Hướng Dẫn Giải Bài Tập Toán Cao Cấp 3 / Top 6 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 3/2023 # Top View | Ictu-hanoi.edu.vn

Bài Giảng Toán Cao Cấp

10/13/2012 1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Ứng dụng của tích phân xác định §4. Tích phân suy rộng §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1. Định nghĩa * Hàm số ( )F x được gọi là một nguyên hàm của ( )f x trên khoảng ( ; )a b nếu ( ) ( ), ( ; )F x f x x a b    . Ký hiệu ( )f x dx (đọc là tích phân). Nhận xét * Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x thì ( )F x C cũng là nguyên hàm của ( )f x . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1) . ( ) ( ) ,k f x dx k f x dx k   ¡ 2) ( ) ( )f x dx f x C   3) ( ) ( )d f x dx f x dx  4) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 1) . , aa dx ax C   ¡ 2) 1 , 1 1 x x dx C         3) lndx x C x   ; 4) 2 dx x C x   5) x xe dx e C  ; 6) ln x x aa dx C a   7) cos sinxdx x C  ; 8) sin cosxdx x C  9) 2 tan cos dx x C x   ; 10) 2 cotsin dx x C x    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 11) 2 2 1 arctan dx x C a ax a     12) 2 2 arcsin , 0 dx x C a aa x      13) 2 2 1 ln 2 dx x a C a x ax a      14) ln tan sin 2 dx x C x   15) ln tan cos 2 4 dx x C x        16) 2 2 ln dx x x a C x a       Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính 24 dx I x    . A. 1 2ln 4 2 x I C x     ; B. 1 2ln 4 2 x I C x     ; C. 1 2ln 2 2 x I C x     ; D. 1 2ln 2 2 x I C x     . Giải. 2 2 1 2 ln . 4 22 dx x I C A xx          Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Biến đổi: 2 1 1 1 1 1 ( 2)( 3) 5 3 26 x x x xx x             . Vậy 1 1 1 5 3 2 I dx x x          1 1 3ln 3 ln 2 ln 5 5 2 x x x C C x          . VD 2. Tính 2 6 dx I x x     . 10/13/2012 2 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 1.2. Phương pháp đổi biến a) Định lý Nếu ( ) ( )f x dx F x C  với ( )t khả vi thì: ( ( )) ( ) ( ( )) .f t t dt F t C     VD 3. Tính ln 1 dx I x x    . Giải. Đặt ln 1 2 ln 1 dx t x dt x x      . Vậy 2 2 2 ln 1I dt t C x C      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Tính 23 ln dx I x x    . Giải. Đặt ln dxt x dt x    2 ln arcsin arcsin 3 33 dt t x I C C t         . VD 5. Tính 3( 3) dx I x x    . Giải. Biến đổi 2 3 3( 3) x dx I x x    . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Đặt 3 23t x dt x dx   1 1 1 1 3 ( 3) 9 3 dt I dt t t t t            3 3 1 1 ln ln 9 3 9 3 t x C C t x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 1.3. Phương pháp từng phần a) Công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx    hay .udv uv vdu   VD 6. Tính lnI x xdx  . Giải. Đặt 2ln , 2 u x dx x du v dv xdx x       21 1ln 2 2 I x x xdx    2 2 1 1 ln . 2 4 x x x C   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Tính 2x x I dx  . Giải. Biến đổi .2 xI x dx  . Đặt 2, 2 ln 2 x x u x du dx v dv dx          .2 1 2 ln 2 ln 2 x xxI dx      2 .2 2 ln 2 ln 2 x xx C      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Tính 3 sincos xI xe dx  . Giải. Biến đổi 2 sin(1 sin ) cosxI x e x dx  . Đặt 2sin (1 ) tt x I t e dt    . Đặt 2 21 tt du tdtu t v edv e dt             Chú ý Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần. 10/13/2012 3 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2(1 ) 2t tI e t te dt     2(1 ) 2 ( )t te t t de    2(1 ) 2 2t t te t te e dt     2 sin 2( 1) (sin 1)t xe t C e x C        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp * Đối với dạng tích phân ( ) xP x e dx , ta đặt: ( ), .xu P x dv e dx  * Đối với dạng tích phân ( )lnP x x dx , ta đặt: ln , ( ) .u x dv P x dx  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 0 1 1… n nx a x x x b      . Lấy điểm 1[ ; ]k k kx x  tùy ý ( 1,k n ). Lập tổng tích phân: 1 1 ( )( ) n k k k k f x x       . §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; ]a b . Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia Ký hiệu là ( ) . b a I f x dx  Giới hạn hữu hạn (nếu có) 1max( ) 0 lim k kk x x I     được gọi là tích phân xác định của ( )f x trên đoạn [ ; ]a b . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1) . ( ) ( ) , b b a a k f x dx k f x dx k   ¡ 2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx     3) ( ) 0; ( ) ( ) a b a a a b f x dx f x dx f x dx     4) ( ) ( ) ( ) , [ ; ] b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a b     5) ( ) 0, [ ; ] ( ) 0 b a f x x a b f x dx     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 6) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( ) b b a a f x g x x a b f x dx g x dx      7) ( ) ( ) b b a a a b f x dx f x dx    8) ( ) , [ ; ]m f x M x a b    ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a     9) Nếu ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì [ ; ] : ( ) ( )( ) b a c a b f x dx f c b a    . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2.2. Công thức Newton – Leibnitz Nếu ( )f x liên tục trên [ ; ]a b và ( )F x là một nguyên hàm tùy ý của ( )f x thì: ( ) ( ) ( ) ( ). b b a a f x dx F x F b F a   10/13/2012 4 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Nhận xét 1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1. 2) Hàm số ( )f x liên tục và lẻ trên [ ; ]  thì: ( ) 0f x dx    . 3) Hàm số ( )f x liên tục và chẵn trên [ ; ]  thì: 0 ( ) 2 ( )f x dx f x dx      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Đặc biệt ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx  nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b   . 4) Để tính ( ) b a f x dx ta dùng bảng xét dấu của ( )f x để tách ( )f x ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính 3 2 1 2 5 dx I x x     . Giải. Biến đổi 3 2 1 4 ( 1) dx I x     . Đặt 1t x dt dx    22 2 00 1 arctan 2 2 84 dt t I t        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính 0 cosI x x dx    . Giải. Đặt , sin cos u x du dx v x dv x dx       0 0 0 sin sin cos 2I x x x dx x         . VD 3. Tính 1 2 3 1 chúng tôi x x dx    . Giải. Do hàm số 2 3( ) chúng tôi x x x  liên tục và lẻ trên đoạn [ 1; 1] nên 0I  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2 1( ) ( ) b a S f x f x dx     2 1( ) ( ) d c S g y g y dy     a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng S S Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2y x và 4y x . A. 1 15 S  ; B. 2 15 S  C. 4 15 S  ; D. 8 15 S  . Giải. Hoành độ giao điểm: 2 4 1, 0x x x x     0 1 2 4 2 4 1 0 4 ( ) ( ) . 15 S x x dx x x dx C          10/13/2012 5 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Cách khác Hoành độ giao điểm 2 4 1, 0x x x x     1 1 2 4 2 4 1 0 2S x x dx x x dx        1 2 4 0 4 2 ( ) . 15 x x dx C    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2x y và 2y x  . Giải. Biến đổi: 2 2 2 2 x y x y y x x y             . Tung độ giao điểm: 2 2 1, 2y y y y     22 2 2 3 11 1 1 27 ( 2) 2 . 2 3 6 S y y dy y y y                   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 1xy e  , 2 3xy e  và 0x  . A. 1ln 4 2  ; B. ln 4 1 2  ; C. 1 ln 2 2  ; D. 1ln 2 2  Giải. Hoành độ giao điểm: 21 3x xe e   2 2 0 2 ln 2x x xe e e x        . ln 2ln 2 2 2 00 1 ( 2) 2 2 x x x xS e e dx e e x            1 1ln 4 ln 4 2 2 A     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Tính diện tích hình elip 2 2 2 2 : 1 x y S a b   . Giải. Phương trình tham số của elip là: cos , [0; 2 ] sin x a t t y b t      . b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình ( ), ( )x x t y y t  với [ ; ]t    thì: ( ). ( ) .S y t x t dt     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 2 2 0 0 sin .( sin ) sinS b t a t dt ab t dt       2 0 1 cos2 2 t ab dt ab      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 3.2. Tính độ dài l của đường cong a) Đường cong có phương trình tổng quát Cho cung “AB có phương trình ( ), [ ; ]y f x x a b  thì: ” 21 [ ( )] . b AB a l f x dx  VD 5. Tính độ dài cung parabol 2 2 x y  từ gốc tọa độ O(0; 0) đến điểm 11; 2 M       . 10/13/2012 6 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Ta có: 1 1 2 2 0 0 1 ( ) 1l y dx x dx     1 2 2 0 1 1 ln 1 2 x x x x              2 1 ln 1 22 2   . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Cho cung “AB có phương trình tham số ( ) , [ ; ] ( ) x x t t y y t       thì: ” 2 2[ ( )] [ ( )] . AB l x t y t dt      b) Đường cong có phương trình tham số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình: 2 2 1 , 0; 1 ln 1 x t t y t t                 . Giải. Ta có: 1 2 2 0 [ ( )] [ ( )]l x t y t dt   2 21 2 2 0 1 1 1 1 t dt t t                      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi ln , 0y x y  , 1,x x e  quay xung quanh Ox. 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( ), 0y f x y  , x a , x b quay quanh Ox là: 2[ ( )] . b a V f x dx  Giải. 1 1 ln ( ln ) e e V x dx x x x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Tính V do 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b   quay quanh Ox. Giải. Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y b y a x a b a      . Vậy   2 2 2 2 2 4 3 a a b V a x dx ab a       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )x g y , 0x  , y c và y d quay quanh Oy là: 2[ ( )] . d c V g y dy  VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi 22 , 0y x x y   quay xung quanh Oy. 10/13/2012 7 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Parabol 22y x x  được viết lại: 2 22 ( 1) 1y x x x y      1 1 , 1 1 1 , 1 x y x x y x           . Vậy     1 2 2 0 1 1 1 1V y y dy               1 1 3 00 8 8 4 1 (1 ) 3 3 y dy y         . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. Chú ý Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )y f x , 0y  , x a và x b quay xung quanh Oy còn được tính theo công thức: 2 ( ) (*). b a V xf x dx  Giải. 22 3 4 2 0 0 2 8 2 (2 ) 2 . 3 4 3 x x V x x x dx              Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG * Khái niệm mở đầu Cho hàm số ( ) 0, [ ; ]f x x a b   . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )y f x và trục hoành là: ( ) b a S f x dx  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Cho hàm số ( ) 0, [ ; )f x x a    (b ). Khi đó, diện tích S có thể tính được cũng có thể không tính được. Trong trường hợp tính được hữu hạn thì: ( ) lim ( ) b b a a S f x dx f x dx      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1. Tích phân suy rộng loại 1 4.1.1. Định nghĩa * Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; )a  , khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( )a b a b . Giới hạn (nếu có) của ( ) b a f x dx khi b  được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của ( )f x trên [ ; )a  . Ký hiệu là: ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số * Định nghĩa tương tự: ( ) lim ( ) ; b b a a f x dx f x dx     ( ) lim ( ) . b b aa f x dx f x dx       * Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. * Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó). 10/13/2012 8 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân 1 dx I x     . Giải * Trường hợp α = 1: 1 1 lim lim ln b b b b dx I x x         (phân kỳ). * Trường hợp α khác 1: 1 1 1 1 lim lim 1 b b b b dx I x x             1 1 , 11 lim 1 1 1 , 1.b b              Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Vậy § Với 1  : 1 1 I    (hội tụ). § Với 1  : I   (phân kỳ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính tích phân 0 2(1 ) dx I x    . VD 3. Tính tích phân 21 dx I x      . Giải. 00 2 1 lim lim 1 1(1 )a a aa dx I xx              . Giải. 2 lim lim arctan 1 b b ab b aa a dx I x x              lim arctan lim arctan 2 2b a b a               . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Chú ý * Nếu tồn tại lim ( ) ( ) x F x F    , ta dùng công thức: ( ) ( ) . a a f x dx F x    * Nếu tồn tại lim ( ) ( ) x F x F    , ta dùng công thức: ( ) ( ) . b b f x dx F x    * Tương tự: ( ) ( ) .f x dx F x      Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn 1 * Nếu 0 ( ) ( ), [ ; )f x g x x a     và ( ) a g x dx   hội tụ thì ( ) a f x dx   hội tụ. * Các trường hợp khác tương tự. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân 10 1 xI e dx    . Giải. Với [1; )x   thì 10101 0 x xx x x e e       10 1 1 x xe dx e dx       . Mặt khác, 1 1 1x xe dx e e       (hội tụ). Vậy tích phân đã cho hội tụ. 10/13/2012 9 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân 1 cos 3xI e x dx    . Giải. 1 1 cos 3x xe x dx e dx      (hội tụ) I hội tụ. b) Tiêu chuẩn 2 * Nếu ( ) a f x dx   hội tụ thì ( ) a f x dx   hội tụ (ngược lại không đúng). * Các trường hợp khác tương tự. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số c) Tiêu chuẩn 3 * Cho ( ), ( )f x g x liên tục, luôn dương trên [ ; )a  và ( )lim ( )x f x k g x  . Khi đó: Ø Nếu 0 k  thì: ( ) a f x dx   và ( ) a g x dx   cùng hội tụ hoặc phân kỳ. Ø Nếu 0k  và ( ) a g x dx   hội tụ thì ( ) a f x dx   hội tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Nếu ( ) a k g x dx      phaân kyø thì ( ) a f x dx   phân kỳ. * Các trường hợp khác tương tự. VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân 2 3 1 1 2 dx I x x      . Giải. Đặt 2 3 1 ( ) 1 2 f x x x    , 3 1 ( )g x x  ta có: 3 2 3 ( ) 1 ( ) 21 2 f x x g x x x     và 3 1 dx x   hội tụ I hội tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân 1 1 sin dx I x x     . Giải. Ta có: 1 1 ( ) 1 sin x x x x    : và 1 dx x   phân kỳ. Vậy I phân kỳ. Chú ý Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x : thì ( ) a f x dx   và ( ) a g x dx   có cùng tính chất. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Điều kiện của  để 3 1 . ln 1 dx I x x      hội tụ là: A. 3  ; B. 3 2   ; C. 2  ; D. 1 2   . Giải. Đặt lnt x 1 3 3 3 0 0 11 1 1 dt dt dt I t t t                . * 1 3 0 1 dt t   là tích phân thông thường nên hội tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số * Do 3 3 1 1 1t t   : nên: I hội tụ 3 1 1 dt t      hội tụ 1 3 3 A        . 10/13/2012 10 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 9. Điều kiện của  để 2 4 1 ( 1) 2 3 x dx I x x        hội tụ? Giải * Với 4  : 2 4 2 1 1 ( 1) 2 3 x dx dx I x x x         : hội tụ. * Với 4  : 2 1 2 dx I x  : hội tụ I hội tụ   ¡ . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.2. Tích phân suy rộng loại 2 4.2.1. Định nghĩa * Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; )a b và không xác định tại b , khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( 0)a b     . Giới hạn (nếu có) của ( ) b a f x dx   khi 0  được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của ( )f x trên [ ; )a b . Ký hiệu: 0 ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số * Định nghĩa tương tự: 0 ( ) lim ( ) a b b a f x dx f x dx     (suy rộng tại a ); 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx      (suy rộng tại a , b ). * Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 10. Khảo sát sự hội tụ của 0 , 0 b dx I b x   . Giải * Trường hợp α = 1: 0 0 0 lim lim ln ln lim ln b bdx I x b x                . * Trường hợp α khác 1: 1 0 0 0 1 lim lim lim 1 b b bdx I x dx x x                   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số   1 1 1 0 1 , 1lim 11 , 1. b b                 Vậy § Với 1  : 1 1 b I    (hội tụ). § Với 1  : I   (phân kỳ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 11. Tính tích phân 1 3 2 1 6 3 1 9 dx I x    . A. 3 I    ; B. 3 I   ; C. 6 I   ; D. I  . Giải. 1 1 3 3 12 1 6 6 (3 ) arcsin 3 31 (3 ) d x I x B x        . 10/13/2012 11 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 12. Tính tích phân 3 2 1 . ln e dx I x x   . Giải. Đặt lnt x 21 1 1 33 3 2 0 0 0 3 3 dt I t dt t t        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 13. Tính tích phân 2 2 1 dx I x x    . Giải. Ta có: 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 dx I dx x x x x           2 0 1 1 1 lim 1 dx x x         2 0 1 1 lim ln x x          . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 14. Tích phân suy rộng 1 0 ( 1)(2 ) x dx I x x x      hội tụ khi và chỉ khi: A. 1  ; B. 1 2   ; C. 1 2   ; D.   ¡ . 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1. Chú ý Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x b: thì ( ) b a f x dx và ( ) b a g x dx có cùng tính chất (với b là cận suy rộng). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Khi 0x  thì 1 2 1 1 . ( 1)(2 ) 2 2 x x x x x x x       : I hội tụ 1 1 0 2 1 2 dx x    hội tụ 1 11 2 2 C       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. 1 1 2 2 0 0( 1)sin ( 1)sin x dx dx I x x x x        . VD 15. Tích phân suy rộng 1 2 0 1 ( 1)sin x I dx x x      phân kỳ khi và chỉ khi: A. 1  ; B. 1 2   ; C. 1 2   ; D.   ¡ . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số I phân kỳ 1 2 0 ( 1)sin x dx x x     phân kỳ. Do 1 1 1 12 0 0 0 2( 1)sin dx dx dx xx x x     : hội tụ nên Vậy I phân kỳ 1 11 2 2 B       . Mặt khác, 1 1 1 12 0 0 0 2( 1)sin x dx x dx dx xx x x        : . 10/13/2012 12 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Chú ý * Cho 1 2I I I  với 1 2, ,I I I là các tích phân suy rộng ta có: 1) 1I và 2I hội tụ I hội tụ. 2) 1 2 ( ) 0 I I    phaân kyø hoặc 1 2 ( ) 0 I I     phaân kyø thì I phân kỳ. 3) 1 2 ( ) 0 I I    phaân kyø hoặc 1 2 ( ) 0 I I     phaân kyø thì chưa thể kết luận I phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 16. 1 2 0 1 sin x I dx x x     phân kỳ khi và chỉ khi: A. 1 4   ; B. 1 4   ; C. 1 2   ; D.   ¡ . Giải. Ta có: 1 1 1 22 2 0 0sin sin x dx dx I I I x x x x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Mặt khác: 1) 1 1 1 2 32 3 0 0 0 2sin dx dx dx I x x x x      : . 2) 1 1 2 0 0 sin x dx I x x    . Vậy 1 2I I I  phân kỳ với mọi D  ¡ .

