Kiến Guru xin gửi tới bạn đọc toàn bộ bài tập và hướng dẫn giải bài tập toán 11 hình học ở trang 119 trong sách giáo khoa hình học 11. Ở trang 119 SGK hình học 11 có tổng cộng 6 bài , được phân dạng theo từng mức độ khó dễ khác nhau. Nhằm mục đích cho học sinh ôn tập và tổng hợp các kiến thức cho bài “Khoảng Cách”thuộc vào chương 3:“Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian”. Mời các bạn đọc tham khảo
1. Hướng dẫn giải bài tập toán 11 hình học
Bài 1 trang 119 SGK
a) Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ ⊥a và Δ ⊥b.
b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với (P).
c) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ).
d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.
e) Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.
Hướng dẫn giải
a) Sai
Sửa lại: “Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥ a và Δ ⊥ b”
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Sửa lại: Đường thẳng đi qua M trên a và vuông góc với a, đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.
e) Sai.
2. Hướng dẫn giải bài tập toán 11 hình học
bài 2 trang 119 SGK
Cho tứ diện chúng tôi có đường thẳng SA vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , K là trực tâm của tam giác SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.
b) Chứng minh đường thẳng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) . Đường thẳng HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
Hướng dẫn giải
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
+ Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
+ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b là đường thẳng cắt a, b và cùng vuông góc với a, b.
3. Hướng dẫn giải bài tập toán hình lớp 11
bài 3 trang 119 SGK
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’ và D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∆ ABC’ = ∆ C’CA = ∆ADC’=∆ AA’C’ =∆ C’B’A = ∆C’D’A (c.c.c)
Suy ra các đường cao hạ từ B; C; D; A’; B’; D’ xuống AC’ bằng nhau
( chú ý: các tam giác trên đều có chung cạnh AC’)
Gọi khoảng cách đó là h.
Ta có: CC’ = a;
ΔC’AC vuông tại C, có hai cạnh góc vuông là CA và CC’. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
Ta có :
Suy ra : h =
4. Hướng dẫn giải toán 11 hình học
bài 4 trang 119 SGK
Có AB = a, BC = b, CC’ = c lần lượt là các cạnh đã cho của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’và AC’.
Hướng dẫn giải
1. Ta có : AA’ (ABCD)
AA’ (ACC’A’)
Suy ra (ACC’A’) (ABCD)
Hai mặt phẳng này vuông góc với nhau cà căt nhau theo giao tuyến AC nên nếu từ B ta kẻ BH AC thì BH (ACC’A’) và BH là khoảng cách từ B đến mp(ACC’A’)
Ta có :
Ta lại có chúng tôi = chúng tôi (= )
Suy ra :
b) Ta có :CC’//BB’
Mà CC’ (ACC’A’)
Nên d(BB’;AC’)=d(BB’;(ACC’A’)
=d(B;(ACC’A’)) = BH =
5. Hướng dẫn giải bài tập toán hình 11
bài 5 trang 119 SGK
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’)
b) Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (ACD’) và mặt phẳng (BA’C’)
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’
Hướng dẫn giải
b) Xét tứ giác A’BCD’ có BC//A’D’ và BC = A’D’
Tương tự, tứ giác ABC’D’ là hình bình hành nên BC’//AD’
Ta có
Gọi O và O’ là tâm của ABCD và A’B’C’D’.
Gọi H và I lần lượt là tâm của hai tam giác đều BA’C’ và ACD’.
* Xét ( BB’D’D)
Ta có BO’// D’O nên OI
Vì : O là trung điểm BD
* Xét (BB’D’D)
Ta có D’O// BO’ nên D’I
Vì : O’ là trung điểm của B’D’ nên H là trung điểm B’I: HI = HB’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
* Theo phần trên B’D ⊥ (BA’C) ⇒ IH ⊥ (BA’C)
Mà I ∈ (ACD’) nên khoảng cách giữa hai mp song song (ACD’) và ( BA’C’) là độ dài đoạn IH.
Khi đó:
c) Ta có
:
mà (BA’C’)//(ACD’)
Vậy d(BC’;CD’) = d((BA’C’);(ACD’)) =
6. Hướng dẫn giải bài tập toán 11 hình học
bài 6 trang 119 SGK
Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.
Hướng dẫn giải
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD
Qua K kẻ đường thẳng d
KA’ = IA
* Xét tam giác CKB’ và DKA’ có:
KC= KD ( giả thiết)
KB’= KA’( cách dựng)
CKB’=A’KD ( hai góc đối đỉnh )
*Xét tứ giác IBB’K có IB= KB’ và IB
Chứng minh tương tự, ta có: AA’// IK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BB’// IK// AA’ (*)
Ta có :
Lại có:IK ⊥ CK
Từ (*) và (**) suy ra BB’ ⊥ (CKB’) ; AA’ ⊥ (CKB’)
⇒ BB’ ⊥ B’C; AA’ ⊥ A’D
* Xét hai tam giác vuông BCB’ và ADA’ có:
BB’ = AA’ (= IK)
CB’ = A’D (chứng minh trên)
* Chứng minh tương tự, AC = BD