Bài Tập Giải Tích 1 Có Lời Giải / TOP 6 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 3/2023 # Top View

Published on

1. LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 1: Tính hạng của ma trận: 1) A = 2 -4 3 1 0 1 -2 1 -4 2 0 1 -1 3 1 1 -7 4 -4 5 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾”¾h2® 1 -2 1 -4 2 2 -4 3 1 0 0 1 -1 3 1 1 -7 4 -4 5 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 ¾h¾1(-¾1)+¾h4® 1 -2 1 -4 2 0 0 1 9 -4 0 1 -1 3 1 0 -5 3 0 3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾2″¾h3® 1 -2 1 -4 2 0 1 -1 3 1 0 0 1 9 -4 0 -5 3 0 3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾2(5¾)+h¾4® 1 -2 1 -4 2 0 1 -1 3 1 0 0 1 9 -4 0 0 -2 15 8 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾3(2¾)+h4¾® 1 -2 1 -4 2 0 1 -1 3 1 0 0 1 9 -4 0 0 0 33 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 4 2) A = 0 2 -4 -1 -4 5 3 1 7 0 5 -10 2 3 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø ¾h¾1″h¾2® -1 -4 5 0 2 -4 3 1 7 0 5 -10 2 3 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h1(3)+h3 h1(2)+h4 ¾¾¾¾® -1 -4 5 0 2 -4 0 -11 22 0 5 -10 0 -5 10 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h2 1 2 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® -1 -4 5 0 1 -2 0 -11 22 0 5 -10 0 -5 10 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h2(11)+h3 h2(-5)+h4 h2(5)+h5 ¾¾¾¾® -1 -4 5 0 1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø Þr(A) = 2 1

2. 2) A = 2 -1 3 -2 4 4 -2 5 1 7 2 -1 1 8 2 æ çç è ö ÷÷ ø h1(-2)+h2 ¾h¾1(-1¾)+¾h3® 2 -1 3 -2 4 0 0 -1 5 -1 0 0 -2 10 -2 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h¾2(-2¾)+¾h3® 2 -1 3 -2 4 0 0 -1 5 -1 0 0 0 0 0 æ çç è ö ÷÷ ø Þr(A) = 2 3) A = 1 3 5 -1 2 -1 -5 4 5 1 1 7 7 7 9 -1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 h1(-5)+h3 h1(-7)+h4 ¾¾¾¾® 1 3 5 -1 0 -7 -15 6 0 -14 -24 12 0 -14 -26 6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-2)+h3 h2(-2)+h4 ¾¾¾¾® 1 3 5 -1 0 -7 -15 6 0 0 6 0 0 0 4 -6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3 1 6 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® 1 3 5 -1 0 -7 -15 6 0 0 1 0 0 0 4 -6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h4(-4)+h4 ¾¾¾¾® 1 3 5 -1 0 -7 -15 6 0 0 1 0 0 0 0 -6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 4 4) A = 3 -1 3 2 5 5 -3 2 3 4 1 -3 -5 0 7 7 -5 1 4 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾”¾h3® 1 -3 -5 0 7 5 -3 2 3 4 3 -1 3 2 5 7 -5 1 4 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-5)+h2 h1(-3)+h3 h1(-7)+h4 ¾¾¾¾® 1 -3 -5 0 7 0 12 27 3 -31 0 8 18 2 -16 0 16 36 4 -48 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3 1 2 æ è ç ö ø ÷ “h2 ¾¾¾¾® 1 -3 -5 0 7 0 4 9 1 -8 0 12 27 3 -31 0 16 36 4 -48 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-3)+h3 h2(-4)+h4 ¾¾¾¾® 1 -3 -5 0 7 0 4 9 1 -8 0 0 0 0 -7 0 0 0 0 -16 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3 -16 7 æ è ç ö ø ÷ + h4 ¾¾¾¾¾® 1 -3 -5 0 7 0 4 9 1 -8 0 0 0 0 -7 0 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 3 5) 2

3. A = 2 2 1 5 -1 1 0 4 -2 1 2 1 5 -2 1 -1 -2 2 -6 1 -3 -1 -8 1 -1 1 2 -3 7 -2 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø ¾h¾1″h¾2® 1 0 4 -2 1 2 2 1 5 -1 2 1 5 -2 1 -1 -2 2 -6 1 -3 -1 -8 1 -1 1 2 -3 7 -2 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 h1(-2)+h3 h1+h4 h1(3)+h5 h1(-1)+h6 ¾¾¾¾® 1 0 4 -2 1 0 2 -7 9 -3 0 1 -3 2 -1 0 -2 6 -8 2 0 -1 4 -5 2 0 2 -7 9 -3 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø ¾h¾2″¾h3® 1 0 4 -2 1 0 1 -3 2 -1 0 2 -7 9 -3 0 -2 6 -8 2 0 -1 4 -5 2 0 2 -7 9 -3 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø h2(-2)+h3 h2(2)+h4 h2+h5 h2(-2)+h6 ¾¾¾¾® 1 0 4 -2 1 0 1 -3 2 -1 0 0 -1 3 -1 0 0 0 -4 0 0 0 1 -3 1 0 0 -1 3 -1 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ ø h3+h5 h3(-1)+h6 ¾¾¾¾® 1 0 4 -2 1 0 1 -3 2 -1 0 0 -1 3 -1 0 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 æ ççççççç è ö ÷÷÷÷÷÷÷ Þr(A) = 4 ø 6) A = 1 -1 2 3 4 2 1 -1 2 0 -1 2 1 1 3 1 5 -8 -5 -12 3 -7 8 9 13 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 h1+h3 h1(-1)+h4 h1(-3)+h5 ¾¾¾¾® 1 -1 2 3 4 0 3 -5 -4 -8 0 1 1 3 7 0 6 -10 -8 -16 0 -4 2 0 1 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø ¾h¾2″¾h3® 1 -1 2 3 4 0 1 1 3 7 0 3 -5 -4 -8 0 6 -10 -8 -16 0 -4 2 0 1 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h2(-3)+h3 h2(-6)+h4 h2(4)+h5 ¾¾¾¾® 1 -1 2 3 4 0 1 1 3 7 0 0 -8 -13 -29 0 0 -16 -26 -58 0 0 6 12 29 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø h3(-1)+h4 ¾h¾3+h¾5 ¾® 1 -1 2 3 4 0 1 1 3 7 0 0 -8 -13 -29 0 0 0 0 0 0 0 -2 -1 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø ¾h¾5(-¾4)+h¾3® 1 -1 2 3 4 0 1 1 3 7 0 0 0 -9 -29 0 0 0 0 0 0 0 -2 -1 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø 3

4. ¾h¾5″¾h4″¾h3® 1 -1 2 3 4 0 1 1 3 7 0 0 -2 -1 0 0 0 0 -9 -29 0 0 0 0 0 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø Þr(A) = 4 7) A = -3 2 -7 8 -1 0 5 -8 4 -2 2 0 1 0 3 7 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾1″h¾2® -1 0 5 -8 -3 2 -7 8 4 -2 2 0 1 0 3 7 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-3)+h2 h1(4)+h3 h1+h4 ¾¾¾¾® -1 0 5 -8 0 2 -22 32 0 -2 22 -32 0 0 8 -1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾2(-¾1)+h¾3® -1 0 5 -8 0 2 -22 32 0 0 0 0 0 0 8 -1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾3″¾h4® -1 0 5 -8 0 2 -22 32 0 0 8 -1 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 3 8) A = -1 3 3 -4 4 -7 -2 1 -3 5 1 0 -2 3 0 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(4)+h2 h1(-3)+h3 h1(-2)+h4 ¾¾¾¾® -1 3 3 -4 0 5 10 -15 0 -4 -8 12 0 -3 -6 9 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2 1 5 æ è ç ö ø ÷ h3 1 4 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® h4 1 3 æ è ç ö ø ÷ -1 3 3 -4 0 1 2 -3 0 -1 -2 3 0 -1 -2 3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2+h3 h2+h4 ¾¾¾® -1 3 3 -4 0 1 2 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 2 9) A = 1 3 -1 6 7 1 -3 10 17 1 -7 22 3 4 -2 10 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-7)+h2 h1(-17)+h3 h1(-3)+h4 ¾¾¾¾® 1 3 -1 6 0 -20 4 -32 0 -50 10 -80 0 -5 1 -8 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2 1 4 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® h3 1 10 æ è ç ö ø ÷ 1 3 -1 6 0 -5 1 -8 0 -5 1 -8 0 -5 1 -8 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-1)+h3 h2(-1)h4 ¾¾¾¾® 1 3 -1 6 0 -5 1 -8 0 0 0 0 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 2 10) 4

5. A = 0 1 10 3 2 0 4 -1 16 4 52 9 8 -1 6 -7 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h¾1″h¾2® 2 0 4 -1 0 1 10 3 16 4 52 9 8 -1 6 -7 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-8)+h3 h1(-4)+h4 ¾¾¾¾® 2 0 4 -1 0 1 10 3 0 4 20 17 0 -1 -10 -3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-4)+h3 h2+h4 ¾¾¾¾® 2 0 4 -1 0 1 10 3 0 0 -20 5 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Þr(A) = 3 Bài 2: Biện luận theo tham số l hạng của các ma trận: 1) A = 3 1 1 4 l 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h2¾”¾h4® 3 1 1 4 2 2 4 1 1 7 17 3 l 4 10 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾c1¾”c¾4® 4 1 1 3 1 2 4 2 3 7 17 1 1 4 10 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾”¾h2® 1 2 4 2 4 1 1 3 3 7 17 1 1 4 10 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-4)+h2 h1(-3)+h3 h1(-1)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 4 2 0 -7 -15 -5 0 1 5 -5 0 2 6 l – 2 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h2¾”¾h3® 1 2 4 2 0 1 5 -5 0 -7 -15 -5 0 2 6 l – 2 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(7)+h3 h2(-2)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 4 2 0 1 5 -5 0 0 20 -40 0 0 -4 l + 8 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3 1 5 æ è ç ö ø ÷ + h4 ¾¾¾¾® 1 2 4 2 0 1 5 -5 0 0 20 -40 0 0 0 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Vậy : – Nếu l = 0 thì r(A) = 3 – Nếu l ¹ 0 thì r(A) = 4 2) A = 3 1 1 4 l 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h2¾”¾h4® 3 1 1 4 2 2 4 3 1 7 17 3 l 4 10 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾c1¾”c¾4® 4 1 1 3 3 2 4 2 3 7 17 1 1 4 10 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø 5

6. ¾c1¾”c¾2® 1 4 1 3 2 3 4 2 7 3 17 1 4 1 10 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-2)+h2 h1(-7)+h3 h1(-4)+h4 ¾¾¾¾® 1 4 1 3 0 -5 2 -4 0 -25 10 -20 0 -15 6 l -12 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(-5)+h3 h2(-3)+h4 ¾¾¾¾® 1 4 1 3 0 -5 2 -4 0 0 0 0 0 0 0 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h3¾”¾h4® 1 4 1 3 0 -5 2 -4 0 0 0 l 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Vậy: – Nếu l = 0 thì r(A) = 2 – Nếu l ¹ 0 thì r(A) = 3 3) A = 4 1 3 3 0 6 10 2 1 4 7 2 6 l -8 2 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾C¾2″¾C4® 4 3 3 1 0 2 10 6 1 2 7 4 6 2 -8 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾”¾h3® 1 2 7 4 0 2 10 6 4 3 3 1 6 2 -8 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(-4)+h3 h1(-6)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 7 4 0 2 10 6 0 -5 -25 -15 0 -10 -50 l – 24 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2 1 2 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® 1 2 7 4 0 1 5 3 0 -5 -25 -15 0 -10 -50 l – 24 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2(5)+h3 h2(10)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 7 4 0 1 5 3 0 0 0 0 0 0 0 l + 6 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h3¾”¾h4® 1 2 7 4 0 -1 -5 -3 0 0 0 l + 6 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Vậy: – Khi l + 6 = 0Ûl = -6 thì r(A) = 2 – Khi l + 6 ¹ 0Ûl ¹ -6 thì r(A) = 3 4) A = -3 9 14 1 0 6 10 2 1 4 7 2 3 l 1 2 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ¾C¾2″¾C4® ø -3 1 14 9 0 2 10 6 1 2 7 4 3 2 1 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h1¾”¾h3® 1 2 7 4 0 2 10 6 -3 1 14 9 3 2 1 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h1(3)+h3 h1(-3)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 7 4 0 2 10 6 0 7 35 21 0 -4 -20 l -12 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h2 1 2 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® 1 2 7 4 0 1 5 3 0 7 35 21 0 -4 -20 l -12 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø 6

7. h2(-7)+h3 h2(4)+h4 ¾¾¾¾® 1 2 7 4 0 1 5 3 0 0 0 0 0 0 0 l æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h3¾”¾h4® 1 2 7 4 0 1 5 3 0 0 0 l 0 0 0 0 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø Vậy : – Nếu l = 0 thì r(A) = 2 – Nếu l ¹ 0 thì r(A) = 3 7

8. BÀI TẬP VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN Bài 1: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau: 1) A = 3 4 5 7 æ è ç ö ø ÷ Ta có: ( A I ) = 3 4 1 0 5 7 0 1 æ è ç ö ø ÷ h1 -5 3 æ è ç ö ø ÷ + h2 ¾¾¾¾® 3 4 1 0 0 1 3 – 5 3 1 æ ççç è ö ÷÷÷ ø h1 1 3 4 ¾h¾2(3)¾® 1 æ è ç ö ø ÷ 3 1 3 0 0 1 -5 3 æ ççç è ö ÷÷÷ ø h2 -4 ¾¾¾¾® 3 1 0 7 -4 æ è ç ö ø ÷ +h1 0 1 -5 3 æ è ç ö ø ÷ ÞA-1 = 7 -4 -5 3 æ è ç ö ø ÷ 2) A = 1 -2 4 -9 æ è ç ö ø ÷ Ta có: A-1 = 1 -2 4 -9 æ è ç ö ø ÷ -1 = 1 ad -bc d -b -c a æ è ç ö ø ÷ = 1 1.(-9) – (-2).4 -9 2 -4 1 æ è ç ö ø ÷ = 9 -2 4 -1 æ è ç ö ø ÷ 3) A = 3 -4 5 2 -3 1 3 -5 -1 æ çç è ö ÷÷ ø Ta có: ( A I ) = 3 -4 5 1 0 0 2 -3 1 0 1 0 3 -5 -1 0 0 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾(-1¾)+h¾1® çç ö 1 -1 4 1 -1 0 2 -3 1 0 1 0 3 -5 -1 0 0 1 æ è ÷÷ ø h1(-2)+h2 h1(-3)+h3 ¾¾¾¾® 1 -1 4 1 -1 0 0 -1 -7 -2 3 0 0 -2 -13 -3 3 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾(-2¾)+h¾3® 1 -1 4 1 -1 0 0 -1 -7 -2 3 0 0 0 1 1 -3 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾(-1¾®) 1 -1 4 1 -1 0 0 1 7 2 -3 0 0 0 1 1 -3 1 æ çç è ö ÷÷ ø h3(-7)+h2 h3(-4)+h1 ¾¾¾¾® 1 -1 0 -3 11 -4 0 1 0 -5 18 -7 0 0 1 1 -3 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾+h¾1® çç ö 1 0 0 -8 29 -11 0 1 0 -5 18 -7 0 0 1 1 -3 1 æ è ÷÷ ø 8