Giáo Trình Toán Cao Cấp A3 (Giải Tích Hàm Nhiều Biến)

Giáo trình Toán cao cấp A3 (Giải tích hàm nhiều biến, còn gọi là Giải tích 2) của Vũ Gia Tê (Học viện công nghệ bưu chính viễn thông) gồm c…

Giáo trình Toán cao cấp A3 (Giải tích hàm nhiều biến, còn gọi là Giải tích 2) của Vũ Gia Tê (Học viện công nghệ bưu chính viễn thông) gồm các chương, mục sau:

CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN.

1.1.Khái niệm cơ bản. 1.1.1.Định nghĩa hàm 2 biến, nhiều biến hàm xác định, miền giá trị, đồ thị. 1.1.2.Sự hội tụ trong R, R. Tập bị chặn, đóng mở, điểm tụ, điểm trong, điểm biên, biên, lân cận. 1.2.Giới hạn và liên tục: 1.2.1.Giới hạn hàm số, 2 định nghĩa (không chứng minh tương đương) 1.2.2.Giới hạn lặp. 1.2.3.Hàm số liên tục. Liên tục trên tập đóng bị chặn, các định lý Weierstrass (không chứng minh). 1.3.Đạo hàm riêng và vi phân. 1.3.1.Đạo hàm riêng. 1.3.2.Khả vi và vi phân. 1.3.3.Điều kiện cần, điều kiện đủ khả vi. 1.3.4.Tính gần đúng. 1.4.Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp: 1.4.1.Đạo hàm riệng của hàm hợp. 1.4.2.Tính bất biến vi phân vấp một. 1.5.Đạo hàm của hàm ẩn: 1.5.1.Định nghĩa hàm ẩn, định lý hàm ẩn (không chứng minh). 1.5.2.Cách tính đạo hàm riệng, vi phân của hàm ẩn (xác định từ 1 hoặc 2 phương trình). 1.6.Đạo hàm và vi phân cấp cao: 1.6.1.Tính đối xứng đạo hàm riêng cấp cao (định lý Schwartz). 1.6.2.Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm ẩn. 1.6.3.Công thức Taylor. 1.7.Đạo hàm theo hướng. 1.7.1.Vectơ gradiert.

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

2.1.Cực trị của hàm nhiều biến: 2.1.1.Khái niệm cực trị, ví dụ, điều kiện cần. 2.1.2.Điều kiện đủ cực trị (nêu dạng toàn phương: Không chứng minh). Trường hợp hai biến (thông qua A,B,C,D). 2.2.Cực trị có điều kiện: 2.2.1.Khái niện cực trị có điều kiện, phương pháp đưa về cực trị tự do. 2.2.2.Phương pháp nhân tử Lagarange (điều kiện cần). 2.2.3.Điều kiện đủ (không chứng minh). 2.3.Giá trị lớn nhất, bé nhất trong miền đóng, bị chận. 2.4.Ứng dụng hình học. 2.4.1.Hình bao. 2.4.2.Tiếp tuyến và pháp diện của đường cong 2.4.3.Tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong.

CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN BỘI

3.1.Tích phân kép: 3.1.1.Định nghĩa, tính chất. 3.1.2.Cách tính. 3.2.Đổi biến trong tích phân kép: 3.2.1.Trường hợp tổng quát (không chứng minh). 3.2.2.Đổi biến trong tọa độ cực. 3.3.Ứng dụng trong hình học của tích phân kép: 3.3.1.Diện tích phẳng. 3.3.2.Thể tích. 3.3.3.Diện tích mặt cong. 3.4.Ứng dụng cơ học của tích phân kép: 3.4.1.Khối lượng mãnh phẳng. 3.4.2.Moment quán tính của mãnh phẳng. 3.4.3.Moment tĩnh và trọng tâm của mãnh phẳng. Định lý Guldin thứ hai. 3.5.Tích phân bội ba: 3.5.1.Định nghĩa, tính chất. 3.5.2.Cách tính. 3.6.Đổi biến trong tích phân bội ba: 3.6.1.Trường hợp tổng quát (không chứng minh). 3.6.2.Đổi biến trong tọa độ trụ. 3.6.3.Đổi biến trong tọa độ cầu. 3.7.Ứng dụng của tích phân bội ba: 3.7.1.Thể tích. 3.7.2.Khối lượng. 3.7.3.Moment quán tính. 3.7.4.Moment tĩnh, trọng tâm.

CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

4.1.Tích phân đường loại 1: 4.1.1.Định nghĩa, tính chất. 4.1.2.Cách tính. 4.2.Ứng dụng tích phân đường loại 1: 4.2.1.Khối lượng cung. 4.2.2.Moment tĩnh, trọng tâm cung, định lý Guldin thứ nhất. 4.2.3.Moment quán tính của cung. 4.3.Tích phân đường loại 2: 4.3.1.Định nghĩa, tính chất. 4.3.2.Cách tính. 4.3.3.Liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và loại 2. 4.4.Công thức Green: 4.5.Điều kiện không phụ thuộc đường lấy tích phân. 4.6.Ứng dụng: 4.6.1.Tính công. 4.6.2.Giải phương trình vi phân toàn phần.

CHƯƠNG V: TÍCH PHÂN MẶT VÀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG 5.1.Tích phân mặt loại 1: 5.1.1.Định nghĩa, tính chất. 5.1.2.Ứng dụng (Moment trọng tâm). 5.2.Tích phân mặt loại 2: 5.2.1.Mặt định hướng, định nghĩa tích phân mặt loại 2. 5.2.2.Cách tính. 5.2.3.Định lý Gauss – Ostrogratski (chỉ chứng minh cho miền đơn giản) 5.2.4.Định lý Stokes (chỉ chứng minh cho miền đơn giản). 5.3.Lý thuyết trường. 5.3.1.Trường Vectơ. 5.3.2.Thông lượng, div, dạng Vectơ của công thức Gauss -Ostrogratski 5.3.3.Hoàn lưu,Vectơ xoáy, dạng Vectơ của công thức Stokes. 5.3.4.Vài loại trường đặc biệt (thế, ống, điện,điều hòa).

DOWNLOAD GIAO TRINH TOAN CAO CAP A3 (GIAI TICH 2)

Toán Cao Cấp Cho Các Nhà Kinh Tế

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ – PHẦN II: GIẢI TÍCH TOÁN HỌC

Cuốn sách này là cuốn sách thứ hai của bộ sách hai tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế được biên soạn dựa theo chương trình môn Toán cao cấp của trường Đại học Kinh Tế Quốc dân, dùng chung cho cả hai khối: Kinh tế học và Quản trị kinh doanh.

Tiếp theo cuốn Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Phần 1: Đại số tuyến tính đã được xuất bản, cuốn Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Phần 2: Giải tích toán học bao gồm những nội dung sau đây:

Chương 1: Hàm số và giới hạn

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Chương 3: Hàm số nhiều biến số

Chương 4: Cực trị của hàm nhiều biến

Chương 5: Tích phân

Chương 6: Chương trình vi phân

Chương 7: Phương trình sai phân

Trong phạm vi của các chương trình nói trên, các tác giả lần lượt trình bày các vấn đề cơ bản của Giải tích Toán học, cùng với một số nội dung chọn lọc của lý thuyết phương trình vi phân và phương trình sai phân. Những nội dung đó được lựa chọn căn cứ vào nhu cầu sử dụng các phương pháp Toán học trong phân tích kinh tế, với mục đích trang bị kiến thức toán học cần thiết để sinh viên có thể tiếp cận với phương pháp mô hình trong Kinh tế học thực chứng.

