Giải Bài Tập Toán Bài Cực Trị Của Hàm Số / Top 13 Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 11/2023 # Top Trend

I. Kiến thức cơ bản: 1. Bất đẳng thức Côsi: +) Với mọi ta có: . Dấu bằng ở các BĐT trên xảy ra khi và chỉ khi a = b. BĐT được phát biểu tương tự cho n số. 2. Bất đẳng thức Bunhiacôpsky: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi . 3. BĐT chứa giá trị tuyệt đối: +) Với mọi a,b ta có: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi . +) Với mọi a,b ta có: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi . 4. Các tính chất cơ bản của hàm số lượng giác 4.1. Các hệ thức cơ bản 4.2. Các công thức biến đổi, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc 4.3. Các tính chất khác: * : * . * . * Điều kiện cần và đủ để phương trình asinx+ bcosx =c có nghiệm là II. Các bài toán thường gặp Phần 1. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: a. y=3+5sinx b. c. d. e. Lời giải: a. Do nên . Vậy maxy=8, miny=-2. b. Do . c. Do nên . d. Ta có . Do nên . e. Sử dụng công thức hạ bậc ta được: . Do nên . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: a. y= 3sinx- 4cosx b. c. d. e. y= Lời giải: a. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky ta được: . Vậy maxy=5, khi . Minx= -5, khi b. Ta có y= 40cosx+ 9sinx. Suy ra maxy=41, miny=-41. c. áp dụng công thức hạ bậc ta được . Suy ra . d. Do nên đẳng thức đã cho tương đương với (1). Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là . Vậy maxy= , miny= . e. Sử dụng công thức cộng cung ta được . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: a. b. c. Lời giải: a. Ta có . Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi x=0. Vậy maxy=1. áp dụng bổ đề (dễ dàng chứng minh bằng qui nạp). Ta được: . Đẳng thức xảy ra khi x=. Vậy miny= . b. Ta có . y=1, chẳng hạn khi x=0, y= – 1, chẳng hạn khi x= . Vậy maxy=1, miny= -1. c. Tương tự câu b) ta có maxy=1 khi x=0, miny=-1 khi x=. Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của: a. b. Lời giải: a. Ta có . Do đó: . Dấu bằng xảy ra khi sin2x= 0 hay cox2x =0, tức là . Vậy maxy= 10. b. Đặt sinx= t, với , ta có . Do nên: Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên lại tađược . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy . Bài 5. Cho và . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpsky ta có: Đặt (1), với , ta có Đặt với thì (1) trở thành Bảng biến thiên của g(t) : t 0 1 g(t) 1 3 Vậy giá trị lớn nhất của g(t) là , đạt được khi tức là f(x) đạt giá trị lớn nhất là , tương ứng với . Do đó hay , tức là . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc Vậy và Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Lời giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpsky cho hai bộ số và ta được: Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy Cách 2: Đặt thì và Dễ thấy, để xác định giá trị lớn nhất của f(x) chỉ cần xét các giá trị của x để . Khi đó xét hàm số trên , ta có Ta thấy khi và khi . Vậy g(t) đạt giá trị lớn nhất (trùng với giá trị cực đại) tại và . Suy giá trị lớn nhất của f(x) bằng 6 khi . Phần 2. Lượng giác hoá các bài toán nhờ việc đặt ẩn phụ Thông thường, bằng cách đặt ẩn mới, một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể đưa về dạng lượng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi nhờ các công thức và bất đẳng thức lượng giác quen thuộc. 1. Một số kinh nghiệm về việc đặt ẩn phụ – Nếu thì đặt hoặc . – Nếu thì đặt hoặc . – Nếu thì đặt và. – Nếu thì đặt và. – Nếu thì . Khi đó đặt và. – Nếu thì đặt hay . 2. Một số ví dụ điển hình Bài 7. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của a) b) Lời giải: a) Do nên đặt , với , ta có: . Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi x = 1. Vậy maxy = 1. b) Với cách đặt như trên ta có: . Suy ra . Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi x = 0. Vậy maxy = 1. Bài 8. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của , với . Lời giải: Vì nên đặt . Khi đó Đẳng thức xảy ra khi . Vậy . Bài 9. Cho các số thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Lời giải: Vì nên có thể đặt ; nên có thể đặt . Khi đó . Suy ra . Do đó . Đẳng thức xảy ra khi . Vậy . Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Lời giải: (1) (2) Ta có . Xét hệ Để ý các công thức ta suy ra Mặt khác nên nếu chọn thì cả (1) và (2) được thoả mãn, tức là dấu bẳng ở bbất đẳng thức xảy ra. Vậy . Bài 11. Trong các nghiệm của phương trình Hãy tìm nghiệm sao cho x + y là lớn nhất. Lời giải: Bất phương trình đã cho tương đương với hai hệ (I) (II) Xét hệ (I) ta có: Đặt Với . Thay vào (2) ta được . Do đó . Vậy x + y đạt giá trị lớn nhất khi và , tức là khi và , lúc đó x + y = 2. Mặt khác, với mọi nghiệm bất kì ở hệ (II) ta đều có x + y <1 nên ta đI đến kết luận: giá trị lớn nhất của x + y, trong đó là nghiệm của bất phương trình đã cho là 2, đạt được khi Bài 12. Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải: Để tìm giá trị lớn nhất của M, ta chỉ cần xét các giá trị dương x, y, z. Vì nên ta có thể đặt với Khi đó Vì nên (1) Dấu bằng xảy ra khi Biến đổi (1) dưới dạng Dấu bằng xảy ra khi , tức là Vậy . Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trong đó a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 1. Lời giải: Ta có Đặt Để ý rằng suy ra Do đó và với . Vậy Mặt khác . Vậy . Đẳng thức xảy ra khi tức là . Phần 3. Một số bài toán cực trị hình học đưa về bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác. Bài 14. Gọi V và S lần lượt là thể tích và diện tích xung quanh của một hình nón tròn xoay. Chứng minh rằng: Lời giải: Gọi là góc hợp bởi trục của hình nón và một đường sinh bất kì của hình nón; r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, h là đường cao và l là độ dài đường sinh của hình nón. Ta có . Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Do nên . Vậy: . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số , , ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Bài 15. Cho đường tròn bán kính bằng 1, A là một điểm cố định trên đường tròn. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A lấy điểm T sao cho AT = 1. Một đường thẳng quay quanh T cắt đường tròn tại B và C. Xác định vị trí của để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Lời giải: Ta có AT = R = 1. Đặt ta có (khi quay quanh T). Khi đó: . Mà (theo tính chất của tiếp tuyến) nên Hạ ta có . áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC ta có . Vậy áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABT ta có Ta có , . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Hay . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy , đạt được khi Bài 16. Cho tứ diện vuông OABC đỉnh O. Đặt OA = a, OB = b, OC = c . M là một điểm tuỳ ý trong đáy ABC. Gọi d là khoảng cách từ các điểm A, B, C xuống đường thẳng DM. Chứng minh . Lời giải: Đặt , ta có: . Vì góc tam diện đỉnh O là vuông nên ta luôn dựng được một hình hộp chữ nhật có OM là đường chéo, còn OA, OB, OC là phương của các cạnh bên. Khi đó: Do nên (1) Mặt khác (2). Từ (1) và (2) ta có (3) Lại do (4) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng trong (3) và (4), tức là , hay M trùng C. Bài 17. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai cạnh AD và CD sao cho . Chứng minh rằng Lời giải: Đặt . Ta có: Do Vậy từ (1) suy ra: hay . Khi đó M trùng D, N trùng C hoặc M trùng A, N trùng D. . Khi đó M trùng E, N trùng F, trong đó E và F lần lượt là chân đường phân giác của các góc và . Phần 4. ứng dụng vào việc giải các phương trình lượng giác Bài 18. Giải phương trình Lời giải: Do nên Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ Bài 19. Giải phương trình Lời giải: Theo kết quả bài 6 ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Mặt khác Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ Tập nghiệm của phương trình đã cho là phần 5. một số bài toán khác Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Đề thi vào Học viện quan hệ quốc tế) Bài 2. Cho n số . Tìm giá trị lớn nhất của Bài 3. Cho 4 số thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của Bài 4. Cho . Tìm k để giá trị lớn nhất của đạt nhỏ nhất. Bài 5. Cho là 13 số thực phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại hai số sao cho . Bài 6. Giải các phương trình sau a) b) ——————————————————————————————————–

