Giải Bt Toán 11 Giới Hạn Của Hàm Số / 2023 / Top 11 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 11/2022 # Top View | Ictu-hanoi.edu.vn

Giải Sbt Toán 11 Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số / 2023

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 2: Giới hạn của hàm số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

Giới hạn của hàm số

Bài 2.1 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

a) lim x→5 x+3/x−3

Giải:

a) – 4 ; b) + ∞

Bài 2.3 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

Giải:

a) Xét hai dãy số (a n) với a n=2nπ và (b n) với (b n)=π/2+2nπ(n∈N∗)

Ta có, lima n=lim2nπ=+∞

limb n=lim(π/2+2nπ)

=limn(π/2n+2π)=+∞

limsina n=limsin2nπ=lim0=0

limsinb n=limsin(π/2+2nπ)=lim1=1

Như vậy, an→+∞,bn→+∞ nhưng limsina n≠limsinb n. Do đó, theo định nghĩa, hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞

Bài 2.4 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải:

Do đó, limn →+∞ f(xn).g(xn)=L.M

Từ định nghĩa suy ra lim x→−∞ f(x).g(x)=L.M

Bài 2.5 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a) f(x)=x 2 −2x−3/x−1 khi x→3;

c) k(x)= khi x→−∞;

e) h(x)=x−15/x+2 khi x→−2+ và khi x→−2−

Giải:

a) 0;

b) −∞;

c) lim x→−∞

=lim x→−∞=+∞

e) −∞ và +∞

Bài 2.6 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

d) lim x→5 x−5/√x−√5

e) lim x→+∞=x−5/√x+√5

f) lim x→−2 √x2+5−3/x+2

g) lim x→1 √x−1/√x+3−2

Giải:

a) lim x→−3x+3/x 2+2x−3=lim x→−3x+3/(x−1)(x+3)=lim x→−3 1/x−1=−1/4

b)

c) lim x→+∞x−1/x 2−1=lim x→+∞

d) lim x→5 x−5/√x−√5

=lim x→5(√x−√5)(√x+√5)/√x−√5

=lim x→5(√x+√5)=2√5

e)

lim x→+∞ x−5/√x+√5

=lim x→+∞=+∞

f) lim x→−2 √x2+5−3/x+2

g)

lim x→1 √x−1/√x+3−2

=lim x→1(√x−1)(√x+3+2)/x+3−4

=lim x→1(√x−1)(√x+3+2)/x−1

=lim x→1(√x−1)(√x+3+2)/(√x−1)(√x+1)

=lim x→1 √x+3+2/√x+1=2

h) lim x→+∞1−2x+3x 3/x 3−9=limx→+∞

i)

j)

Bài 2.7 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính giới hạn của các hàm số sau khi x→+∞ và khi x→−∞

a) f(x)=

b) f(x)=x+

c) f(x)=

Giải:

a) Khi x→+∞

lim x→+∞=lim x→+∞

=lim x→+∞=lim x→+∞

Khi x→−∞

=lim x→−∞−x/x+2=lim x→−∞

b) Khi x→+∞

lim x→+∞(x+)

=lim x→+∞

=lim x→+∞x=+∞

Khi x→−∞

lim x→−∞(x+)

=lim x→−∞

=lim x→−∞

=lim x→−∞

=lim x→−∞

=lim x→−∞

c) Khi x→+∞

lim x→+∞()

=lim x→+∞

= lim x → + ∞

= lim x → + ∞

Khi x→−∞

lim x→−∞

=lim x→−∞

=lim x→−∞

= limx→−∞

Bài 2.8 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho hàm số f(x)=2x 2−15x+12/x 2 −5x+4 có đồ thị như hình 4

a) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm f(x) số khi x→1+;x→1 −;x→4+;x→4 −;x→+∞;x→−∞

b) Chứng minh dự đoán trên.

Giải:

a) Dự đoán:

b) Ta có

và x 2−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên lim x→1+2x 2−15x+12/x 2 −5x+4=+∞

lim x→4−(2x 2 −15x+12)=−16<0,

và x 2−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên lim x→4−2x 2−15x+12/x 2 −5x+4=+∞

lim x→+∞2x 2−15x+12/x 2−5x+4=lim x→+∞

lim x→−∞2x 2−15x+12/x 2−5x+4=lim x→−∞

Bài 2.9 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho hàm số

Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x→1? Tìm giới hạn này.