9. Vậy ma trận A là ma trận khả nghịch và A-1 = 8 29 11 ö ÷ ÷ ÷ ø æ ç ç ç è – – – – 5 18 7 – 1 3 1 4) A = 2 7 3 3 9 4 1 5 3 æ çç è ö ÷÷ ø Ta có: ( A I ) = 2 7 3 1 0 0 3 9 4 0 1 0 1 5 3 0 0 1 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h3¾”h¾1® 1 5 3 0 0 1 3 9 4 0 1 0 2 7 3 1 0 0 æ çç è ö ÷÷ ø h1(-3)+h2 h1(-2)+h3 ¾¾¾¾® 1 5 3 0 0 1 0 -6 -5 0 1 -3 0 -3 -3 1 0 -2 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h3¾”h¾2® 1 5 3 0 0 1 0 -3 -3 1 0 -2 0 -6 -5 0 1 -3 æ çç è ö ÷÷ ø ¾h2¾(-2¾)+h¾3® 1 5 3 0 0 1 0 -3 -3 1 0 -2 0 0 1 -2 1 1 æ çç è ö ÷÷ ø h2 -1 3 æ è ç ö ø ÷ ¾¾¾® 1 5 3 0 0 1 0 1 1 – 1 3 0 2 3 0 0 1 -2 1 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø h3(-1)+h2 h3(-3)+h1 ¾¾¾¾® 1 5 0 6 -3 -2 0 1 0 5 3 -1 – 1 3 0 0 1 -2 1 1 æ çççç è ö ÷÷÷÷ ø ¾h2¾(-5¾)+h¾1® 1 0 0 – 7 3 2 – 1 3 0 1 0 5 3 -1 – 1 3 0 0 1 -2 1 1 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø ÞA-1 = – 7 3 2 – 1 3 5 3 -1 – 1 3 -2 1 1 æ ççççç è ö ÷÷÷÷÷ ø 5) A = 1 2 2 2 1 -2 2 -2 1 æ çç è ö ÷÷ ø Ta có: 9

10. 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 2 1 2 0 1 0 0 3 6 2 1 0 2 2 1 0 0 1 0 6 3 2 0 1 æ ö ç ¸¾¾¾¾®ç ( ) æ ö = – ( ) ç ¸ ç – – – ¸ ¸ çè – ø¸ èç – – – ø¸ ( ) 1 2 2 1 2 3 2 1 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 3 0 3 6 2 1 0 0 1 2 2 1 0 3 1 2 2 3 9 3 3 0 0 9 2 2 1 2 2 1 0 0 1 9 9 9 h h h h h h h h A – + – + æ- ö çè ø¸ æ ö – + çè ø¸ æ ö ç ¸ æ ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç – – – ¸¾¾¾®ç – ¸ ç ¸ ç ¸ çè – ø¸ ç ¸ ç – ¸ è ø 1 2 0 5 4 2 1 0 0 1 2 2 æ – ö æ ö ç ¸ ç ¸ ç 9 9 9 ¸ ç 9 9 9 ¸ ( ) ( ) ( ) h – + h h – + h h – + h 3 2 2 3 2 1 2 2 1 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2 ¾¾¾¾®ç – ¸¾¾¾¾®ç – ¸ ç ¸ ç ¸ 9 9 9 9 9 9 ç ¸ ç ¸ çç 0 0 1 2 – 2 1 ¸¸ çç 0 0 1 2 – 2 1 ¸¸ è 9 9 9 ø è 9 9 9 ø 1 1 2 2 9 9 9 2 1 2 9 9 9 2 2 1 9 9 9 A- æ ö ç ¸ ç ¸ Þ = ç – ¸ ç ¸ ç ¸ çç – ¸¸ è ø Bài 2 Giải các phương trình ma trận sau 1) 1 2 3 5 3 4 5 9 X æ ö æ ö ç ¸ = ç ¸ è ø è ø Đặt 1 2 3 5 A B æ ö æ ö = ç ; = è 3 4 ¸ ç ¸ ø è 5 9 ø Ta có: AX = BÛ X = A-1B 1 1 1 2 4 2 2 1 1 1 3 4 1.4 2.3 3 1 3 1 2 2 d b 2 1 3 5 1 1 3 1 5 9 2 3 2 2 A ad bc c a X – – – – æ – ö æ ö æ ö æ ö ç ¸ = ç ¸ = ç ¸= ç ¸= ç – ¸ è ø – è- ø – è- ø è ø æ – ö – – ç ¸æ ö æ ö Þ = ç – ¸ç ¸= ç ¸ è ø è ø è ø 2) 3 2 1 2 5 4 5 6 X æ – ö æ – ö ç ¸= ç ¸ è – ø è- ø 10

11. Đặt æ 3 – 2 ö æ – 1 2 ö = ç ¸ = – è- ç ¸ è ø ø A ; B 5 4 5 6 Ta có: XA = BÛ X = BA-1 1 1 3 2 4 2 2 1 1 1 5 4 3.( 4) 5.( 2) 5 3 5 3 2 2 d b 2 1 1 2 3 2 5 3 5 6 5 4 2 2 A ad bc c a X – – – – – æ – ö æ ö æ ö æ ö ç ¸ = ç ¸ = ç ¸= ç ¸= ç ¸ è – ø – è – ø – – – è – ø – è ø æ – ö – – ç ¸æ ö æ ö Þ = ç ¸ç ¸= ç ¸ – è- ø è – ø è ø æ 1 2 – 3 ö æ 1 – 3 0 ö 3) ç ç 3 2 – 4 ¸ ¸ X = ç ç 10 2 7 ¸ ¸ çè 2 – 1 0 ø¸ èç 10 7 8 ø¸ Giải: Đặt æ 1 2 – 3 ö æ 1 – 3 0 ö = ç ç 3 2 – 4 ¸ ç ¸ ; = ç 10 2 7 ¸ ¸ çè 2 – 1 0 ø¸ èç 10 7 8 ø¸ A B Ta có: AX = BÛ X = A-1B Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: 1 4 3 2 8 6 5 7 5 4 A- æ – – ö = ç – – ¸ ç ¸ çè – – ø¸ Suy ra: 4 3 2 1 3 0 6 4 5 8 6 5 10 2 7 2 1 2 7 5 4 10 7 8 3 3 3 X æ – – öæ – ö æ ö = ç – – ¸ç ¸= ç ¸ ç ¸ç ¸ ç ¸ çè – – ø¸èç ø¸ èç ø¸ 4) 5 3 1 8 3 0 1 3 2 5 9 0 5 2 1 2 15 0 X æ ö æ – ö ç – – ¸= ç – ¸ ç ¸ ç ¸ çè- ø¸ èç – ø¸ Đặt æ 5 3 1 ö æ – 8 3 0 ö = ç ç 1 – 3 – 2 ¸ ç- ¸ ; = ç 5 9 0 ¸ ¸ çè – 5 2 1 ø¸ èç- 2 15 0 ø¸ A B Ta có: XA = BÛ X = BA-1 Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: 11

12. 1 1 1 3 19 19 19 9 10 11 19 19 19 13 25 18 19 19 19 A- æ – – ö ç ¸ ç ¸ = ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç – – – ¸¸ è ø Suy ra: 1 1 1 3 8 3 0 19 19 19 1 2 3 5 9 0 9 10 11 4 5 6 19 19 19 2 15 0 13 25 18 7 8 9 19 19 19 X BA- A æ – – ö ç ¸ æ – öç ¸ æ ö = = = ç – ¸ç ¸= ç ¸ ç ¸ç ¸ ç ¸ çè – ø¸ç ¸ èç ø¸ çç – – – ¸¸ è ø æ 3 – 1 ö 5 6 14 16 5) ç ¸ X æ ö æ ö 5 – 2 ç ¸= ç ¸ è ø è 7 8 ø è 9 10 ø Đặt æ 3 – 1 ö æ 5 6 ö æ 14 16 ö = ç ¸ = – ç ¸ = ç ¸ è ø è ø è ø A ; B ; C 5 2 7 8 9 10 Ta có: AXB = C Û X = A-1CB-1 1 1 1 1 3 1 2 1 5 2 5 3 5 6 4 3 7 8 7 5 2 2 A B – – – – æ – ö æ – ö = ç ¸ = ç ¸ è – ø è – ø æ – ö æ ö ç ¸ = ç ¸ = ç ¸ è ø – è ø Suy ra: 2 1 14 16 4 3 19 22 4 3 1 2 5 3 9 10 7 5 43 50 7 5 3 4 2 2 2 2 X – æ – ö æ – ö æ öæ öç ¸ æ öç ¸ æ ö = ç ¸ç ¸ç ¸= ç ¸ç ¸= ç ¸ è – øè ø – è ø – è ø è ø è ø 12

13. BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 1) x x x x x x x x x + + = ìï 7 2 3 15 1 2 3 5 3 2 15 10 11 5 36 – + = 1 2 3 î – + = 1 2 3 íï Giải: Ta có: ( ) 2( 1) 1 1( 2) 2 æ ö æ ö æ ö = ç – ¸¾¾¾¾®ç – ¸¾¾¾¾®ç – ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ çè – ø¸ èç – ø¸ èç – ø¸ 7 2 3 15 2 5 1 0 2 5 1 0 5 3 2 15 h h 5 3 2 15 h h 1 13 0 15 h h 10 11 5 36 0 5 1 6 0 5 1 6 1 13 0 15 1 13 0 15 2 5 1 0 0 31 1 30 0 5 1 6 0 5 1 6 A B – + – + – + 2( 2) 3 æ – ö æ – ö ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç – ¸ ç ¸ ç ¸ h ” h h – + h h 1 2 1( 2) 2 3 çè – ø¸ èç – ø¸ (6) 2 2(5) 3 1 13 0 15 0 1 7 6 0 5 1 6 1 13 0 15 0 1 7 6 0 0 36 36 h h h + + æ – ö ¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ çè – ø¸ æ – ö ¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ çè ø¸ Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x x x x x x x x ì – = ì = ï + = Ûï = – í í ï = ï = î î 13 15 2 7 6 1 1 2 1 2 3 2 36 36 1 3 3 2) x x x x x x x x x + – = ìï 2 2 10 1 2 3 3 2 2 1 5 4 3 4 + + = 1 2 3 î + + = 1 2 3 íï Giải: Ta có: ( ) 1( 1) 2 æ 2 1 – 2 10 ö æ 2 1 – 2 10 ö æ 1 1 4 – 9 ö ç ¸¾¾¾¾®ç h – + h = 3 2 2 1 h 1( – 2) + h 3 1 1 4 – 9 ¸¾¾¾®ç h 1 ” h 2 ¸ ç ¸ ç ¸ ç 2 1 – 2 10 ¸ çè 5 4 3 4 ø¸ èç 1 2 7 – 16 ø¸ èç 1 2 7 – 16 ø¸ æ – ö æ – ö 1 1 4 9 1 1 4 9 0 1 10 28 0 1 10 28 0 1 3 7 0 0 7 21 A B h – + h h – + h h + h 1( 2) 2 1( 1) 2 2 3 ¾¾¾¾®ç – – ¸¾¾¾®ç – – ¸ ç ¸ ç ¸¸ çè – ø¸ èç – ø Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: 13

14. x x x x x x x x x ì + + 4 = – 9 = 1 ï- 1 2 3 ì 1 í – 10 = 28 Û ï í = 2 2 3 2 ï- î = ï î = – 7 21 3 3 3 3) x x x x x x x x x + – = ìï 2 3 1 2 3 + – = íï î + + = 2 5 4 5 1 2 3 3 4 2 12 1 2 3 Giải: Ta có: ( ) 1( 2) 2 2(2) 3 æ 1 2 – 1 3 ö æ 1 2 – 1 3 ö æ 1 2 – 1 3 ö = ç ç 2 5 – 4 5 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 1 – 2 – 1 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 1 – 2 – 1 ¸ ¸ çè 3 4 2 12 ø¸ èç 0 – 2 5 3 ø¸ èç 0 0 1 1 ø¸ A B h – + h h + h h 1( – 3) + h 3 Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x x x x x x x x x ì + – = ì = ï – = – Ûï = í í ï = ï = î î 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 2 3 3 4) x x x x x x x x x + – = ìï 2 3 1 1 2 3 5 2 6 5 3 4 7 + – = 1 2 3 î – – = 1 2 3 íï Giải: Ta có: ( ) 3( 1) 1 1( 1) 2 æ 2 1 – 3 1 ö æ – 1 2 1 – 6 ö æ- 1 2 1 – 6 ö = ç 5 2 – 6 5 ¸¾¾¾¾®ç- h h ç ¸ ç 1 4 2 – 9 ¸¾¾¾¾®ç h h ¸ h h ¸ 0 2 1 – 3 h h ç ¸ çè 3 – 1 – 4 7 ø¸ èç 3 – 1 – 4 7 ø¸ èç 0 5 – 1 – 11 ø¸ A B – + – + – + + 3( 2) 2 1(3) 3 æ – – ö æ – – ö æ- – ö ¸¾¾¾¾®ç – – ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ø çè ¸ø 1 2 1 6 1 2 1 6 0 2 1 3 0 1 3 5 0 1 3 5 0 2 1 3 ¾¾¾¾®ç h 2( – 2) + h 3 – ¸¾¾¾®ç h 2 ” h 3 ç ¸ – – çè – – ø¸ è – 2( 2) 3 1 2 1 6 0 1 3 5 0 0 7 7 h – +h Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x x x x x x x x x ì- + + = – ì = ï – = – Ûï = – í í ï = ï = î î 2 6 3 3 5 2 1 2 3 1 2 3 2 7 7 1 3 3 5) x x x x x x x x x + – = ìï + – = íï î + – = 2 2 8 1 2 3 3 2 4 15 1 2 3 5 4 1 1 2 3 14

