1.Định nghĩa quan trọng: – Ma trận vuông: m n; khi đó đường chéo chính là đường chéo đi từ góc trên bên trái xuống dưới góc dưới bên, đường chéo phụ đi từ góc dưới bên trái lên góc trên bên phải. – Ma trận tam giác trên: 11 12 122 2
0
Ta sẽ biến đổi ma trận đã cho về dạng tam giác.Biến đổi dựa vào 2 tính chất sau: Nếu đổi chỗ 2 dòng thì định thức đổi dấu. Nếu nhân một dòng với một số kbất kì rồi cộng vào dòng khác thì định thức không đổi Ta biến đổi ngược từ dưới lên, từ trái sang phải, lần lượt chuyển định thức về dạng tam giác. 4. Ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A là ma trận 1A mà 1.A A E
5. Hạng của ma trận: Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận đó. Tìm hạng của một ma trận: 5.1: Biến đổi về dạng ma trận bậc thang Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng: đổi chỗ 2 dòng, nhân 1 dòng với một số khác 0, nhân 1 dòng với 1 số rồi cộng vào dòng khác. Lưu ý là nếu ma trận bậc thang có n dòng và m dòng toàn số 0, đồng thời có một định thức cấp n m
khác 0 thì hạng là n m
Biến đổi giống như khi tính định thức, biến đổi các dòng về các số 0 theo thứ tự từ dưới lên trên, từ trái qua phải. Ở đây, cộng dòng 1 với dòng 3, nhân dòng 1 với 3 rồi cộng với dòng 2 ta được: 12 3040 5 7 350 5 7 35 . Biến đổi tiếp ta có 12 3040 5 7 350 0 0 00 . Từ đó có hạng của ma trận là 2. 5.2: Phương pháp định thức bao quanh Cố định 1 phần tử khác 0, tính các định thức cấp 2 chứa phần tử đó. Nếu tất cả các định thức cấp 2 bằng 0 thì 1r . Nếu tồn tại ít nhất 1 định thức cấp 2 khác 0 thì xét tiếp các định thức cấp 3 chứa định thức cấp 2 đó. Nếu tất cả các định thức cấp 3 bằng 0 thì 2r . Nếu tồn tại ít nhất 1 định thức cấp 3 khác 0 thì lại xét tiếp định thức cấp 4, cứ như thế đến khi tính được r . Nhìn chung cách này làm khá thủ công và không phổ biến bằng biến đổi về ma trận bậc thang. Ví dụ: Xét lại ví dụ ở trên. Đầu tiên ta xét 1 25 03 1
Xét tiếp các định thức cấp 3 chứa định thức trên. Ta có: 1 2 3 1 2 0 1 2 43 1 2 3 1 3 3 1 7 01 3 4 1 3 3 1 3 1