1. Giải bài 1.17 trang 15 SBT Giải tích 12

Tìm cực trị của hàm số sau:

a) (y=-2x^2+7x-5);

b) (y=x^3-3x^2-24x+7);

c) (y=(x+2)^2(x-3)^3).

Phương pháp giải

– Tính y’

– Tính y”

– Tính giá trị của y” tại các điểm làm cho y’=0 và kết luận.

+ Các điểm làm cho y”

Hướng dẫn giải

a) 

TXĐ: R

(eqalign{ & y’ = – 4x + 7cr &y’ = 0 Leftrightarrow – 4x + 7 = 0 Leftrightarrow x = {7 over 4} cr & y” = – 4 Rightarrow y”({7 over 4}) = – 4

Vậy (x = {7 over 4}) là điểm cực đại của hàm số

({y_{CD}} = – 2.{left( {frac{7}{4}} right)^2} + 7.frac{7}{4} – 5 = frac{9}{8})

b) 

TXĐ: R

(y’ = 3{x^2} – 6x – 24 = 3({x^2} – 2x – 8))

(y’ = 0 Leftrightarrow {x^2} – 2x – 8 = 0) (Leftrightarrow left[ matrix{ x = – 2 hfill cr x = 4 hfill cr} right.)

y” = 6x – 6

Vì y”( – 2) = 6.(-2)-6= – 18 CĐ = y(-2) = 35.

c) TXĐ: R

(y’ = 2(x + 2){(x – 3)^3} + 3{(x + 2)^2}{(x – 3)^2})

(= left( {x + 2} right){left( {x – 3} right)^2}left[ {2left( {x – 3} right) + 3left( {x + 2} right)} right] \ = left( {x + 2} right){left( {x – 3} right)^2}left( {2x – 6 + 3x + 6} right))

(= 5x(x + 2){(x – 3)^2})

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = – 2 hfill cr x = 0 hfill cr x = 3 hfill cr} right.)

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra yCĐ = y(-2) = 0 ; yCT = y(0) = -108.

2. Giải bài 1.18 trang 15 SBT Giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y=dfrac{x+1}{x^2+8})

b) (y=dfrac{x^2-2x+3}{x-1})

c) (y=dfrac{x^2+x-5}{x+1})

d) (y=dfrac{(x-4)^2}{x^2-2x+5})

Phương pháp giải

– Tìm TXĐ

– Tính ( y’).

– Tính y’ = 0

– Bảng biến thiên

-Nhìn bảng kết luận các điểm cực trị của hàm số.

