Giải Bài Tập Toán Bài Cực Trị Của Hàm Số / TOP #10 ❤️ Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 9/2022 ❣️ Top View | Ictu-hanoi.edu.vn

Một Số Bài Toán Cực Trị Của Các Hàm Số Lượng Giác

Tìm Cực Trị Của Hàm Số Như Thế Nào ?

Hướng Dẫn Giải Toán Lớp 12 Ứng Dụng Tích Phân Tính Thể Tích Chi Tiết.

Đề Thi Học Kì 1 Lớp 10 Môn Hóa Có Đáp Án 2022

Download Sách Kỹ Thuật Điện – Lý Thuyết Bài Tập Có Đáp Số Bài Tập Giải Sẵn Ebook Pdf

7 App Ứng Dụng Công Nghệ Gia Sư Tốt Nhất Hiện Nay

I. Kiến thức cơ bản:

1. Bất đẳng thức Côsi:

+) Với mọi ta có: .

Dấu bằng ở các BĐT trên xảy ra khi và chỉ khi a = b.

BĐT được phát biểu tương tự cho n số.

2. Bất đẳng thức Bunhiacôpsky:

.

Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi .

3. BĐT chứa giá trị tuyệt đối:

+) Với mọi a,b ta có: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi .

+) Với mọi a,b ta có: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi .

4. Các tính chất cơ bản của hàm số lượng giác

4.1. Các hệ thức cơ bản

4.2. Các công thức biến đổi, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc

4.3. Các tính chất khác:

* :

* .

* .

* Điều kiện cần và đủ để phương trình asinx+ bcosx =c có nghiệm là

II. Các bài toán thường gặp

Phần 1. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a. y=3+5sinx

b.

c.

d.

e.

Lời giải:

a. Do nên . Vậy maxy=8, miny=-2.

b. Do .

c. Do nên .

d. Ta có . Do nên .

e. Sử dụng công thức hạ bậc ta được: . Do nên .

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a. y= 3sinx- 4cosx

b.

c.

d.

e. y=

Lời giải:

a. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky ta được: . Vậy maxy=5, khi . Minx= -5, khi

b. Ta có y= 40cosx+ 9sinx. Suy ra maxy=41, miny=-41.

c. áp dụng công thức hạ bậc ta được . Suy ra .

d. Do nên đẳng thức đã cho tương đương với (1). Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là

. Vậy maxy= , miny= .

e. Sử dụng công thức cộng cung ta được .

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a.

b.

c.

Lời giải:

a. Ta có . Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi x=0. Vậy maxy=1.

áp dụng bổ đề (dễ dàng chứng minh bằng qui nạp). Ta được:

. Đẳng thức xảy ra khi x=. Vậy

miny= .

b. Ta có .

y=1, chẳng hạn khi x=0, y= – 1, chẳng hạn khi x= . Vậy maxy=1, miny= -1.

c. Tương tự câu b) ta có maxy=1 khi x=0, miny=-1 khi x=.

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của:

a.

b.

Lời giải:

a. Ta có . Do đó: .

Dấu bằng xảy ra khi sin2x= 0 hay cox2x =0, tức là . Vậy maxy= 10.

b. Đặt sinx= t, với , ta có . Do nên:

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên lại tađược . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy .

Bài 5. Cho và . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpsky ta có:

Đặt (1), với , ta có

Đặt với thì (1) trở thành

Bảng biến thiên của g(t) :

t

0 1

g(t)

1 3

Vậy giá trị lớn nhất của g(t) là , đạt được khi tức là f(x) đạt giá trị lớn nhất là , tương ứng với .

Do đó hay , tức là . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

hoặc

Vậy và

Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Lời giải:

Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpsky cho hai bộ số và ta được:

Do đó .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy

Cách 2: Đặt thì và

Dễ thấy, để xác định giá trị lớn nhất của f(x) chỉ cần xét các giá trị của x để . Khi đó xét hàm số trên , ta có

Ta thấy khi và khi . Vậy g(t) đạt giá trị lớn nhất (trùng với giá trị cực đại) tại và . Suy giá trị lớn nhất của f(x) bằng 6 khi .

Phần 2. Lượng giác hoá các bài toán nhờ việc đặt ẩn phụ

Thông thường, bằng cách đặt ẩn mới, một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể đưa về dạng lượng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi nhờ các công thức và bất đẳng thức lượng giác quen thuộc.

1. Một số kinh nghiệm về việc đặt ẩn phụ

– Nếu thì đặt hoặc .

– Nếu thì đặt hoặc .

– Nếu thì đặt và.

– Nếu thì đặt và.

– Nếu thì . Khi đó đặt và.

– Nếu thì đặt hay .

2. Một số ví dụ điển hình

Bài 7. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của

a)

b)

Lời giải:

a) Do nên đặt , với , ta có:

.

Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi x = 1. Vậy maxy = 1.

b) Với cách đặt như trên ta có:

.

Suy ra . Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi x = 0. Vậy maxy = 1.

Bài 8. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của

, với .

Lời giải:

Vì nên đặt . Khi đó

Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .

Bài 9. Cho các số thoả mãn điều kiện

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải:

Vì nên có thể đặt ; nên có thể đặt . Khi đó .

Suy ra .

Do đó .

Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .

Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Lời giải:

(1)

(2)

Ta có . Xét hệ

Để ý các công thức ta suy ra

Mặt khác nên nếu chọn thì cả (1) và (2) được thoả mãn, tức là dấu bẳng ở bbất đẳng thức xảy ra. Vậy .

Bài 11. Trong các nghiệm của phương trình

Hãy tìm nghiệm sao cho x + y là lớn nhất.

Lời giải:

Bất phương trình đã cho tương đương với hai hệ

(I)

(II)

Xét hệ (I) ta có:

Đặt

Với . Thay vào (2) ta được .

Do đó . Vậy x + y đạt giá trị lớn nhất khi và , tức là khi và , lúc đó x + y = 2. Mặt khác, với mọi nghiệm bất kì ở hệ (II) ta đều có x + y <1 nên ta đI đến kết luận: giá trị lớn nhất của

x + y, trong đó là nghiệm của bất phương trình đã cho là 2, đạt được khi

Bài 12. Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải:

Để tìm giá trị lớn nhất của M, ta chỉ cần xét các giá trị dương x, y, z. Vì nên ta có thể đặt

với

Khi đó

Vì nên (1)

Dấu bằng xảy ra khi

Biến đổi (1) dưới dạng

Dấu bằng xảy ra khi

, tức là

Vậy .

Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

trong đó a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 1.

Lời giải:

Ta có

Đặt

Để ý rằng suy ra

Do đó và với .

Vậy

Mặt khác

.

Vậy .

Đẳng thức xảy ra khi

tức là

.

Phần 3. Một số bài toán cực trị hình học đưa về bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác.

Bài 14. Gọi V và S lần lượt là thể tích và diện tích xung quanh của một hình nón tròn xoay. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Gọi là góc hợp bởi trục của hình nón và một đường sinh bất kì của hình nón; r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, h là đường cao và l là độ dài đường sinh của hình nón. Ta có

.

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Do nên . Vậy:

.

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số , , ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 15. Cho đường tròn bán kính bằng 1, A là một điểm cố định trên đường tròn. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A lấy điểm T sao cho AT = 1. Một đường thẳng quay quanh T cắt đường tròn tại B và C. Xác định vị trí của để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Ta có AT = R = 1. Đặt ta có (khi quay quanh T). Khi đó:

.

Mà (theo tính chất của tiếp tuyến) nên

Hạ ta có

.

áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC ta có .

Vậy

áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABT ta có

Ta có

,

.

áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Hay . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy , đạt được khi

Bài 16. Cho tứ diện vuông OABC đỉnh O. Đặt OA = a, OB = b, OC = c . M là một điểm tuỳ ý trong đáy ABC. Gọi d là khoảng cách từ các điểm A, B, C xuống đường thẳng DM. Chứng minh .

Lời giải:

Đặt , ta có:

.

Vì góc tam diện đỉnh O là vuông nên ta luôn dựng được một hình hộp chữ nhật có OM là đường chéo, còn OA, OB, OC là phương của các cạnh bên.

Khi đó:

Do nên

(1)

Mặt khác (2).

Từ (1) và (2) ta có

(3)

Lại do

(4)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng trong (3) và (4), tức là , hay M trùng C.

Bài 17. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai cạnh AD và CD sao cho . Chứng minh rằng

Lời giải:

Đặt . Ta có:

Do

Vậy từ (1) suy ra:

hay

. Khi đó M trùng D, N trùng C hoặc M trùng A, N trùng D.

. Khi đó M trùng E, N trùng F, trong đó E và F lần lượt là chân đường phân giác của các góc và .

Phần 4. ứng dụng vào việc giải các phương trình lượng giác

Bài 18. Giải phương trình

Lời giải:

Do nên

Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ

Bài 19. Giải phương trình

Lời giải:

Theo kết quả bài 6 ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Mặt khác

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ

Tập nghiệm của phương trình đã cho là

phần 5. một số bài toán khác

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

(Đề thi vào Học viện quan hệ quốc tế)

Bài 2. Cho n số . Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 3. Cho 4 số thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 4. Cho . Tìm k để giá trị lớn nhất của đạt nhỏ nhất.

Bài 5. Cho là 13 số thực phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại hai số sao cho

.

Bài 6. Giải các phương trình sau

a)

b)

——————————————————————————————————–

Phương Pháp Giải Bài Tập Toán 11 – Phần Hàm Số Lượng Giác

Đề Cương Ôn Tập Toán 10 Học Kì 1 Có Đáp Án

Hướng Dẫn Giải Bài Tập Hình Học 12 Trang 25

Giải Toán Lớp 5 Diện Tích Hình Tròn: Hướng Dẫn Bài Tập Chi Tiết

Kỹ Năng Giải Một Số Dạng Bài Tập Toán Lớp 12 Chọn Lọc

Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số

4 Dạng Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Có Lời Giải Teen 2K1 Không Thể “làm Ngơ”

Các Dạng Bài Tập Este

Giải Vở Bài Tập Toán 4 Trang 9 Tập 1 Câu 1, 2, 3, 4

Giải Bài Tập Ôn Tập Chương 4 Toán 9

Giải Bài Tập Toán 3 Trang 9 Tập 1 Câu 1, 2, 3, 4, 5

Sách giải toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 13: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x 2 + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) y = x/3(x+ 3) 2 trong các khoảng (1/2; 3/2) và (3/2; 4).

Lời giải:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4/3.

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14: a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

* y = -2x + 1;

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Lời giải:

a,Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị.

Hàm số y = x/3 (x-3) 2 đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f(x) = x(x^2 – 3).

Lời giải:

1. TXĐ: D = R

2. f'(x) = 3x^2 – 3. Cho f'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

3. Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

y’ = 6x 2 + 6x – 36

y’ = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y CĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y CT = -54.

b) TXĐ: D = R

y’ = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y CT = -3

hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = R {0}

y’ = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y CĐ = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y CT = 2.

d) TXĐ: D = R

y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

hàm số đạt cực tiểu tại x CT = 1.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = R.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

y’ = 0 ⇔ 4x(x 2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

y”(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

b) TXĐ: D = R

+ y’ = 2cos2x – 1;

+ y” = -4.sin2x

c) TXĐ: D = R

+ y’ = cos x – sin x.

d) TXĐ: D = R

⇔ x = ±1.

y”(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Lời giải:

Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

⇒ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: D = R

+ y’ = 3x 2 – 2mx – 2

+ y” = 6x – 2m.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Bài 5 (trang 18 SGK Giải tích 12): Tìm a và b để các cực trị của hàm số

đều là nhưng số dương và x o = -5/9 là điểm cực đại.