15. Giải: Ta có: ( A B ) 2( – 1) + 1 1(3) + 2 2( 2) 3 1( 1) 3 2 3 2 1 2 8 1 1 2 7 1 1 2 7 3 2 4 15 h h 3 2 4 15 h h 0 1 2 6 h h h h 5 4 1 1 1 0 7 29 0 1 5 22 1 1 2 7 0 1 2 6 0 0 7 28 h h – + – + + æ – ö æ- – – ö æ- – – ö = ç – ¸¾¾¾¾®ç – ¸¾¾¾¾®ç – – ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ çè – ø¸ èç- – ø¸ èç – ø¸ æ- – – ö ¾¾¾®ç – – ¸ ç ¸ çè – ø¸ Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x x x x x x x x x ì- – + 2 = – 7 ì = 1 ï- 1 2 3 1 í + = – Ûï í = – 2 3 2 ï = – ï î î = – 2 6 2 7 28 4 3 3 6) x x x x x x x x x + – = ìï 2 3 1 1 2 3 + – = íï î + – = 2 5 8 4 1 2 3 3 8 13 7 1 2 3 Giải: Ta có: ( ) 1( 2) 2 2( 2) 3 æ 1 2 – 3 1 ö æ 1 2 – 3 1 ö æ 1 2 – 3 1 ö = ç 2 5 – 8 4 ¸¾¾¾¾®ç 0 1 – 2 2 ¸¾¾¾¾®ç ç ¸ ç ¸ ç 0 1 – 2 2 ¸ ¸ çè 3 8 – 13 7 ø¸ èç 0 2 – 4 4 ø¸ èç 0 0 0 0 ø¸ A B h – + h h – + h h 1( – 3) + h 3 Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: ì + – = ï ï í Ûí = + Ûí = + Î î – = ï ï î tuøy î = ( ) x x x t ì = – 3 – ì = – 3 – 1 3 1 1 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 1 2 2 2 2 2 2 ý x x x x x x t t R x x x x t Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 1) x x x x x x x x x x x x x x x x + – + = ìï 2 2 4 1 2 3 4 4 3 2 6 8 5 3 4 12 3 3 2 2 6 + – + = 1 2 3 4 ïí + – + = 1 2 3 4 î + – + = 1 2 3 4 Giải: Ta ïï có: 15

16. ( ) ( ) ( ) æ – ö æ – ö ç – ¸ ç – – ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ ç – – ¸ ç – ¸ ç – ¸ è ø è ø 2 2 1 1 4 h1 – 2 + h2 2 2 1 1 4 h1 – 4 + h3 4 3 1 2 6 h1 3 çè æ- ö+ h4 0 1 1 0 2 2 ø¸ 8 5 3 4 12 0 3 1 0 4 3 3 2 2 6 0 0 1/ 2 1/ 2 0 2 2 1 1 4 2 2 1 1 4 0 1 1 0 2 0 1 1 0 2 0 0 2 0 2 0 0 0 1/ 2 1/ 2 0 A B æ – ö – ç ¸ ¾¾¾¾®ç h2( – 3) + h3 – – ¸¾¾¾¾® h3( – 1/4) + h4 – – ç – ¸ ç – ¸ è ø æ ö ç ¸ ç ¸ ç 0 – 2 0 2 ¸ ç ¸ è 0 0 0 1/ 2 – 1/ 2 ø Khi đó (1) Û ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x ì + – + = ï – + = – ïïí 2 2 4 1 1 2 3 4 2 3 – = – 3 4 2 2 2 2 3 1 1 4 2 2 x x x x ïï ï = – î Từ (4) 4 Þ x = -1 Thế 4 x = -1 vào (3) 3 Þ x = -1 Thế x3 vào (2) ta được: 2 x =1 Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: 1 x =1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x = ìï = ïí = – ïï î = – hay (1, 1, -1, -1) 2) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 3 11 5 2 1 2 3 4 + + + = ïí 5 2 1 1 2 3 4 + + + = – ïï î + + + = – 2 3 2 3 1 2 3 4 3 4 3 1 2 3 4 Giải: Ta có: 2 3 11 5 2 1 1 5 2 1 1 1 5 2 1 2 3 11 5 2 æ ö æ ö ç ¸ ç ¸ = ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ ç – ¸ ç – ¸ ç – ¸ è ø è ø ( A / B ) h1 ” h2 2 1 3 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 4 3 1 1 3 4 3 16

17. ( ) ( ) ( ) h1 2 h2 h1 2 h3 h1 1 h4 h2 h3 h3 h4 h3(-3) h4 1 1 5 2 1 1 1 5 2 1 1 1 5 2 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 7 2 5 0 0 6 1 5 0 0 2 2 4 0 0 2 2 4 0 0 2 2 4 0 0 6 1 5 1 1 5 2 1 0 1 1 1 0 0 0 2 2 4 0 0 0 7 7 – + – + – + + ” + æ ö æ ö æ ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ ¾¾¾¾® ç ¸¾¾¾® ç ¸¾¾¾® ç ¸ ç – – – – ¸ ç – – – ¸ ç – – ¸ ç – – ¸ ç – – ¸ ç – – – ¸ è ø è ø è ø æ ö çç ¾¾¾¾® ç – – ç – è ¸¸¸¸ø Suy ra: (2) Û + + + = ìï 5 2 1 (1) 1 2 3 4 + + = 2 3 4 ïí – + = – 3 4 î – = 4 ïï 0 (2) 2 2 4 (3) 7 7 (4) x x x x x x x x x x Từ (4) 4 Þ x = -1 Thế 4 x = -1 vào (3) 3 Þ x =1 Thế x3, x4 vào (2) ta được: 2 x = 0 Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: 1 x = -2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ì ï ï í ï ï î = – x 2 = 1 x 0 = 2 x 1 = – 3 x 1 4 hay (-2, 0, 1, -1) + + + = íï î + + + = ( ) h2(-1) h1 3) x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 7 3 6 1 2 3 4 3 5 2 2 4 1 2 3 4 9 4 7 2 1 2 3 4 æ 2 7 3 1 6 ö æ- 1 2 1 – 1 2 ö = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ çè ø¸ èç ø¸ A B + / 3 5 2 2 4 3 5 2 2 4 9 4 1 7 2 9 4 1 7 2 æ- – ö æ- – ö 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 0 11 5 1 10 0 11 5 1 10 0 22 10 2 20 0 0 0 0 0 h1(3)+h2 h1(3)+h3 h2(-2) h3 ¾¾¾¾®ç – ¸¾¾¾¾®ç + ¸ ç ¸ ç – ¸ çè – ø¸ èç ø¸ Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình: 17

18. x x x x – + + – = ìí î + – = 2 2 (1) 11 x 5 x x 10 (2) x = x + x – x x x x x x x x (2) : 11 5 10 (1) 2 11 5 10 2 9 4 8 ( ) 1 2 3 4 2 3 4 4 2 3 Û – + + – + – = Û = – – + 1 2 3 2 3 1 2 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: x x x x x x x x =- – + ìïïíïï î = + – 9 4 8 1 2 3 x t s x t = + ìï ï = í ” Î = ïï î = + – tuøy yù tuøy yù hay ( ) 2 2 4 2 3 11 5 10 1 2 3 4 -9 – 4 8 , 11 5 10 t s R x s x t s 4) – + + = î + – – = Ta có: ( íï ) x x x x x x x x x x x x – + + = ìï 3 5 2 4 2 1 2 3 4 7 4 3 5 1 2 3 4 5 7 4 6 3 1 2 3 4 æ – ö æ – ö = ç – ¸¾¾¾®ç – – ¸ ç ¸ ç ¸ çè – – ø¸ èç – – ø¸ æ – – ö æ – – ö A B + ( ) ( ) ¾¾¾®ç – ¸¾¾¾¾®ç – – ¸ ç ¸ ç ¸ ( ) h1(-2) h2 1 3 2 1 2 1 5 3 2 1 3 3 5 2 4 2 3 5 2 4 2 / 7 4 1 3 5 1 6 3 5 1 5 7 4 6 3 5 7 4 6 3 1 6 3 5 1 1 6 3 5 1 h h 3 5 2 4 2 0 23 11 19 1 5 7 4 6 3 0 23 11 19 2 1 6 3 5 1 0 23 11 19 1 h h h h h h – + ” – + – + çè – – ø¸ èç – – ø¸ – – æ ö ç ¸ ç ¸ çè – ø¸ ¾¾¾¾® – – 0 0 0 0 1 Suy ra: (4) Û + – – = ìï – + + = – íï î = – 6 3 5 0 23 11 19 1 1 2 3 4 2 3 4 0 1 x x x x x x x Þ hệ vô nghiệm 5) x x x x x x x x x x x x x x – + – = ìï 2 1 1 2 3 4 2 3 2 3 3 3 2 2 5 6 – – = ïí 1 2 4 1 3 4 – + = – î + – + = – 1 2 3 4 ïï 18

19. ( ) æ 2 – 1 1 – 1 1 ö æ 0 0 1 2 – 1 ö ç h 2( – 1) + h 3 ç 2 – 1 0 – 3 2 ¸ ç ¸ ¸¾¾¾¾®ç h 2( – 1) + h 4 2 – 1 0 – 3 2 h 2( – 1) + h 1 ¸ ç 3 0 – 1 1 – 3 ¸ ç 1 1 – 1 4 – 5 ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è 3 2 – 2 5 – 6 ø è 0 3 – 2 8 – 8 ø æ – – ö – ç – – ¸ – – ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç – ¸ 1 1 1 4 5 1 1 1 4 2 1 0 3 2 0 3 2 11 0 0 1 2 1 0 0 1 2 0 3 2 8 8 0 3 A B h ” h h – + h 1 3 1( 2) 2 çç ¸¸ è – – ø – 2 4 5 12 1 2 8 8 1 1 1 4 5 0 3 2 11 12 0 0 1 2 1 0 0 0 3 4 h +h æ – ö ç ¸ ç ¸ ç – ¸ çç ¸¸ è – ø æ – – ö ç – – ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ çç ¸¸ è – ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: = 1 ìï ïî ì + – + = – ï 1 2 3 4 ï = 2 ï – + – = 2 3 4 Ûí ï æ – ö í ï + = – = 3 è ç ¸ 3 4 ï ø îï – = ï 4 = – 4 0 4 5 2 3 2 11 12 5 5 4 0,2, , 2 1 3 3 3 3 4 4 3 x x x x x x x x x x hay x x x x 6) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 3 4 11 1 2 3 4 + + + = ïí 2 3 4 12 1 2 3 4 3 4 2 13 4 2 3 14 + + + = 1 2 3 4 î + + + = 1 2 3 4 ïï Giaûi æ 1 2 3 4 11 ö æ 1 2 3 4 11 ö ç 2 3 4 1 12 ¸ ç h – + h 0 – 1 – 2 – 7 – 10 ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç h – + h ¸ ç 3 4 1 2 13 ¸ h – + h ç 0 – 2 – 8 – 10 – 20 ¸ çç è 4 1 2 3 14 ¸¸ çç ø è 0 – 7 – 10 – 13 – 30 ¸¸ ø ( ) 1( 2) 2 1( 3) 3 1( 4) 4 æ ö ç – – – – ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾ ® ç – ¸ 1 2 3 4 11 0 1 2 7 10 0 0 4 4 0 0 0 4 36 40 A B æ ö ç – – – – ¸ ¾ ç ¸ ç – ¸ çç ¸¸ è ø h – + h h + h h – + h 2( 2) 3 3 4 2( 7) 4 çç ¸¸ è ø 1 2 3 4 11 0 1 2 7 10 0 0 4 4 0 0 0 0 40 40 Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: 19

20. ( ) x x x x x ì + + + = ì = ï – – – = – ï = ï Ûï í – + = í = ï ï îï = ïî = 2 3 4 11 2 1 2 3 4 1 x x x x 2 7 10 1 2 3 4 2 3 4 3 4 4 2,1,1,1 4 4 0 1 40 40 1 hay x x x x x 7) x x x x – + – = ìï 2 3 4 4 1 2 3 4 x x x – = – ïí + 3 2 3 4 x x x + – = ïï î – + + = – 3 3 1 7 3 3 1 2 4 x x x 2 3 4 Giaûi æ 1 – 2 3 – 4 4 ö æ 1 – 2 3 – 4 4 ö ç 0 1 – 1 1 – 3 ¸ ç 0 1 – 1 1 – 3 ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 1 3 0 – 3 1 ¸ ç 0 5 – 3 1 – 3 ¸ çç è 0 – 7 3 1 – 3 ¸¸ çç ø è 0 – 7 3 1 – 3 ¸¸ ø ( A B ) h 1( – 1) + h 3 æ – – ö – – ç – – ¸ – – ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç – ¸ – æ ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è ø 1 2 3 4 4 1 2 3 4 4 0 1 1 1 3 0 1 1 1 0 0 2 4 12 0 0 2 4 0 0 4 8 24 0 0 0 0 h – + h h + h h + h 2( 5) 3 3(2) 4 2(7) 4 çç ¸¸ è – – ø 3 12 0 Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: ì – + – = ï ï ï ï = + ï = + í – + = – Ûí Ûí Î ï ï = + ï = + î – = ï ï î tuøy yù î = ( ) ì = – ì = – 8 8 1 1 1 2 3 4 2 4 2 2 3 4 3 4 3 3 4 4 4 2 3 4 4 3 3 3 2 6 2 6 2 4 12 x x x x x x x x x t x x x t R x x x t x x x x t 8) x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 3 4 2 3 1 2 3 4 6 8 2 5 7 9 12 3 10 13 + + + = 1 2 3 4 î + + + = 1 2 3 4 íï Giaûi ( ) 1( 2) 2 2( 4) 3 æ 3 4 1 2 3 ö æ 3 4 1 2 3 ö æ 3 4 1 2 3 ö = ç ç 6 8 2 5 7 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 0 0 1 1 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 0 0 1 1 ¸ ¸ çè 9 12 3 10 13 ø¸ èç 0 0 0 4 4 ø¸ èç 0 0 0 0 0 ø¸ A B h – + h h – + h h 1( – 3) + h 3 Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: 20