Chương 1: Hàm số và giới hạn

1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số

II. Quan hệ hàm số

III. Đồ thị của hàm số

IV. Khái niệm hàm ngược

V. Một số đặc trưng hàm số

VI. Các hàm số cơ bản và các phép toán sơ cấp đối với hàm số

VII. Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế

2. Dãy số và giới hạn của dãy số

II. Giới hạn của dãy số

III. Đại lượng vô cùng bé

IV. Các định lý cơ bản về giới hạn

V. Cấp số nhân: Các hệ thức cơ bản và ứng dụng trong phân tích tài chính

3. Giới hạn của hàm số

I. Khái niệm giới hạn của hàm số

II. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản

III. Các định lý cơ bản về giới hạn

IV. Hai giới hạn cơ bản dạng vô định

V. Vô cùng bé và vô cùng lớn

4. Hàm số liên tục

I. Khái niệm hàm số liên tục

II. Các phép toán sơ cấp đối với các hàm số liên tục

III. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

1. Đạo hàm của hàm số

I. Khái niệm đạo hàm

II. Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản

III. Các quy tắc tính đạo hàm

2. Vi phân của hàm số

I. Khái niệm vi phân và liên hệ với đạo hàm

II. Các quy tắc tính vi phân

3. Các định lý cơ bản về hàm số khả vi

I. Định lý Fermat

II. Định lý Rolle

III. Định lý Lagrange

IV. Định lý Cauchy

4. Đạo hàm và vi phân cấp cao. Công thức Taylor

I. Đạo hàm cấp cao

II. Vi phân cấp cao

III. Công thức Taylor

5. Ứng dụng đạo hàm trong toán học

I. Tính các giới hạn dạng vô định

II. Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số

III. Tìm các điểm cực trị của hàm số

IV. Liên hệ giữa đạo hàm cấp hai và tính lồi lõm của hàm số

6. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế

I. Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế

II. Tính hệ số co dãn

III. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên

IV. Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Chương 3: Hàm số nhiều biến số

1. Các khái niệm cơ bản

I. Hàm số hai biến

II. Hàm số n biến số

III. Phép hợp hàm

IV. Một số hàm số trong phân tích kinh tế

2. Giới hạn và tính liên tục

I. Giới hạn của hàm số 2 biến số

II. Giới hạn của hàm n biến

III. Hàm số liên tục

3. Đạo hàm riêng và vi phân

I. Số gia riêng và số gia toàn phần

II. Đạo hàm riêng

III. Đạo hàm riêng của hàm hợp

V. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

VI. Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế học

4. Hàm thuần nhất

I. Khái niệm hàm thuần nhất và công thức Euler

II. Vấn đề hiệu quả của quy mô

I. Hàm ẩn một biến

II. Hàm ẩn nhiều biến

III. Hệ hàm ẩn

IV. Tỷ lệ thay thế cận biên

V. Phân tích tĩnh so sánh trong kinh tế

Chương 4: Cực trị của hàm nhiều biến

1. Cực trị không có điều kiện ràng buộc

I. Khái niệm cực trị và điều kiện ràng buộc

II. Điều kiện đủ

2. Cực trị có điều kiện ràng buộc

I. Cực trị có điều kiện với hai biến chọn và một phương trình ràng buộc

II. Cực trị có điều kiện với n biến chọn và một phương trình ràng buộc

III. Ý nghĩa của nhân tử Lagrange

IV. Cực trị có điều kiện với n biến chọn và m phương trình ràng buộc

V. Cực trị có điều kiện với ràng buộc là bất phương trình

3. Các bài toán về sự lựa chọn của người tiêu dùng

I. Bài toán tối đa hóa lợi ích

II. Tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng

III. Phương trình Slutsky

4. Các bài toán về sự lựa chọn của nhà sản xuất

I. Lựa chọn tối ưu mức sử dụng các yếu tố sản xuất

II. Lựa chọn mức sản lượng tối ưu

Chương 5: Phép toán tích phân

1. Nguyên hàm và tích phân bất định

I. Nguyên hàm của hàm số

II. Tích phân bất định

III. Các công thức tích phân cơ bản

2. Các phương pháp tính tích phân

I. Phương pháp triển khai

II. Sử dụng tính bất biến của biểu thức tích phân

III. Phương pháp đổi biến số

IV. Phương pháp tích phân từng phần

3. Một số dạng tích phân cơ bản

I. Tích phân của các phân thức hữu tỉ

II. Tích phân của một số biểu thức chứa căn thức

III. Tích phân của một số biểu thức lượng giác

4. Tích phân xác định

I. Khái niệm tích phân xác định

II. Điều kiện khả tích

III. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định

IV. Liên hệ với tích phân bất định

V. Phương pháp đổi biến

VI. Phương pháp tích phân từng phần

VII. Tích phân suy rộng

5. Ứng dụng tích phân trong kinh tế học

I. Ứng dụng tích phân bất định

II. Ứng dụng tích phân xác định

Chương 6: Phương trình vi phân

1. Các khái niệm cơ bản

2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

3. Một số loại phương trình vi phân phi tuyến cấp 1 có thể giải được

4. Phân tích tác động trong kinh tế: Một số mô hình phương trình vi phân cấp 1

5. Phương trình vi phân cấp hai

6. Phân tích tác động trong kinh tế: Một số mô hình phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Chương 7: Phương trình sai phân