Lời giải:

TXĐ: D = R.

⇒ y” = 10a 2 x + 4a.

– Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

– Nếu a ≠ 0.

Các cực trị của hàm số đều dương

Các cực trị của hàm số đều dương

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.

Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số

Bài Tập Tìm Cực Trị Của Hàm Số Có Lời Giải Trong Đề Thi Thpt Quốc Gia 2022

“nóng Bỏng Tay” 23 Công Thức Giải Nhanh Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12

Bài 1,2,3,4,5,6 Trang 18 Sgk Giải Tích Lớp 12 ( Bài Tập Cực Trị Hàm Số )

Thời Tiết Vũ Quang Hà Tĩnh 3 Ngày Tới

Các Dạng Bài Tập Về Cực Trị (Cực Đại, Cực Tiểu) Của Hàm Số Và Cách Giải

Giải Sách Bài Tập Toán 9 Tập 1 Trang 7 Bài 15, 16

Giải Sách Bài Tập Toán 9 Tập 1 Trang 7 Bài 12, 13, 14

Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Ôn Tập Chương 4 Phần Hình Học

Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài Ôn Tập Chương 4: Hình Trụ

Giải Toán 11 Bài Tập Ôn Tập Chương 2

Vậy bài tập về cực trị của hàm số có những dạng phổ biến nào? Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này. Trước khi vào nội dung chính, chúng ta cần tóm tắt lại một số kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số.

I. Kiến thức về cực trị của hàm số cần nhớ

1. Định nghĩa cực trị hàm số:

– Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞) và điểm x 0 ∈ (a;b).

* Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 thì:

x 0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số.

f(x 0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu: f CĐ (f CT)

M(x 0;f(x 0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị.

* Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung là cực trị của hàm số.

* Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x 0 thì f'(x 0) = 0.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

* Khi f'(x) đổi dấu từ dương sang âm qua x = c thì x = c được gọi là điểm cực đại của hàm số.

* Khi f'(x) đổi dấu từ âm sang dương qua x = c thì x = c được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.

3. Cách tìm cực trị (Quy tắc tìm cực trị) của hàm số

– Bước 1: Tìm tập xác định

– Bươc 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

– Bước 3: Lập bảng biến thiên

– Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị

– Bước 1: Tìm tập xác định

– Bươc 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 tìm các nghiệm x i (i=1,2,…)

– Bước 3: Tính f”(x) và tính các giá trị f”(x i)

– Bước 4: Dựa vào dấu của f”(x i) suy ra tính chất cực trị tại x i.

II. Các dạng bài tâp về cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.

– TXĐ: D = R

– Ta có y’ = 6x 2 + 6x – 36

– Cho y’ = 0 ⇔ 6x 2 + 6x – 36 = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

– Bảng biến thiên:

– Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y CĐ = 71; và đạt cực tiểu tại x = 2; y CT = -54.

– TXĐ: D = R

– Cho y’ = 0 ⇔ 4x(x 2 + 1) = 0 ⇔ x = 0

– Bảng biến thiên:

– Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y CT = -3; Hàm số không có điểm cực đại.

– TXĐ: D = R{0}

– Bảng biến thiên:

– Kết luận: Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y CĐ = -2; và đạt cực tiểu tại x = 1; y CT = 2.

– TXĐ: D = R

– Cho y’ = 0 ⇔ x 2(1 – x)(3 – 5x) = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

– Bảng biến thiên:

– TXĐ: D=R

– Bảng biến thiên:

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx

– TXĐ: D = R.

