Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 với phần Số học gồm chuyên đề: Tìm chữ số tận cùng, chứng minh một số chính phương, ƯCLN và BCNN, nguyên lý đi rích lê.
BÀI 1: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không có trong chương trình. Vì thế có không ít học sinh, đặc biệt là các bạn lớp 6 và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu được.
Qua bài viết này, tôi xin trình bày với các bạn một số tính chất và phương pháp giải bài toán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụng kiến thức THCS.
Chúng ta xuất phát từ tính chất sau:
a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.
Việc chứng minh tính chất trên không khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.
– Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6.
Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n – 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009.
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n – 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.
* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n 2 + n + 1 chia hết cho 1995 2000.
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau:
Bài toán 5: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương:
b) N = 2004 2004k + 2003
Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán:
* Các bạn hãy giải các bài tập sau:
Bài 1: Tìm số dư của các phép chia:
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của X, Y:
Bài 3: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau:
* Tìm hai chữ số tận cùng
Bài 4: Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn:
* Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này.
Nhận xét: Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m như sau:
Viết m = p n + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a q ∶ 4 ta có:
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq.
Viết m = u n + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có:
Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của a q và a v.
Tìm hai chữ số tận cùng của các số:
Vậy hai chữ số tận cùng của 2 2003 là 08.
b) Do 7 99 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7 n – 1 ∶
Tìm số dư của phép chia 3 517 cho 25.
Vậy số dư của phép chia 3 517 cho 25 là 18.
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp.
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng.
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4.
Một câu hỏi đặt ra là: Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh).
Tính chất 4: Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a 20 – 1 ∶ 25.
Bài toán 9: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng:
Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 – 1 ∶ 25.
Vậy với mọi a Є N ta có a 2(a 100 – 1) ∶ 100.
Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S 1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + 2004 2. áp dụng công thức:
áp dụng công thức:
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S 2 là 00.
Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một số không phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng.
Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh).
Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu:
+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ;
+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ;
+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ;
+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ;
+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.
* Tìm ba chữ số tận cùng
Bài toán 10: Cho n Є N và n – 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7 n + 2 không thể là số chính phương.
Lời giải: Do n – 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta có 7 4 – 1 = 2400 ∶ 100. Ta viết 7 n + 2 = 7 4k + r + 2 = 7 r(7 4k – 1) + 7 r + 2.
Nhận xét: Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000.
Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x).
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m như sau:
Trường hợp 1 Nếu a chẵn thì x = a m chia hết cho 2 m. Gọi n là số tự nhiên sao cho a n – 1 chia hết cho 125.
Viết m = p n + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a q chia hết cho 8 ta có:
Trường hợp 2 Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a n – 1 chia hết cho 1000.
Viết m = u n + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có:
Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4.
Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a 100 – 1 chia hết cho 125.
Tìm ba chữ số tận cùng của 123 101.
Mặt khác:
Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 123 100 – 1 chi hết cho 1000
Vậy 123 101 có ba chữ số tận cùng là 123.
Tìm ba chữ số tận cùng của 3 399…98.
Tương tự bài 11, ta có 9 100 – 1 chia hết cho 8 (2).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3 399…98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 9 99.
Vậy ba chữ số tận cùng của 3 399…98 là 889.
Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước: Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng.
Tìm ba chữ số tận cùng của 2004 200.
Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở rộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên.
Bài 1: Chứng minh 1 n + 2 n + 3 n + 4 n chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 4.
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của:
Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của:
Bài 5: Tìm ba chữ số tận cùng của:
Bài 6: Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a 101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a.
Bài 7: Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm ba chữ số tận cùng của A 200.
1993 19941995 …2000