1. Khái niệm sai phân và phương trình sai phân

2. Phương trình sai phân cấp một

3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

Đáp số bài tập

Tài liệu tham khảo

Sachkinhte.com.vn trân trọng giới thiệu!

Tổng Hợp Các Đề Toán Cao Cấp 2 Có Lời Giải

TỔNG HỢP ĐỀ TOÁN CAO CẤP 2Đề 3 : Câu 1: tính gần đúng: Câu 2 : Tính tích phân sau:

Câu 3 .Xét tính phân kì và hội tụ của Câu 4: Giải phương trình vi phân:

Câu 5: Giải phươngtrình sai phân:Đề 4 : Câu 1. Tìm cực trị của hàm số:Câu 2. tính

Câu 3 tính tích phân Câu 4 : Giải phươngtrình vi phân

Câu 5: Giải phương trình sai phân

Đề 5:

Câu 1: Tìm cực trị của hàmsố: Câu 2: Tính nguyênhàm:

Câu 3: xét tính phân kỳ hội tụ Câu 4:tính vi phân

Câu 5 : Giải pt sai phân :

Câu 5: gpt sai phân

Đề 7 Câu 1 : Tìm cực trị : Câu 2 : Tính tích phân của

Câu 3 : Xét tính hội tụ phân kìcủa tích phân từ 0 đến 2 của

Câu 4 : PTVP Câu 5 : PTSP Đề 9 : Câu 1: tính gần đúng Câu 2: tính tích phân

Câu 3: tích phân Câu 4: vi phân

Câu 5: sai phân

Đề 11: Câu 1. Tìm cực trị: Câu 2. Tính tích phân:

Câu 5.Giải ptrình sai phân:

Đề 14 Câu 1 : tính gần đúng : Câu 2 : tính tích phân :Câu 3 Xác định sự hội tụ phân kì : Câu 4: Tính vi phân

Câu 5 : Tính sai phân :

Đề 16 : Câu 1 . tính giá trị gần đúng câu 2 tính tích phân

Câu 3 xét tính hội tụ hayphân kì Câu 4 giảiphương trình vi phân

Câu 5 giải phương trình

sai phânĐề 18 Câu 1 : Tính gần đúng Câu 2 : tính tích phân Câu 3 : xét tính hội tụ, phân kỳ Câu 4 : Giải pt vi phân

Câu 3: xét hội tụ phân kì của Câu 4: vi phân

Câu 5: sai phân

Đề 22 : Câu 1: Tìm cực trịCâu 2 : tìm nguyên hàm

Câu 3 : xét hội tụ phân kỳ Câu 4: ptvp

Câu 5 : pt sai phân

Đề 23 :1 Tìm cực trị : 2.Tính tích phân

3.Xét tính hội tụ, phân kỳ 4.Giải phương trình

5.Giải phương trình

Câu3.Tích phân Câu 4: Giải phương trình viphân

Câu5: Giải ptrình sai phân:

Đề 30 Câu 1: Tính gần đúng Câu 2:Tính tích phân

Câu 3:Xét tính hội tụ phân kìcủa tích phân

Câu 4:Giải phương trình vi phân: Câu 5:Giải phương trình sai phân:

Đề 31 Câu 1 : Tính gần đúng Câu 2 : Tính tích phân

với ; Câu 3 : xét tính hội tụ và phân kỳ Câu 4 : giải pt vi phân

Đề 32 Câu 1 .Tìm miền xđ vàbiểu diễn qua đồ thị Câu 2 .Tích phân

Câu 3 . Xét tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân

Câu 4 . Giải pt vi phân Câu 5 . Giải pt sai phân

Đề khoa A Câu 1. tính Câu 2. Tích phân

Câu 3 : Tích phân Câu 4. Tính Vi phân Câu 5 : Giải pt Sai phân

Đề khoa H

Bài 1: Tìm cực trị: Bài 2 tích phân

Bài 3 tính hội tụ Bài 4 . gpt vp

Bài 5 tính sai phân.

3. xét ht,pk: 4. gpt: