Công Thức Hình Giải Tích Oxyz / TOP 11 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 6/2023 # Top View

Chinh Phục Bài Tập Hình Học Giải Tích Oxyz là cuốn sách đi sâu về chuyên đề hình học giải tích trong hệ tọa độ không gian – một phần thi có xác suất xuất hiện rất lớn trong đề thi THPT Quốc gia. Đây là một cuốn sách dung lượng vừa phải nhưng hàm chứa kiên thức rất lớn rất hữu ích cho bất cứ bạn học sinh nào ôn thi phần kiến thức này, đặc biệt là với những bạn chuẩn bị bước vào kì thi THPT Quốc gia.

Chinh Phục Bài Tập Hình Học Giải Tích Oxyz – Tác giả:

1. Nguyễn Anh Văn: Bác sỹ Đa khoa – ĐH Y Dược Huế

2. Hoàng Thị Ngọc Ánh: lớp chất lượng cao Khoa Toán Tin – ĐH Sư phạm HN

3. Lê Hoàng Nam: Bác sỹ Đa khoa – ĐH Y Dược Huế

4. Nguyễn Thành Đạt: sinh viên KSCLC – ĐH Bách khoa Hà Nội

5. Lê Phương Anh: Khoa Toán Tin – ĐH Sư phạm HN

Chuyên đề 1: Hệ trục tọa độ trong không gian và công cụ giải toán

Chuyên đề 2: Các bài toán về điểm

Chuyên đề 3: Phương trình mặt phẳng

Chuyên đề 4: Phương trình đường thẳng

Chinh Phục Bài Tập Hình Học Giải Tích Oxyz dành cho ai?

Ø Hoang mang khi lần đầu tiếp xúc với các kiến thức về hình giải tích Oxyz?

Ø Kiến thức về hình giải tích Oxyz nói chung và hình giải tích nói riêng khá là phức tạp và rộng, hơn nữa các dạng bài trong đề thi khác xa với kiến thức trong SGK.

Ø Không hình dung được phương pháp, ý tưởng làm một bài hình giải tích Oxyz?

Ø Giá như có cuốn sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu để mình có thể tự tin học?

Chinh Phục Bài Tập Hình Học Giải Tích Oxyz chính là cuốn sách DÀNH CHO BẠN!!!!

Trong cuốn sách này bạn sẽ:

1. Thử thách bản thân với hàng loạt bài tập được các tác giả chọn lọc kĩ càng.

Các bài tập trong cuốn sách đều là những bài tập điển hình và quen thuộc nhất trong các đề thi. Ngoài các ví dụ giúp các bạn định hình dạng toán, cuốn sách còn bao hàm rất nhiều bài tập tự luyện có đáp án, giúp các bạn có một kĩ năng làm bài tốt phục vụ cho kì thi sắp tới.

2. Tiếp cận các nội dung, phương pháp giải bài toán một cách tối ưu nhất.

3. Được hỗ trợ trực tuyến ngay khi cầm trên tay cuốn sách.

Nếu có khúc mắc trong quá trình sử dụng sách, bạn có thể hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả trên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách: chúng tôi