– Ta có: y’ = 4x 3 – 4x = 0 ⇔ 4x(x 2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

– Ta có: y” = 12x 2 – 4. Tính y” tại các điểm x = 0 và x = ±1.

y”(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số, y CĐ = 1

b) y = sin2x – x

– TXĐ: D = R

– Ta có: y’ = 2cos2x – 1 = 0

c) y = sinx + cosx

– TXĐ: D=R

– Ta có: y’ = cosx – sinx = 0

– TXĐ: D = R

⇔ x 2 – 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1

– Ta có: y” = 20x 3 – 6x

y”(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

* Nhận xét: Theo kinh nghiệm thì các hàm vô tỉ thông thường các em nên áp dụng quy tắc 1, còn đối với các hàm

° Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (Tìm m để hàm có có cực đại, cực tiểu).

y = x 3 – mx 2 – 2x + 1; luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

– Ta có: y’ = 3x 2 – 2mx – 2 = 0

– Ta có: y” = 6x – 2m.

– Kết luận: Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.

a) TXĐ: D=R{-m}

– Ta có bảng biến thiên sau:

– Đối chiếu điều kiện ta thấy m=-1 (loại), m=-3 (thỏa mãn)

– Với m=-3 ⇒ y CT = 1

– TXĐ: D = R.

⇒ y” = 10a 2 x + 4a.

¤ Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

¤ Nếu a ≠ 0 ta có: y’ = 5a 2x 2 + 4ax – 9 = 0

– Theo yêu cầu bài ra, thì hàm số đạt cực đại tại x 0 = -5/9:

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 – 8m 2x 2 + 3 có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

– TXĐ: D=R

– Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0.

– Khi đó, các điểm cực trị là A(2m;-16m 2+3); B(0;3); C(-2m;-16m 2+3)

Nên BC = BA, tam giác ABC cân tại B. Để tam giác ABC vuông cân thì:

– Kết luận: Với m = ±1/8 thì hàm số trên có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Giải Toán 9 Bài 2. Đồ Thị Hàm Số Y = Ax2 (A ≠ 0)

Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 2: Đồ Thị Hàm Số Y = Ax (A ≠ 0)

Các Mẫu Bài Tập Kế Toán Quản Trị Có Lời Giải (15 Bài Toán)

Những Ứng Dụng Giải Toán Hay Và Được Nhiều Người Dùng Nhất

8 App Ứng Dụng Phần Mềm Giải Bài Tập Toán Tốt Nhất

4 Dạng Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Có Lời Giải Teen 2K1 Không Thể “làm Ngơ”

Các Dạng Bài Tập Este

Giải Vở Bài Tập Toán 4 Trang 9 Tập 1 Câu 1, 2, 3, 4

Giải Bài Tập Ôn Tập Chương 4 Toán 9

Giải Bài Tập Toán 3 Trang 9 Tập 1 Câu 1, 2, 3, 4, 5

Giải Bài 3 Trang 9 Sgk Đại Số 10

11 Tháng 09, 2022

Các dạng bài tập cực trị của hàm số có lời giải

Bài toán cực trị không quá khó. Tuy nhiên học sinh thường bị nhầm lẫn với bài toán tìm GTLN GTNN của hàm số lớp 12.

Để giúp các em dễ dàng nhận biết được dạng bài và biết phương pháp giải, CCBook sẽ liệt kê 4 dạng bài tập trọng tâm nhất. Khi nắm vững được các dạng bài này, teen 2K1 “xử gọn” được tất cả các bài toàn về cực trị hàm số một cách ngon lành.

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

Bài tập tìm cực trị của hàm số lớp 12 là dạng bài cơ bản. Chúng ta có thể sử dụng bảng biến thiên hoặc máy tính cầm tay để có ngay kết quả của bài toán.

Cách 1: Lập bảng biến thiên và xác định điểm cực trị của hàm số.

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2. Tìm cực trị của hàm số.

Hàm số có tập xác định D= R. Ta có y’= 3x² – 6x nên y’= 0 ⇔ x=0 hoặc x= 2.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cự trị x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu

Bài toán cực trị của hàm số có lời giải với dạng bài phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu như sau:

– Hàm số y= ax³ + bx² + cx + d

g(x) là phần dư của phép chia y cho y’

Hàm số y = u(x)/v(x)

g(x) bằng đạo hàm tử : đạo hàm mẫu.