Hướng dẫn giải

a) (y=dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+8} . TXĐ: mathbb{R})

(begin{aligned} & y’=dfrac{{{x}^{2}}+8-2xleft( x+1 right)}{{{left( {{x}^{2}}+8 right)}^{2}}}=dfrac{-{{x}^{2}}-2x+8}{{{left( {{x}^{2}}+8 right)}^{2}}} \ & y’=0Leftrightarrow left[ begin{aligned} & x=-4 \ & x=2 \ end{aligned} right. \ end{aligned} )

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = -4 và

 ({{y}_{text{CĐ}}}=yleft( 2 right)=dfrac{1}{4};,{{y}_{CT}}=yleft( -4 right)=-dfrac{1}{8}) . b) (y=dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-1}) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi (xne 1) (begin{aligned} & y’=dfrac{{{x}^{2}}-2x-1}{{{left( x-1 right)}^{2}}} \ & y’=0Leftrightarrow left[ begin{aligned} & x=1-sqrt{2} \ & x=1+sqrt{2} \ end{aligned} right. \ end{aligned} ) Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại (x=1-sqrt{2}) , đạt cực tiểu tại (x=1+sqrt{2}) Ta có: (y{_{text{CĐ}}}=yleft( 1-sqrt{2} right)=-2sqrt{2};,{{y}_{CT}}=yleft( 1+sqrt{2} right)=2sqrt{2}) c) (y=dfrac{{{x}^{2}}+x-5}{x+1}) .TXĐ: (mathbb{R}backslash left{ -1 right} ) Hàm số đồng biến trên các khoảng (left( -infty ;-1 right),left( -1;+infty right)) và do đó không có cực trị. d) (y=dfrac{{{left( x-4 right)}^{2}}}{{{x}^{2}}-2x+5}) Vì ({{x}^{2}}-2x+5) luôn dương nên hàm số xác định trên (left( -infty ;+infty right)) (begin{aligned} & y’=dfrac{2left( x-4 right)left( {{x}^{2}}-2x+5 right)-{{left( x-4 right)}^{2}}left( 2x-2 right)}{{{left( {{x}^{2}}-2x+5 right)}^{2}}}=dfrac{2left( x-4 right)left( 3x+1 right)}{{{left( {{x}^{2}}-2x+5 right)}^{2}}} \ & y’=0Leftrightarrow left[ begin{aligned} & x=-dfrac{1}{3} \ & x=4 \ end{aligned} right. \ end{aligned} ) Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại (x=-dfrac{1}{3}) , đạt cực tiểu tại x = 4 và ({{y}_{text{CĐ}}}=yleft( -dfrac{1}{3} right)=dfrac{13}{4};,,{{y}_{CT}}=yleft( 4 right)=0 )

3. Giải bài 1.19 trang 16 SBT Giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y=x-6sqrt[3]{{{x}^{2}}})

b) (y=left( 7-x right)sqrt[3]{x+5} )

c) (y=dfrac{x}{sqrt{10-x^2}})

d) (y=dfrac{x^3}{sqrt{x^2-6}})

Phương pháp giải

– Tìm TXĐ

– Tính y’

– Tính y’ = 0

– Bảng biến thiên

-Nhìn bảng kết luận các điểm cực trị của hàm số.

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: R

(begin{array}{l} y = x – 6{x^{frac{2}{3}}}\ y’ = 1 – 6.frac{2}{3}{x^{ – frac{1}{3}}} = 1 – 4.frac{1}{{{x^{frac{1}{3}}}}}\ = 1 – frac{4}{{sqrt[3]{x}}} = frac{{sqrt[3]{x} – 4}}{{sqrt[3]{x}}}\ y’ = 0 Leftrightarrow sqrt[3]{x} – 4 = 0\ Leftrightarrow sqrt[3]{x} = 4 Leftrightarrow x = 64 end{array})

Bảng biến thiên:

Vậy ta có yCĐ = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32.

b) 

Hàm số xác định trên R.

(begin{array}{l} y = left( {7 – x} right){left( {x + 5} right)^{frac{1}{3}}}\ y’ = left( {7 – x} right)'{left( {x + 5} right)^{frac{1}{3}}} + left( {7 – x} right)left[ {{{left( {x + 5} right)}^{frac{1}{3}}}} right]’\ = – {left( {x + 5} right)^{frac{1}{3}}} + left( {7 – x} right).frac{1}{3}{left( {x + 5} right)^{ – frac{2}{3}}} end{array})

(= – root 3 of {x + 5} + {{7 – x} over {3root 3 of {{{(x + 5)}^2}} }} ) ( = frac{{ – 3left( {x + 5} right) + 7 – x}}{{3sqrt[3]{{{{left( {x + 5} right)}^2}}}}} = frac{{ – 4x – 8}}{{3sqrt[3]{{{{left( {x + 5} right)}^2}}}}})

(y’ = 0 Leftrightarrow – 4x – 8 = 0 Leftrightarrow x = – 2)

Bảng biến thiên:

Vậy ({y_{CD}} = y( – 2) = 9root 3 of 3)

c) TXĐ: (D=( – sqrt {10} ;sqrt {10} ))

(y’ = frac{{left( x right)’.sqrt {10 – {x^2}} – x.left( {sqrt {10 – {x^2}} } right)’}}{{left( {sqrt {10 – {x^2}} } right)’}})

