Bạn đang xem bài viết Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 10 Quan Trọng được cập nhật mới nhất trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Trong chương trình Toán học lớp 10, các em học sinh được học rất nhiều kiến thức mới mẻ về đại số và hình học. Kì thi cuối năm sắp tới mà nhiều bạn học sinh vẫn cảm thấy choáng ngợp trước lượng kiến thức mà các em phải học và không biết phải ôn tập bắt đầu từ đâu. Hiểu được điều đó, Kiến Guru đã biên soạn tài liệu tóm tắt các công thức toán lớp 10 dành tặng cho các bạn học sinh.
Tài liệu tóm tắt một cách đầy đủ và ngắn gọn nhất các công thức toán đã học theo hai phần đại số và hình học. Hy vọng, đây sẽ là cẩm nang nhỏ gọn mà đầy đủ kiến thức để các em ôn tập tốt và để dành ôn lại cho những năm học tiếp theo khi quên.
I, Công thức toán lớp 10 phần Đại số
1. Các công thức về bất đẳng thức:
Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
+ Tính chất 3:
+ Tính chất 4:
+ Tính chất 5:
Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
+ Tính chất 6:
+ Tính chất 7:
(n nguyên dương)
+ Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):
Nếu và thì . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: a = b
Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
+ Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:
Từ định nghĩa suy ra: với mọi ta có:
Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:
2, Các công thức về phương trình bậc hai:
a. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
: Phương trình vô nghiệm.: Phương trình có nghiệm kép:
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
;
b. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:
Nếu “b chẵn” (ví dụ ) ta dùng công thức nghiệm thu gọn.
: Phương trình vô nghiệm.
: Phương trình có nghiệm kép:
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
;
Chú ý: với là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
c. Định lí Viet:
Nếu phương trình bậc 2 có 2 nghiệm thì:
d. Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2:
– Nếu
thì phương trình có nghiệm:
– Nếu
thì phương trình có nghiệm:
e. Dấu của nghiệm số:
– Phương trình có 2 nghiệm trái dấu:
– Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt:
– Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt
3, Các công thức về dấu của đa thức:
a. Dấu của nhị thức bậc nhất:
trái dấu a 0 cùng dấu a
“Phải cùng, trái trái”
b. Dấu của tam thức bậc hai:
△<0 : f(x) cùng dấu với hệ số a
△=0 : f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi
△=0 : f(x) có 2 nghiệm x1 , x2
x1 x2
F(x)
cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
c. Dấu của đa thức bậc ≥ 3: Bắt đầu từ ô bên phải cùng dấu với hệ số a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.
4, Các công thức về điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R
.
Cho tam thức bậc hai:
5, Các công thức toán lớp 10 về phương trình và bất phương trình
chứa trị tuyệt đối
a. Phương trình :
b. Bất phương trình:
6, Các công thức toán lớp 10 về phương trình và bất phương trình
chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
a. Phương trình:
b. Bất phương trình:
7. Các công thức toán lớp 10 lượng giác
a. Định nghĩa giá trị lượng giác:
b. Các công thức lượng giác cơ bản:
c. Các giá trị lượng giác đặc biệt:
d. Công thức cộng:
e. Công thức nhân đôi:
f. Công thức hạ bậc:
g. Công thức nhân ba:
h. Công thức biến đổi tích thành tổng:
i. Công thức biến đổi tổng thành tích:
k. Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo; hơn kém – tan, cot.
– Hai cung bù nhau:
và
– Hai cung đối nhau:
và
– Hai cung phụ nhau:
và
– Hai cung hơn kém
:
và
– Hai cung hơn kém
:
và
l. Công thức tính theo :
Nếu đặt thì:
m. Một số công thức khác:
II, Công thức toán lớp 10 phần Hình học
1. Các công thức toán lớp 10 về hệ thức lượng trong tam giác:
Cho , ký hiệu
– a, b, c: độ dài 3 cạnh
– R: bán kính đường tròn ngoại tiếp
Định lí côsin:
Định lí sin:
Công thức tính độ dài trung tuyến:
2. Các công thức toán lớp 10 về hệ thức lượng trong tam giác vuông
3. Các công thức tính diện tích:
Tam giác thường:
(: độ dài 3 đường cao)
(r: bán kính đường tròn nội tiếp, : nửa chu vi)
(Công thức Hê-rông)
Tam giác vuông: x tích 2 cạnh góc vuông
Tam giác đều cạnh a:
Hình vuông cạnh a:
Hình chữ nhật:
Hình bình hành: hoặc
Hình thoi: hoặc hoặc
x tích 2 đường chéo
Hình tròn:
4. Công thức toán 10 về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy
a. Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ
Cho ba điểm: . Ta có:
- Tọa độ véctơ
– Tọa độ trung điểm I của AB là: .
