Có nhiều dạng bài tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,… Tuy nhiên, trong bài viết này chúng ta tập trung tìm hiểu cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó vận dụng giải một số bài tập về phương trình chứa căn thức để rèn luyện kỹ năng giải toán.
I. Kiến thức cần nhớ khi giải phương trình chứa dấu căn
II. Cách giải Phương trình có chứa dấu căn
– Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:
– Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 4.
– Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:
– Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 5/4.
– Điều kiện: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi đó ta có (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):
– Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 50.
– Vì (1 – x) 2 ≥ 0 ∀x nên pt xác định với mọi giá trị của x.
– Khi đó bình phương 2 vế ta được:
– Đối chiếu điều kiện (x < 1 hoặc x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 thỏa điều kiện, nên ta nhận nghiệm này. Kết luận pt có nghiệm x = 1/2.
– Khi đó bình phương 2 vế ta được:
– Đối chiếu điều kiện (x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 không thỏa điều kiện này, nên ta KHÔNG nhận nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.
+) Nếu tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:
– Bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0
– Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức
– Bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).
– Ta thấy: x 2 – 4x + 6 = x 2 – 4x + 4 + 2 = (x – 2) 2 + 2 không có dạngnên ta thực hiện như sau:
– Điều kiện: x 2 – 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x – 2) 2 + 2 ≥ 0 ∀x nên biểu thức xác định với mọi giá trị của x.
– Bình phương 2 vế phương trình ta được:
– Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 5.
¤ Loại 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B) 2 thì khai căn đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.
¤ Loại 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.
¤ Loại 3: Nếu f(x) = Ax 2 + Bx + C [không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B) 2] và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.
¤ Loại 4: Nếu f(x) = Ax 2 + Bx + C và g(x) = Ex 2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.
– Vậy phương trình vô nghiệm
– Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≤ 3.
– Bình phương 2 vế ta được:
– Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình nhận nghiệm này.
– Phương trình có nghiệm x = 2.
– Ta thấy: f(x) = x 2 – 5x – 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B) 2 (và vế phải là dạng hàm bậc 1) nên để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.
→ Vậy phương trình vô nghiệm.
* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:
– Điều kiện: x ≥ 0.
– Ta xét các trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối:
⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.
– Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 9 không thỏa đk nên loại.
→ Phương trình vô nghiệm.
⇒ Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.
– Điều kiện: x ≥ 1
– Đến đây xét các trường hợp giải tương tự ví dụ 1 ở trên.
i) Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình chứa dấu căn.
– Điều kiện: x ≥ 0
– Cả 2 nghiệm t đều thỏa điều kiện nên ta có:
(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em sẽ học ở nội dung bài chương sau).
– Ta thấy pt(**) có dạng ở mục 2) loại 3; với điều kiện 5 – t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:
– Với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 nên ta có:
→ Phương trình có nghiệm x = 6.
– Đối chiếu điều kiện thì t = -5 loại và t = 2 nhận.
– Kiểm tra thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt có 2 nghiệm. x = 1 ± 2√2.
ii) phương pháp đánh giá biểu thức dưới dấu căn (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) để giải phương trình chứa căn thức.
– PT có thể cho ngay dạng này hoặc có thể tách một hệ số nào đó để có [f(x)] 2; [h(x)] 2 hay [g(x)] 2;
→ Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
III. Một số bài tập về phương trình có chứa dấu căn