(= {{sqrt {10 – {x^2}} + {{{x^2}} over {sqrt {10 – {x^2}} }}} over {10 – {x^2}}} ) ( = frac{{frac{{10 – {x^2} + {x^2}}}{{sqrt {10 – {x^2}} }}}}{{10 – {x^2}}}) (= {{10} over {(10 – {x^2})sqrt {10 – {x^2}} }})

d) TXĐ: (D = ( – infty ; – sqrt 6 ) cup (sqrt 6 ; + infty ))

(eqalign{ & y’ = frac{{left( {{x^3}} right)’sqrt {{x^2} – 6} + {x^3}left( {sqrt {{x^2} – 6} } right)’}}{{{{left( {sqrt {{x^2} – 6} } right)}^2}}}cr &= {{3{x^2}sqrt {{x^2} – 6} – {{{x^4}} over {sqrt {{x^2} – 6} }}} over {{x^2} – 6}} cr & = {{3{x^2}({x^2} – 6) – {x^4}} over {sqrt {{{({x^2} – 6)}^3}} }} cr & = frac{{3{x^4} – 18{x^2} – {x^4}}}{{sqrt {{{left( {{x^2} – 6} right)}^3}} }} = frac{{2{x^4} – 18{x^2}}}{{sqrt {{{left( {{x^2} – 6} right)}^3}} }}cr &= {{2{x^2}({x^2} – 9)} over {sqrt {{{({x^2} – 6)}^3}} }} cr} )

(y’ = 0Leftrightarrow 2{x^2}left( {{x^2} – 9} right) = 0 )

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x^2 = 0\ {x^2} – 9 = 0 end{array} right. ) (Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0 notin D\ x = pm 3 in D end{array} right.)

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x =3 và ({y_{CT}} = y(3) = 9sqrt 3 ;{y_{CD}} = y( – 3) = – 9sqrt 3)

4. Giải bài 1.20 trang 16 SBT Giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y=sin2x);

b) (y=cos x-sin x);

c) (y=sin^2x).

Phương pháp giải

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn ({rm{[}} – pi ;pi {rm{]}})

– Tính y’, tìm nghiệm trong đoạn ({rm{[}} – pi ;pi {rm{]}})

– Tính y” và xét dấu của y” tại các điểm tìm được ở trên.

– Kết luận:

+ Tại điểm mà y” mang dấu âm thì là điểm cực đại.

+ Tại điểm mà y” mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.

Hướng dẫn giải

a) y = sin 2x               

Hàm số có chu kỳ (T = pi )

Xét hàm số y = sin 2x trên đoạn ({rm{[}}0;pi {rm{]}}) , ta có:

y’ = 2cos 2x

(y’ = 0 Leftrightarrow cos 2x = 0 ) (Leftrightarrow 2x = frac{pi }{2} + kpi Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2})

Mà ( xin [0;pi] Rightarrow left[ matrix{ x = {pi over 4} hfill cr x = {{3pi } over 4} hfill cr} right.)

Lại có: y” =  – 4sin 2x

(y”left( {dfrac{pi }{4}} right) = – 4sin left( {2.dfrac{pi }{4}} right) = – 4 nên hàm số đạt cực đại tại (x = dfrac{pi }{4}) và ({y_{CD}} = y({pi over 4}) = 1)

Vậy trên R ta có:

({y_{CĐ}} = y({pi over 4} + kpi ) = 1)

({y_{CT}} = y({{3pi } over 4} + kpi ) = – 1,k in Z)

b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ (pi) nên ta xét trên đoạn ({rm{[}} – pi ;pi {rm{]}})

Ta có: (y’ = – sin x – cos x = 0) ( Leftrightarrow sin x = – cos x) ( Leftrightarrow tan x = – 1 Leftrightarrow x = – dfrac{pi }{4} + kpi)

Do (x in left[ { – pi ;pi } right]) nên (left[ begin{array}{l}x = – dfrac{pi }{4}\x = dfrac{{3pi }}{4}end{array} right.)

Lại có (y” = – cos x + sin x)

+) (y”left( { – dfrac{pi }{4}} right) = – cos left( { – dfrac{pi }{4}} right) + sin left( { – dfrac{pi }{4}} right) = – sqrt 2 nên (x = – dfrac{pi }{4}) là điểm cực đại của hàm số và ({y_{CD}} = yleft( { – dfrac{pi }{4}} right) = sqrt 2)

Vậy trên R thì ({x_{CD}} = – dfrac{pi }{4} + kpi ) là điểm cực đại của hàm số và ({y_{CD}} = yleft( { – dfrac{pi }{4} + kpi } right) = sqrt 2; {x_{CT}} = dfrac{{3pi }}{4} + kpi) là điểm cực tiểu của hàm số và ({y_{CT}} = yleft( {dfrac{{3pi }}{4} + kpi } right) = – sqrt 2)

c) Ta có: (y = {sin ^2}x = frac{{1 – cos 2x}}{2} = frac{1}{2} – frac{1}{2}cos 2x)

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ (pi ).

Ta xét hàm số (y = {1 over 2} – {1 over 2}cos 2x) trên đoạn ({rm{[}}0;pi {rm{]}}).

y′ = sin2x

(y’ = 0 Leftrightarrow sin 2x = 0 Leftrightarrow x = dfrac{{kpi }}{2})

Vì (x in left[ {0;pi } right]) nên (left[ begin{array}{l}x = 0\x = dfrac{pi }{2}\x = pi end{array} right.)