– Tọa độ trọng tâm G của là: .
Cho các vec-tơ và các điểm :
b. Phương trình của đường thẳng :
Cho là VTCP của d., là VTPT của d .
Điểm M( thuộc d.
– PT tham số của d: =
– PT chính tắc của d:
– PT tổng quát của d: hoặc:
c. Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0
d. Vị trí tương đối 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0, (d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
e. Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0, (d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0,
d. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d
1
)và (d
2
):
(góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + )
e. Phương trình đường tròn :
Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R có phương trình :
Dạng 1 :
Dạng 2 :
, điều kiện :
Tổng Hợp Các Dạng Toán Thi Vào Lớp 10 Thường Gặp
Mùa hè đến cũng là lúc các bạn học sinh lớp 9 đang bận rộn ôn tập để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong đó, Toán học là một môn thi bắt buộc và điểm số của nó luôn được nhân hệ số hai. Vậy phải ôn tập môn Toán thế nào thật hiệu quả đang là thắc mắc của rất nhiều em học sinh. Hiểu được điều đó, Kiến guru xin được giới thiệu tài liệu tổng hợp các dạng toán thi vào lớp 10. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chọn lọc các dạng toán cơ bản nhất trong chương trình lớp 9 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào 10 các năm gàn đây. Ở mỗi dạng toán, chúng tôi đều trình bày phương pháp giải và đưa ra những ví dụ của thể để các em dễ tiếp thu. Các dạng toán bao gồm cả đại số và hình học, ngoài các dạng toán cơ bản thì sẽ có thêm các dạng toán nâng cao để phù hợp với các bạn học sinh khá, giỏi. Rất mong, đây sẽ là một bài viết hữu ích cho các bạn học sinh tự ôn luyện môn Toán thật hiệu quả trong thời gian nước rút này.
Dạng I:
Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
Trong các dạng toán thi vào lớp 10, đây là dạng toán ta đã học ở đầu chương trình lớp 9.Yêu cầu các em cần phải nắm vững định nghĩa căn bậc hai số học và các quy tắc biến đổi căn bậc hai. Chúng tôi sẽ chia ra làm 2 loại : biểu thức số học và biểu thức đại số.
1/ Biểu thức số học
Phương pháp:
Dùng các công thức biến đổi căn thức : đưa ra ; đưa vào ;khử; trục; cộng, trừ căn thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức.
2/ Biểu thức đại số:
Phương pháp:
– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
– Tìm ĐK xác định
– Rút gọn từng phân thức
– Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn
Ví dụ: Cho biểu thức:
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm a để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Giải: a/ Rút gọn P:
Bài tập:
1. Rút gọn biểu thức B;
Dạng II:
Đồ thị y = ax + b (a ≠ 0) & y = ax2
(a ≠ 0)
và tương quan giữa chúng
1/ Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Phương pháp : Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA).
VD: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 ⇔ a = 1
2/ Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Phương pháp:
Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*)
Bước 2: Lấy x tìm được thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ y.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đường trên.
3/ Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’0).
3.1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Phương pháp:
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của pt:
a’x2 = ax + b (#) ⇔ a’x2– ax – b = 0
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào hàm số y = ax +b hoặc y = ax2 để tìm tung độ y của giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của pt là số giao điểm của (d) và (P).
3.2.Tìm điều kiện để (d) và (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Phương pháp:
Bài tập về hàm số:
Bài 1. cho parabol (p): y = 2×2.
tìm giá trị của a,b sao cho đường thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
Tìm giao điểm của (p) với đường thẳng y = 2m +1.
Bài 2: Cho (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2x + m
Vẽ (P)
Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Tìm toạ độ tiếp điểm.
Dạng III:
Phương trình và Hệ phương trình
1/ Hệ phương trình bâc nhất một hai ẩn – giải và biện luận:
Phương pháp:
+ Dạng tổng quát:
+ Cách giải:
Phương pháp thế.
Phương pháp cộng đại số.
Ví dụ: Giải các HPT sau:
+ Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK: x ≠ -1, y ≠ 0.
2/ PT bậc hai + Hệ thức VI-ET
2.1.Cách giải pt bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
Phương pháp:
2.2.Định lý Vi-ét:
Phương pháp:
Nếu x1 , x2 là nghiệm của pt : ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) thì
S = x1 + x2 = -b/a p = x1x2 =c/a.