21. ì = – – ï ì + + + = ï ï = í Ûí = Ûí Î î = ï ï = ( ) x t s ì = – – 1 3 1 2 1 2 3 4 2 4 4 3 î 1 2 î ï = 4 1 3 4 1 3 4 3 4 2 3 1 , 1 1 x x x x x x x x t x t s R x x s x x ,x tuøy yù 9) x x x x x x x x x x x x – + + = ìï 9 3 5 6 4 1 2 3 4 6 2 3 4 5 3 3 14 8 – + + = 1 2 3 4 î – + + = – 1 2 3 4 íï Giaûi ( ) 3 1 1( 2) 2 æ – ö æ – – ö æ – – ö = ç – ¸¾¾¾®ç – ¸¾¾¾¾®ç – – ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ çè – – ø¸ èç – ø¸ èç – – ø¸ A B ” – + 1( 3) 3 2 1 æ – – ö – 3 3 4 3 1 4 9 3 5 6 4 3 1 3 14 8 3 1 3 14 8 6 2 3 4 5 h h 6 2 3 4 5 h h 0 0 3 24 21 h h 3 1 3 14 8 9 3 5 6 4 0 0 4 36 28 3 1 3 14 8 3 1 3 0 0 1 8 7 0 0 1 9 7 h h h h – + æ- ö çè ø¸ + æ ö çè ø¸ ¾¾¾®ç – ¸¾¾¾® ç ¸ çè – – ø¸ æ 14 – 8 ö ç 0 0 1 8 – 7 ¸ ç ¸ çè 0 0 0 – 1 0 ø¸ Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: ì = + ì = + ì – + + = – ï ï ï ïï ïï í + = – Ûí Ûí = Î ï = ï = – ï = – î ï ï ( ) 1 13 1 13 x x x t 1 2 1 3 3 14 8 3 3 3 3 1 2 3 4 x tuøy yù 3 4 2 2 4 3 3 4 4 8 7 0 7 7 0 0 x x x x x x x t t R x x x x x îï = îï = 10) x x x x x x x x x x x x x x x – – + = ìï 3 2 5 3 1 2 3 4 2 3 5 3 – + + = – 1 2 3 4 ïí + – = – ïï î – – + = 2 4 3 1 2 4 1 2 3 4 4 9 22 Giaûi æ 3 – 2 – 5 1 3 ö æ 1 2 0 – 4 – 3 ö ç 2 – 3 1 5 – 3 ¸ ç ç ¸¾¾¾®ç 2 – 3 1 5 – 3 ¸ = ¸ ç 1 2 0 – 4 – 3 ¸ ç 3 – 2 – 5 1 3 ¸ çç è 1 – 1 – 4 9 22 ¸¸ çç ¸¸ ø è 1 – 1 – 4 9 22 ø ( A B ) h 1 ” h 3 æ – – ö ç – ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç – – ¸ æ – – ö ç – ¸ ç ¸ ç – – ¸ çç ¸¸ è ø 1 2 0 4 3 1 0 7 1 13 3 0 8 5 13 12 0 3 4 13 25 h – + h h – + h h – + h h – + h h – + h 1( 2) 2 1( 3) 3 3( 1) 2 1( 1) 4 3( 1) 4 çç ¸¸ è – – ø 2 0 4 3 0 1 6 0 9 0 8 5 13 12 0 5 1 0 13 21

22. æ – – ö æ – – ö ç – ¸ ç – ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ ç – ¸ 1 2 0 4 3 1 2 0 4 3 0 1 6 0 9 4 1 3 0 1 6 0 9 0 0 43 13 60 0 0 1 0 2 0 0 29 0 58 0 0 43 13 60 æ ö” + çè ø¸ – + h h h h h h 2(8) 3 29 2( 5) 4 çç ¸¸ çç ¸¸ è – ø è – ø æ – – ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç – 3(43) 4 ¸ ç – ¸ 1 2 0 4 3 0 1 6 0 9 0 0 1 0 2 0 0 0 13 26 h +h çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x ì – – = – ì = ï + = – ï = ï Ûï í- = í = – ï ï îï = ïî = 2 4 3 1 6 9 3 2 2 1 2 4 1 2 3 2 3 3 13 26 2 4 4 11) x x x x x x x x x x x x x x x mx + – – = ìï 6 4 6 1 2 3 4 – – – = ïí 3 6 4 2 1 2 3 4 2 3 9 2 6 3 2 3 7 + + + = 1 2 3 4 î + + + = – 1 2 3 4 ïï Giaûi æ – – ö æ – – ö ç – – – ¸ ç – – ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç – ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è – ø è – – ø æ – – ö ç – – ¸ ¾¾¾®ç ¸¾¾ ® ç – ¸ 1 1 6 4 6 1 1 6 4 6 3 1 6 4 2 h h 0 4 12 8 16 h h 2 3 9 2 6 h h 0 1 21 10 6 3 2 3 8 7 0 1 21 20 25 1 1 6 4 6 0 1 3 2 4 0 1 21 10 6 0 1 21 20 25 ( ) 1( 3) 2 1( 2) 3 1( 3) 4 æ – – ö ç – – ¸ ¾¾ ç ¸ ç – ¸ 2 1 4 2 3 2( 1) 4 h h h h h A B – + – + – + æ ö çè ø¸ + – + çç ¸¸ è – – ø 1 1 6 4 6 0 1 3 2 4 0 0 24 12 10 0 0 18 18 21 çç ¸¸ è – ø æ – – ö æ – – ö ç – – ¸ ç – – ¸ ¾¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ ç – ¸ 1 1 6 4 6 1 1 6 4 6 0 1 3 2 4 0 1 3 2 4 0 0 6 6 7 0 0 6 6 7 0 0 12 6 5 0 0 0 6 9 4 1 3 1 3 2 3( 2) 4 æ ö” æ ö çè ø¸ èç ø¸ – + h h h h çç ¸¸ çç ¸¸ è – ø è – ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: 22

23. = 1 ìï 1 2 3 4 2 2 3 4 3 3 4 4 4 0 6 4 3 2 3 2 4 1 6 6 7 3 6 9 3 2 x x x x x x x x x x x x x x ì + – – = – = ï ï ï + + = – ï í Ûí = ï + = – ï îï- = ï = – ïî 12) x x x x x x x x x x x x x x – + – = ìï 2 1 1 2 3 4 2 3 2 3 3 2 2 2 5 6 – – = 1 2 4 ïí – + = – 1 3 4 î + – + = – 1 2 3 4 ïï Giaûi æ – – ö æ – – ö ç – – ¸ ç – – ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç – – ¸ ç – – ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è – – ø è – – ø æ – – ö – ç – – ¸ – – ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç – – ¸ – – ( ) 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 3 2 h 1( – 1) + h 2 0 0 1 2 1 h 1( – 1) + h 3 3 0 1 1 3 h 1( – 1) + h 4 1 1 2 2 4 2 2 2 5 6 0 3 3 6 7 1 1 2 2 4 1 1 2 2 0 0 1 2 1 ( ) 0 0 1 2 12 1 1 1 1 0 3 5 5 0 3 3 6 7 0 A B h ” h h – + h 1 3 2 2 çç ¸¸ è – – ø + ” 3 4 2 3 ( ) 3 2 4 4 1 9 3 3 6 7 1 1 2 2 4 1 1 2 2 4 0 0 1 2 1 0 3 5 5 9 0 3 5 5 9 0 0 1 2 1 0 0 2 1 2 0 0 2 1 2 1 1 2 2 4 0 3 5 5 9 0 0 1 2 1 0 0 0 3 4 h h h h h + h æ – ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è – – ø æ – – ö æ – – ö ç – – ¸ ç – – ¸ ¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç – – ¸ ç – – ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø æ – – ö ç – – ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç – – ¸ çç ¸¸ è – ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: = 1 ìï 1 2 3 4 2 2 3 4 3 3 4 4 4 0 2 2 4 2 3 5 5 9 5 2 1 3 3 4 4 3 x x x x x x x x x x x x x x ì + – + = – = ï ï ï- + – = ï í Ûí = ï- – = ï îï- = ï = – ïî 23

24. 13) x x x x x x x x x x x x x x x x + – + = ìï 3 5 3 2 12 1 2 3 4 4 2 5 3 27 7 8 5 40 6 4 5 3 41 – + + = 1 2 3 4 ïí + – + = 1 2 3 4 î + + + = 1 2 3 4 ïï Giaûi æ – ö æ – ö ç – ¸ ç – ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ ç – ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è – – ø æ – ö – ç – ¸ ¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç – ¸ 3 5 3 2 12 3 5 3 2 12 4 2 5 3 27 h h 1 7 8 1 15 h h 7 8 1 5 40 h h 1 2 5 1 16 6 4 5 3 41 0 6 11 117 1 2 5 1 16 1 2 5 1 7 8 1 15 3 5 3 2 12 0 6 11 117 ( ) 1( 1) 2 1( 2) 3 1( 2) 4 h h h h 1 3 1( 1) 2 h h 1( 3) 3 A B – + – + – + ” – + – + çç ¸¸ è – – ø + ” – + 2(2) 3 2 4 2( 1) 4 æ ö æ – ö ç ¸ ç – – ¸ 2 3 ç ¸¾¾¾®ç ¸ 2( 5) 4 ç – – ¸ ç ¸ çç è – – ¸¸ çç ¸¸ ø è – – ø æ – ö æ – ö ç ¾¾¾¾®ç – – ¸ ç ¸ ¸¾¾¾®ç – – ¸ ç ¸ ç – ¸ 1 16 0 5 3 0 1 0 11 18 1 36 0 6 11 1 17 1 2 5 1 16 1 2 5 1 16 0 5 3 0 1 0 1 8 1 18 0 1 12 1 38 0 1 12 1 38 0 1 8 1 18 0 5 3 0 1 1 2 5 1 0 1 8 1 0 0 h h h h h h h + h h – + h æ ö ç – – ¸ ç ¸ ç – – – ¸ çç ¸¸ è – – ø æ – ö æ – ö ç – – ¸ ç – – ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç – – – ¸ ç – – – ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è – – ø è – – ø – – – ¾¾¾¾® – ( ) 16 1 2 5 1 16 18 3 1 0 1 8 1 18 2 h 4 2 20 0 0 2 1 10 0 0 37 5 91 0 0 37 5 91 1 2 5 1 16 1 2 5 1 16 0 1 8 1 18 0 1 8 1 18 0 0 2 1 10 0 0 1 23 89 0 0 1 23 89 0 0 2 1 10 h h h h 3 18 4 3 4 æ – ö ç – – ¸ ¾¾¾¾®ç h ¸ ç – ¸ æ- ö çè ø¸ + ” çç ¸¸ çç ¸¸ è – ø è ø 3(2) 4 1 2 5 1 16 0 1 8 1 18 0 0 1 23 89 0 0 0 47 188 +h çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x x x ì – + + = ì = ï- + – = ï = ï Ûï í- + = í = ï ï îï = ïî = 2 5 16 1 8 18 2 23 89 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 3 47 188 4 4 4 24

25. 14) x x x x x x x x x x + + + = ìï 4 4 5 5 0 1 2 3 4 2 3 10 + – = 1 3 4 ïí + – = – ïï î + = 5 10 1 2 3 x x 3 2 1 2 3 Giaûi Ta coù: æ 4 4 5 5 0 ö æ 1 1 – 5 0 – 10 ö ç 2 0 3 – 1 10 ¸ ç ç ¸¾¾¾®ç 2 0 3 – 1 10 ¸ = ¸ ç 1 1 – 5 0 – 10 ¸ ç 4 4 5 5 0 ¸ çç è 0 3 2 0 1 ¸¸ çç ø è 0 3 2 0 1 ¸¸ ø ( A B ) h 1 ” h 3 æ – – ö æ – – ç – – ¸ ç – ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ç ¸ ç 1 1 5 0 10 1 1 5 0 10 0 2 13 1 30 0 1 15 1 31 0 0 25 5 40 0 0 25 5 40 0 3 2 0 1 0 3 2 0 1 h – + h h + h h – + h 1( 2) 2 4 2 1( 4) 3 çç ¸¸ çç è ø è 1 1 5 0 10 1 1 5 0 10 0 1 15 1 31 h 3 1 0 1 15 1 31 0 0 25 5 40 0 0 5 1 8 0 0 43 3 92 0 0 43 3 92 1 1 5 0 10 1 0 1 15 1 31 0 0 5 1 8 0 0 2 12 20 h h 2( 3) 4 5 4 1 3 h h h h 3(9) 4 2 æ ö – + çè ø¸ æ ö” + çè ø¸ ö ¸¸¸¸¸ø æ – – ö æ – – ö ç – ¸ ç – ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è – – ø è – – ø æ – – ö ç – ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç ¸ çç ¸¸ è – ø 3( 5) 4 1 5 0 10 0 1 15 1 31 0 0 1 6 10 0 0 5 1 8 1 1 5 0 10 0 1 15 1 31 0 0 1 6 10 0 0 0 29 58 h – +h æ – – ö ç – ¸ ç ¸ ç – ¸ çç ¸¸ è ø æ – – ö ç – ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ çç ¸¸ è – ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x ì + – 5 = – 10 ì = 1 ï 1 2 3 ï 1 ï + – = = – í Ûï ï + = – í ï = îï- = ïî = – 15 31 1 6 10 2 29 58 2 2 3 4 2 3 4 3 x x 4 4 25

26. 15) x x x x x x x x x x x x x x x x – + + = ìï 2 3 2 4 1 2 3 4 3 3 3 2 6 3 2 6 3 3 6 + + + = 1 2 3 4 ïí – – – = 1 2 3 4 î – + – = 1 2 3 4 ïï Giải: ( ) 2( 1) 1 æ 2 – 1 3 2 4 ö æ- 1 – 4 0 0 – 2 ö ç 3 3 3 2 6 ¸ ç 3 3 3 2 6 ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 3 – 1 – 1 – 2 6 ¸ ç 0 – 4 – 4 – 4 0 ¸ çç è 3 – 1 3 – 1 6 ¸¸ çç ¸¸ ø è 0 – 4 0 – 3 0 ø h – + h A B h – + h h – + h 2( 1) 3 2( 1) 4 æ – – – ö æ – – – ö ç – ¸ ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾¾®ç ¸ ç – – – ¸ ç – ¸ 1 4 0 0 2 1 4 0 0 2 0 9 3 2 0 3 1 2 0 1 1 1 0 0 4 4 4 0 0 9 3 2 0 0 0 4 1 0 0 0 4 1 0 1 4 0 0 2 1 4 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 12 11 0 0 0 4 1 0 0 4 1 0 0 0 12 æ- ö” + çè ø¸ – + h h h h h h 1(3) 2 4 3( 1) 4 çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø æ- – – ö – – ç ¸ ¾¾¾¾®ç h 2(9) + h 3 ¸¾¾¾® h 4 ” h 3 ç ¸ çç ¸¸ è ø 3( 3) 4 2 0 0 11 0 1 4 0 0 2 0 1 1 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 8 0 h – +h æ – ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è ø æ- – – ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x ì- – = – ì = ï + + = ï = ï Ûï í + = í = ï ï îï = ïî = 4 2 2 1 2 1 2 3 4 2 3 4 3 0 0 4 0 0 8 0 0 4 4 16) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 3 1 1 2 3 4 – – – = – ïí 3 2 4 1 2 3 4 2 3 6 + – – = – 1 2 3 4 î + + – = – 1 2 3 4 ïï 2 3 4 Giải: 26