Lập bảng biến thiên trên đoạn (left[ {0,pi } right])

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại (x = k.{pi over 2}) với k chẵn, đạt cực đại tại (x = k.{pi over 2}) với k lẻ, và ({y_{CT}} = y(2mpi ) = 0; {y_{CĐ}} = y((2m + 1){pi over 2}) = 1(m in Z))

5. Giải bài 1.21 trang 16 SBT Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị:

(y=x^3+2mx^2+mx-1).

Phương pháp giải

– Tính y’

– Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

Hướng dẫn giải

TXĐ: (D=mathbb{R} ) (y’=3{{x}^{2}}+4mx+m ) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên (mathbb{R} ) (Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+4mx+m) có hai nghiệm phân biệt

6. Giải bài 1.22 trang 16 SBT Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số (y=x^2-2x^2+mx+1) đạt cực tiểu tại (x=1).

Phương pháp giải

– Tính y’.

– Tìm m từ điều kiện: Điểm (x = {x_0}) là điểm cực trị của hàm số thì (y’left( {{x_0}} right) = 0)

– Thay m vào hàm số và kiểm tra lại theo yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: (D=mathbb{R})  (begin{align} & y’=3{{x}^{2}}-4x+m \ & y’=0Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4x+m=0 \ end{align} ) Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi Hàm số có cực trị tại (x=1) thì (y’left( 1 right)=3-4+m=0Rightarrow m=1) (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy, với (m=1), hàm số đã cho có cực tiểu tại (x=1).

7. Giải bài 1.23 trang 16 SBT Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số (y=x^3-mx^2+left(m-dfrac{2}{3} right)x+5) có cực trị tại (x=1). Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp điều kiện cần:

– Thay x = 1 vào phương trình y’ = 0 tìm m

– Thay m vừa tìm được vào hàm số và kiểm tra.

Hướng dẫn giải

(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+left( m-dfrac{2}{3} right)x+5 ) Ta biết hàm số (y=f(x)) có cực trị khi phương trình (y’=0) có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.  Ta có: (y’=3{{x}^{2}}-2mx+left( m-dfrac{2}{3} right))  Xét (y’=0), ta có: (Delta ‘={{m}^{2}}-3left( m-dfrac{2}{3} right)={{m}^{2}}-3m+2 ) Để hàm số có cực trị tại (x=1) thì (y’left( 1 right)=3-2m+m-dfrac{2}{3}=0Leftrightarrow m=dfrac{7}{3}) (thỏa mãn điều kiện (*)) Với (m=dfrac{7}{3})  thì hàm số đã cho trở thành (begin{align} & y={{x}^{3}}-dfrac{7}{3}{{x}^{2}}+dfrac{5}{3}x+5 \ & \ end{align})  Ta có  (begin{align} & y’=3{{x}^{2}}-dfrac{14}{3}x+dfrac{5}{3}; \ & y”=6x-dfrac{14}{3} \ end{align} )

8. Giải bài 1.24 trang 16 SBT Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (fleft( x right)=left{ begin{align} & -2x,,text{nếu},,xge 0 \ & sin dfrac{x}{2},,text{nếu},,x

không có đạo hàm tại (x=0) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Phương pháp giải

– Xét sự tồn tại của giới hạn (mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}}) và suy ra sự tồn tại của đạo hàm tại điểm x = 0.

– Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.

Hướng dẫn giải

Hàm số  (fleft( x right)=left{ begin{align} & -2x,,text{nếu},,xge 0 \ & sin dfrac{x}{2},,text{nếu},,x Không có đạo hàm tại (x=0) vì: (begin{align} & underset{xto {{0}^{+}}}{mathop lim },dfrac{fleft( x right)-fleft( 0 right)}{x}=underset{xto {{0}^{+}}}{mathop lim },dfrac{-2x}{x}=,-2, \ & underset{xto {{0}^{-}}}{mathop lim },dfrac{fleft( x right)-fleft( 0 right)}{x}=underset{xto {{0}^{-}}}{mathop lim },dfrac{sin dfrac{x}{2}}{x}=underset{xto {{0}^{-}}}{mathop lim },dfrac{sin dfrac{x}{2}}{2dfrac{x}{2}}=dfrac{1}{2} \ end{align} ) Bảng biến thiên

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực đại tại (x=0) và (y{_{text{CĐ}}}=yleft( 0 right)=0 )

9. Giải bài 1.25 trang 16 SBT Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

(y=dfrac{x^2+2mx-3}{x-m})

Phương pháp giải

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R{m}

Hướng dẫn giải

Ta có  (begin{align} & y=dfrac{{{x}^{2}}+2mx-3}{x-m} \ & y’=dfrac{left( 2x+2m right)left( x-m right)-left( {{x}^{2}}+2mx-3 right)}{{{left( x-m right)}^{2}}} \ & ,,,,,=dfrac{2{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}-{{x}^{2}}-2mx+3}{{{left( x-m right)}^{2}}}=dfrac{{{x}^{2}}-2mx-2{{m}^{2}}+3}{{{left( x-m right)}^{2}}} \ end{align} ) Xét (gleft( x right)={{x}^{2}}-2mx-2{{m}^{2}}+3) , (begin{align} & Delta {{‘}_{g}}={{m}^{2}}+2{{m}^{2}}-3=3left( {{m}^{2}}-1 right) \ & Delta {{‘}_{g}}le 0,,khi,,-1le mle 1. \ end{align} ) Khi -1 0 trên tập xác định. Khi đó,hàm số không có cực trị. Khi m = 1 hoặc m = – 1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với (xne 1) ) hoặc y = x – 3 (với (xne -1)). Các hàm số này không có cực trị. Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi   . 