Đảo lại: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu có ) của pt bậc 2: x2 – Sx + P = 0
3/ Tính giá trị của các biểu thức nghiệm:
Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (x1 + x2) và x1x2
Bài tập :
a) Cho phương trình : x2 – 8x + 15 = 0. Tính
6/ Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho nó không phụ thuộc vào tham số
Phương pháp:
1- Đặt điều kiện để pt đó cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và Δ ≥ 0)
2- Áp dụng hệ thức VI-ET:
3- Dựa vào hệ thức VI-ET rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế.
Ví dụ : Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0 (1) có 2 nghiệm x1;x2. Lập hệ thức liên hệ giữa x1;x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Giải:
Theo hệ th ức VI- ET ta cú :
7/ Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho:
Phương pháp:
– Đặt điều kiện để pt có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và Δ ≥ 0)
– Từ biểu thức nghiệm đó cho, áp dụng hệ thức VI-ET để giải pt.
– Đối chiếu với ĐKXĐ của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Bài tập
Bài tập 1: Cho pt: x2 – 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a) Giải pt với m = -1 và m = 3
b) Tìm m để pt có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x1 = x2
Bài tập 2:
Cho pt : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m – 1 = 0
a) Giải pt với m = -2 b) Với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm phân biệtc) Tìm m để pt có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2×2
Dạng IV: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Trong các dạng toán thi vào lớp 10, đây là một dạng toán rất được quan tâm gần đây vì nó chứa yếu tố ứng dụng thực tế ( vật lí, hóa học, kinh tế, …), đòi hỏi các em phải biết suy luận từ thực tế đưa vào công thức toán.
Phương pháp:
Bước 1. Lập PT hoặc hệ PT:
-Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn.
-Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn ( chú ý thống nhất đơn vị).
-Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập pt hoặc hệ pt.
Bước 2 Giải PT hoặc hệ PT.
Bước 3. Kết luận và có kèm đối chiếu điều kiện đầu bài.
Các công thức cần nhớ:
3. A = N . T ( A – Khối lượng công việc; N- Năng suất; T- Thời gian ).
Ví dụ
( Dạng toán chuyển động)
Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng 2/3 vận tốc Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu.
Lời Giải
2. (Dạng toán công việc chung, công việc riêng )
Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha, vì vậy đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.
Lời Giải:
Giải PTBN ta được x= 360. Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 ha.
Tổng Hợp Các Bài Toán Hình Ôn Thi Vào Lớp 10 Thường Gặp
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới gần. Các em học sinh đang bận rộn ôn tập để chuẩn bị cho mình kiến thức thật vững vàng để tự tin bước vào phòng thi. Trong đó, toán là một môn thi bắt buộc và khiến nhiều bạn học sinh lớp 9 cảm thấy khó khăn. Để giúp các em ôn tập môn Toán hiệu quả, chúng tôi xin giới thiệu tài liệu tổng hợp các bài toán hình ôn thi vào lớp 10.
Như các em đã biết, đối với môn Toán thì các bài toán hình được nhiều bạn đánh giá là khó hơn rất nhiều so với đại số. Trong các đề thi toán lên lớp 10, bài toán hình chiếm một số điểm lớn và yêu cầu các em muốn được số điểm khá giỏi thì phải làm được câu toán hình. Để giúp các em rèn luyện cách giải các bài toán hình 9 lên 10, tài liệu chúng tôi giới thiệu là các bài toán hình được chọn lọc trong các đề thi các năm trước trên cả nước. Ở mỗi bài toán, chúng tôi đều hướng dẫn cách vẽ hình, đưa ra lời giải chi tiết và kèm theo lời bình sau mỗi bài toán để lưu ý lại các điểm mấu chốt của bài toán. Hy vọng, đây sẽ là một tài liệu bổ ích giúp các em có thể làm tốt bài toán hình trong đề và đạt điểm cao trong kì thi sắp tới.
I. Các bài toán hình ôn thi vào lớp 10 chọn lọc
không chứa tiếp tuyến
.
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Một đường thẳng kẻ từ điểm C song song với BM và cắt AM ở K , cắt OM ở D. OD cắt AC tại H.
1. Chứng minh CKMH là tứ giác nội tiếp.
2. CMR : CD = MB ; DM = CB.
3. Xác điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD chính là tiếp tuyến của nửa đường tròn.
Bài giải chi tiết:
1. CMR tứ giác CKMH là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác CKMH có MKC + MHC = 180o nên nội tiếp được trong một đường tròn.
2. CMR: CD = MB ; DM = CB.
Ta có: ACB = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra DM
3. Ta có: AD là một tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇔
AD ⊥ AB
. ΔADC có AK vuông góc với CD và DH vuông góc với AC nên điểm M là trực tâm tam giác . Suy ra: CM
⊥
AD.
Vậy AD ⊥ AB ⇔ CM
Mà AM = MC nên cung AM = cung BC ⇔ AM = cung MC = cung BC = 60o.
Lời bình:
Bài 2: Cho ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn có đường kính BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm E và F ; BF cắt EC tại H. Tia AH BC tại điểm N.
a) CMR: tứ giác HFCN là tứ giác nội tiếp.b) CMR: FB là tia phân giác của góc EFN. c) Nếu AH = BC. Hãy tìm số đo góc BAC trong ΔABC.
Bài giải chi tiết:
a) Ta có: BFC = BEC = 90o
(vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC)
Tứ giác HFCN có HFC = HNC = 180o nên nó nội tiếp được trong đường tròn đường kính HC) (đpcm).
b) Ta có EFB = ECB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE của đường tròn đường kính BC).
ECB = BFN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN của đường tròn đường kính HC).
Suy ra: EFB = BFN. Từ đó suy ra FB là tia phân giác của góc EFN.
c) Xét ΔFAH và ΔFBC: AFH = BFC = 90o, AH bằng đoạn BC (gt), FAH = FBC (cùng phụ với góc ACB). Do đó: ΔFAH = ΔFBC (cạnh huyền- góc nhọn). Từ đó suy ra: FA = FB.
ΔAFB là tam giác vuông tại F; FA = FB nên nó vuông cân. Do đó BAC = 45o
II. Các bài toán hình ôn thi vào lớp 10
có chứa tiếp tuyến.
Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O và nó có đường kính AB. Từ một điểm M nằm trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn, ta vẽ tiếp tuyến thứ hai tên gọi là MC (trong đó C là tiếp điểm). Từ C hạ CH vuông góc với AB, MB cắt (O) tại điểm Q và cắt CH tại điểm N. Gọi g I = MO ∩ AC. CMR:
a) Tứ giác AMQI là tứ giác nội tiếp.
b) Góc AQI = góc ACO
c) CN = NH.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh)
Bài giải chi tiết:
a)
Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau), OA = OC (bán kính đường tròn (O))
AQB = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
b) Tứ giác AMQI nội tiếp nên AQI = AMI (cùng phụ góc MAC) (2).
c) Chứng minh CN = NH.
Gọi K = BC ∩ Ax. Ta có: ACB = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
AC vuông góc với BK , AC vuông góc với OM OM song song với BK. Tam giác ABK có: OA = OB và OM
Theo hệ quả ĐLTa let cho có NH song song AM (cùng vuông góc AB) ta được: (4). Theo hệ quả ĐL Ta let cho ΔABM có CN song song KM (cùng vuông góc AB) ta được: (5). Từ (4) và (5) suy ra: . Lại có KM =AM nên ta suy ra CN = NH (đpcm).
Lời bình
Bài 4: Cho đường tròn (O) có đường kính là AB. Trên AB lấy một điểm D nằm ngoài đoạn thẳng AB và kẻ DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) (với C là tiếp điểm). Gọi E là hình chiếu hạ từ A xuống đường thẳng CD và F là hình chiếu hạ từ D xuống AC.
Chứng minh:
a) Tứ giác EFDA là tứ giác nội tiếp.
b) AF là tia phân giác của góc EAD.
c) Tam giác EFA và BDC là hai tam giác đồng dạng.
d) Hai tam giác ACD và ABF có cùng diện tích với nhau.
(Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001)
Bài giải chi tiết:
a) Ta có: AED = AFD = 90o (gt). Hai đỉnh E và F cùng nhìn AD dưới góc 90o nên tứ giác EFDA nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Ta có:
. Vậy EAC = CAD (so le trong)
Tam giác AOC cân tại O ( OA = OC = bán kính R) nên suy ra CAO = OCA. Do đó: EAC = CAD. Do đó AF là tia phân giác của góc EAD (đpcm).
ΔEFA và ΔBDC có:
EFA = CDB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFDA).
. Vậy ΔEFA và ΔBDC là hai tam giác đồng dạng với nhau (theo t/h góc-góc).
Bài 5: Cho tam giác ABC (BAC < 45o) là tam giác nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và gọi H là hình chiếu kẻ từ A đến tiếp tuyến . Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại M (M ≠ A). Đường thẳng kẻ từ M vuông góc với AC cắt AC tại K và AB tại P.
a) CMR tứ giác MKCH là một tứ giác nội tiếp.
b) CMR: MAP là tam giác cân.
c) Hãy chỉ ra điều kiện của ΔABC để M, K, O cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài giải chi tiết:
a) Ta có : MHC = 90
o
(gt), MHC = 90
o
(gt)
Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối nhau bằng 180o nên tứ giác MKCH nội tiếp được trong một đường tròn.
b)
AH song song với OC (cùng vuông góc CH) nên MAC = ACO (so le trong)
ΔAOC cân ở O (vì OA = OC = bán kính R) nên ACO = CAO. Do đó: MAC = CAO. Vậy AC là phân giác của MAB. Tam giác MAP có đường cao AK (vì AC vuông góc MP), và AK cũng là đường phân giác suy ra tam giác MAP cân ở A (đpcm).
Ta có M; K; P thẳng hàng nên M; K; O thẳng hàng nếu P trùng với O hay AP = PM. Theo câu b tam giác MAP cân ở A nên ta suy ra tam giác MAP đều.
Do đó CAB = 30o. Ngược lại: CAB = 30o ta chứng minh P=O:
Trả lời: Tam giác ABC cho trước có CAB = 30o thì ba điểm M; K ;O cùn nằm trên một đường thẳng.
Bài 6: Cho đường tròn tâm O có đường kính là đoạn thẳng AB có bán kính R, Ax là tiếp tuyến của đường tròn. Trên Ax vẽ một điểm F sao cho BF cắt (O) tại C, đường phân giác của góc ABF cắt Ax tại điểm E và cắt đường tròn (O) tại điểm D.
a) CMR: OD song song BC.b) CM hệ thức: chúng tôi = BC.BFc) CMR tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp.
Bài giải chi tiết:
Mà OBD = CBD (gt) nên ODB = CBD. Do đó: OD
ΔEAB vuông tại A (do Ax là đường tiếp tuyến ), có AD vuông góc BE nên:
AB2 = chúng tôi (1).
ΔEAB vuông tại A (do Ax là đường tiếp tuyến), có AC vuông góc BF nên
AB2 = chúng tôi (2).
Theo (1) và (2) ta suy ra: chúng tôi = BC.BF.
c) Ta có:
CDB=CAB (vì là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
CAB=CFA ( vì là 2 góc cùng phụ với góc FAC)
Do đó : góc CBD=CFA.
Do đó tứ giác CDEF nội tiếp.
Cách khác
ΔDBC và có ΔFBE: góc B chung và (suy ra từ gt chúng tôi = chúng tôi nên chúng là hai tam giác đồng dạng (c.g.c). Suy ra: CDB = EFB . Vậy tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp.
Lời bình
1. Với câu 1, từ gt BD là phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ ngay đến cần chứng minh hai góc so le trong ODB và OBD bằng nhau.2. Việc chú ý đến các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn kết hợp với tam giác AEB, FAB vuông do Ax là tiếp tuyến gợi ý ngay đến hệ thức lượng trong tam giác vuông quen thuộc. Tuy nhiên vẫn có thể chứng minh hai tam giác BDC và BFE đồng dạng trước rồi suy ra chúng tôi = chúng tôi Với cách thực hiện này có ưu việc hơn là giải luôn được câu 3. Các em thử thực hiện xem sao?3. Trong tất cả các bài toán hình ôn thi vào lớp 10 thì chứng minh tứ dạng nội tiếp là dạng toán cơ bản nhất. Khi giải được câu 2 thì câu 3 có thể sử dụng câu 2 , hoặc có thể chứng minh theo cách 2 như bài giải.
Bài 7: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (trong đó D nằm giữa A và E , dây DE không qua tâm O). Lấy H là trung điểm của DE và AE cắt BC tại điểm K .
a) CMR: tứ giác ABOC là một tứ giác nội tiếp.
b) CMR: HA phân giác của góc BHC
.
c) CMR: :
Bài giải chi tiết:
a) ABO = ACO = 90
o
(tính chất tiếp tuyến)
Tứ giác ABOC có ABO + ACO = 180o nên là một tứ giác nội tiếp.
b) AB = AC (theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra: cung AB = AC. Do đó AHB = AHC. Vậy HA là phân giác của góc BHC.
c) Chứng minh :
ΔABD và ΔAEB có:
Góc BAE chung, ABD = AEB (cùng bằng 1/2 sđ cung BD)
Suy ra : ΔABD ~ ΔAEB
Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = a. Gọi hai tia Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M không trùng với A và B), vẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); chúng cắt Ax, By lần lượt tại 2 điểm E và F.
1. Chứng minh: EOF = 90o
2. Chứng minh tứ giác AEMO là một tứ giác nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng.
3. Gọi K là giao của hai đường AF và BE, chứng minh rằng MK ⊥ AB.
4. Nếu MB = √3.MA, tính S tam giác KAB theo a.
Bài giải chi tiết:
1. EA, EM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)
cắt nhau ở E nên OE là phân giác của AOM.
Tương tự: OF là phân giác của góc BOM.
Mà AOM và BOM là 2 góc kề bù nên: EOF = 90o (đpcm)
2. Ta có:
EAO = EMO = 90o
(tính chất tiếp tuyến)
Tứ giác AEMO có EAO + EMO = 180o nên nội tiếp được trong một đường tròn.
Hai tam giác AMB và EOF có: AMB = EOF = 90o và MAB = MEO (vì 2 góc cùng chắn cung MO của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO. Từ đó suy ra: tam giác AMB và EOF là 2 tam giác đồng dạng với nhau (g.g).
3. Tam giác AEK có AE song song với FB nên: . Lại có : AE = ME và BF = MF (t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên . Do đó MK
4. Gọi N là giao của 2 đường MK và AB, suy ra MN vuông góc với AB.
Lời bình
(Đây là đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của tỉnh Hà Nam) .
Trong các bài toán ôn thi vào lớp 10, từ câu a đến câu b chắc chắn thầy cô nào đã từng cũng ôn tập, do đó những em nào ôn thi nghiêm túc chắc chắn giải được ngay, khỏi phải bàn. Bài toán 4 này có 2 câu khó là c và d, và đây là câu khó mà người ra đề khai thác từ câu: MK cắt AB ở N. Chứng minh: K là trung điểm MN.
Nếu ta quan sát kĩ MK là đường thẳng chứa đường cao của tam giác AMB ở câu 3 và 2 tam giác AKB và AMB có chung đáy AB thì ta sẽ nghĩ ngay đến định lí: Nếu hai tam giác có chung đáy thì tỉ số diện tích hai tam giác bằng tỉ số hai đường cao tương ứng, bài toán qui về tính diện tích tam giác AMB không phải là khó phải không các em?
Tổng Hợp Các Bài Toán Có Lời Văn Lớp 1
Giải toán có lời văn lớp 1
Các bài Toán có lời văn lớp 1
Viết số thích hợp vào chỗ chấm để có bài toán rồi giải bài toán: Bài 1:
Bài toán: Có … con mèo đang chơi, có thêm … con mèo đi tới. Hỏi có tất cả bao nhiêu con mèo?
Lời giải:
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 2:
Bài toán: Có … mèo mẹ và … mèo con. Hỏi có tất cả bao nhiêu con mèo?
Lời giải:
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Viết tiếp câu hỏi để có bài toán Bài 3:
Bài toán: Có 2 con vịt dưới nước và 3 con vịt trên bờ. Hỏi
…………………………………………………………………………………………?
Lời giải:
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 4:
Bài toán: Có … con chim đậu trên cành, thêm … con chim bay tới.
Hỏi …………………………………………………………………………………………….?
Lời giải:
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 5:
Bài toán: Lúc đầu trên cành có … con chim, có … con chim bay đi. Hỏi trên cành còn lại bao nhiêu con chim?
Lời giải:
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 6:
Bài toán: Có … chú thỏ đang ngồi, và … chú thỏ đi nơi khác.
Hỏi…………………………………………………………………………………………?
Lời giải:
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 7:
Bài toán: Trên cành có … con chim, có thêm … con chim bay tới.
Hỏi ……………………………………………………………………………………………?
Lời giải:
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 8:
Bài toán: trên cây có … quả táo và … quả rụng xuống đất.
Hỏi……………………………………………………………………………………………?
Lời giải:
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài tập bổ sung
Bài 1. Hồng có 8 que tính, Lan có 2 que tính. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu que tính?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 2. Cành trên có 10 con chim, cành dưới có 5 con chim. Hỏi có tất cả bao nhiêu con chim?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 3. Lớp 1B có 33 bạn, lớp 1C có 30 bạn. Hỏi cả hai lớp có tất cả bao nhiêu bạn?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 4. Tháng trước Hà được 15 điểm 10, tháng này Hà được 11 điểm 10. Hỏi cả hai tháng Hà được tất cả bao nhiêu điểm 10?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 5. Hoa có 16 cái kẹo, Hà cho Hoa thêm 3 cái kẹo nữa. Hỏi Hoa có tất cả bao nhiêu cái kẹo?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 6. Tú có 1 chục quyển vở, Tú được thưởng 5 quyển vở nữa. Hỏi tú có tất cả bao nhiêu quyển vở?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 7. Huệ có 2 chục bút chì, mẹ mua thêm cho Huệ 5 bút chì nữa. Hỏi Huệ có tất cả bao nhiêu bút chì?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 8. Tổ Một làm được 20 lá cờ, tổ Hai làm được 1 chục lá cờ .Hỏi cả hai tổ làm được tất cả bao nhiêu lá cờ?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 9. Hồng có 16 que tính, Hồng được bạn cho thêm 2 que tính. Hỏi Hồng có bao nhiêu que tính?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 10. Trong vườn nhà Nam trồng 20 cây bưởi và 3 chục cây cam. Hỏi trong vườn nhà Nam trồng được tất cả bao nhiêu cây?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 11. Hải có 25 viên bi, Nam có nhiều hơn Hải 2 chục viên bi. Hỏi Nam có bao nhiêu viên bi?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 12. Lớp 1B có 34 học sinh, lớp 1B hơn lớp 1A là 4 học sinh. Hỏi lớp 1A có bao nhiêu học sinh?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 13. Tùng có 36 bóng bay, Tùng có nhiều hơn Toàn 5 bóng bay. Hỏi Toàn có bao nhiêu bóng bay?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 14. Trong vườn nhà Nam trồng 28 cây bưởi, số cây bưởi nhiều hơn số cây cam là 2 chục cây. Hỏi trong vườn nhà Nam trồng bao nhiêu cây cam?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 15. Nhà An có 32 con gà, nhà An có ít hơn nhà Tú 2 chục con. Hỏi nhà Tú có bao nhiêu con gà?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 16. Hoàng có 25 nhãn vở, Hoàng kém Thanh 2 chục nhãn vở. Hỏi Thanh có bao nhiêu nhãn vở?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 17. Lan có 42 que tính, Lan kém Hoa 2 chục que tính. Hỏi Hoa có bao nhiêu que tính?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 18. Đàn gà có 45 con gà. Người ta bán đi một số con gà thì còn lại 2 chục con gà. Hỏi người ta đã bán bao nhiêu con gà?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 19. Năm nay Hoàng 9 tuổi. Hoàng nhiều hơn Nam 2 tuổi. Hỏi năm nay Nam mấy tuổi?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 20. Năm nay con 13 tuổi, con kém mẹ 25 tuổi. Hỏi năm nay mẹ bao nhiêu tuổi?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 21. Bạn Lan có 2 chục quyển vở, bạn Lan có ít hơn bạn Huệ 5 quyển vở. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu quyển vở?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 22. Quyển vở của Hà có 96 trang. Hà đã viết hết 42 trang. Hỏi quyển vở của Hà còn lại bao nhiêu trang chưa viết?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 23. Lớp 1A có 33 học sinh, lớp 1B có 3 chục học sinh. Hỏi cả 2 lớp có bao nhiêu học sinh?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 24. Bạn Tuấn có 3 chục viên bi, bạn Toàn có ít hơn bạn Tuấn 1 chục viên bi. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu viên bi?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 25. Năm nay Hoàng 9 tuổi. Hoàng nhiều hơn Nam 3 tuổi. Hỏi năm nay Nam mấy tuổi?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 26. Nam có 45 cái nhãn vở, bạn Nam ít hơn bạn Hà 2 chục nhãn vở. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu nhãn vở?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 27. Lớp 1A có 38 học sinh, lớp 1A nhiều hơn lớp 1B 4 học sinh. Hỏi cả hai lớp có bao nhiêu học sinh?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 28. Lan có 52 nhãn vở, Lan ít hơn Hải 3 chục nhãn vở. Hỏi Hải có bao nhiêu nhãn vở?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 29. Lan hái được 20 bông hoa, Mai hái được 10 bông hoa. Hỏi cả hai bạn hái được bao nhiêu bông hoa?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 30. Lớp 1A vẽ được 20 bức tranh, lớp 1B vẽ được 30 bức tranh. Hỏi cả 2 lớp vẽ được bao nhiêu bức tranh?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 31. Hoa có 30 cái nhãn vở, mẹ mua thêm cho Hoa 10 cái nhãn vở nữa. Hỏi Hoa có tất cả bao nhiêu nhãn vở?
(Điền số vào tóm tắt rồi giải bài toán)
Tóm tắt
Có: . . . . . nhãn vở
Thêm: . . . . . nhãn vở
Có tất cả: . . . . .. nhãn vở?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 32. Đàn vịt có 13 con ở dưới ao và 5 con ở trên bờ. Hỏi đàn vịt đó có tất cả mấy con?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 33. Tâm có 15 quả bóng, Nam có ít hơn Tâm 4 quả bóng. Hỏi Nam có bao nhiêu quả bóng …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 34. Giải bài toán theo tóm tắt sau:
Tóm tắt
Có: 15 cây hoa
Trồng thêm: 4 cây
Có tất cả: ……cây hoa
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 35. Một cửa hàng có 30 xe máy, đã bán 10 xe máy. Hỏi của hàng còn lại bao nhiêu xe máy?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 36. Thùng thứ nhất đựng 30 gói bánh. Thùng thứ hai đựng 20 gói bánh. Hỏi cả hai thùng đựng bao nhiêu gói bánh?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 37. Trên tường có 14 bức tranh, người ta treo thêm 4 bức tranh nữa. Hỏi trên tường có tất cả bao nhiêu bức tranh?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 38. Một hộp bút có 12 bút xanh và 3 bút đỏ. Hỏi hộp đó có tất cả bao nhiêu cây bút?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 39. Lan gấp được một chục chiếc thuyền, Hùng gấp được 30 cái. Hỏi cả hai bạn gấp được bao nhiêu chiếc thuyền?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 40. Hà có 1 chục nhãn vở, mẹ mua cho Hà thêm 20 nhãn vở nữa. Hỏi Hà có tất cả bao nhiêu nhãn vở?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
Bài 41. Có 40 con gà mái và một chuc con gà trống. Hỏi có tất cả bao nhiêu con gà?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 42. Tổ một trồng được 20 cây, tổ hai trồng được 10 cây. Hỏi cả hai tổ trồng được bao nhiêu cây?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 43. Cửa hàng có 30 cái nơ xanh và 20 cái hồng. Hỏi cửa hàng có tất cả bao nhiêu cái nơ? (2 điểm)
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 44. Bình có 20 viên bi, anh cho Bình thêm 3 chục viên bi nữa. Hỏi Bình có tất cả bao nhiêu viên bi? (Lưu ý bài này phải đổi 3 chục = 30)
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 45. Anh có 3 chục cái bánh. Anh cho em 10 cái bánh. Hỏi anh còn lại bao nhiêu cái bánh?
Tóm tắt……… Đổi:………………………………….Bài giải…………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Bài 46. Tổ Một có 60 bông hoa, cô giáo cho thêm 3 chục bông nữa. Hỏi tổ Một có tất cả bao nhiêu bông hoa?
Tóm tắt……… Đổi:………………………………….Bài giải…………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Bài 47. Ông Thu trồng được 20 cây cam và 10 cây chuối. Hỏi ông Thu đã trồng được tất cả bao nhiêu cây?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 48. Ngăn thứ nhất có 40 quyển sách, ngăn thứ hai có 30 quyển sách. Hỏi cả hai ngăn có tất cả bao nhiêu quyển sách?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 49. Giải bài toán theo tóm tắt sau
Có: 10 viên bi
Thêm: 8 viên bi
Có tất cả ….. viên bi?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 50. Giải bài toán theo tóm tắt sau
Thùng thứ nhất: 20 gói bánh
Thùng thứ hai: 10 gói bánh
Cả hai thúng có tất cả ….. gói bánh?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Bài 51. Giải bài toán theo tóm tắt sau
Nam có: 50 viên bi
Cho bạn: 20 viên bi
Nam còn lại …….. viên bi?
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
Ngoài tài liệu trên, các em học sinh có thể tham khảo các lời giải toán lớp 1, Toán lớp 1 nâng cao và bài tập môn Toán lớp 1 đầy đủ khác, để học tốt môn Toán hơn và chuẩn bị cho các bài thi đạt kết quả cao.
Cập nhật thông tin chi tiết về Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 10 Quan Trọng trên website Ictu-hanoi.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!