27. æ ö æ ö ç – – – – ¸ ç – – – – ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç – – – ¸ ç – – – ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è – – ø è – – ø 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 3 1 1 2 4 h h 0 4 7 11 7 h h 2 3 1 1 6 h h 0 1 5 7 8 1 2 3 1 4 0 1 1 4 5 1 1 2 3 1 1 1 2 0 1 5 7 8 0 4 7 11 7 0 1 1 4 5 ( ) 1( 3) 2 1( 2) 3 1( 1) 4 æ ö ç ¾¾¾®ç – – – ¸ h 2 h 3 ¸¾¾¾¾® h 2(4) h 3 ç – – – – ¸ h 2( 1) h 3 A B – + – + – + ” + – + çç ¸¸ è – – ø æ 3 1 ö ç ç 0 1 – 5 – 7 – 8 ¸ ¸ ç 0 0 – 27 – 39 – 39 ¸ çç è 0 0 6 3 3 ¸¸ ø æ ö æ ö 1 ç ¸ ç ¸ ¾¾¾®ç 3 – – – ¸¾¾¾¾®ç – – – 3 4( 5) 3 ¸ ç ¸ ç – ¸ 4 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 0 1 5 7 8 0 1 5 7 8 0 0 9 13 13 0 0 1 8 8 0 0 2 1 1 0 0 2 1 1 h h h h æ- ö çè ø¸ – + æ ö çè ø¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø æ ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç – – – 3(2) 4 ¸ ç – ¸ 1 1 2 3 1 0 1 5 7 8 0 0 1 8 8 0 0 0 17 17 h +h çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x x x ì + + + = – ì = – ï – – = – ï = – ï Ûï í- + = í = ï ï îï = ïî = 2 3 2 1 1 2 3 4 1 5 7 8 1 8 8 0 2 3 4 2 3 4 3 17 17 1 4 4 17) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = ìï 2 3 4 5 1 2 3 4 + + + = ïí 2 2 3 1 1 2 3 4 3 2 2 1 4 3 2 5 + + + = 1 2 3 4 î + + + = – 1 2 3 4 ïï Giải: ( ) 1( 2) 2 æ 1 2 3 4 5 ö æ 1 2 3 4 5 ö ç ç 2 1 2 3 1 ¸ ç ¸¾¾¾¾®ç h – + h 0 – 3 – 4 – 5 – 9 ¸ = h 1( – 3) + h 3 ¸ ç 3 2 1 2 1 ¸ h 1( – 4) + h 4 ç 0 – 4 – 8 – 10 – 14 ¸ çç è 4 3 2 1 – 5 ¸¸ çç ø è 0 – 5 – 10 – 15 – 25 ¸¸ ø æ ö ç ¸ 1 2 3 4 5 0 1 4 5 5 0 4 8 10 14 0 1 2 5 11 A B ¾¾¾¾®ç ¸ ç – – – – ¸ h – + h h + h h – + h h + 3( 1) 2 2(4) 3 3( 1) 3 2 çç ¸¸ è – – – – ø 4 1 2 3 4 5 0 1 4 5 5 0 0 8 10 6 0 0 2 0 6 h æ ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è – ø 27

28. æ ö æ ö ç ¸ ç ¸ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 1 4 5 5 0 1 4 5 5 0 0 2 0 6 0 0 2 0 6 0 0 8 10 6 0 0 0 10 30 ¾¾¾®ç h 3 “h 4 ¸¾¾¾¾®ç h 3( – 4) +h 4 ¸ ç – ¸ ç – ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x x ì + + + = ì = – ï + + = ï = ï Ûï í = – í = – ï ï îï = ïî = 2 3 4 5 2 4 5 5 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 3 3 3 10 30 3 4 4 18) x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = 1 2 3 4 ìï + + + = 1 2 3 4 ïí + + + = 1 2 3 4 î + + + = 1 2 3 4 ïï 2 2 3 4 2 2 3 5 9 2 2 7 2 Giải: ( ) 1( 1) 2 æ ö æ ö æ ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸¾¾¾¾®ç h h = h 1( 2) h 3 ¸¾¾¾¾®ç h 2( 1) h 3 ¸ ç ¸ h 1( 1) h 4 ç – ¸ ç – ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è ø è ø è ø A B 3( 1) 4 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 4 2 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 2 3 5 9 2 0 1 3 7 2 0 0 1 4 2 1 1 2 7 2 0 0 1 6 0 0 0 1 6 0 1 1 1 1 2 0 1 2 3 0 0 0 1 4 2 0 0 0 2 2 h h – + – + – + – + – + æ ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ ççè ¸¸ ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x x x x x x x x x x x x x x ì + + + = ì = – ï + + = ï = ï Ûï í + = – í = – ï ï îï = ïî = 2 2 1 2 3 4 1 2 3 0 9 4 2 6 2 3 4 2 3 4 3 2 2 1 4 4 Bài 3: Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: 28

29. 1) ì ïî ïí + – = 2x x 4x 0 1 2 3 + – = 3x 5x 7x 0 1 2 3 – – = 4x 5x 6x 0 1 2 3 æ 2 1 – 4 0 ö æ 1 11 – 5 0 ö æ 1 11 – 11 0 ö = ç – ¸¾¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç – ¸ ç – ¸ çè – – ø¸ èç – – ø¸ èç – ø¸ ( ) h1(-3)+h2 A B h3(-1) + h2 + h1 h1(-4)+h3 / 3 5 7 0 3 5 7 0 0 28 8 0 -49 28 4 5 6 0 4 5 6 0 0 49 14 0 h2 h3 1 11 11 0 0 28 8 0 0 0 0 0 + æ ö ç ¸ è ø æ – ö ¾¾¾¾¾®ç – ¸ ç ¸ çè ø¸ Ta có: (1) Û î í ì + – = 28x 8x 0 (2) x 11x 11x 0 (1) 1 2 3 – + = 2 3 28 8 Từ (2) Þ x = x 3 2 11 11 28 55 x = – x + æç ö¸x = x è ø Thế x3 vào (1), ta được: 1 2 2 2 8 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ì ï ï í ï ï î x = 55 1 2 = 2 2 28 x 8 x x 2 x3 tuyøy ù 2) ì ï ï í ï ï î + + = 3x 5x 2x 0 1 2 3 + + = 4x 7x 5x 0 1 2 3 + – = x x 4x 0 1 2 3 + + = 2x 9x 6x 0 1 2 3 29

30. æ ö æ – ö æ – ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ = ç ¸¾¾”¾¾®ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø è ø è ø 3 5 2 0 1 1 4 0 1 1 4 0 4 7 5 0 1 3 4 7 5 0 0 3 21 0 / A B h h ( ) ( ) ( ) ( ) h1 4 h2 h1 3 h3 h1 2 h4 1 1 4 0 3 5 2 0 0 2 14 0 2 9 6 0 2 9 6 0 0 7 14 0 1 1 4 0 0 1 7 0 0 1 7 0 0 1 2 0 2 1 , 3 1 , 4 1 2 3 2 7 h h h h – + – + – + æ ö æ ö æ ö çè ø¸ èç ø¸ èç ø¸ æ – ö ç ¸ ¾¾¾¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø ( ) ( ) h æ – ö æ – ö ç ¸ ç ¸ – 1 + 3 – + ” 1 1 4 0 1 1 4 0 0 1 7 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 ¾¾¾¾®ç h 2 1 h 4 ¸¾¾¾®ç h 3 h 4 ¸ ç ¸ ç – ¸ ç – ¸ ç ¸ è ø è ø Ta có: (2) Û + – = ìï 4 0 7 0 0 5 0 1 2 3 + = Þ = = = 2 3 1 2 3 î – = 3 íï x x x x x x x x x 3) x x x x x x x x x x x x – + + = ìï 2 3 7 0 1 2 3 4 4 2 7 5 0 2 5 0 – + + = 1 2 3 4 î – + – = 1 2 3 4 íï Giaûi ( ) 1( 2) 2 2(2) 3 æ 2 – 1 3 7 0 ö æ 2 – 1 3 7 0 ö æ 2 – 1 3 7 0 ö = ç 4 – 2 7 5 0 ¸¾¾¾¾®ç ç ¸ ç 0 0 1 – 9 0 ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç 0 0 1 – 9 0 ¸ ¸ çè 2 – 1 1 – 5 0 ø¸ èç 0 0 – 2 – 12 0 ø¸ èç 0 0 0 6 0 ø¸ A B h – + h h + h h 1( – 1) + h 3 Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: ì – + + = ï ï ï ï = ï = í – = Ûí Ûí Î ï ï = ï = î = ï ï î tuøy yù î = ( ) x x x t ì = 2 ì = 2 1 1 1 2 3 4 3 2 3 4 4 3 4 1 4 2 3 7 0 0 2 9 0 0 0 0 0 x x x x x x t x x t R x x x x x 4) x x x x x x x x x x x x x x x x + + – = ìï 2 4 3 0 1 2 3 4 + + – = ïí 3 5 6 4 0 1 2 3 4 4 5 2 3 0 3 8 24 19 0 + – + = 1 2 3 4 î + + – = 1 2 3 4 Giaûi ïï 30

31. æ – ö æ – ö ç – ¸ ç – – ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ ç – – ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è – ø è – ø ( ( 3) 2 A B ) ( 4) 3 ( 3) 4 æ – ö ç ¸ ¾¾¾¾®ç – – 2( 3) 3 ¸ 2(2) 3 ç ¸ 1 2 4 3 0 1 2 4 3 0 3 5 6 4 0 0 1 6 5 0 4 5 2 3 0 0 3 18 15 0 3 8 24 19 0 0 2 12 10 0 1 2 4 3 0 0 1 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h h h h h h h h h h – + – + – + – + + çç ¸¸ è ø Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: ì = – ï ì + + – = ï ï = – + í Ûí = – + Ûí Î î – – + = ï ï = ( ) ì = – 1 1 3 4 1 2 3 4 2 2 3 4 2 3 4 3 î 3 4 î ï = 4 8 7 8 7 2 4 3 0 6 5 6 5 , 6 5 0 x t s x x x x x x x x t s x x x t s R x x x x t x x s ,x tuøy yù BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC Bài 1 Tính các định thức cấp 2: 5 2 = 5.3 – 7.2 = 15 – 14 = 1 1) D = 7 3 3 2 2) D = 8 5 = 3.5 – 8.2 = 15 – 16 = -1 n 1 n 3) D = n n – 1 + = (n+1)(n-1) – n2 = n2 – 1 – n2 = -1 a – a cos sin 4) D = a a sin cos = cos2 a+sin2 a = 1 Bài 2: Tính các định thức cấp 3: 2 1 3 1) D = 5 3 2 1 4 3 = 18+2+60-9-16-15 = 40 2) D = 3 2 1 2 5 3 3 4 2 = 30+18+8-15-36-8 = -3 3) D = – 4 3 5 – 3 2 8 – – 1 7 5 = 40-24-105+10+224-45=100 31

32. 4) D = – 3 2 4 – 4 1 2 – 5 2 3 =-9-20-32+20+12+24= -5 5) D = 1 1 1 1 2 3 1 3 6 = 12 + 3 + 3 – 2 – 9 – 6 = 1 6) a b b c c a a b c D b c a c a b = = acb + bac + cba – c3 – a3 -b3 = 3abc – c3 – a3 – b3 7) D = 0 a 0 b c d 0 e 0 = 0 8) a x x a x D x b x x b x x c x x = = abc + x3 + x3 – bx2 – ax2 – cx2 = abc – 2×3 – x2 ( a + b + c) 9) a + x x x a + x x D = x b + x x x b + x x x c + x x x ( ) ( ) ( ) 3 3 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) a x b x c x x x x b x x a x x c x ab ax bx x c x x x bx x x a x x c x abc abx acx ax bcx bx cx x x x bx x x a x x c x abc abx acx bcx = + + + + + – + – + – + = + + + 2 + + 3 + 3 – 2 – 3 – 2 – 3 – 2 – 3 = + + + + + + + + + – – – – – – = + + + 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 32

33. a b c a b c b c b c a b c a c a ( ) 1 1 1 1 3 2 1 10) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 2 c c c D c a b c a b a b b c c a a b a b c c a a b b c c a a b c a b c a a b + + + + + + = + + + + + + + + + = + + = + + ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ Bài 3 Tính các định thức: h D a M b M c M d M 1) 3 3 1 31 32 33 34 2 3 4 1 4 2 3 2 ( 1) a b c d 3 1 4 3 + – – = – éë – + – ûù – ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ * 31 M = – 3 4 1 – 2 3 2 – 1 4 3 = -27 -8 -8 + 3 +24 + 24 = 8 * 32 M = 2 4 1 4 3 2 3 4 3 = 18 + 24 + 16 – 9 – 16 – 48 = -15 * 33 M = – 2 3 1 – 4 2 2 – 3 1 3 = -12 – 18 – 4 + 6 +4 +36 = 12 * 34 M = – 2 3 4 – 4 2 3 – 3 1 4 = -16 -27 – 16 + 24 + 6 +48 = 19 Vậy: D = 8a+15b+12c-19d 2) ( ) 2 2 1 21 22 23 24 5 2 1 4 4 3 1 2 3 2 4 5 4 c a b D a M b M c M d M c d + – – = – éë – + – ùû – – ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ * 12 M = – 4 4 3 – 2 3 2 – 4 5 4 = -48 – 32 – 30 + 36 + 40 + 32 = -2 * 22 M = – 5 2 1 – 2 3 2 – 4 5 4 = -60 -16 – 10 + 12 + 50 +16 = -8 33