10. Giải bài 1.26 trang 16 SBT Giải tích 12

Hàm số (y=(x+1)^3(5-x)) có mấy điểm cực trị?

A. 0

B. 1 

C. 2   

D. 3

Phương pháp giải

– Tính y’ và tìm nghiệm của y’ = 0.

– Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình y’ = 0 và kết luận.

Hướng dẫn giải

Ta có:

(y’ = 3{left( {x + 1} right)^2}left( {5 – x} right) – {left( {x + 1} right)^3}) ( = {left( {x + 1} right)^2}left[ {3left( {5 – x} right) – x – 1} right] \ = {left( {x + 1} right)^2}left( {14 – 4x} right))

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – 1\x = dfrac{7}{2}end{array} right.)

Ta thấy x =  – 1 là nghiệm bội hai nên y’ không đổi dấu qua x =  – 1; (x = dfrac{7}{2}) là nghiệm đơn nên y’ đổi dấu qua (x = dfrac{7}{2})

Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực trị.

Chọn B

11. Giải bài 1.27 trang 17 SBT Giải tích 12

Hàm số (y=x^4-5x^2+4) có mấy điểm cực đại?

A. 0

B. 1 

C. 2   

D. 3

Phương pháp giải

– Tính y’ và tìm các nghiệm của y’ = 0

– Tính y” và tính giá trị của y” tại các điểm trên.

– Kết luận dựa vào dấu của y”: Các điểm làm cho y” mang dấu âm là điểm cực đại của hàm số.

Hướng dẫn giải

Ta có: (y’ = 4{x^3} – 10x = xleft( {4{x^2} – 10} right)); (y” = 12{x^2} – 10)

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = pm dfrac{{sqrt {10} }}{2}end{array} right.)

+) (y”left( 0 right) = – 10 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0

Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực đại.

Chọn D.

12. Giải bài 1.28 trang 17 SBT Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số (y=x^3-3x^2+mx-5) có cực trị:

A. (m=3)                                

B. (min [3;+infty))         

C. (m              

Phương pháp giải

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R

Hướng dẫn giải

Ta có: (y’ = 3{x^2} – 6x + m)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R

(Leftrightarrow y’ = 0) có hai nghiệm phân biệt

(Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + m = 0) có hai nghiệm phân biệt

Chọn C.

13. Giải bài 1.29 trang 17 SBT Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số (y=dfrac{x^2-2mx+5}{x-m}) có cực trị.

B. (m

C. (m=sqrt{5})

D. (-sqrt{5}

Phương pháp giải

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên TXĐ (D).

Hướng dẫn giải

TXĐ: (D = mathbb{R}backslash left{ m right})

Có (y’ = dfrac{{{x^2} – 2mx + 2{m^2} – 5}}{{{{left( {x – m} right)}^2}}})

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên TXĐ: D

( Leftrightarrow {x^2} – 2mx + 2{m^2} – 5 = 0) có hai nghiệm phân biệt

Chọn D.

14. Giải bài 1.30 trang 17 SBT Giải tích 12

Cho hàm số (y=-x^4+4x^2-3). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu.

B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu.

C. Hàm số chỉ có một cực tiểu.

D. Hàm số chỉ có một cực đại.

Phương pháp giải

– Tính y’ và tìm nghiệm của phương trình y’ = 0

– Tính y” và tính giá trị của y” tại các nghiệm ở trên rồi kết luận:

+ Điểm làm cho y” mang dấu âm là điểm cực đại của hàm số.

+ Điểm làm cho y” mang dấu dương là điểm cực tiểu của hàm số.

Hướng dẫn giải

Ta có: (y’ = – 4{x^3} + 8x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = pm sqrt 2 end{array} right.)

(y”left( { pm sqrt 2 } right) = – 16 nên (x = pm sqrt 2) là điểm cực đại của hàm số.

Vậy hàm số có 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.

Chọn B.

15. Giải bài 1.31 trang 17 SBT Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị.

(y=dfrac{1}{3}mx^3+mx^2+2(m-1)x-2)

A. (mle 0) hoặc (mge 2)                                 

B. (mge 0)

C. (0le mle 2)

D. (min [0;+infty))

Phương pháp giải

Xét với m = 0 và (mne 0)

Hàm số y không có cực trị khi và chỉ khi y’=0 không có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

-Nếu m = 0 thì y = -2x-2, hàm số không có cực trị.

-Nếu (mne 0) hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình (y’=m{{x}^{2}}+2mx+2left( m-1 right)=0) không có 2 nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có:

(Delta ‘={{m}^{2}}-2mleft( m-1 right)=-{{m}^{2}}+2mle 0Leftrightarrow left[ begin{align} & m

Chọn A

16. Giải bài 1.32 trang 17 SBT Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị

 (y=x^3-3(m-1)x^2-3(m+3)x-5)

A. (mge0)   

B. (minmathbb{R})     

C. (m  

D. (min [-5;5])

Phương pháp giải

Hàm số y có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

(y’=3{{x}^{2}}-6left( m-1 right)x-3left( m+3 right)=0) có 2 nghiệm phân biệt

Ta thấy dấu tam thức (Delta ‘={{m}^{2}}-m+4) luôn dương với mọi m vì

(delta =1-16=-150)

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi (min mathbb{R})

Chọn B.

