách 4:Đặt x cos t dx sin tdt 2 2Khi đó I sin 2 t cos 3 tdt sin 2 t 1 sin 2 t cos tdt 0 0Cách 4.1.Đặt sin t u cos tdt duKhi đó 1 1 u 3 u5 1 2I u 2 (1 u 2 )du u 2 u 4 du 0 0 3 5 0 15Cách 4.2. 2 2 sin 3 t sin 5 t 2 2 I sin t 1 sin t d sin t 2 2 4 sin t sin t d sin t 2 . 0 0 3 5 0 15Cách 4.3. 12 1 2 1 cos 4t 12 12I sin 2 2t costdt cos tdt cos tdt cos 4t cos tdt 40 40 2 80 80Cách 5: 1 1 1 1 I x2 1 x 2 d 1 x 2 1 x2 1 1 x 2 d 1 x 2 20 20 1 3 1 1 1 1 20 1 x2 d 1 x 1 x2 20 2 2 d 1 x 2 2 dtCách 3: Đặt t x 2 xdx 2 7 x 3 dxBài 3: Tính tích phân I 3 0 x2 1Giải : x2 t 3 1 3 2Cách 1: Đặt t x 1 3 2 xdx t dt 2 3
4. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x 7 t 2Đổi cận x 0 t 1 3 t 1 .t dt 3 7 2 3 2 2 x 2 .xdx 3 t 5 t 2 2 93Khi đó I t t dt 4 0 3 x2 1 2 1 t 21 2 5 2 1 10Cách 2: x2 t 1 Đặt t x 2 1 dt xdx 2 x 7 t 8Đổi cận x 0 t 1 1 t 1 dt 1 3 3 8 8 2 1 5 2 13 3 3 3 8Khi đó I 1 t t dt t t 21 3 2 1 25 2 1 t 2 x3 xCách 3: Phân tích x 3 x x 2 1 x x x 2 1 3 3 2 3 2 x 1 x 1Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần u x 2 du 2 xdx 1 d x 1 2Đặt x 3 3 dv dx v x 2 1 2 3 2 x 1 2 3 x2 1 4 4 dxBài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I x 7 x2 9Giải:Phân tích 4 4 1 dx x x 9 dx 1 2I x 2 7 x2 9 7 1 m 1Nhận xét: m 1, n 2, p 0 2 n x2 t 2 9Đặt t x 2 9 xdx tdt x 4 t 5Đổi cận x 7 t 4 4 5 5 xdx tdt dt 1 t 3 5 1 7Khi đó I x 2 ln ln 7 2 x2 9 4 t (t 2 9) 4 t 9 6 t 3 4 6 4Cách 2: 4
6. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vnCách 2: x t 1Đặt t x 1 dx dt x 2 t 3Đổi cận x 0 t 1Khi đó 3 3 t 4 t 3 3 34I t 1 t dt t 3 t 2 dt 2 1 1 4 3 1 3Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích 2Ta có x x 1 x x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 2 x 4 2 x 3 x 2 2 34Khi đó I x3 2 x 2 x dx 0 4 3 2 0 3Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 2 3 2Ta có x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 4 3 2 3 2 2 2 3 2 2 x 1 x 1 34Khi đó I x 1 dx x 1 dx x 1 d x 1 x 1 d x 1 0 0 0 0 4 3 3 m 1 s a bx nTH 3: Nếu p Z , p , r , s Z thì ta đặt tr n r xn 2 dxBài 7: Tính tích phân sau I 1 x 4 1 x2Giải: 1 m 1 x2 1 2Nhận xét: m 2; n 2; p p 2 Z nên đặt t 2 n x2 2 1 x t2 1 1 x2 Đặt 2 t2 tdt x xdx 2 t 2 1 5 x 2 t Đổi cận 2 x 1 t 2 Ta có 5 3 2I 2 dx 2 dx 2 t 2 1 tdt 2 t3 t 1 dt t 2 7 5 8 2 t . 2 5 1 x4 1 x2 1 x6 1 1 2 t 2 1 5 3 24 2 x2 2 6
7. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 1Bài 8: Tính tích phân sau: I 1 x x 3 3 dx . 1 x4 3HD: 1 1 1 1 1 3 1Ta có I 2 1 . 3 dx x 3 1 x 2 3 dx 1 x x 1 3 3 1 m 1Nhận xét: m 3, n 2, p 1 Z 3 n 1 dt dxĐặt t 2 1 3 …. I 6 bạn đọc tự giải x 2 x 3 dxBài 9: Tính tích phân sau I 3 (1 x 2 )3 2Giải : 3 m 1Ta có m 0; n 2; p p 1 Z 2 n 1 2 2 x 1 2 t2 1 x Đặt 2 t x xdx tdt (t 2 1) 2 x 3 2 3 t Đổi cận 3 3 x t 3 2 3 3 3 3 xdx tdt dt 1 1Khi đó I 2 2 3 1 .t 2 .t 2 3 t t 2 2 3 (1 x ) 1 x 2 2 2 3 (t 1) . 2 3 2 x4. 2 . 3 2 (t 1) 2 3 3 x xBài tập tự giải: 2 dxBài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I 1 x x3 1HD: 3×2 dx dtĐặt t x3 1 dt dx 2 2 x3 1 x x3 1 t 1 4 dx 1 7Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I x ln 7 x2 1 6 4 7
8. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 2 dx Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I 2 x x2 1 12 3Cách 1: x dx xdx dt dtĐặt t x 2 1 dt dx 2 và t tanu , u , 2 du . x2 1 x x2 1 x2 x2 1 t 1 2 2 t 1 1 dxCách 2: Đặt t , t 0; dt cos t 2 x x2 1 1 π 1C1: Đặt x với t 0; hoặc x cos t 2 sin tC2: Đặt x 2 1 tC3: Đặt x 2 1 t 1C4: Đặt x tC5: Phân tích 1 x 2 1 x 2 1 x3Bài 4: Tính tích phân I dx 0 1 x2 1C1: Đặt x tan tC2: Phân tích x 3 x x 2 1 x u x 2 C3: Đặt x dv dx x2 1C4: Đặt x tC5: Phân tích x 3 dx x 2 xdx x 2 1 1 d x 2 1 7 x3 141Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I dx 0 3 1 x 2 20 2 x4Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I dx 0 x5 1 3 14 3Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I x 3 x 2 1 dx 1 5 9 468Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I x. 3 1 x dx 1 7 1 2 2 1Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I x x 2 1dx 0 3 3 848Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I x 3 1.x5 dx 0 105 8
9. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 1 6 3 8Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I x3 . x 2 3dx 0 5 1 8Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I x5 1 x 2 dx 0 105 1 x 1Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I 2 dx ln 2 0 1 x 2 1 2Bài 14: Tính tích phân I x 2 2 x 3 dx 0 9 3 32 2 Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang chúng tôi – 2007) Tính tích phân 3 dx 3 I x x 1 1 2 2 1 3 12 2 3 dx 2 3Bài 16: Tính tích phân I 3 x2 x 2 1 3 2 2b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức pMở rộng I u m x a bu n x d u x với với a, b R , m, n, p Q, n, p 0 Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau m 1 s pNếu Z , p , r , s Z , r , s 1 ta đặt t a bu n x hoặc t a bu n x n r rĐặc biệt : Nếu p Z ta chỉ được đặt t a bu n x sTa xét các thí dụ sau đây ln 5 e2 xThí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I dx ln 2 ex 1Lời giải. ln 5 ln 5 1 e2 x Ta có I e 1 ln 2 x ln 2 dx e x 1 e x 2 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 m 1m n 1, p 2 Z và u x e x 2 n x 2 e t 2 1 xĐặt e 1 t x e dx 2tdt x ln 5 t 2Đổi cận x ln 2 t 1 2 t 2 1 tdt 2 2 2 2 20Khi đó I 2 t 3 1 2 t 2 1 dt t 3 2t 1 3 1 1 9
10. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn Cách khác: Đặt e x 1 t e 1 3ln x .ln x Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I dx 1 x Lời giải. e e 1 1 3ln x .ln x Ta có I dx ln x 1 3ln x 3 d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 1 1 m 1 m n 1, p 2 Z và u x ln x 2 n t2 1 ln x 3 Đặt 1 3ln x t 2 dx 2 tdt x 3 x e t 2 Đổi cận x 1 t 1 2 2 2 t2 1 2 2 2 t 5 t 3 2 116 Khi đó I t dt (t 4 t 2 )dt 31 3 91 9 5 3 1 135 Cách khác: t 1 3ln x e ln x. 3 2 ln 2 x Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I dx 1 x Lời giải. e e 1 ln x. 3 2 ln 2 x Ta có I dx ln x 1 ln 2 x 3 d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 1 1 m 1 m 1, n 2, p 1 Z và u x ln x 3 n 3 2 ln x Đặt t 3 2 ln 2 x t dt dx 2 x x e t 3 3 Đổi cận x 1 t 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 t4 3 3 3 232 2 Khi đó I t.t dt t dt . 2 32 2 4 3 2 8 3 3 23 2 Cách khác: Đặt 2 ln 2 x t e ln x Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I 2 dx 1 x 2 ln x Lời giải. 10
11. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn e 2 ln x 2Ta có I 2 dx ln x 2 ln x d ln x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 2 ln x 1 m 1m 1, n 1, 2 Z , p 2 Z và u x ln x n ln x t 2 Đặt t 2 ln x dx x dt 3 t 2 1 2 3 2 3 3 1Khi đó I 2 dt 2 dt ln t ln 2 t 2t t t2 2 3 ln 3 e x dxThí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I 3 0 e x 1Lời giải. ln 3 ln 3 1 e x dx e xTa có I 1 3 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 3 0 e x 1 0 1 m 1m 0, n 1, p 1 Z và u x e x 2 nĐặt t e 1 2tdt e x dx dx 2tdt 2 x 2 tdt 12Khi đó I 2 3 2. 2 1 2 t t 2 2 dxThí dụ 6. Tính tích phân sau I 1 x x3 5Lời giải. 2 2 dx 1Ta có I 5 3 x 3 1 x 2 dx đây là tích phân nhị thức với m 3, n 2, p 1 Z 1 x x 1 x2 t 1 Đặt t x 2 1 dt xdx 2 x 2 t 5Đổi cận x 1 t 2 2 2 1 xTa có I dx dx 1 3 x x 1 2 1 x 4 x 2 1 1 1 1 5 5 dt 1 1 1 t 5 3 1 5Khi đó I 2 2 dt ln 2 ln 2 ln t t 1 2 2 t 1 t 1 t 2 t 1 t 1 8 2 2 2 11
12. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x 2 dx Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm: I 39 1 x Lời giải. x 2 dx 39 m 1 Ta có I 39 x 2 1 x dx đây là tích phân nhị thức với m 2, n 1, p 39 Z 3 Z 1 x n Đặt t 1 x x 1 t dx dt Khi đó 2 1 t dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1 I 39 39 dt 2 38 dt 37 dt 38 37 C với t 1 x t t t t 38 t 37 t 36 t 36 2 sin 2 chúng tôi x Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I dx 0 1 cos x Lời giải. Phân tích 2 sin 2 chúng tôi x 2 sin chúng tôi 2 x 2 1 I dx 2 dx 2 cos 2 x 1 cos x d cos x thì đây chính là tích phân nhị thức 0 1 cos x 0 1 cos x 0 với m 2, n 1, p 1 Z và u x cos x dt sin xdx Đặt t 1 cos x cos x t 1 x t 1 Đổi cận 2 x 0 t 2 2 1 t 1 2 1 t2 2 Khi đó I 2 dt 2 t 2 dt 2 2t ln t 2 ln 2 1 2 t 1 t 2 1 2 2 Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I sin x cos x 1 cos x dx 0 Lời giải. 2 2 2 2 Ta có I sin x cos x 1 cos x dx cos x 1 cos x d cos x thì đây chính là tích phân nhị thức với 0 0 m 1, n 1, p 2 Z và u x cos x sin xdx dt Đặt t 1 cos x cos x t 1 12
13. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x t 1Đổi cận 2 x 0 t 2 1 2 t 4 t 3 2 17Khi đó I t 1 t 2 dt t 3 t 2 dt 2 1 4 3 1 12Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính nhưtrong lý thuyết 2 sin 2 x sin xThí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I dx 0 1 3cos xLời giải. 2 sin x 2 cos x 1 2 1 2 1Ta có I dx 2 cos x 1 3cos x d cos x 1 3cos x 2 d cos x 2 0 1 3cos x 0 0 I1 I2 m 1Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u x cos x với I1 ta có m n 1 2 Z và với I 2 n m 1ta có m 0, n 1 1 Z . nVậy chung qui lại ta có thể t2 1 cos x 3Đặt 1 3cos x t 2 sin x dx 2dt 1 3cos x 3 x t 1Đổi cận 2 x 0 t 2 2 4t 2 2 4 2 2 34Khi đó I dt t 3 t 1 9 9 27 9 1 27 2 sin 3 xThí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I dx 0 1 cos xLời giải. 2 2 3 2 sin 3 x 3sin x 4sin x 1Ta có I dx dx 4cos 2 x 1 1 cos x d cos x thì đây chính là tổng của 0 1 cos x 0 1 cos x 0 m 1hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m 2, n 1, p 1 Z 3 Z và u x cos x nên ta n cos x t 1đặt t 1 cos x dt sin xdx 13
14. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn x t 1Đổi cận 2 x 0 t 2 2 1 4 t 1 1 2 3 2Khi đó I dt 4t 8 dt 2t 2 3ln t 8t 3ln 2 2 2 t 1 t 1Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau e3 ln 2 x 76Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I x dx 1 ln x 1 15 ln 2 2x e 2 2Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I dx 0 x e 1 3 e ln x 42 2Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I = x. dx 1 1 ln x 3 e 3 2 ln x 10 2 11Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I x dx 1 2 ln x 1 3 e ln x 1Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I dx (ln 2 1) 1 x ln x 1 2 2 e log 3 x 2 4Bài 7: Tính tích phân sau I dx 1 x 1 3ln x 2 27 ln 3 2 ln 8 ln 8Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I e x 1.e 2 x dx e x 1.e x .e x dx ln 3 ln 3Bài 9: Tính tích phân sau I ln 5 e x 1 e x dx ln 2 ex 1 2 sin 4 x 3Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I 2 dx 2 6 ln 0 1 cos x 4 2 3 15Bài 11: Tính tích phân sau I sin 2 x 1 sin 2 x dx 0 4 2 sin x cos 3 xBài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I dx 0 1 cos 2 x 6 sin 3 x sin 3 3 x 1 1Bài 13: Tính tích phân I dx ln 2 0 1 cos 3 x 6 3 14
15. TT Gia Sư Đức Trí – http://giasuductri.edu.vn 3 dx 6Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I xx 3 ln 0 2 3 x dx 1 1 3 1 3 1 1 1Bài 15: Tìm nguyên hàm I 10 6 7 8 C ( x 1) 6 ( x 1) 7 ( x 1) 8 ( x 1) 9 ( x 1)9 15
Cập nhật thông tin chi tiết về Tích Phân Hai Lớp Trong Tọa Độ Cực. Công Thức Đổi Biến trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!