34. * 32 M = – 5 2 1 – 4 4 3 – 4 5 4 = -80 – 24 – 20 + 16 + 75 + 32 = -1 * 42 M = – 5 2 1 – 4 4 3 – 2 3 2 = -40 -12 – 12 + 8 + 45 + 16 = 5 Vậy: D = – (-2a + 8b – c – 5d) = 2a – 8b + c + 5d 3) 4 4 1 ( ) = ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ – + – = ´ = 44 3 0 5 3 0 0 0 2 ( 1) 0 0 1 2 3 1 2 0 0 0 h a a b D d M d b abcd c c d = ‡ˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ – + = – ´ = 4) 4 4 1 41 1 0 2 0 2 2 0 0 ( 1) 0 0 3 4 5 4 5 0 0 0 h a a b D d M d b abcd c c d Bài 4 Tính các định thức sau: 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 – 1 1 1 0 – 2 0 0 h – + h D h – + h h – + h 1( 1) 2 1( 1) 3 1( 1) 4 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ = = ´ – ´ – ´ – = – 1 ( 2) ( 2) ( 2) 8 – – 1 1 1 1 0 0 2 0 1 1 1 – 1 0 0 0 – 2 2) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 3 h h D ” – + – + = – – ( ) c c h h 1 2 1( 1) 3 1( 1) 4 – – = – ´ – – – = – + + = – ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ 3) 34

35. – – – 2 5 1 2 1 5 2 2 1 5 2 2 3 7 1 4 1 7 3 4 0 2 1 6 3 9 2 7 2 9 3 7 0 1 1 3 4 6 1 2 1 6 4 2 0 1 2 0 2 1 6 2 1 1 1 1 3 1 1 – – – – – = – – – – – – – – – – ( ) + 1 2 ” – + 1 3 1( 2) 3 1( 1) 4 1 2 0 1 2 3 12 6 12 3 h h c c h h D h – + h = – ´ – – – – = – + – – = ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ 4) – – – – 3 3 5 8 1 0 0 2 1 0 0 2 3 2 4 6 3 2 4 6 ( ) ( ) 0 2 4 12 2 5 7 5 2 5 7 5 ( ) 0 5 7 9 4 3 5 6 4 3 5 6 0 3 5 14 2 4 12 1 2 6 1 2 1 5 7 9 1 2 5 7 9 5 7 – – – – – = ‡ˆ ˆˆ ˆˆ + ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ+ ˆ ˆˆ †ˆˆ – – – – – – ( ) ( ) – + 1 3 2 4 1 1 2 3 1 4 4 3 5 14 3 5 14 3 5 2 98 54 150 126 45 140 2 9 h h h h h h D h – + h – – – – – – – = – ´ – – = – ´ ´ – – – – – – = – + + – – – = – ´ – = 18 5) – – – – = 3 9 3 6 1 4 0 4 5 8 2 7 1 3 1 5 4 5 3 2 4 5 3 2 7 8 4 5 3 3 1 3 h h h h h h D ++ 3 1 3 2 3( 1) 4 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ – – – – + – – – – – – – – – h + h h – + h h – + h 1 2 1( 4) 3 1( 3) 4 1 4 0 4 7 1 9 7 1 0 7 1 9 1 21 3 18 21 3 0 21 3 18 15 1 15 15 1 0 15 1 15 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ 315 270 189 405 126 315 18 – – – = – – – – – – – – – – – – – – – – = – + – – + = 6) 35

36. 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1( 1) 3 1 4 1 5 1( 2) 2 1( 1) 3 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 0 1 0 2 0 1 1 1 0 2 1 4 1 0 1 0 2 0 0 2 1 4 1 2 0 3 1 1 1 1 1 0 1 2 0 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 0 2 3 1 1 2 1 4 2 1 0 2 1 4 1 2 4 1 2 0 1 2 4 8 1 h h h h h h h h h h D – + + + – + – + – – – – – – = – = ´ – – – – – – – – – – – = ´ – – – – – – = – ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ 2 – 4 +1-16 + 24 =1 7) ‡ˆ ˆˆ h ˆˆ ˆh ˆ †ˆ D ” 1 3 1( 4) 4 1( 19) 5 2 0 0 5 0 0 1 3 18 6 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 1 3 18 6 2 0 0 5 0 0 4 17 9 15 2 4 17 9 15 2 19 20 24 3 5 19 20 24 3 5 1 3 18 6 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 1 5 63 9 6 0 5 63 9 6 37 318 117 33 0 37 318 117 33 h h h h h – + – + – – – = – – – – – – – – = – ´ – – – – – – – – – – ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆ ˆ† + M 2 1 – – éë- ùû = – ´ – 22 ˆ ˆˆ ( ) – – 2 2 0 2 2 ( 1) 5 5 5 9 6 5 9 – – – 37 117 33 37 117 = – – – + – = – ´ = – 5 594 444 1404 330 5 36 180 8) 36

37. – – 1 2 1 4 10 1 2 1 4 10 1 3 2 5 3 0 5 1 1 7 h h D – + 1( 1) 2 5 1 1 7 5 3 7 9 0 5 3 7 9 0 5 3 7 9 1 0 2 3 7 0 0 2 3 7 0 0 2 3 7 0 0 3 15 0 0 0 3 15 0 0 0 3 15 5 1 1 7 5 1 1 7 0 2 6 16 0 2 6 16 0 2 3 7 0 0 3 9 0 0 3 15 0 0 3 15 h – + h h – + h h + h 1( 1) 2 2( 1) 3 3 4 – – = = ´ – – – – ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ‡ˆ ˆ ˆ ˆ† 5 1 1 7 0 2 6 16 0 0 3 9 0 0 0 6 5 2 ( 3) 6 180 – – – = ´ ´ – ´ = – ˆ ˆ ˆ ˆ 9) 7 3 2 6 7 3 2 6 1 12 2 3 8 9 4 9 h 1( 1) h 2 h 1( 1) h 3 1 12 2 3 h 1 h 2 7 3 2 6 7 2 7 3 h 1( 1) h 4 0 5 5 3 0 5 5 3 5 3 3 4 2 6 1 2 2 6 1 2 1( 7) 2 1(2) 4 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ †ˆ 1 12 2 3 87 12 15 0 87 12 15 1 5 5 3 0 5 5 3 0 30 5 4 h h h h D – + – + ” – + – + + – – – = – – – – – – – – – – – – – – – – – – – = – ´ – – – – – ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ( ) 29 4 5 29 4 3 5 5 3 5 5 30 5 4 30 5 4 30 5 3 580 360 125 750 435 80 3 ( 50) 150 – – – = – ´ – – – – – – = – – + – + – = – ´ – = 37

38. BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KRAMER Giải hệ phương trình bằng phương pháp Kramer: 1) x x x x x + = – ìï 2 1 1 3 + + = íï î + = 4 2 7 5 5 1 2 3 x x 2 3 Ta có: * D = 2 0 1 1 4 2 0 5 1 = 8 + 5 – 20 = -7 * Dx1 = -1 0 1 7 4 2 5 5 1 = – 4 + 35 – 20 + 10 = 21 * Dx2 = 2 -1 1 1 7 2 0 5 1 = 14 + 5 – 20 +1 = 0 * Dx3 = 2 0 -1 1 4 7 0 5 5 = 40 – 5 -70 = -35 Vì D ¹ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất: ì ï ï ï í ï ï ï î 21 Dx = = – = – 0 Dx = = – = Dx = = – – = 5 35 7 D x 0 7 D x 3 7 D x 3 3 2 2 1 1 2) ì ïî ïí – + = x x 3x 6 1 2 3 – = – 4x 5x 13 2 3 – = 3x 2x 1 1 3 Ta có: * D = – 1 1 3 – 0 4 5 – 3 0 2 = – 8 +15 – 36 = -29 38

39. * Dx1= – 6 1 3 – – 13 4 5 – 1 0 2 = – 48 +5 -12 + 26 = -29 * Dx2 = 1 6 3 – – = 26 – 90 + 117 +5 = 58 0 13 5 – 3 1 2 * Dx3 = – 1 1 6 – 0 4 13 3 0 1 = 4 + 39 – 72 = -29 Vì D ¹ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất: ì ï ï ï í ï ï ï î Dx = = – 29 58 x Dx = = – = – = Dx = = – – = – 1 29 29 D x 2 29 D 1 29 D x 3 3 2 2 1 1 3) x x x + – = ìï 4 2 2 3 5 8 1 2 3 x x x – – = – 2 3 4 ïí x x x x x – = ïï î – – = Ta có: 2 5 1 3 2 3 0 1 2 4 – – 1 4 1 0 1 4 1 0 h h 1( 2) 3 h h 1( 1) 4 2 3 5 2 3 0 2 3 5 0 2 3 5 1 8 1 0 8 1 2 0 1 0 0 8 1 0 6 1 3 6 1 1 2 0 3 0 6 1 3 6 40 30 72 76 D – + – + – – – – – – – = ====== = ´ – – – – – – – – – – – = – + – + = – – – 2 4 1 0 1 4 2 0 1 4 2 0 8 2 3 5 3 2 8 5 0 10 14 5 5 0 1 0 1 0 5 0 0 4 3 0 0 2 0 3 0 2 0 3 0 2 0 3 10 14 5 10 14 – – – – – – ( ) – – – = ====- =====- – – ( ) – ( ) 1 1 3 h1 3 h2 h1 1 h3 c c 1 4 3 0 4 3 2 0 3 2 0 90 30 168 228 x D ” – + – + – – – – – – – – – – – = – ´ – – – – – = – – + = – 39

40. – – 1 2 1 0 1 2 1 0 ( ) ( ) x D 2 h1 2 h3 h1 1 h4 8 3 5 8 3 0 8 3 5 0 8 3 5 1 1 1 0 1 1 2 5 1 0 0 1 1 0 2 1 3 2 1 1 0 0 3 0 2 1 3 24 5 10 9 0 – + – + – – – – – – – – – – – = ====== = ´ – – – – – – – = – – – = 1 4 2 0 1 4 2 0 ( ) ( ) 3 h1 2 h3 h1 1 h4 2 8 5 2 8 0 2 8 5 0 2 8 5 1 8 1 0 8 1 2 0 5 0 0 8 1 0 6 2 3 6 2 1 2 0 3 0 6 2 3 6 80 30 192 76 x D – + – + – – – – – – – = ====== = ´ – – – – – – – – – – – – – = – – – + = – – 1 4 1 2 1 4 1 2 ( ) ( ) 4 h1 2 h3 h1 1 h4 2 3 8 2 3 0 2 3 8 0 2 3 8 1 8 1 1 8 1 2 0 1 5 0 8 1 1 6 1 2 6 1 1 2 0 0 0 6 1 2 4 18 64 48 2 48 76 x D – + – + – – – – – – – = ====== = ´ – – – – – – – – – – = – + + – – + = Vì D ¹ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất: ì = 1 = = 1 ïïï = 2 = = 2 ïíï = 3 = = 3 4 4 228 3 76 0 0 76 (3,0,1,1) 76 1 76 76 1 76 x Dx D x Dx D hay x Dx D x Dx D ïïï = = = î 4) x x x x x x – + = ìï 3 2 1 3 4 – – = ïí 2 0 1 2 4 x x x x x – + = ïï î – = Ta có: 2 5 2 5 2 3 4 3 4 2 4 – – 1 0 3 1 1 0 3 1 h h 1( 2) 2 1 6 3 2 1 0 1 0 1 6 3 1 2 5 2 0 2 5 2 0 2 5 2 3 0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 5 36 – 45 12 2 D – + – – – – – – = ====== = ´ – – – – – – = – + + = – 40

41. – – – 2 0 3 1 1 0 3 2 1 0 3 2 0 – 1 0 – 1 – 1 – 1 0 0 ( ) 0 – 1 – 3 2 = ======- ======- 5 2 5 2 2 2 5 5 0 2 1 1 4 3 0 1 1 3 0 4 0 3 3 6 1 3 2 1 2 1 1 6 9 12 6 3 36 0 ( ) 1 h1 h2 1 4 h1 2 h3 h1 h4 3 3 6 c c x D + ” – + + – – – – – – – = – ´ = – – – – – – + = – – – x D h h 2 1 2 3 1 1 2 3 1 4 6 3 2 0 0 1 0 4 6 3 1( 2) 2 1 5 5 2 0 5 5 2 0 5 5 2 4 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 20 48 – 60 30 2 – – – – – = – + = ´ – – – – – – = – + + = – x D 3 1 0 2 1 1 0 2 1 h – + h 1( 2) 2 1 4 3 2 1 0 1 0 1 4 3 1 2 5 2 0 2 5 2 0 2 5 2 3 4 1 0 3 4 1 0 3 4 1 5 – 24 – 24 45 8 – 8 2 – – – – – – – – = ====== = ´ – – – = + + = x D 4 – – 1 0 3 2 1 0 3 2 h – + h 1( 2) 2 1 6 4 2 1 0 0 0 1 6 4 1 2 5 5 0 2 5 5 0 2 5 5 3 0 4 0 3 0 4 0 3 0 4 20 90 60 48 2 – – – – – = ====== = ´ – – – = + – – = Vì D ¹ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất: ì ï ï ï ï í ï ï ï ï î 0 x Dx = = – = Dx = = – 2 = – 2 Dx = = – = – 2 x Dx = = – = – 1 2 D 1 2 D x 1 2 D x 0 2 D 4 4 3 3 2 2 1 1 41

42. BAØI TAÄP BIEÄN LUAÄN THEO THAM SOÁ Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän: x x x x x x x x x x x x x x x l x + + + = ìï 3 2 5 4 3 1 2 3 4 2 3 6 8 5 + + + = 1 2 3 4 ïí – – – = – ïï 6 9 20 11 1 2 3 4 4 + + 4 + = 2 1 2 3 G 4 iaûi: ( ) 1 î3 æ 3 2 5 4 3 ö æ 1 – 6 – 9 – 20 – 11 ö ç 2 3 6 8 5 ¸ ç 2 3 6 8 5 ¸ = ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç 1 – 6 – 9 – 20 – 11 ¸ ç 3 2 5 4 3 ¸ ç è 4 1 4 l 2 ¸ ç ø è 4 1 4 l 2 ¸ ø æ – – – – ö – – ç ¸ 1 6 9 20 11 1 6 0 15 24 48 27 0 20 32 64 36 0 25 40 80 46 A B 1( 2) 2 2 1 1( 3) 3 3 1( 4) 4 3 1 ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾® 4 h h h h h h h h h h l ” – + æ ö – + çè ø¸ – + æ ö çè ø¸ ç ¸ ç + ¸ è ø h – + h h ” h h – + h 2( 1) 3 3 4 2( 5) 4 x x x x 1 2 3 4 x x x 2 3 4 9 20 11 0 5 8 16 9 0 5 8 16 9 0 25 40 80 46 1 6 9 20 11 1 6 9 20 11 0 5 8 16 9 0 5 8 16 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 9 20 11 ìïíï (1) 5 8 16 9 l l l æ – – ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç + ¸ è ø æ – – – – ö æ – – – – ö ç ¸ ç ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø è ø – – – = – Û + + = ( ) î = 4 1 2 l l l 1) 0 : (2) 5 3 4 (2) 1 l l 1 3 4 5 1 9 8 16 1 l l l l 1 6 9 20 11 1 2 3 4 2) 0 : (3) 15 24 48 27 : 2 3 4 0 1 x x t x t Khi t R x t x x x x x Khi l x x x ì = – ´ + – ïï ï = – ´ – + + ¹ Ûï Î íï = ïï = ïî – – – = – ìï = Û + + = íï î = he ävo ânghieäm Baøi 2: Cho heä phöông trình: 42