Giải:

lim x→1+f(x)=lim x→1+(1/x−1−3/x3−1)

lim x→1−f(x)=lim x→1−(mx+2)=m+2

f(x) có giới hạn khi x→1⇔m+2=1⇔m=−1. Khi đó lim x→1 f(x)=1

Bài 2.10 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho khoảng K,x 0∈K và hàm số y=f(x) xác định trên K∖{x 0}

Giải:

Từ định nghĩa suy ra f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Bài 2.11 trang 165 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích

Cho hàm số xác định trên khoảng (a;+∞)

Chứng minh rằng nếu lim x→+∞ f(x)=−∞ thì luôn tồn tại ít nhất một sốc thuộc (a;+∞) sao cho f(c)<0

Giải:

Theo định nghĩa suy ra −f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Đặt c=x k ta có f(c)<0

Luyện Tập Giới Hạn Hàm Số / 2023

Trường THPT Bình MỹTổ chuyên môn: Toán…………………………….GIÁO ÁNTên bài: Luyện tập giới hạn hàm số.Tiết: 57. Chương: IVHọ và tên sinh viên: Lý Hồng Hào. MSSV: DTO055063Họ và tên giáo viên hướng dẫn: Phạm Văn Lường.Ngày tháng năm 2009

Mục đích, yêu cầu:– Kiến thức: Củng cố kiến thức giới hạn hàm số. – Kỹ năng, kỹ xảo cơ bản: vận dụng định nghĩa, tính chất… vào việc giải bài tập.– Tư tưởng: rèn luyện tính cẩn thận trong khi làm bài tập.

II. Phương pháp, phương tiện:– Gợi mở, đặt vấn đề.– Phát huy tính tích cực của học sinh.– Sử dụng SGK, hình vẽ, thước thẳng, compa…

III. Tiến trình:– Ổn định lớp: kiểm tra sỉ số ( 1′ )– Kiểm tra bài củ: ( 4′ )1) Nêu định nghĩa giới hạn hàm số? 2) Định lý 1, định lý 2?

– Tiến trình bài học:

Thời gianNội dung ghi bảngHoạt động của GV và HS

15 phút

10 phút

Bài 4. Tìm các giới hạn sau:a)

b)

a)

d)

Giải:

-GV: Hướng dẫn HS giải câu b, c, f bài 3 (trang 132). Hỏi HS hướng giải:b) khử dạng vô định bằng cách nào?c) ta có thể khử dạng vô định không? bằng cách nào?

-HS: dự kiến trả lờib) Áp dụng hằng đẳng thức .c) Có thể khử dạng vô định bằng cách nhân lượng liên hiệp

-GV: gọi HS lên bảng giải bài tập.

-HS: lên bảng giải.

-GV: yêu cầu HS trình bày lời giải của mình cho cả lớp.

-HS: trình bày. Các HS khác lắng nghe theo dõi.

-GV: gọi một HS nhận xét về bài làm của bạn.

-HS: nhận xét.

-GV: nhận xét và sửa chữa (nếu có sai sót).

-GV: gọi HS lên bảng giải.

-HS: lên bảng giải.

-GV: yêu cầu học sinh trình bày lời giải của mình.

-HS: trình bày và giải thích (nếu có thắc mắc của các bạn khác).

-GV: nhận xét và sữa chữa (nếu có sai sót).

-GV: gọi HS nêu hướng giải?

-HS:a) áp dụng định lý 1 (tích các lim).d) áp dụng định lý 1 (thương các lim).

-GV: gọi HS lên bảng giải bài tập.

-HS: giải bài tập.

-GV: yêu cầu HS trình bày bài giải của mình.

-HS: trình bày.

-GV: hỏi các HS còn lại có thắc mắc gì về bài làn của bạn không?

-HS: hỏi (nếu có).

-HS: trả lời các câu hỏi của các bạn khác (nếu có).

-GV: nhận xét và sửa chữa (nếu có sai sót).

IV. Củng cố: (3 phút)-Khi tính giới hạn hàm số, cần lưu ý đến các phương pháp thích hợp để dạng vô định: nhân chia với lượng liên hiệp, áp dụng hằng đẳng thức…-Lưu ý giới hạn bên trái và bên phải.-Sử dụng linh hoạt các tính chất đã học.

Bài tập về nhà: (2 phút)Giải các bài tập còn lại.Bài 1: dùng định nghĩa.Bài 2: giới hạn vô cực.Bài 3: tương tự. Bài 4

Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số / 2023

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và chính xác hơn.

Giải SBT Toán 11 bài 1

Giải:

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).

Bài 1.2 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Vì sao dãy số (u n) với u n=(−1) n không thể có giới hạn là 0 khi n→+∞?

Giải:

Do đó, dãy số (u n) không thể có giới hạn là 0.

Bài 1.3 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho biết dãy số (u n) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (v n) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u n+v n) có thể có giới hạn hữu hạn không?

Giải:

Dãy (u n+v n) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại, (u n+v n) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số (u n+v n) và (u n) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là u n+v n−u n=v n có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết (v n) không có giới hạn hữu hạn.

