Các dạng bài tập giới hạn hàm số lớp 11 từ căn bản tới nâng cao
Các dạng bài tập giới hạn hàm số lớp 11 từ căn bản tới nâng cao
Giới hạn hàm số hay thường gọi là giới hạn của hàm số – Là kiến thức quan trọng của toán 11 thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách vận dụng linh hoạt các dạng vào giải bài tập.
1. Lý thuyết giới hạn hàm số
1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) {x0} mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn) = L Khi đó ta viết: $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L$ = L hoặc f (x) → L khi x → x0
Từ định nghĩa, ta có các kết quả:
$mathop {lim }limits_{x to {x_0}} c$ = c, với c là hằng số.
Nếu hàm số f (x) xác định tại điểm x0 thì $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = fleft( {{x_0}} right)$
Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô cực khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) {x0} mà lim xn = x0
ta đều có limf(xn)= ±∞
Khi đó ta viết: $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0
1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; +∞) mà lim xn = +∞
ta đều có lim f (xn) = L
1.3 Một số định lý về giới hạn hữu hạn
1.4 Giới hạn một bên
Đề tìm giới hạn bên phải hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta dựa vào lý thuyết quan trọng sau
1.5 Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực
1.6 Các dạng vô định
2. Phân dạng giới hạn hàm số
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn
Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3.
Bài tập 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{2}{{x – 1}}$
Lời giải
Dạng 2. Chứng minh rằng $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$ không tồn tại
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {cos x} right)$
Lời giải
Đặt f(x) = cos x. Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với:
Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn
Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của những hàm số mà ta đã biết giới hạn.
Ta có kết quả sau:
Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn hàm số $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$ hoặc $mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right)$
ta thực hiện các bước sau:
Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $mathop {lim }limits_{x to 3} left( {{x^2} + x} right)$
Lời giải
$mathop {lim }limits_{x to 3} left( {{x^2} + x} right)$ = 32 + 3 = 12
Nhận xét
Với hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị f(x)
Với hàm số $frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}$ có f(x0) ≠ 0 và g(x0) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bằng ∞.
Trong trường hợp với hàm số $frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}$ có f(x0) = 0 (tức có dạng $frac{0}{0}$)
Chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử dạng $frac{0}{0}$, và thông thường là làm xuất hiện nhân tử chung (x − x0)
Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số
Sử dụng các định lí với lưu ý sau:
Bài tập 4: Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau:
Lời giải
Nhận xét: Vậy, nếu hàm số f(x) không xác định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với giới hạn tại x0
Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép
Bài tập 5. Cho hàm số
Tính $mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} fleft( x right)$ và $mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} fleft( x right)$
Lời giải
Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực
Dạng 7. Dạng $frac{0}{0}$
Bản chất của việc khử dạng không xác định $frac{0}{0}$ là làm xuất hiện nhân tử chung để:
Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định
Hoặc là biến đổi về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết kết quả hoặc biết cách giả
Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0
a) Đối với dạng 0.∞ và ∞0 ta chọn một trong hai cách sau
Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản
Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa với các bước
b) Đối với dạng 1∞ cần nhớ các giới hạn cơ bản sau $mathop {lim }limits_{x to 0} {left( {1 + x} right)^{frac{1}{x}}} = e$, $mathop {lim }limits_{x to infty } {left( {1 + frac{1}{x}} right)^x} = e$