43. x x x x x x x x x x x x mx x x x – + + = ìï 2 3 4 5 1 2 3 4 4 2 5 6 7 6 3 7 8 9 – + + = 1 2 3 4 ïí – + + = 1 2 3 4 î – + + ïï = 4 9 10 11 1 2 3 4 a) Tìm m ñeå heä phöông trình coù nghieäm b) Giaûi heä phöông trình khi m = 10 Giaûi: a) Ta coù: æ 2 – 1 3 4 5 ö æ – 1 4 3 2 5 ö ç ç 4 – 2 5 6 7 ¸ ç ¸¾¾¾¾®ç – 2 6 5 4 7 ¸ = ¸ ç 6 – 3 7 8 9 ¸ ç – 3 8 7 6 9 ¸ çç ¸¸ çç ¸¸ è – ø è – ø ( ) c 1 c 4 c 1 m m 4 9 10 11 4 10 9 11 1 4 3 4 5 1 4 0 2 1 0 3 0 4 2 0 6 0 6 3 8 9 A B æ – ö – ç ¸ ¾¾¾¾®ç h 1( 2) h 2 – – – h 1( 3) h 3 ¸¾¾¾¾® h 2( 2) h 3 h 1( 4) h 4 ç – – – ¸ h 2( 3) h 4 m ” ” – + – + – + – + – + çç ¸¸ è – – – – ø 3 4 3 4 5 0 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 4 3 4 5 0 2 1 0 3 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 h h m m ” æ ö ç – – – ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è – ø æ – ö ç – – – ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç – ¸ çç ¸¸ è ø Ta thaáy: “mÎR : r ( A B) = r ( A) < 4 . Suy ra heä coù nghieäm vôùi moïi giaù trò cuûa m b) Giaûi heä khi m = 10: Bieán ñoåi sô caáp treân haøng ta coù: ( ) æ 2 – 1 3 4 5 ö æ 2 – 1 3 4 5 ö ç 4 – 2 5 6 7 ¸ ç ¸ = ç ¸® ®ç 0 1 – 6 – 10 – 14 ¸ ç 6 – 3 7 8 9 ¸ ç 0 0 – 2 – 4 – 6 ¸ ç 10 – 4 9 10 11 ¸ ç è ø è 0 0 0 0 0 ¸ ø ì – + + = ï ï ï = – Ûí – – = – Û í Î ï ï = – î- – = – ï î = ( ) / … ì = 1 1 2 3 4 2 2 3 4 3 3 4 4 0 2 3 4 5 4 2 (1) 6 10 14 3 2 2 4 6 A B x x x x x x t x x x t R x t x x x t Baøi 3 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l : 43

44. ( ) ( ) ì + x + x + x = ï 1 1 1 2 3 l x x x x x x + + + = íï l l 1 1 2 3 ( ) 2 + + + = îG iaûi: Ta coù l l 1 1 2 3 + + + + 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ h 3 ˆˆ + h ˆˆ 2 + ˆh ˆ 1 †ˆ 1 1 1 ( 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + 1 1 1 3 0 0 3 0 0 ( ) ( ) h h h h 1( 1) 2 2 1( 1) 3 D l l l l l l l l l l l l l l l l – + – + + + + + = + ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ h ˆˆ ˆˆ ˆˆ h ˆˆ†ˆ D – l + x h – + h 1( ) 2 1( ) 3 2 2 = l l + – l = ´ 1 1 0 1 1 1 1 2 l 2 2 2 l – – l – l + l + 1 1 l l + – l – l + l + l l l l l l l l l l l l l 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 = – + + – – – = – + + – + + – = – + = – l l + + ‡ˆ ˆˆ ˆ” ˆ ˆˆ†ˆ = – ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ – + – + + + + + – – – = – ´ – – – – ( ) ( ) ( ) ( ) = – éë – – – – – – – ùû = – éë- – + + + – – ùû = – = – ( ) 2 1 3 2 2 – – 1( 1) 2 1( ( 1)) 3 2 2 2 2 – – – – 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 c c x h h h h D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l + + 1 1 1 1 1 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ c ˆ” ˆ c ˆˆ†ˆ 1 1 1 1 1 1 = + – + 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ – + + – + ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 2 2 1( ( 1)) 2 2 1( 1) 3 2 2 2 2 3 2 2 1 0 2 1 1 1 0 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 x h h h h D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l – – – – – – – = – ´ – – – – + – = ´ – = éë + – + ùû = + – – Ta thaáy: 44

45. ì ¹ – (1) ( ) 2 3 = + 3 ¹ 0 Ûí î ¹ 0 D l l l l Khi ñoù heä coù nghieäm duy nhaát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ì – – ï = = = 2 2 1 1 2 + + ï – – í = 2 = = 2 + 2 + 3 ï = + 2 – – 3 ïï ïï = 3 2 2 3 3 2 1 2 1 3 3 2 1 3 x Dx D x Dx D x Dx D l l l l l l l l l l l l l l l l l + ïî l l (2) Neáu l = -3 thì 1 3(2 9) 21 0 x D = – = – ¹ : Heä voâ nghieäm (3) Neáu l = 0 thì heä trôû thaønh: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 0 x x x x x x x x x + + = ìï + + = íï + + = îHeä voâ nghieäm Baøi 4 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l : x x x x x x x x x x x x x x x x l – + + = ìï 5 3 2 4 3 1 2 3 4 4 2 3 7 1 8 6 5 9 7 3 7 17 – + + = 1 2 3 4 ïí – – – = 1 2 3 4 ïï G – + + = 1 2 3 4 iaûi ( ) 2( 1) î1 æ 5 – 3 2 4 3 ö æ 1 – 1 – 1 – 3 2 ö ç 4 – 2 3 7 1 ¸ ç 4 – 2 3 7 1 ¸ = ç ¸¾¾¾¾®ç h h ¸ ç 8 – 6 – 1 – 5 9 ¸ h 2( 2) h 3 ç ¸ h 2( 1) h 4 ç 0 – 2 – 7 – 19 7 ¸ ç ¸ è 7 – 3 7 17 l ø è 3 – 1 4 10 l – 1 ø æ – – – ö ç – ¸ ¾¾¾¾®ç ¸¾ 1 1 1 3 2 0 2 7 19 7 0 2 7 19 7 0 2 7 19 7 A B h h h h h h h h 1( 4) 2 2 3 1( 3) 4 2( 1) 4 l – + – + – + – + + – + – + ç – – – ¸ ç – ¸ è ø 4 3 1 1 1 3 2 0 2 7 19 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3 2 0 2 7 19 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h h l l ” æ – – – ö ç – ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø æ – – – ö ç – ¸ ¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø Heä phöông trình töông ñöông vôùi heä: 45

46. x x x x 3 2 1 2 3 4 x x x 2 7 19 7 2 3 4 0 l – – – = ìï + + = – íï î = Ta thaáy: (1) Khi l ¹ 0 thì heä voâ nghieäm (2) Khi l = 0 thì heä trôû thaønh: x x x x – – – = ìí î + + = – 3 2 (1) 1 2 3 4 x x x x x x 2 7 19 7 (2) 2 3 4 (2) : = – 7 – 19 – 7 2 3 4 2 2 (1) Û x + 7 x + 19 x + 7 – x – 3 x = 2 Û x = – 5 x – 13 x – 5 1 3 4 3 4 1 3 4 2 2 2 2 Vaäy nghieäm cuûa heä khi ñoù laø: ì x = – x – x – 1 3 4 ïïï x x x x x = – – – 2 3 4 3 4 íïïïî 5 13 5 2 2 7 19 7 2 2 , tuøy yù Baøi 5 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l x x x x x x x x x x x x x x x l x + + + = ìï 3 2 5 4 3 1 2 3 4 2 3 6 8 5 + + + = 1 2 3 4 ïí – – – = – ïï 6 9 20 11 1 2 3 4 4 + + 4 + = 2 1 2 3 G 4 iải Ta có: ( ) 3 î1 æ 3 2 5 4 3 ö æ 1 – 6 – 9 – 20 – 11 ö ç 2 3 6 8 5 ¸ ç ç ¸¾¾¾®ç 2 3 6 8 5 ¸ = h h ¸ ç 1 – 6 – 9 – 20 – 11 ¸ ç 3 2 5 4 3 ¸ çç 4 1 4 l 2 ¸¸ çç è ø è 4 1 4 l 2 ¸¸ ø æ – – – – ö – – ç ¸ æ – – ö ç ¸ ç ¸ ç ¸ çç ¸¸ è + ø 1 6 9 20 11 1 6 0 15 24 48 27 0 20 32 64 36 0 25 40 80 46 A B 1( 2) 2 3 1 2 1( 3) 3 4 1( 4) 4 h h h h h h h h l ” – + æ ö” – + çè ø¸ – + ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾¾® ç ¸ çç ¸¸ è + ø 9 20 11 0 5 8 16 9 0 15 24 48 27 0 25 40 l 80 46 46

47. æ – – – – ö æ – – – – ö ç ¸ ç ¸ 1 6 9 20 11 1 6 9 20 11 0 5 8 16 9 0 5 8 16 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ¾¾¾¾®ç ¸¾¾¾®ç ¸ ç ¸ ç ¸ h 2( – 3) + h 3 h 3 ” h 4 h 2( – 5) + h 4 l çç ¸¸ çç ¸¸ è l ø è ø Khi đó: (1) Nếu l ¹ 0 thì r ( A B) = r ( A) = 3 < 4 : hệ có vô số nghiệm (tìm nghiệm như bài trên) (2) Nếu l = 0 thì : ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 r A B r A B r A r A = ïüýÞ ¹ = ïþ : hệ vô nghiệm Baøi 6 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá l ( ) ( ) ì + + + = + x x x l l l 1 3 x x x x x x l l l 1 3 ( ) 2 1 2 3 3 2 1 2 3 4 3 l l l 1 3 1 2 3 ïï + + + = + íï îï + + + = + Giaûi Ta coù: + + + + 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ‡ˆ ˆˆ h 3 ˆˆ + h ˆ2 ˆ + ˆh ˆ 1 †ˆ 1 1 1 ( 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + 1 1 1 3 0 0 3 0 0 ( ) ( ) h h h h 1( 1) 2 2 1( 1) 3 D l l l l l l l l l l l l l l l l – + – + + + + + = + ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ†ˆ ( ) ( ) ( ) l + l l l + l l l l l l l l l l l l l l l l l l 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 ( 3 ) 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 = + + = + + = + + + + + + + 1 1 1 ( ) ( ) + – = + ´ 3 0 1 1 3 1 – – + + 0 1 1 ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ†ˆ – + – + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 2 2 4 3 3 2 1 1 1( ) 2 1( ) 3 2 2 2 2 – – – + + 1 1 = + éë- + + – – – ùû = + – + + – + + – 2 2 2 2 3 3 1 1 1 3 1 1 x h h h h D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l (l 3) l 3 2l l 2 (l 3) ( 2 l 2 ) éë ùû = + éë- + ùû = + – 47

48. ( ) ( ) ( ) l l l l l l l + + + + + 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 ( 3 ) 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 = + = + = + l l l l l l l l l l l l l l l + + + + + l l + + 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ‡ˆ ˆˆ ˆ” ˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ – ˆˆ + ˆˆ ˆˆ†ˆ – + – + – – l l l l l l l ( ) 2 2 3 2 2 4 3 3 2 1 3 1( 1) 2 3 1 1 3 0 1 1( ( 1)) 3 2 2 2 1 1 0 1 2 1 2 2 3 1 1 2 x c c h h h h D l l l l l l l l l l l l l l – + + + – – – – – – = – + ´ – – – – ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = – + éë – – 2 – – 2 – – – ùû = – + éë- – + + + – – ùû = – + – + = + – 3 1 2 1 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 1 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ( ) ( ) ( ) l l l l l l l + + + + + 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 ( 3 ) 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 = + + = + + = + + l l l l l l l l l l l + l l l + l 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ‡ˆ ˆˆ ˆ” ˆ ˆˆ†ˆ ‡ˆ ˆˆ ˆˆ – ˆˆ + ˆˆ ˆˆ + ˆˆ†ˆ 3 1 1 3 0 2 1 1 1 0 1 2 1 ( ) ( ) 3 2 3 2 2 4 3 3 2 1 2 1( ( 1)) 2 2 1( 1) 3 2 2 2 2 3 1 3 2 1 x c c h h h h D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l – + + – + + – + – – – – – – – – = – + ´ = + – – + – 2 1 1 l 2 – 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = l 2 l + éë l + l 2 – + ùû = l 2 l + l 3 + l 2 – l – Ta thaáy: 3 2 1 1 3 2 1 (1) Khi: ì ¹ 0 í Þ ¹ î ¹ – 0 3 D l l . Suy ra heä coù nghieäm duy nhaát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ì 2 + 3 2 – 2 ï = = = – 1 2 1 2 + ï 2 + – í = 2 = = – 2 + 2 ï + 2 3 + 2 – – 3 ï = = ( ) = 3 + 2 – – 3 î + ïï 2 ïï 2 3 3 2 1 2 1 3 3 2 1 2 1 3 x Dx D x Dx D x Dx D l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l (2) Khi é = 0 ê Þ = ë = – 0 3 D l l vaø 1 2 3 0 x x x D = D = D = suy ra heä coù voâ soá nghieäm 48

Các bài tập về diện tích hình thoi lớp 4 là một trong những dạng toán về hình thoi lớp 4 mà các em học sinh lớp 4 cần làm để có thể củng cố kiến thức hơn về hình thoi. Các thầy cô cũng có thể sử dụng để làm chuyên đề, cho các em làm bài tập với đa dạng bài. Trước hết, các em nên tập lại công thức tính diện tích hình thoi để vận dụng vào bài tập dễ dàng và hiệu quả hơn

Các dạng toán tính chu vi, diện tích lớp 4

Chú ý – Diện tích hình thoi được tính bằng đơn vị m2 (mét vuông) (cm2, dm2 …) – Biết được diện tích hình thoi, các em có thể tính được chiều dài hai đường chéo hình thoi

Các dạng toán hình học lớp 4 có lời giải – Bài tập về diện tích hình thoi

Bài tập về diện tích hình thoi trong SGK

1. Giải Bài 1 Trang 142, 143 SGK Toán 4

Tính diện tích của:a) Hình thoi ABCD, biết AC = 3cm, BD = 5cmb) Hình thoi MNPQ, biết MP = 7cm, NQ = 4cm

Đáp Án:a) Diện tích hình thoi ABCD là:b) Diện tích hình thoi MNPQ là :

2. Giải Bài 2 Trang 142, 143 SGK Toán 4

Đề Bài:Tính diện tích hình thoi biết:a) Độ dài các đường chéo là 5dm và 20dm;b) Độ dài các đường chéo là 4m và 15dm.