Cho hàm số bậc 3: y = x³ + 9x² + 15x – 1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là?

Cách 1: Hàm số y = x³ + 9x² + 15x – 1 có y’= 3x² – 18x + 15 = 0.

Hàm số có 2 điểm cực trị A(1;6), B(5;-26). Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị AB có vectơ chỉ phương AB = (4;-32), vectơ pháp tuyến n = (8;1).

Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 8(x-1) + 1(y-6) = 0

Cách 2: Hàm số có a = 1, b= -9, c = 15, d=-1

Theo công thức giải nhanh ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là y = g(x)= (2c/3- 2b²/9a)x + d- bc/9a

⇔ y = [2.15/3- 2.(-9)²/9.1 ]x – 1- (-9).15/9.1

⇔ y = -8x +14 ⇔ 8x +y-14= 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Ta thấy hàm số có dạng y = (u)x/v(x). Với u(x) = 2x² -x-1; v(x) = x+1.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số có dạng.

y = u'(x)/v'(x) = (4x-1)/1 = 4x-1 ⇒ phương trình đường thẳng: 4x-1-y = 0.

Dạng 3: Bài tập cực trị của hàm số có lời giải – hàm số bậc ba

y = ax³ + bx² + cx + d

Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số để đồ thị hàm số

y = x³ -3mx² +3m³ có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ΔOAB có diện tích= 48.

Ta có y’= 3x² – 6mx = 3x(x-2m) nên y’=0 ⇔ x= 0; x= 2m

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Khi đó ta có các điểm cực trị của hàm số A (0; 3m³), B(2m, -m³).

Mà SΔOAB = 48 ⇔ 3m 4= 48 ⇔ m = ± 2 thỏa mãn m ≠ 0.

Dạng 4: Bài toán cực trị của hàm số có lời giải- hàm trùng phương

Ví dụ 1: Hàm số y = x 4 + 2(m-2)x 2 + m 2 -2m + 3 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của tham số m là:

A. m ≥ 2 B. m < 2

– Hàm trùng phương có một điểm cực trị khi ab ≥ 0 ⇔ m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2.

Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y = x 4 + 2m 2x 2 +1 có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của 1 tam giác vuông cân.

A. m = -1 B. m ≠ 0

C. m = 1 D. m = ± 1

→ Lời giải: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông cân khi và chỉ khi.

b² + 8a = 0 ⇔ (-2m²)³ + 8.1 = 0 ⇔ -8m 6 + 8 = 0 ⇔ m = ± 1

Bên cạnh bài toán cực trị của hàm số, học sinh cùng cần ôn luyện thêm bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số, tìm tập xác định của hàm số lớp 12 …

Cuốn sách luyện thi THPT Quốc gia đầu tiên trên thị trường có tổng hợp kiến thức, phân dạng bài tập chi tiết của cả 3 năm cấp III. Học sinh sẽ được làm bài tập từ cơ bản đến nâng cao, bứt phá điểm 9,10 trong thời gian ngắn.

Rất nhiều học sinh đã sở hữu cuốn sách luyện thi THPT Quốc gia môn Toán này và gửi về phản hồi tích cực. Sách được đánh giá bám rất sát với định hướng ra đề thi THPT Quốc gia 2022.

Học sinh chỉ cần nắm chắc lý thuyết sách giáo khoa và ôn luyện thêm với tài liệu tham khảo này thì điểm cao môn Toán đã ở ngay trước mắt.

Chúc các em thành công!

Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số

Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số

Bài Tập Tìm Cực Trị Của Hàm Số Có Lời Giải Trong Đề Thi Thpt Quốc Gia 2022

“nóng Bỏng Tay” 23 Công Thức Giải Nhanh Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12

Bài 1,2,3,4,5,6 Trang 18 Sgk Giải Tích Lớp 12 ( Bài Tập Cực Trị Hàm Số )

🌟 Home
🌟 Top