17. Giải bài 1.33 trang 17 SBT Giải tích 12

Cho hàm số (y=x^3+dfrac{3}{2}x^2). Khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A. (d=2sqrt{5})                        

B. (d=dfrac{sqrt{5}}{4})                       

C. (d=sqrt{5})                          

D. (d=dfrac{sqrt{5}}{2})

Phương pháp giải

– Tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

– Tính khoảng cách theo công thức (AB = sqrt {{{left( {{x_B} – {x_A}} right)}^2} + {{left( {{y_B} – {y_A}} right)}^2}} )

Hướng dẫn giải

Ta có: (y’ = 3{x^2} + 3x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = – 1end{array} right.)

Do đó x = 0 là điểm cực tiểu (Rightarrow {y_{CT}} = 0 Rightarrow Oleft( {0;0} right)) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

x =  – 1 là điểm cực đại của hàm số (Rightarrow {y_{CD}} = dfrac{1}{2} Rightarrow Aleft( { – 1;dfrac{1}{2}} right)) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vậy khoảng cách (d = OA = sqrt {{{left( { – 1} right)}^2} + {{left( {dfrac{1}{2}} right)}^2}} = dfrac{{sqrt 5 }}{2})

Chọn D.

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1.17 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = −2x 2 + 7x − 5

Lời giải:

a) y = −2x 2 + 7x − 5. TXĐ: R

y′ = −4x + 7, y′ = 0 ⇔ x = 7/4

y′′ = −4 ⇒ y′′(7/4) = −4 < 0

Vậy x = 7/4 là điểm cực đại của hàm số và y CD = 9/8

e) TXĐ: R

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra y CĐ = y(-2) = 0; y CT = y(0) = -108.

Bài 1.18 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ : R

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = -4 và y CD = y(2) = 1/4; y CT = y(−4) = −1/8

b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 − √2 và đạt cực tiểu tại x = 1 + √2, ta có:

y CD = y(1 − √2) = −2√2;

y CT = y(1 + √2) = 2√2.

c) TXĐ: R{-1}

Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.

d) Vì x 2 – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên (−∞; +∞)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = −1/3, đạt cực tiểu tại x = 4 và y CD = y(−1/3) = 13/4; y CT = y(4) = 0

Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ: R

y′ = 0 ⇔ x = 64

Bảng biến thiên:

Vậy ta có y CĐ = y(0) = 0 và y CT = y(64) = -32.

b) Hàm số xác định trên khoảng (−∞;+∞).

Bảng biến thiên:

c) Hàm số xác định trên khoảng (−√10;√10).

d) TXĐ: D = (−∞; −√6) ∪ (√6; +∞)

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = -3 và y CT = y(3) = 9√3; y CD = y(−3) = −9√3

Bài 1.20 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = sin2x

b) y = cosx − sinx

Lời giải:

a) y = sin2x

Hàm số có chu kỳ T = π

Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có:

y’ = 2cos2x

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và y CD = y(π/4) = 1; y CT = y(3π/4) = −1

Vậy trên R ta có:

y CT = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z

b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π].

y′ = − sinx – cosx

y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]

Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và

y CĐ = y(−π4 + k2π) = √2;

y CT = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z).

c) Ta có:

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ π.

Ta xét hàm số y trên đoạn [0;π]:

y′ = sin2x

y′ = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = kπ/2 (k∈Z)

Lập bảng biến thiên trên đoạn [0,π]

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = kπ/2 với k chẵn, đạt cực đại tại x = kπ/2 với k lẻ, và

y CĐ = y((2m+1)π/2) = 1 (m∈Z)

Bài 1.21 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị:

Lời giải:

TXĐ: D = R

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3x 2 + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

Bài 1.22 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1. (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)

Lời giải:

TXĐ: D = R

y’ = 3x 2 – 4x + m; y’ = 0 ⇔ 3x 2 – 4x + m = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:

Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :

y'(1) = 3 – 4 + m = 0 ⇒ m = 1 (thỏa mãn điều kiện (∗) )

Mặt khác, vì:

cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.

Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 1.23 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định m để hàm số: y = x3 − mx2 + (m – 2/3)x + 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Lời giải:

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét y’ = 0, ta có: y′ = 3x 2 − 2mx + (m – 2/3)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

y′(1) = 3 − 2m + m – 2/3 = 0 ⇔ m = 7/3, thỏa mãn điều kiện (∗)

Với m = 7/3 thì hàm số đã cho trở thành:

Ta có:

Bài 1.24 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số:

Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số:

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y CĐ = y(0) = 0.

Bài 1.25 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

Lời giải:

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R{m}.

Ta có:

Δ’ g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1.

tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ – 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Bài tập trắc nghiệm trang 16, 17 Sách bài tập Giải tích 12: Bài 1.26: Hàm số y = (x + 1)3(5 – x) có mấy điểm cực trị?

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

Bài 1.27: Hàm số y = x4 – 5x2 + 4 có mấy điểm cực đại?

A. 0 B. 2

C. 3 D. 1

Bài 1.28: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 3x2 + mx – 5 có cực trị:

A. m = 3 B. m ∈ [3; +∞]

Bài 1.29: Xác định giá trị của tham số m để hàm số có cực trị:

C. m = √5 D. -√5 < m < √5

Bài 1.30: Cho hàm số y = -x4 + 4x2 – 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu

C. Hàm số chỉ có một cực tiểu

D. Hàm số chỉ có một cực đại

Bài 1.31: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 2 B. m ≥ 0

C. m ≤ 0 ≤ 2 D. m ∈ [0; +∞]

Bài 1.32: Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị

A. m ≥ 0 B. m ∈ R

C. m < 0 D. m ∈ [-5;5]

Bài 1.33: Cho hàm số:

Khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A. d = 2√5 B. d = √5/4

C. d = √5 D. √5/2

Lời giải: Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1.26: Đáp án: B.