Đáp Án:a) Diện tích hình thoi là:b) Ta có: 4m = 40dm Diện tích hình thoi là:

3. Giải Bài 3 Trang 142, 143 SGK Toán 4

Đề Bài:a) Diện tích hình thoi bằng diện tích hình chữ nhật.b) Diện tích hình thoi bằng (1/2) diện tích hình chữ nhật.

Đáp Án:Diện tích hình thoi là: 5 x 2 : 2 = 5 (cm2)Diện tích hình chữ nhật là: 5 x 2 = 10 (cm2)Ta có: 10 : 5 = 2Vậy diện tích hình chữ nhật gấp 2 lần diện tích hình thoi, hay diện tích hình thoi bằng (1/2) diện tích hình chữ nhật.a) Ghi S vào ô trốngb) Ghi Đ vào ô trống.

Bài tập về diện tích hình thoi trong vở bài tập

Bài 1 trang 57 VBT Toán 4 Tập 2: Đánh dấu (x) vào ô trống đặt dưới hình thoi có diện tích bé hơn 20cm2

Lời giải:

Bài 2 trang 57 VBT Toán 4 Tập 2: Viết vào ô trống:

Lời giải:

Diện tích hình thoi=

= 120cm2

Bài tập về diện tích hình thoi nâng cao, bổ sung

Tất cả các bài tập về hình thoi lớp 4 này đều có lời giải hướng dẫn chi tiết và cụ thể, các em học sinh và thầy cô cùng tham khảo.

Bài 1: Một hình thoi có diện tích 4dm2, độ dài một đường chéo là 3/5dm. Tính độ dài đường chéo thứ 2.

Giải:

Gọi đường chéo trong hình thoi lần lượt là d1 và d2, trong đó d1 = 3/5dm

Ta có diện tích hình thoi = 1/2 x d1 x d2

Suy ra: d2 = 2 x S : d1 = 2 x 4 x 5/3 = 40/3 dm2

Bài 2: Một khu đất hình thoi có đường chéo là 70m và 300m. Tính diện tích của khu đất đó.

Giải:

Diện tích khu đất là 1/2 x (70 x 300) = 10500m2

Bài 3: Hai đường chéo hình thoi có độ dài lần lượt là 16cm và 12cm. Tính:

a. Diện tích của hình thoi

b. Độ dài cạnh hình thoi

Giải:

Giả sử: Hình thoi đó là ABCD, độ dài đường chéo AC và BD lần lượt là 12 và 16cm theo như đề bài.

a. Ta có: S ABCD = 1/2 x AC x BD = 1/2 x 12 x 16 = 96(cm2)

b. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Do đó, O là trung điểm của DB, AC, góc O = 90 độ, OA = 6cm, OB = 8cm

Xét tam giác vuông AOB, ta có:

Do đó AB = 10cm.

Với bài tập về diện tích hình thoi này, các em nhanh chóng củng cố kiến thức cách tính diện tích hình thoi hiệu quả, có thể áp dụng trong nhiều dạng bài khác nhau, từ đó học toán hiệu quả hơn, khi gặp bất cứ dạng bài nào thì đều có thể giải đáp được.

https://thuthuat.taimienphi.vn/cac-bai-tap-ve-dien-tich-hinh-thoi-lop-4-thuong-gap-co-loi-giai-58233n.aspx

Chào các bạn, hôm nay Kiến Guru sẽ đến cho các bạn một thử thách đó là 5 Bài Tập Vật Lý 11 Chương 1 Có Lời Giải . Một bài viết nặng cân về kiến thức, một bài viết đau đầu về tư duy, một chuyên mục nâng cao và dành cho các bạn nhắm đến những con điểm 9 và 10 trong kì thi.

Mình kiến nghị các bạn đọc là trước khi làm bài, các bạn hãy chuẩn bị kĩ về kiến thức, hiểu sâu lý thuyết và nguyên lý, thuần thục các dạng bài cơ bản và đơn giản. Bên cạnh đó bạn cũng cần trang bị đầy đủ những kỹ năng biến đổi phương trình và công thức toán học.

I. Bài tập – Bài Tập Vật Lý 11 Chương 1 Có Lời Giải (Nâng Cao)

Bài 1. Có hai điện tích q 1 = + 2.10-6 (C), q 2 = – 2.10-6 (C), đặt tại hai điểm A, B trong chân không và cách nhau một khoảng 6 (cm). Một điện tích q 3 = + 2.10-6 (C), đặt trên đường trung trực của AB, cách AB một khoảng sẽ là 4 (cm). Độ lớn của lực điện do hai điện tích q 1 và q 2 tác dụng lên điện tích q 3 là bao nhiêu?

Bài 2. Hai điện tích q 1 = 5.10-9 (C), q 2 = – 5.10-9 (C) đặt tại hai điểm cách nhau 10 (cm) trong chân không. Độ lớn cường độ điện trường tại điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điện tích và cách q 1 5cm), cách q 2 15cm) là:

Bài 3. Một điện tích q = 1 (µC) di chuyển từ điểm A đến điểm B trong điện trường, nó thu được một năng lượng W = 0,2 (mJ). Hiệu điện thế giữa hai điểm A, B là bao nhiêu?

Bài 4. Hai điện tích điểm q 1 = 2.10-2 (µC) và q 2 = – 2.10-2 (µC) đặt tại hai điểm A và B cách nhau một đoạn a = 30 (cm) trong không khí. Cường độ điện trường tại điểm M cách đều A và B một khoảng bằng a có độ lớn là bao nhiêu?

Bài 5. Có hai tụ điện: tụ điện 1 có điện dung C 1 = 3 (µF) tích điện đến hiệu điện thế U 1 = 300 (V), tụ điện 2 có điện dung C 2 = 2 (µF) tích điện để có được hiệu điện thế U 2 = 200 (V). Nối hai bản mang điện tích cùng tên của hai tụ điện đó với nhau. Nhiệt lượng toả ra sau khi nối là?

II. Hướng dẫn giải chi tiết – Bài Tập Vật Lý 11 Chương 1 Có Lời Giải (Nâng Cao)

Bài 1. Hướng dẫn: Áp dụng công thức

Ta suy ra với F 1=1,6.10-4 N; F 2=2,5.10-4

Từ đó ta tính được r 2 = 1,6 (cm)

Bài 2. Hướng dẫn:

– Điểm M nằm trên đường thẳng nối hai điện tích và cách q 1 một khoảng r 2 = 5 (cm) = 0.05 (m); cách q 2 một khoảng r 2 = 15 (cm) = 0,15 (m). Điểm M nằm ngoài khoảng q 1q 2.

– Cường độ điện trường do điện tích q(V/m) có hướng ra xa điện tích q 1= 5.10 1 -9 (C) gây ra tại M có độ lớn

– Cường độ điện trường do điện tích q(V/m) có hướng về phía q 2=- 5.10 2 -9(C) gây ra tại M có độ lớn

Suy ra hai vectơ và ngược hướng.

– Cường độ điện trường tổng hợp tại điểm M là E:

do và ngược hướng nên – = 16000 (V/m).

Bài 3. Hướng dẫn:

Năng lượng mà điện tích thu được là do điện trường đã thực hiện công, phần năng lượng mà điện tích thu được bằng công của điện trường thực hiện suy ra A = W = 0,2 (mJ) = 2.10-4 (J). Áp dụng công thức A = qU với q = 1 (µC) = 10-6 (C) ta tình được U = 200 (V).

Bài 4. Hướng dẫn: Tam giác ABM là tam giác đều cạnh a = 30 (cm) = 0,3 (m).

– Cường độ điện trường do q 1 = 2.10-2(µC) = 2.10-8(C) đặt tại A, gây ra tại M là

có hướng từ A tới M.

– Cường độ điện trường do q 2=-2.10-2(µC)=-2.10-8(C) đặt tại B, gây ra tại M là:

có hướng từ M tới B.

Suy ra hai vectơ vàhợp với nhau một góc 120 độ

– Cường độ điện trường tổng hợp tại điểm M là E:

do và hợp nhau một góc 120 độ và = nên = =

= 2000 (V/m)

Bài 5. Hướng dẫn: Khi nối hai bản mang điện tích cùng tên của hai tụ điện đó với nhau thì điện tích của bộ tụ điện bằng tổng điện tích của hai tụ điện: q b = q 1 + q 2 = C 1U 1 + C 2U 2 = 13.10-4 (C). Điện dung của bộ tụ điện là C b = C 1 + C 2 = 5 (µF) = 5.10-6 (C). Mặt khác ta có q b = C b.U b suy ra U b = q b/C b = 260 (V).

Thế là chúng ta đã cùng nhau đi qua 5 Bài Tập Vật Lý 11 Chương 1 Có Lời Giải (Nâng Cao). Tất cả những bài tập trên đều là bài tập nâng cao và số điểm sẽ không tập trung vào nhiều nhưng lại tốn khá nhiều thời gian của các bạn. Vì vậy các bạn hãy nghiên cứu cho mình một chiến lược làm bài hợp lý nhất, có kết quả tốt nhất. Nếu các bạn đã quá thuần thục những bài toán đơn giản, dễ dàng và muốn thử thách mình nâng cao tư duy hãy trải nghiệm những bài toán khó này, nhưng với các bạn vẫn còn chưa vững thì hãy nên tập trung học những dạng toán đơn giản để có thể lấy được nhiều điểm nhất.

Kiến Guru hẹn gặp các bạn vào các bài viết sau.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN DIODEMÔN KỸ THUẬT ĐIỆN TỬQuan hệ giữa dòng điện và điện áp

với: IS: dòng điện (ngược) bão hòa VT: điện thế nhiệt η: hệ số thực tế, có giá trị từ 1 đến 2

Hình 1-1 Đặc tuyến diode phân cực thuậnĐiện trở AC (điện trở động)

Ngoài rD, còn tồn tại điện trở tiếp xúc (bulk) rB,thường có trị số rất nhỏ và được bỏ qua.Điện trở DC

Phân tích mạch DC có diodeTa có thể thay thế diode trong mạch bởi một nguồn áp 0,7V (nếu là diode Si) hoặc 0,3V (nếu là diode Ge) bất cứ khi nào mà diode có dòng phân cực thuận phía trên điểm knee.

Hình 1-2 Diode phân cực thuận (a) có thể thay thế bởi một nguồn áp (b)Vì vậy, để phân tích điện áp và dòng diện DC trong mạch có chứa diode, ta có thể thay thế đặc tuyến V-A như hình 1-3.

Hình 1-3 Đặc tuyến lý tưởng hóaVí dụ 1-1Giả sử rằng diode Si trên hình 1-4 đòi hỏi dòng tối thiểu là 1 mA để nằm trên điểm knee.

Hình 1-4 (Ví dụ 1-1)1. Trị số R là bao nhiêu để dòng trong mạch là 5 mA?2. Với trị số R tính ở câu (1), giá trị tối thiểu của E là bao nhiêu để duy trì diode ở trên điểm knee?Giải1. Trị số của R

2. Giá trị tối thiểu của E

Phân tích mạch diode với tín hiệu nhỏMột cách tổng quát, các linh kiện thể xem xét hoạt động ở hai dạng: tín hiệu nhỏ vá tín hiệu lớn. Trong các ứng dụng tín hiệu nhỏ, điện áp và dòng điện trên linh kiện một tầm rất giới hạn trên đặc tuyến V-A. Nói cách khác, đại lượng ΔV và ΔI rất nhỏ so với tầm điện áp và dòng điện mà linh kiện hoạt động.Ví dụ 1-2Giả sử rằng diode Si trên hình 1-5 được phân cực phía trên điểm knee và có rB là 0,1Ω, hãy xác định dòng điện và điện áp trên diode. Vẽ đồ thị dòng điện theo thời gian.

Hình 1-5 (Ví dụ 1-2)GiảiNgắn mạch nguồn AC, xác định dòng DC:

Do đó, điện trở AC là

Dòng điện AC là

Điện áp AC là

Như vậy dòng và áp tổng cộng là

Đồ thị dòng điện theo thời gian được cho ở hình 3-8

Hình 1-6 Thành phần AC thay đổi ±7,37 mA xung quanh thành phần DC 19,63mAĐường tải (load line)Ta có thể thực hiện việc phân tích diode với tín hiệu nhỏ bằng cách sử dụng hình vẽ với đặc tuyến V-A của diode.Xét mạch cho ở hình 1-7. Đây chính là mạch tương đương về DC của mạch đã cho ở hình 1-5 (ngắn mạch nguồn áp). Ta xem điện áp trên diode là V (chứ không là hằng số).

Hình 1-7 Dòng điện qua diode I và điệp áp trên diode VTheo định luật áp Kirchhoff, ta có

Do đó, quan hệ giữa dòng và áp DC trên diode cho bởi phương trình

Thay số vào, ta có

Phương trình này có dạng y=ax+b và đồ thị của nó là một đường thẳng có độ dốc (slope) là -1/R và cắt trục I tại điểm E/R (và cắt trục V tại điểm Vo=E). Đường thẳng này được gọi là đường tải DC (DC Load Line).Đường tải DC của mạch cho ở hình 1-7 được vẽ trên hình 1-8. Đường tải này biểu diễn tất cả các tổ hợp có thể có của dòng điện qua diode I và điệp áp trên diode V với trị số E và R xác định. Giá trị hiện thời của I và V tùy thuộc vào diode được sử dụng trong mạch.

Hình 1-8 Đường tải DCĐặc tính của đường tải DC là mọi tổ hợp có thể có của dòng điện I và điện áp V của mạch ở hình 1-7 là một điểm nằm tại một nơi nào đó trên đường thẳng. Cho trước một diode cụ thể (mà ta đã biết đặc tuyến V-A của nó), mục tiêu của ta là xác định tổ hợp dòng-áp hiện thời. Ta có thể tìm được điểm này bằng cách vẽ đường tải DC trên cùng hệ trục tọa độ của đặc tuyến Vôn-Ampe, giao điểm