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 231  Chuyên đề 8: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  Vấn đề 1: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỌA ĐỘ 1. 1 2 3 1 2 3 u (u ; u ; u ) u u i u j u k     2. 1 1 2 2 3 3 a b (a b ; a b ; a b )     3.    1 1 2 2 3 3 a.b a b a b a b 4. 3 1 1 22 3 2 3 3 1 1 2 a a a aa a a,b ; ; b b b b b b             5.   2 2 2 1 2 3 a a a a 6. 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b        7.  a.b Cos(a,b) a . b 8. 1 2 3 1 2 3 a cùng phương b a,b 0 a : a : a b : b : b      9.    a,b,c đồng phẳng a,b .c 0 10. Diện tích tam giác:     ABC 1 S AB,AC 2 11. Thể tích tứ diện ABCD:    ABCD 1 V AB,AC AD 6 12. Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D':         ABCD.A B C DV AB,AD AA MẶT PHẲNG  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ khác vectơ 0 và có giá vuông góc mặt phẳng.  Phương trình tổng quát: (): Ax + By + Cz + D = 0 (   2 2 2A B C 0 )  0 0 0 đi qua M(x ; y ; z ) ( ) : co ù vectơ pháp tuyến : n (A;B;C)            0 0 0 ( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) = 0 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 232  Mặt phẳng chắn: () cắt Ox, Oy, Oz lần lượt A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), (a, b, c khác 0)     x y z ( ) : 1 a b c  Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0 ĐƯỜNG THẲNG  Véctơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ khác vectơ 0 và có giá cùng phương với đường thẳng.  0 0 0 1 2 3 đi qua M (x ; y ; z ) d : có vectơ chỉ phương a (a ; a ; a )    0 0 0 1 2 3 1 2 3 x x y y z z Phương trình tham số : với (a ; a ; a 0) a a a        Đường thẳng đặc biệt: y 0 x 0 x 0 Ox : ; Oy : ; Oz z 0 z 0 y 0              B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: x 1 y z 3 2 1 2      . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. Giải  Gọi M là giao điểm của  với trục Ox  M(m; 0; 0)  AM = (m –1; –2; –3)  Véctơ chỉ phương của d là a = (2; 1; –2).    d  AM  d  AM.a 0  2(m – 1) + 1(–2) –2(–3) = 0  m = –1.  Đường thẳng  đi qua M và nhận AM = (–2; –2; –3) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: x 1 y 2 z 3 2 2 3      . Cách 2.   đi qua A và cắt trục Ox nên  nằm trên mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox.   đi qua A và vuông góc với d nên  nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d.  Ta có: +) Vectơ pháp tuyến của (P) là (P) n OA,i    .  d A   O x P Q M Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 233 +) Vectơ pháp tuyến của (Q) là (Q) d n a .   = (P)(Q)  véctơ chỉ phương của  là: (P) (Q) a n ,n     . Cách 3.  Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d  (Q): 2x + y – 2z + 2 = 0.  Gọi M là giao điểm của Ox và (Q)  M(–1; 0; 0).  Véctơ chỉ phương của  là: AM . Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x 2 y 1 z 5 1 3 2       và hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 . Giải  Đường thẳng  đi qua E(–2; 1; –5) và có vectơ chỉ phương  a 1; 3; 2  nên có phương trình tham số là: x 2 t y 1 3t z 5 2t           (t  R).  M     M 2 t; 1 3t; 5 2t       AB 1; 2 ; 1   ,  AM t; 3t; 6 2t   ,  AB,AM t 12; t 6; t        .  SMAB = 3 5  1 AB,AM 3 5 2          2 2 2 t 12 t 6 t 6 5      3t 2 + 36t = 0  t = 0 hoặc t = –12. Vậy M(–2; 1; –5) hoặc M(–14; –35; 19). Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :      x 2 y 2 z 1 1 1 và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng . Giải Tọa độ giao điểm I của  với (P) thỏa mãn hệ:   x 2 y 2 z I 3; 1; l1 1 1 x 2y 3z 4 0            Vectơ pháp tuyến của (P):  n 1; 2; 3  ; vectơ chỉ phương của :  u 1; 1; 1  Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 234 Đường thẳng d cần tìm qua I và có một vectơ chỉ phương:        P P1 2n 1; 2; 3 , n 3; 2; 1   Phương trình d:          x 3 t y 1 2t z 1 t (t  ) Bài 4 :CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P1): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P2): 3x + 2y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) Giải Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2):        P P1 2n 1; 2; 3 , n 3; 2; 1   (P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2)  (P) có một vectơ pháp tuyến:          P P P1 2n n ,n 8; 10; 4 2 4; 5; 2           Mặt khác (P) qua A(1; 1; 1) nên phương trình mặt phẳng (P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) = 0 Hay (P): 4x – 5y + 2z – 1 = 0 Bài 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) và trọng tâm G(0; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giải Ta có:  G là trọng tâm tam giác ABC  C(1; 3; 4)     AB 1; 1; 1 ; AC 2; 2; 4     Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên có một vectơ chỉ phương     a AB,AC = 6(1; 1; 0) Mặt khác đường thẳng  đi qua điểm C nên Phương trình :             x 1 t y 3 t t z 4 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 235 Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. 2. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho: MA = MB = MC. Giải 1. đi qua A(0; 1; 2) (ABC) : có vectơ pháp tuyến là AB,AC 2(1; 2; 4)         Phương trình mp(ABC): 1(x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0  x + 2y – 4z + 6 = 0 2. Cách 1: Ta có: AB.AC 0 nên điểm M nằm trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại trung điểm I(0; 1; 1) của BC.         qua I(0; 1; 1) x y 1 z 1 d : d : 1 2 4có vectơ chỉ phương :a (1;2; 4) Tọa độ M là nghiệm của hệ                  x 22x 2y z 3 0 y 3x y 1 z 1 z 71 1 4 Vậy M(2; 3; 7). Cách 2: Gọi M(x; y; z) Ta có       MA MB MA MC M ( )                                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x 0) (y 1) (z 2) (x 2) (y 2) (z 1) (x 0) (y 1) (z 2) (x 2) (y 0) (z 1) 2x 2y z 3 0  x 2 y 3 M(2; 3; 7) z 7         . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 236 Bài 7:CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d có phương trình:     x y z 1 1 1 2 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O Giải 1.      (P) d qua A(1; 1; 3) (P) : co ù vectơ pháp tuyến n a (1; 1;2) Phương trình mặt phẳng (P): 1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 3) = 0  x – y + 2z – 6 = 0 2. Gọi M(t; t; 2t + 1)  d  Tam giác OMA cân tại O  MO 2 = OA 2  t 2 + t 2 + (2t + 1) 2 = 1 + 1 + 9  6t 2 + 4t – 10 = 0      5 t 1 t 3  Với t = 1 tọa độ điểm M(1; 1; 3).  Với   5 t 3 tọa độ điểm 5 5 7 M ; ; 3 3 3        . Bài 8 :ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) và đường thẳng       x 1 y 2 z : 1 1 2 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất. Giải 1. Tọa độ trọng tâm: G(0; 2; 4). Ta có:   OA (1; 4; 2),OB ( 1; 2; 2) Vectơ chỉ phương của d là:     u (12; 6; 6) 6 2; 1; 1 Phương trình đường thẳng d:      x y 2 z 2 2 1 1 2/ Vì M    M(1 t; 2 + t; 2t)  MA 2 + MB 2 = (t 2 + (6  t) 2 + (2  2t) 2 ) + ((2 + t) 2 + (4  t) 2 + (4  2t) 2 ) = 12t 2  48t + 76 = 12(t 2) 2 + 28 MA 2 + MB 2 nhỏ nhất  t = 2. Khi đó M(1; 0; 4) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 237 Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng:      1 x y 1 z 1 d : 2 1 1 ;             2 x 1 t d : y 1 2t t z 2 t 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song d1 và d2. 2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng Giải 1. Vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là: 1u (2; 1; 1)  và 2u (1; 2; 1)   vectơ pháp tuyến của (P) là 1 2 n u ,u ( 1; 3; 5)       Vì (P) qua A(0; 1; 2)  (P) : x + 3y + 5z  13 = 0. Do B(0; 1; 1)  d1, C(1; 1; 2)  d2 nhưng B, C  (P), nên d1, d2 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): x + 3y + 5z  13 = 0 2. Vì M  d1, N  d2 nên M(2m; 1+ m; 1 m), N(1 + n; 12n; 2 + n)  AM (2m; m; 3 m); AN (1 n; 2 2n; n)       .  