Hàm số y = (x + 1) 3(5 – x) xác định trên R.

Bảng biến thiên

Suy ra hàm số chỉ có một cực trị (là cực đại)

Bài 1.27: Đáp án: D.

Hàm số y = x 4 – 5x 2 + 4 xác định trên R.

y’ = 0 khi

nên hàm số chỉ có một cực đại (tại x = 0)

Bài 1.28: Đáp án: C.

Tập xác định: D = R. y’ = 3x 2 – 6x + m.

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R

⇔ 3x 2 – 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt

Bài 1.29: Đáp án: D.

Tập xác định: D = R {m}

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D

⇔ x 2 – 2mx + 2m 2 – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt

Bài 1.30: Đáp án: B.

Vì a < 0 và y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có hai cực đại, một cực tiểu.

Ở đây y’ = -4x 3 + 8x; y’ = 0 ⇔ -4x(x 2 – 2) = 0

Bài 1.31: Đáp án: A.

– Nếu m = 0 thì y = -2x – 2, hàm số không có cực trị.

– Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = mx 2 + 2mx + 2(m – 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

Bài 1.32: Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y’ = 3x 2 – 6(m – 1)x – 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Ta thấy tam thức Δ’ = m 2 – m + 4 luôn dương với mọi m vì

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m ∈ R

Bài 1.33: Đáp án: D.

y’ = 3x 2 + 3x = 3x(x + 1) = 0

Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:

Sách giải toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 13: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x 2 + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) y = x/3(x+ 3) 2 trong các khoảng (1/2; 3/2) và (3/2; 4).

Lời giải:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4/3.

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14: a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

* y = -2x + 1;

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Lời giải:

a,Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị.

Hàm số y = x/3 (x-3) 2 đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f(x) = x(x^2 – 3).

Lời giải:

1. TXĐ: D = R

2. f'(x) = 3x^2 – 3. Cho f'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

3. Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

y’ = 6x 2 + 6x – 36

y’ = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y CĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y CT = -54.

b) TXĐ: D = R

y’ = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y CT = -3

hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = R {0}

y’ = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y CĐ = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y CT = 2.

d) TXĐ: D = R

y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

hàm số đạt cực tiểu tại x CT = 1.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = R.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

y’ = 0 ⇔ 4x(x 2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

y”(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

b) TXĐ: D = R

+ y’ = 2cos2x – 1;

+ y” = -4.sin2x

c) TXĐ: D = R

+ y’ = cos x – sin x.

d) TXĐ: D = R

⇔ x = ±1.

y”(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Lời giải:

Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

⇒ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: D = R

+ y’ = 3x 2 – 2mx – 2

+ y” = 6x – 2m.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Bài 5 (trang 18 SGK Giải tích 12): Tìm a và b để các cực trị của hàm số

đều là nhưng số dương và x o = -5/9 là điểm cực đại.

Lời giải:

TXĐ: D = R.

⇒ y” = 10a 2 x + 4a.

– Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

– Nếu a ≠ 0.

Các cực trị của hàm số đều dương

Các cực trị của hàm số đều dương

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.

Giải bài tập toán 12 bài 2 Cực trị của hàm số hay nhất được giải và biên tập từ đội ngũ giáo viên dạy giỏi môn toán trên toàn quốc. Đảm bảo chính xác, dễ hiểu giúp các em hoàn thành bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số nhanh chóng, dễ dàng.

Giải bài tập toán 12 bài 2 Cực trị của hàm số hay nhất thuộc: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

Hướng dẫn giải bài tập SGK toán 12 bài 2 Cực trị của hàm số

Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

y’ = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y CĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y CT = -54.

b) TXĐ: D = R

y’ = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên:

hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = R {0}

Bảng biến thiên:

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y CT = 2.

d) TXĐ: D = R

y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

hàm số đạt cực tiểu tại x CT = 1.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = R.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

y’ = 0 ⇔ 4x(x 2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

y”(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

b) TXĐ: D = R

+ y’ = 2cos2x – 1;

c) TXĐ: D = R

+ y’ = cos x – sin x.

d) TXĐ: D = R

y”(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Kiến thức áp dụng

Tìm điểm cực trị của hàm số :

1. Tìm tập xác định

2. Tính f'(x). Tìm các giá trị x i để f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

3. Tính f”(x). Xét dấu f”(x i).

4. Kết luận : Các điểm x i làm cho f”(x i) < 0 là các điểm cực đại

Lời giải:

Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

⇒ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Kiến thức áp dụng

Hàm số y = f(x) liên tục trên (a ; b) và x 0 ∈ (a ; b).

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: D = R

+ y’ = 3x 2 – 2mx – 2

+ y” = 6x – 2m.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

+ f'(x 0) = 0 và f”(x 0) < 0 thì x 0 là điểm cực đại.

Bài 5 (trang 18 SGK Giải tích 12): Tìm a và b để các cực trị của hàm số

Lời giải:

TXĐ: D = R.

⇒ y” = 10a 2 x + 4a.

– Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

– Nếu a ≠ 0.

+ f'(x 0) = 0 và f”(x 0) < 0 thì x 0 là điểm cực đại.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.

Xem Video bài học trên YouTube

Là một giáo viên Dạy cấp 2 và 3 thích viết lạch và chia sẻ những cách giải bài tập hay và ngắn gọn nhất giúp các học sinh có thể tiếp thu kiến thức một cách nhanh nhất