Bài 1.4 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a) Cho hai dãy số (u n) và (v n). Biết limu n=−∞ và v n≤u n với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v n) khi n→+∞?

b) Tìm vn với v n=−n!

Giải :

a) Vì limu n=−∞ nên lim(−u n)=+∞. Do đó, (−u n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)

Từ (1) và (2) suy ra (−v n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(−v n)=+∞ hay limv n=−∞

b) Xét dãy số (u n)=−n

Ta có – n! < – n hay v n<u n với mọi n. Mặt khác, limu n=lim(−n)=−∞

Từ kết quả câu a) suy ra limv n=lim(−n!)=−∞

Bài 1.5 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n→+∞

h)

Giải:

a) -3 ; b) +∞ ; c) 0 ; d) 27/4

f) 0; g) −1/2; h) – 1;

Bài 1.6 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính các giới hạn sau :

a) lim(n 2+2n−5);

d) limn

Giải:

a) +∞;

b) -∞;

c) +∞;

d) −3/2;

Giải:

Giải:

Giải:

a) Vì ∣1/n!∣<1/n với mọi n và lim 1/n=0 nên lim 1/n!=0

b) 0 ; c) 0 ; d) 0 ;

Mặt khác, lim5 n=+∞ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra lim(5 n−cos√nπ)=lim5 n(1−cos√nπ/5 n)=+∞

Bài 1.15 trang 155 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212… (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Giải:

Giải tương tự Ví dụ 13, ta có a=34,121212…=1126/33

Các Dạng Bài Tập Giới Hạn Hàm Số Lớp 11 Từ Căn Bản Tới Nâng Cao / 2023

Các dạng bài tập giới hạn hàm số lớp 11 từ căn bản tới nâng cao

Các dạng bài tập giới hạn hàm số lớp 11 từ căn bản tới nâng cao

Giới hạn hàm số hay thường gọi là giới hạn của hàm số – Là kiến thức quan trọng của toán 11 thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách vận dụng linh hoạt các dạng vào giải bài tập.

1. Lý thuyết giới hạn hàm số

1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) {x0} mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn) = L Khi đó ta viết: $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L$ = L hoặc f (x) → L khi x → x0

Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

$mathop {lim }limits_{x to {x_0}} c$ = c, với c là hằng số.

Nếu hàm số f (x) xác định tại điểm x0 thì $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = fleft( {{x_0}} right)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô cực khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) {x0} mà lim xn = x0

ta đều có limf(xn)= ±∞

Khi đó ta viết: $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$  = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0

1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; +∞) mà lim xn = +∞

ta đều có lim f (xn) = L

1.3 Một số định lý về giới hạn hữu hạn

1.4 Giới hạn một bên

Đề tìm giới hạn bên phải hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta dựa vào lý thuyết quan trọng sau

1.5 Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực

1.6 Các dạng vô định

2. Phân dạng giới hạn hàm số

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn

Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3.

Bài tập 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{2}{{x – 1}}$

Lời giải

Dạng 2. Chứng minh rằng $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$ không tồn tại

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {cos x} right)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với:

Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của những hàm số mà ta đã biết giới hạn.

Ta có kết quả sau:

Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn hàm số $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$ hoặc $mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right)$

ta thực hiện các bước sau:

Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $mathop {lim }limits_{x to 3} left( {{x^2} + x} right)$

Lời giải

$mathop {lim }limits_{x to 3} left( {{x^2} + x} right)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị f(x)

Với hàm số $frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}$ có f(x0) ≠ 0 và g(x0) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bằng ∞.

Trong trường hợp với hàm số $frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}$ có f(x0) = 0 (tức có dạng $frac{0}{0}$)

Chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử dạng $frac{0}{0}$, và thông thường là làm xuất hiện nhân tử chung (x − x0)

Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số

Sử dụng các định lí với lưu ý sau:

Bài tập 4: Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau:

Lời giải

Nhận xét: Vậy, nếu hàm số f(x) không xác định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với giới hạn tại x0

Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

Bài tập 5. Cho hàm số

Tính $mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} fleft( x right)$ và $mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} fleft( x right)$

Lời giải

Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac{0}{0}$

Bản chất của việc khử dạng không xác định $frac{0}{0}$ là làm xuất hiện nhân tử chung để:

Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định

Hoặc là biến đổi về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết kết quả hoặc biết cách giả

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

a) Đối với dạng 0.∞ và ∞0 ta chọn một trong hai cách sau

Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản

Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa với các bước

b) Đối với dạng 1∞ cần nhớ các giới hạn cơ bản sau $mathop {lim }limits_{x to 0} {left( {1 + x} right)^{frac{1}{x}}} = e$, $mathop {lim }limits_{x to infty } {left( {1 + frac{1}{x}} right)^x} = e$