AM,AN ( mn 2m 6n 6; 3mn m 3n 3; 5mn 5m).              A,M,N thẳng hàng     AM,AN 0  m = 0, n = 1  M(0; 1; 1), N(0; 1; 1). Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng 1:            x 1 t y 1 t t z 2 2:      x 3 y 1 z 1 2 1 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2. 2. Xác định điểm A  1, B  2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Giải 1. 1 qua M1(1; 1; 2) có vectơ chỉ phương  1a 1; 1; 0  2 qua M2 (3; 1; 0) có vectơ chỉ phương  2a 1; 2; 1   mp (P) chứa 1 và song song với 2 nên (p) có vectơ pháp tuyến:  1 2n a ,a 1; 1; 1      Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 238 Phương trình: (P): (x – 1) – (y + 1) + (z – 2 ) = 0 (vì M1(1; 1; 2)  (P))  x + y – z + 2 = 0 2/ AB ngắn nhất  AB là đoạn vuông góc chung  Phương trình tham số 1 :  1 x 1 t A A 1 t; 1 t; 2y 1 t z 2              Phương trình tham số 2:  2 x 3 t B B 3 t ; 1 2t ; ty 1 2t z t                       AB 2 t t;2 2t t;t 2 Do      1 2 AB AB nên             1 2 AB.a 0 2t 3t 0 t t 0 3t 6t 0AB.a 0  A(1; 1; 2); B(3; 1; 0) . Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4; 2; 4) và đường thẳng d           x 3 2t y 1 t z 1 4t . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt và vuông góc với d. Giải Lấy M(3 + 2t; 1  t; 1+ 4t)  (d)  AM = (1 + 2t; 3  t; 5 + 4t) Ta có AM  (d)  AM . d a = 0 với d a = (2; 1; 4)  2 + 4t  3 + t  20 + 16t = 0  21t = 21  t = 1 Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng AM qua A có vevtơ chỉ phương là: AM = (3; 2; 1) nên phương trình ():       x 4 y 2 z 4 3 2 1 .  Vấn đề 2: HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHIẾU Phương pháp  Cách 1: (d) cho bởi phương trình tham số: Bài toán 1: Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng (d). Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 239  H  (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t.  Tìm tham số t nhờ điều kiện  d AH a  Cách 2: (d) cho bởi phương trình chính tắc. Gọi H(x, y, z)   d AH a (*)  H  (d): Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z  Cách 3: (d) cho bởi phương trình tổng quát:  Tìm phương trình mặt phẳng () đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d)  Giao điểm của (d) và () chính là hình chiếu H của A trên (d). Bài toán 2: Tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (). Phương pháp  Cách 1: Gọi H(x; y; z)  H  () (*)  AH cùng phương n : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z.  Cách 2:  Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ().  Giao điểm của (d) và () chính là hình chiếu H của A trên mặt phẳng (). Bài toán 3: Tìm hình chiếu () của đường thẳng d xuống mặt phẳng (). Phương pháp  Tìm phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ().  Hình chiếu () của d xuống mặt phẳng  chính là giao tuyến của () và (). ĐỐI XỨNG Bài toán 1: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. Phương pháp  Tìm hình chiếu H của A trên d.  H là trung điểm AA'. H   A (d) (d) A H    d () Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 240 Bài toán 2: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (). Phương pháp  Tìm hình chiếu H của A trên ().  H là trung điểm AA'. Bài toán 3: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (). Phương pháp  Trường hợp 1: () và (D) cắt nhau.  Tìm giao điểm M của (D) và ().  Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M.  Tìm điểm A' đối xứng với A qua ().  d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A' và M.  Trường hợp 2: () và (D) song song:  Tìm một điểm A trên (D)  Tìm điểm A' đối xứng với A qua ()  d chính là đường thẳng qua A' và song song với (). Bài toán 4: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng (). Phương pháp  Trường hợp 1: (D) cắt ()  Tìm giao điểm M của (D) và ().  Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M.  Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ().  d chính là đường thẳng đi qua hai điểm A' và M.  Trường hợp 2: (D) song song với ().  Tìm một điểm A trên (D)  Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ().  d chính là đường thẳng qua A' và song song với (D). (D) () A A’ d M (D) A A’ () d (D) A  M A’ d (D) A d A’ Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 241 B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(3; 0;1), B(1; 1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Giải Gọi  là đường thẳng cần tìm;  nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P) Phương trình (Q): x – 2y + 2z + 1 = 0 K, H là hình chiếu của B trên , (Q). Ta có BK  BH nên AH là đường thẳng cần tìm Tọa độ H = (x; y; z) thỏa mãn: x 1 y 1 z 3 1 2 2 x 2y 2z 1 0             1 11 7 H ; ; 9 9 9       26 11 2 AH ; ; 9 9 9        . Vậy, phương trình :      x 3 y z 1 26 11 2 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:             1 2 x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1 d : ; d : 2 1 1 1 2 1 . 1/ Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1. 2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. Giải 1/ Mặt phẳng () đi qua A(1; 2; 3) và vuông góc với d1 có phương trình là: 2(x  1)  (y  2) + (z  3) = 0  2x  y + z  3 = 0. Tọa độ giao điểm H của d1 và () là nghiệm của hệ: x 0x 2 y 2 z 3 y 1 H(0; 1; 2)2 1 1 2x y z 3 0 z 2                    Vì A' đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của AA' A'(1; 4; 1) 2/ Viết phương trình đường thẳng : Vì A' đối xứng với A qua d1 và cắt d2, nên  đi qua giao điểm B của d2 và (). Tọa độ giao điểm B của d2 và () là nghiệm của hệ B H K A Q Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 242 x 2x 1 y 1 z 1 y 1 B(2; 1; 2)1 2 1 2x y z 3 0 z 2                      Vectơ chỉ phương của  là: u AB (1; 3; 5)    Phương trình của  là:        x 1 y 2 z 3 1 3 5 Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2) 1/ Chứng minh A'C vuông góc với BC'. Viết phương trình mặt phẳng (ABC') 2/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B'C' trên mặt phẳng (ABC') Giải 1/ A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2)  C'(0; 2; 2) Ta có:     A C (0;2; 2), BC ( 2;2;2) Suy ra         A chúng tôi 0 4 4 0 A C BC Ta có:        A C BC A C (ABC ) A C AB Suy ra (ABC') qua A(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến là A C (0; 2; 2)   nên có phương trình là: (ABC') 0(x – 0) + 2(y – 0) – 2(z – 0) = 0  y – z = 0 2/ Ta có: B C BC ( 2; 2; 0)     Gọi () là mặt phẳng chứa B'C' và vuông góc với (ABC')  vectơ pháp tuyến của () là: n B C ,A C 4(1; 1; 1)        Phương trình (): 1(x – 0) + 1(y – 2) + 1(z – 2) = 0  x + y + z – 4 = 0 Hình chiếu d của B'C' lên (ABC') là giao tuyến của () với (ABC')  Phương trình d:        x y z 4 0 y z 0 Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1 có A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; 2 ). a/ Viết phương trình mp(P) đi qua 3 điểm A1, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 lên mặt phẳng (P). b/ Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A1ABCD với mặt phẳng (Q). Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 243 Giải Ta có: A(0; 0; 0); B1 (1; 0; 2 ); C1 (1; 1; 2 ); D1 (0; 1; 2 ) a/    1 1A B 1; 0; 2 , A C 1; 1; 2         P 1 1n A B; A C 2; 0; 1  (P) qua A1 và nhận Pn làm vectơ pháp tuyến (P):           2 x 0 0 y 0 1 z 2 0    2.x z 2 0 Ta có  1 1B D 1; 1; 0   Mặt phẳng () qua B1 (1; 0; 2 ) nhận  P 1 1n n , B D 1; 1; 2       làm vectơ pháp tuyến. Nên () có phương trình: (): 1(x – 1) – 1(y – 0) + 2 (z  2 ) = 0  x + y   2z 1 0 D1B1 có hình chiếu lên (P) chính là giao tuyến của (P) và () Phương trình hình chiếu là:          x y 2z 1 0 2x z 2 0 b/ Phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với A1C: (Q): x + y  2 z = 0 (1)  Phương trình A1C :          

Cách thực hiện này giúp các em: – Bổ sung kiến thức tính chu vi, diện tích của hình chữ nhật– Biết các dạng bài tính hình chữ nhật

Hình học phân chia ra rất nhiều hình thù, trong đó cách tính chu vi và diện tích hình tròn, cách tính diện tích hình tam giác, hình bình hành, hình thang là những khái niệm cơ bản để bất kỳ ai cũng có thể ứng dụng cho việc giải các bài toán hoặc công việc thiết kế từ đơn giản đến phức tạp.

Cách tính Chu vi hình chữ nhật, diện tích hình chữ nhật

Trong hướng dẫn của bài viết này, chúng tôi sẽ tiếp tục cùng bạn đọc đi tìm hiểu công thức, cách tính chu vi hình chữ nhật và diện tích hình chữ nhật chính xác và đơn giản nhất.

Cách tính chu vi hình chữ nhật và diện tích hình chữ nhật

1. Công thức tính chu vi hình chữ nhật

– Khái niệm tính chu vi hình chữ nhật : bằng giá trị gấp hai lần tổng chiều dài cộng chiều rộng.– Công thức tính chu vi hình chữ nhật: P = (a + b) x 2 Trong đó:+ a: Chiều dài của hình chữ nhật+ b: Chiều rộng của hình chữ nhật+ P: chu vi hình chữ nhật– Ví dụ: Cho một hình chữ nhật ABCD có chiều dài = 6cm và chiều rộng = 3cm. Yêu cầu: Tính chu vi hình chữ nhật ABCD?Với bài toán tính chu vi hình chữ nhật khá đơn giản này, người giải chỉ cần áp dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật đã giới thiệu ở trên để giải quyết:Áp dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật, ta có: P = (a + b) x 2 = (6 + 3) x 2 = 9×2 = 18 cm .

2. Công thức tính diện tích hình hình chữ nhật

* Trường hợp 1: Biết chiều dài, chiều rộng

– Khái niệm tính diện tích hình chữ nhật : Diện tích hình chữ nhật bằng tích của chiều dài nhân với chiều rộng.– Công thức tính diện tích hình chữ nhật : S = a x b Trong đó:+ a: Chiều dài của hình chữ nhật+ b: Chiều rộng của hình chữ nhật+ S: diện tích hình chữ nhậtVí dụ: Có một hình chữ nhật ABCD với chiều dài = 5cm và chiều rộng = 4cm. Hỏi diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu? Khi áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật, ta có như sau:S = a x b = 5 x 4 = 20cm2 (Xăng-ti-mét vuông)

* Trường hợp 2: Biết 1 cạnh và đường chéo của hình chữ nhật

Đối với trường hợp này, bạn cần phải tính một cạnh còn lại, sau đó bạn dựa vào công thức ở trường hợp 1 để tính diện tích.

Giả sử: Bài toán cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = a, đường chéo AD = c. Tính diện tích ABCD.

– Bước 1: Tính cạnh BD dựa theo định lý Pytago khi xét tam giác vuông ABD.– Bước 2: Biết được cạnh BD và AB thì bạn dễ dàng tính được diện tích ABCD = AB x BD.

3. Tính chất và dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

* Tính chất

– Hai đường chéo trong hình chữ nhật bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.– Có đầy đủ tính chất của hình bình hành và hình thang cân.– Hai đường chéo trong hình chữ nhật cắt nhau tạo ra 4 tam giác cân.

* Dấu hiệu

– Tứ giác có 3 góc vuông – Hình thang cân có một góc vuông– Hình bình hành có một góc vuông hoặc có hai đường chéo bằng nhau

Từ công thức tính diện tích, chu vi hình chữ nhật ở trên, bạn dễ dàng suy ngược công thức tính chiều dài, chiều rộng khi biết được diện tích, chu vi, 1 cạnh:

* Cho diện tích, chiều dài 1 cạnh

– Biết chiều rộng: Chiều dài = Diện tích : Chiều rộng– Biết chiều dài: Chiều rộng = Diện tích : Chiều dài

* Cho chu vi, chiều dài 1 cạnh

– Biết chiều rộng: Chiều dài = P: 2 – chiều rộng– Biết chiều dài: Chiều rộng = P: 2 – chiều dài

5. Lỗi sai hay gặp phải và những lưu ý khi làm bài tính diện tích hình chữ nhật

– Các đại lượng cần phải cùng đơn vị đo lường. Thông thường, các bài toán đơn giản, đề bài sẽ ra đơn vị đo lường giống nhau, còn bài toán khó thì bạn cần chú ý điều này bởi có thể đề bài đánh lừa.– Ghi sai đơn vị tính: Với diện tích, bạn cần viết đơn vị đo lường cùng với mũ 2.

6. Một số bài toán tính diện tích hình chữ nhật

Bài 6 trang 118 sgk toán lớp 8 tập 1

Câu hỏi:Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu:a) Chiều dài tăng 2 lần, chiều rộng không đổi?b) Chiều dài và chiều rộng tăng 3 lần?c) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần ?

Lời giải: Công thức tính diện tích hình chữ nhật là S = a.b, như vậy diện tích S của hình chữ nhật vừa tỉ lệ thuận với chiều dài a, vừa tỉ lệ thuận với chiều rộng b của nó.

Bài 7 trang 118 sgk toán lớp 8 tập 1 Câu hỏi:

– Một gian phòng có nền hình chữ nhật với kích thước là 4,2m và 5,4m có một cửa sổ hình chữ nhật kích thước là 1m và 1,6m và một cửa ra vào hình chữ nhật kích thước là 1,2m và 2m.

– Ta coi một gian phòng đạt mức chuẩn về ánh sáng nếu diện tích các cửa bằng 20% diện tích nền nhà. Hỏi gian phòng trên có đạt mức chuẩn về ánh sáng hay không?

Bài 9 trang 119 sgk toán lớp 8 tập 1 Bài 10 trang 119 sgk toán lớp 8 tập 1

Lời giải:

Bài 12 trang 119 sgk toán lớp 8 tập 1

Đo hai cạnh góc vuông, ta được AB= 30mm, AC= 25mm.Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông, ta được:

Câu hỏi:Cho một tam giác vuông. Hãy so sánh tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai góc vuông với diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền.

Lời giải:Diện tích hình a là 6 ô vuôngDiện tích hình b ∆ADH = ∆ BCI nên diện tích hình b sẽ bằng diện tích hình a (ABIH).Vậy diện tích hình b là 6 ô vuôngDiện tích hình c: ∆ KLN = ∆ NMO nên diện tích hình c sẽ bằng diện tích hình a (KMCB).Vậy diện tích hình c là 6 ô vuông

Câu hỏi: Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm.a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy.b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình vuông như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Thông qua công thức tính chu vi hình chữ nhật và công thức tính diện tích hình chữ nhật trên, đồng thời các ví dụ khá trực quan và dễ tiếp cận sẽ giúp bạn đọc có thể hình dung dễ dàng hơn về cách tính chu vi và diện tích hình chữ nhật của các bài toán từ cơ bản đến phức tạp.

Bên cạnh đó, với những bài toán có sự kết hợp nhiều hình và yêu cầu áp dụng công thức tính chu vi và diện tích hình tròn, công thức tính diện tích hình thang , hình tam giác, người giải cần chú ý tới các đối số trong công thức tính chu vi, diện tích hình chữ nhật cũng như các công thức tương quan tính diện tích hình thang, tính diện tích hình tam giác … để giải quyết bài toán các bài toán một cách hiệu quả nhất.

Ví dụ: Xác định cận lấy tích phân sau trong tọa độ cực:

1. D giới hạn bởi :

Ta có:  D giới hạn bởi đường tròn tâm O , bán kính 1 nên O nằm trong miền D, và mọi tia xuất phát từ  O cắt biên tại 1 điểm có: r = 1 Do đó theo (3) ta có :

2 D giới hạn bởi

Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2 tia xuất phát từ O tiếp xúc với đường tròn chính là 2 tia ,

Do đường tròn đi qua O nên cận dưới r = 0, cận trên,: chuyển D qua tọa độ cực ta có

Vậy cận lấy tích phân của miền D là:

3. D giới hạn bởi

Hoàn toàn tương tự, bạn sẽ tìm được cận lấy tích phân của miền D là:

4. D là miền giới hạn bởi đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R bất kỳ.

Trong trường hợp này, việc tìm ra phương trình của 2 tia OA, OB sẽ rất vất vả, đôi khi lại không rơi vào các góc đặc biệt. Và việc tìm ra phương trình của cung lớn, cung nhỏ AB cũng không phải đơn giản.

Tuy nhiên, nếu tịnh tiến tâm đường tròn về góc tọa độ thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều vì sẽ trở về ví dụ 1.

Với miền D có dạng này, trước tiên ta đổi biến. Đặt:

Khi đó:

5. Cho với D là miền giới hạn bởi các đường thẳng:

Ở đây, tuy miền D là miền tam giác và ta dễ dàng xác định cận giới hạn của miền D là: , nhưng trong hàm lấy tích phân là nên việc lấy tích phân sẽ phức tạp. Do đó, cần chuyển sang tọa độ cực.

Khi đó: bạn dễ dàng nhận thấy miền  D giới hạn bởi 2 tia , gốc O thuộc miền D nên chỉ cần tìm cận trên của r . Dựa vào hình vẽ: cận trên được xác định

Vậy:

Cách 2:  xác định cận bằng phương pháp đại số.

Chuyển các phương trình đường cong sang tọa độ cực. Chú ý điều kiện ban đầu Khi đó: bạn sẽ có các trường hợp sau:

TH1: chỉ có duy nhất đường cong

Trường hợp này, ta tìm điều kiện của để . Khi đó, kết hợp điều kiện ta có cận của ; còn cận của r sẽ là:

Ví dụ 1: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi

Ta có:

Do đó cận lấy tích phân được xác định bởi:

Ví dụ 2: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi đường cong:

Rõ ràng, trong trường hợp này, việc vẽ miền D để xác định cận là việc làm tương đối khó khăn.

Nếu chuyển qua tọa độ cực, ta có:

Hay:

Do điểm (0;0) nằm trên đường cong, nên gốc O thuộc vào miền lấy tích phân D. Nên:

Như vậy, ta phải có điều kiện:

Nghĩa là: hoặc

Như vậy miền D gồm hai miền:

TH2: thu được 2 đường cong xác định bởi:

Với trường hợp này, ta phải tìm điều kiện của để:

Ví dụ: D là miền giới hạn nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính 1 và nằm trong đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1.

Theo giả thiết ta có:

Chuyển qua tọa độ cực ta có:

Hay:

Như vậy, ta phải có điều kiện:

Từ đó, ta có:

Vậy:

Ngoài ra, còn một số trường hợp khác dành cho các bạn nghiên cứu thêm.

3. Đổi biến trong tích phân kép:

Cho hàm số f(x;y) liên tục trong miền D đóng và bị chặn.

Xét phép đổi biến: (1)

Giả sử:

– D’ là tạo ảnh của D qua phép biến đổi (1)

– (1) xác định một song ánh từ D’ lên D. (Nghĩa là phép đổi biến biến miền D trong mp(Oxy) thành miền D’ trong mp(O’uv) sao cho mỗi điểm (u;v) thuộc D’ chỉ tương ứng duy nhất với 1 điểm (x;y) thuộc D).

– Các hàm số x(u;v) và y(u;v) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên D’, thỏa mãn điều kiện:

(J được gọi là định thức Jacobi của các hàm số x và y)

Khi đó, ta có công thức đổi biến sau:

(Ta công nhận công thức đổi biến trên)

Ví dụ: Tính với D giới hạn bởi: ; ; ;

Với miền D cho như trên, nếu làm theo cách thông thường, dù lấy theo phương nào, ta phải chia miền D thành nhiều miền nhỏ. Do đó, việc tính toán sẽ phức tạp.

Dễ dàng nhận thấy miền D bị giới hạn bởi 2 cặp đường thẳng song song. Cặp thứ nhất có dạng: và cặp thứ hai có dạng:

Do đó: thực hiện phép đổi biến. Đặt:

Và:

Trang: 1 2 3