Published on
1. 2015 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 7/21/2015 GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐH KINH TẾ QD- chương 1
2. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 2 Giải bài tập sách ”Bài tập Xác suất và Thống Kê toán” trường ĐH KTQD 07/2015 Bài tập có sự giúp đỡ của SV K52, K53. Có nhiều chỗ sai sót mong được góp ý : nnvminh@yahoo.com §1 Định nghĩa cổ điển về xác suất Bài 1.1 Gieo một con xúc xắc đối xứng và đồng chất. Tìm xác suất để được: a. Mặt sáu chấm xuất hiện. b. Mặt có số chẵn chấm xuất hiện. Giải: a) Không gian mẫu là {1,2,…,6} Gọi A=biến cố khi gieo con xúc xắc thì được mặt 6 chấm Số kết cục duy nhất đồng khả năng: n=6 Số kết cục thuận lợi : m=1 P(A) = m n = 1 6 . b) Gọi B=biến cố khi gieo xúc xắc thí mặt chẵn chấm xuất hiện Tương tự ta có: P(B) = m n = 3 6 = 0,5. Bài 1.2 Có 100 tấm bìa hình vuông như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Ta lấy ngẫu nhiên một tấm bìa. Tìm xác suất : a. Được một tấm bìa có số không có số 5. b. Được một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc cho 5 hoặc cả cho 2 và cho 5. Giải: a) Không gian mẫu là {1,2,…,100}. Gọi A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số có số 5. Số kết cục duy nhất đồng khả năng là n = 100. Số kết cục thuận lợi m = 19 (10 số có đơn vị là 5, 10 số có hàng chục là 5, lưu ý số 55 được tính 2 lần) Do đó 19 ( ) 0,19 100 P A . Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số không có số 5 là 1 ( ) 1 0,19 0,81P A . b) Gọi A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc cho 5 hoặc cả cho 2 và cho 5. Số kết cục duy nhất đồng khả năng là n = 100.
3. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 3 Số kết cục thuận lợi m = 60 (trong đó có 50 số chia hết cho 2, 20 số chia hết cho 5, chú ý có 10 số chia hết cho 10 được tính 2 lần) do đó 60 ( ) 0,6 100 P A . Bài 1.3 Một hộp có a quả cầu trắng và b quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu. a) Tìm xác suất để quả cầu thứ nhất trắng. b) Tìm xác suất để quả cầu thứ hai trắng biết rằng quả cầu thứ nhất trắng. c) Tìm xác suất để quả cầu thứ nhất trắng biết rằng quả cầu thứ hai trắng. Giải: a) Đánh số a quả cầu trắng là 1, 2,…, a và b quả cầu đen là a+1,…,a+b. Không gian mẫu là {1,2,…,a+b} Số kết cục duy nhất đồng khả năng là a b . A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên được quả cầu thứ nhất trắng, số kết cục thuận lợi là a do đó ( ) a P A a b . b) Đánh số a quả cầu trắng là 1, 2,…, a và b quả cầu đen là a+1,…,a+b. Không gian mẫu là tập các bộ số (u,v) với 1 ,1 ;u a v a b u v . Số kết cục duy nhất đồng khả năng là ( 1)a a b . Nếu quả thứ nhất trắng thì số cách chọn nó là a cách, vậy số cách chọn quả thứ 2 là a-1. Số kết cục thuận lợi là a(a-1). do đó ( 1) 1 ( 1) 1 b a a a P a a b a b . c) Đánh số a quả cầu trắng là 1, 2,…, a và b quả cầu đen là a+1,…,a+b. Không gian mẫu là tập các bộ số (u,v) với 1 ,1 ;u a b v a u v . Số kết cục duy nhất đồng khả năng là ( 1)a a b . Nếu quả thứ hai trắng thì số cách chọn nó là a cách, vậy số cách chọn quả thứ 1 trắng là a-1. Số kết cục thuận lợi là a(a-1). do đó ( 1) 1 ( 1) 1 c a a a P a a b a b . Bài 1.4 Một hộp có a quả cầu trắng và b quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên ra lần lượt từng quả cầu. Tìm xác suất để: a. Quả cầu thứ 2 là trắng
4. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 4 b. Quả cầu cuồi cùng là trắng. Giải: a) Đánh số a quả cầu trắng là 1, 2,…, a và b quả cầu đen là a+1,…,a+b. Không gian mẫu là tập các bộ số (u,v) với 1 , ;u v a b u v . Số kết cục duy nhất đồng khả năng là ( )( 1)a b a b . Số cách chọn quả thứ 2 là a, sau đó có a+b-1 cách chọn quả thứ nhất vậy số kết cục thuận lợi là: ( 1)a a b . do đó ( 1) ( )( 1) a a a b a P a b a b a b . a) Đánh số a quả cầu trắng là 1, 2,…, a và b quả cầu đen là a+1,…,a+b. Không gian mẫu là tập các bộ số ( 1 2, ,…, a bu u u ) là hoán vị của 1,2,…,a+b. Số kết cục duy nhất đồng khả năng là ( )!a b . Số cách chọn quả cuối cùng là a, sau đó có a+b-1 cách chọn quả 1, a+b-2 cách chọn quả 2,…,và cuối cùng là 1 cách chọn quả thứ a+b-1. Do đó số kết cục thuận lợi là ( 1)!a a b . do đó ( 1)! ( )! b a a b a P a b a b . Bài 1.5 Gieo đồng thời hai đồng xu. Tìm xác suất để được a) Hai mặt cùng sấp xuất hiện b) Một sấp, một ngửa c) Có ít nhất một mặt sấp Giải: Không gian mẫu là (N,N), (S,N), (N,S), (S,S). a) Số kết cục thuận lợi là 1: (S,S) nên 1 0,25 4 aP . b) Số kết cục thuận lợi là 2: (S,N) và (N,S) nên 2 0,5 4 bP . b) Số kết cục thuận lợi là 3: (S,N), (N,S) và (S,S) nên 3 0,75 4 bP . Bài 1.6 Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Tìm xác suất để được hai mặt a) Có tổng số chấm bằng 7 b) Có tổng số chấm nhỏ hơn 8 c) Có ít nhất một mặt 6 chấm Giải: Đánh dấu 2 con xúc xắc là W (trắng) và B (đen) các mặt tương ứng với 1 6…,W W và 1 6…,B B
5. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 5 Không gian mẫu là tất cả các cặp ( , )i jW B , Số kết cục duy nhất đồng khả năng là 36. a) Có 6 cặp có tổng số chấm bằng 7 là 1 6( , )W B , …, 6 1( , )W B vậy 6 1 36 6 aP . b) Có 0 cặp có tổng số chấm bằng 1, Có 1 cặp có tổng số chấm bằng 2, Có 2 cặp có tổng số chấm bằng 3, Có 3 cặp có tổng số chấm bằng 4, Có 4 cặp có tổng số chấm bằng 5, Có 5 cặp có tổng số chấm bằng 6, Có 6 cặp có tổng số chấm bằng 7. Do đó có 1+2+…+6 = 21 cặp có tổng số chấm nhỏ hơn 8, vậy 21 7 36 12 bP . c) Có ít nhất một mặt 6 chấm nên số kết cục thuận lợi đồng khả năng là 11 gồm : 1 6( , )W B , …, 6 6( , )W B và 6 1( , )W B ,…, 6 5( , )W B , vậy 11 36 cP Bài 1.7 Ba người khách cuối cùng ra khỏi nhà bỏ quên mũ. Chủ nhà không biết rõ chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để: a) Cả 3 người cùng được trả sai mũ b) Có đúng một người được trả đúng mũ c) Có đúng hai người được trả đúng mũ d) Cả ba người đều được trả đúng mũ Giải: Gọi 3 cái mũ tương ứng của 3 người đó là 1, 2, 3. Không gian mẫu là 6 hoán vị của 1, 2, 3 gồm các bộ (i,j,k): (1,2,3), …, (3,2,1). Ta hiểu là đem mũ i trả cho người 1, mũ j trả cho người 2, mũ k trả cho người 3. a) số các bộ (i,j,k) mà 1, 2, 3i j k chỉ có 2 bộ thuận lợi như vậy là (2,3,1), (3,1,2), vậy 2 1 6 3 aP . b) Nếu chỉ người 1 được trả đúng mũ thì chỉ có một khả năng thuận lợi (1,3,2). Nếu chỉ người 2 được trả đúng mũ thì chỉ có một khả năng thuận lợi (3,2,1). Nếu chỉ người 3 được trả đúng mũ thì chỉ có một khả năng thuận lợi (2,1,3), vậy 3 1 6 2 bP . c) Nếu có đúng 2 người được trả đúng mũ thì người còn lại cũng phải trả đúng mũ, không có khả năng thuận lợi nào, vậy 0 0 6 cP . d) Có duy nhất một khả năng thuận lợi là (1, 2, 3), vậy 1 6 dP .
6. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 6 Bài 1.8 Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng Đức, 20% học tiếng Anh và Pháp, 15% học tiếng Anh và Đức, 10% học tiếng Pháp và Đức, 5% học cả ba thứ tiếng. Tìm xác suất khi lấy ngẫu nhiên 1 sinh viên thì người đó: a) Học ít nhất một trong 3 ngoại ngữ b) Chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức c) Chỉ học tiếng Pháp d) Học tiếng Pháp biết người đó học tiếng Anh Giải: Vẽ biểu đồ Ven. Gọi A, B, C tương ứng là biến cố lấy ngẫu nhiên 1 sinh viên thì sinh viên đó học tiếng Anh, Pháp, Đức. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aP P A B C P A P B P C P A B P B C P C A P A B C 50% 40% 30% 20% 15% 10% 5% 80% 0,8 b) ( ) ( )bP P A C P A B C = 15% 5% 0,1 c) ( ) ( ) ( ) ( ) 40% 20% 10% 5% 0,15cP P B P A B P B C P A B C d) ( ) 20% 0,4 ( ) 50% d P B A P P A chính là tỷ lệ diện tích của A B với diện tích của A với qui ước hình tròn lớn có diện tích là 1. Bài 1.9 Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng quên mất 3 chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng khác nhau. Tìm xác suất để người đó quay số một lần được đúng số điện thoại của bạn. Giải: Không gian mẫu là tập con của tập các số 000, 001, …, 999 mà có 3 chữ số khác nhau. Ta phải tìm số các cặp (a,b,c) với a,b,c nhận từ 0,…, 9 mà a, b, c khác nhau đôi một. a có 10 cách chọn, sau đó b có 9 cách chọn, sau đó c có 8 cách chọn , vậy số các cặp như vậy là 10.9.8 = 720. xác suất để người đó quay số một lần được đúng số điện thoại của bạn là 1 720 . Bài 1.10 Trong một hòm đựng 10 chi tiết đạt tiêu chuẩn và 5 chi tiết phế phẩm. Lấy đồng thời 3 chi tiết. Tính xác suất: a) Cả 3 chi tiết lấy ra thuộc tiêu chuẩn b) Trong số 3 chi tiết lấy ra có 2 chi tiết đạt tiêu chuẩn. Giải: Gọi các chi tiết đạt tiêu chuẩn là 1, …, 10, các chi tiết phế phẩm là 11, …, 15. Không gian mẫu là tập các tập con {a, b, c} với a, b, c khác nhau đôi 1 nhận giá trị từ 1 đến 15. Số các kết cục đồng khả năng là 3 15 15.14.13 5.7.13 3.2.1 C .
7. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 7 a) Số các kết cục thuận lợi là 3 10 10.9.8 5.3.8 3.2.1 C (lấy 3 số trong 10 số không cần xếp thứ tự), vậy 3 10 3 15 5.3.8 0,264 5.7.13 a C P C b) Số các kết cục thuận lợi là 2 1 10 5 10.9 . .5 5.9.5 2.1 C C (lấy 2 số trong 10 số và số còn lại trong 5 số, không cần xếp thứ tự), vậy 5.9.5 0,495 5.7.13 bP . Bài 1.11 Một nhi đồng tập xếp chữ. Em có các chữ N, Ê, H, G, H, N. Tìm xác suất để em đó trong khi sắp xếp ngẫu nhiên được chữ NGHÊNH. Giải: Đầu tiên ta xếp chữ N : có 2 6 6.5 15 2.1 C cách xếp 2 chữ N vào 6 vị trí. Còn lại 4 vị trí. Sau đó đến chữ H : có 2 4 4.3 6 2.1 C cách xếp 2 chữ H vào 4 vị trí. Còn lại 2 vị trí. Sau đó đến chữ Ê có 2 cách xếp, còn vị trí cuối cùng cho chữ G. Vậy số cách xếp có thể có là 15.6.2.1 = 180, vậy 1 180 P . Bài 1.12 Thang máy của một tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách. Tìm xác suất để : a) Tất cả cùng ra ở tầng 4. b) Tất cả cùng ra ở một tầng. c) Mỗi người ra ở một tầng khác nhau. Giải: Mỗi khách có thể ra ở một trong 6 tầng, vậy số các trường hợp có thể xảy ra là 6.6.6 = 216. a) số kết cục thuận lợi là 1, vậy 1 216 aP . b) số kết cục thuận lợi là 6, vậy 6 1 216 36 bP . c) người thứ nhất có 6 cách ra thang máy, người thứ 2 còn 5 ra thang máy, người thứ 3 có 4 cách ra thang máy, số các kết cục thuận lợi là 3 6 6.5.4A , vậy 6.5.4 5 216 9 cP . Bài 1.13 Trên giá sách có xếp ngẫu nhiên một tuyển tập của tác giả X gồm 12 cuốn. Tìm xác suất để các tập được xếp theo thứ tự hoặc từ trái sang phải, hoặc từ phải sang trái. Giải: Số cách xếp sách là: 12! Gọi A là biến cố “xếp theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái”.
8. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 8 vì A có 2 khả năng 2 12! P A . Bài 1.14 Lấy ngẫu nhiên 3 quân bài từ một cỗ bài 52 quân. Tìm xác suất để : a) Được 3 quân át b) Được 1 quân át Giải: Số các kết cục đồng khả năng là 3 52C . a) Số cách chọn 3 quân át từ 4 quân át là : 3 4C , vậy 3 4 3 52 4.3.2 1 52.51.50 5525 a C P C . b) Số cách chọn 1 quân át từ 4 quân át là 1 4 4C , hai quân còn lại có số cách chọn là 2 48C . Vậy 2 48 3 52 4 4.48.47.3.2.1 1128 52.51.50.2 5525 b C P C . Bài 1.15 Một lô hàng có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm được chia ngẫu nhiên thành 2 thành phần bằng nhau. Tìm xác suất để mỗi phần có số chính phẩm bằng nhau. Giải: Mỗi phần sẽ có 5 sản phẩm. Chỉ cần xét phần 1 vì phần 2 là phần bù của phần 1. Để mỗi phần có số chính phẩm bằng nhau thì phần một phải là (3 chính phẩm+2 phế phẩm). Các kết cục đồng khả năng của phần 1 là (5 chính phẩm), (4 chính phẩm+1 phế phẩm), (3 chính phẩm+2 phế phẩm), (2 chính phẩm+3 phế phẩm), (1 chính phẩm+4 phế phẩm). Do đó 1 5 P . Bài 1.16 Mỗi vé xổ số có 5 chữ số. Tìm xác suất để một người mua một vé được vé : a) Có 5 chữ số khác nhau b) Có 5 chữ số đều lẻ Giải: Không gian mẫu là {00000,00001, …, 99999} là các số có 5 chữ số từ 0 đến 99999 (nếu thiếu số thì viết số 0 vào đầu). Số các kết cục đồng khả năng là 100000. a) Chữ số thứ 1 có 10 cách chọn, chữ số thứ 2 có 9 cách chọn, chữ số thứ 3 có 8 cách chọn, chữ số thứ 4 có 7 cách chọn, chữ số thứ 5 có 6 cách chọn. Số các kết cục thuận lợi là : 10.9.8.7.6. Do đó 10.9.8.7.6 189 0,3024 100000 625 aP . b) Mỗi chữ số có 5 cách chọn là 1,3,5,7,9. Số các kết cục thuận lợi là : 55 . Do đó 5 5 1 0,03125 100000 32 bP .
9. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 9 Bài 1.17 Năm người A, B, C, D, E ngồi một cách ngẫu nhiên vào một chiếc ghế dài. Tìm xác suất để : a) C ngồi chính giữa b) A và B ngồi ở hai đầu ghế Giải: Giả sử ghế dài được chia thành 5 ô, mỗi người ngồi vào một ô. Có 5 cách xếp cho người A ngồi, sau đó còn 4 cách xếp cho người B, 3 cách xếp cho người C, 2 cách xếp cho người D và cuối cùng 1 cách duy nhất cho người E. Số các kết cục đồng khả năng là 5.4.3.2.1=120. a) C ngồi chính giữa, vậy có 1 cách xếp cho C, còn 4 cách xếp cho A, 3 cách xếp cho B, 2 cách xếp cho D, 1 cách xếp cho E. Số các kết cục thuận lợi là 1.4.3.2.1=24. Vậy 24 1 0,2 120 5 aP . b) A và B ngồi hai đầu ghế nên có 2 cách xếp cho A, B cùng ngồi là A B hoặc B A ở hai đầu ghế, sau đó có 3 cách xếp cho C, 2 cách xếp cho D, và 1 cách xếp duy nhất cho E. Số các kết cục thuận lợi là : 2.3.2.1=12. Vậy 12 0,1 120 aP . Bài 1.18 Trong một chiếc hộp có n quả cầu được đánh số từ 1 tới n. Một người lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ra hai quả. Tính xác suất để người đó lấy được một quả có số hiệu nhỏ hơn k và một quả có số hiệu lớn hơn k (1<k<n). Giải: Chọn 2 quả cầu trong n quả cầu, số kết cục đồng khả năng là 2 nC . Số cách chọn 1 quả cầu có số hiệu nhỏ hơn k là 1k . Số cách chọn quả cầu có số hiệu lớn hơn k là n k . Số kết cục thuận lợi là ( 1)( )k n k . Vậy 2 ( 1)( ) 2( 1)( ) ( 1)n k n k k n k P C n n . Bài 1.19 Gieo n con xúc xắc đối xứng và đồng chất. Tìm xác suất để được tổng số chấm là 1n . Giải: Gieo n con xúc xắc thì ta có số kết cục đồng khả năng là 6n . Nếu tổng số chấm là 1n thì chỉ có trường hợp 1n mặt 1 và 1 mặt 2. Số kết cục thuận lợi là: n. Vậy 6n n P . §2 Định nghĩa thống kê về xác suất Bài 1.20 Tần suất xuất hiện biến cố viên đạn trúng đích của một xạ thủ là 0,85. Tìm số viên đạn trúng đích của xạ thủ đó nếu người bắn 200 viên đạn. Giải: Có 0,85 = 85% số viên đạn trúng đích. Vậy bắn 200 viên thì có 85%.200 = 170 viên trúng đích.
11. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 11 sản phẩm đánh rơi nếu là chính phẩm thì chỉ có thể là 1a chính phẩm Số khả năng của sản phẩm đánh rơi là a + b – 1 (1 là sản phẩm chọn tại kho) Xác suất sản phẩm đánh rơi là chính phẩm là 1 1 a P a b Bài 1.24 Số lượng nhân viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau: Giới tính Tuổi Nam Nữ Dưới 30 120 170 Từ 30-40 260 420 Trên 40 400 230 Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty đó thì được: a. Một nhân viên từ 40 tuổi trở xuống b. Một nam nhân viên trên 40 c. Một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống Giải: a. Xác suất chọn được 1 nhân viên từ 40 tuổi trở xuống: Pa = 120 170 260 420 97 0,61 1600 160 b. Xác suất chọn được 1 nam nhân viên trên 40 tuổi: Pb= 400 1 0,25 1600 4 c. Xác suất chọn được 1 nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống: Pc= 170 420 59 0,37 1600 160 Bài 1.25 Một cửa hàng đồ điện nhập lô bóng điện đóng thành từng hộp, mỗi hộp 12 chiếc. Chủ cửa hàng kiểm tra chất lượng bằng cách lấy ngẫu nhiên 3 bóng để thử và nếu cả 3 bóng cùng tốt thì hộp bóng điện đó được chấp nhận. Tìm xác suất để một hộp bóng điện được chấp nhận nếu trong hộp đó có 4 bóng bị hỏng. Giải: Xét một hộp 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Gọi A là biến cố ” 3 bóng điện được lấy ra trong hộp có 4 bóng hỏng đều tốt” Số kết hợp đồng khả năng xảy ra là số tổ hợp chập 3 từ 12 phần tử. Như vậy ta có: n= 3 12 220C Trong hộp có 4 bóng hỏng, 8 bóng tốt nên số khả năng thuận lợi lấy được 3 bóng tốt là m = 3 8 56C
12. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 12 Vậy xác suất hộp điện được chấp nhận là: P(A) = 56 0,254 220 Bài 1.26 Giả sử xác suất sinh con trai và con gái là như nhau. Một gia đình có 3 con. Tính xác suất để gia đình đó có: a. Hai con Gái b. Ít nhất hai con gái. c. Hai con gái biết đứa con đầu lòng là gái. d. Ít nhất hai con gái biết rằng gia đình đó có ít nhất một con gái Giải: Xác suất sinh con trai và con gái là như nhau và đều bằng 1 2 . Mỗi lần gia đình đó sinh con sẽ có hai khả năng xảy ra hoặc là con trai hoặc là con gái, mà gia đình đó có ba con nên số khả năng là có thể xảy ra là 8. Không gian mẫu là các bộ ( 1 2 3, ,c c c ) mà ic nhận giá trị trai hoặc gái. a) A là biến cố gia đình đó sinh hai con gái P(A)= 2 3 3 8 8 C b) B là biến cố gia đình đó sinh ít nhất hai con gái. Do gia đình đó sinh ít nhất hai con gái nên gia đình đó có thể sinh hai con gái hoặc ba con gái. Nếu gia đình đó sinh hai con gái có 3 khả năng xảy ra (như câu a)), gia đình đó sinh ba con gái có một khả năng xảy ra. P(B)= 4 8 c) Gia đình đó sinh hai con gái biết đứa con đầu là con gái Đứa thứ hai là con gái thì đứa thứ ba là con trai, đứa thứ hai là con trai thì đứa thứ ba là con gái. Vậy xác suất sinh hai con gái mà đứa con đầu lòng là con gái là: P= 1 1 1 1 1 . . 2 2 2 2 2 d) D=Biến cố gia đình đó sinh ít nhất hai con gái biết gia đình đó có ít nhất 1 con gái. Gia đình đó có ít nhất một con gái vậy số khả năng xảy ra là 8-1=7 (bỏ đi 1 trường hợp 3 nam). Không gian mẫu còn 7 giá trị. Gia đình đó có ít nhất hai con gái nên hoặc có hai con gái hoặc có ba con gái Nếu gia đình đó có hai con gái sẽ có một con trai có ba khả năng xảy ra, nếu gia đình đó có ba con gái có môt khả năng xảy ra P(D)= 4 7 .
14. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 14 P(B) = 6 0.06 100 Gọi C là biến cố sp bị sứt vòi biết rằng nó bị vỡ nắp P(C) = 6 1 9 6 4 1 = 0.35 Bài 1.29 Biết rằng tại xí nghiệp trong 3 tháng cuối năm đã có 6 vụ tai nạn lao động. Tìm xác suất để không có ngày nào có quá 1 vụ tai nạn lao động. Giải: Vì 3 tháng cuối năm có 31+30+31=92 ngày, ta gọi là ngày 1,…, ngày 92. Không gian mẫu là tập các bộ số tự nhiên ( 1 2 6, ,…,a a a ) sao cho ka nhận giá trị từ 1, 2,..,92 (tai nạn thứ k xảy ra ở ngày ka ). Số các trường hợp đồng khả năng là n = 6 92 . Gọi A là biến cố “không có ngày nào có quá 1 vụ tai nạn lao động”. Có nghĩa một ngày có 1 vụ tai nạn hoặc không. Số kết cục thuận lợi cho biến cố A là số chỉnh hợp chập 6 của từ 92 phần tử (các ka đôi một khác nhau): m = 6 92A . Vậy: P(A) = 6 92 6 92 A . Bài 1.30 Có n người trong đó có m người trùng tên xếp hàng một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để m người trùng tên đứng cạnh nhau nếu: a, Họ xếp hàng ngang. b, Họ xếp vòng tròn. Giải: a) Vì có n người xếp thành hàng ngang nên sẽ có n! cách xếp. Gọi A là biến cố “m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xếp hàng ngang”. Nếu coi m người trùng tên đứng cạnh nhau này là 1 người thì ta có (n – m + 1)! cách xếp. Và trong đó lại có m! cách xếp cho m người trùng tên. Vậy xác suất để m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xếp hàng ngang là: P(A) = !( 1)! ! m n m n b) Ví có n người xếp thành vòng tròn nên sẽ có (n – 1)! cách sắp xếp. Gọi b là biến cố “m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xếp thành vòng tròn”.
15. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 15 Nếu coi m người trùng tên đứng cạnh nhau là 1 người thì khi xếp n người thành vòng tròn ta có (n – m)! cách xếp. Số kết quả thuận lợi cho B là: m!(n – m)!. Vậy xác suất để m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xếp vòng tròn là: P(B) = !( )! ( 1)! m n m n Bài 1.31 Ba nữ nhân viên phục vụ A, B, C thay nhau rửa đĩa chén và giả thiết ba người này đều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất: a. Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén b. Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén c. Một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén Giải: Không gian mẫu là các bộ số (a,b,c,d) ở đó với a, b, c, d nhận giá trị 1, 2, 3 (giá trị 1, 2 ,3 nếu chén đó được chị A, B, C tương ứng đánh vỡ.). Số các trường hợp đồng khả năng là 3 4 . a) Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén, có nghĩa có 3 số 1 và 1 số 2. Số các trường hợp thuận lợi là 3 4 .1 4C nên 3 4 1 4 16 aP . b) Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén nên có 6 khả năng là (3,1,0); (3,0,1) ;(1,3,0);(0,3,1);(1,0,3);(0,1,3). Vậy 6 2 15 5 bP . c) Một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén nên có 3 khả năng là (4,0,0);(0,4,0):(0,0,4) nên 3 1 15 5 cP Bài 1.32 Có 10 khách ngẫu nhiên bước vào 1 cửa hàng có 3 quầy. Tìm xác suất để có 3 người đến quầy số 1. Giải: Mỗi vị khách đều có 3 sự lựa chọn vào 1 trong 3 quầy bất kỳ của cửa hàng. Vậy 10 vị khách sẽ có 310 sự lựa chọn vào 1 trong 3 quầy bất kỳ của cửa hàng. Không gian mẫu là các bộ số ( 1 2 10, ,…,a a a ) trong đó ka nhận giá trị 1,2,3 nếu khách k vào quầy 1,2,3 tương ứng. Gọi A là biến cố 3 vị khách đến quầy số 1 (có nghĩa có 3 số ka bằng 1). Số cách chọn 3 vị trí trong 10 vị trí để gán giá trị 1 là 3 10C . Ta thấy , 7 vị khách còn lại sẽ xếp vào 2 quầy còn lại (quầy 2 và 3). Mỗi vị khách có 2 sự lựa chọn vào 2 quầy 2 và 3. Vậy số trường hợp xếp được là 27 Số cách chọn 3 vị khách vào quầy 1 và 7 vị khách vào 2 quầy 2 và 3 là 7 3 102 .C Vậy xác suất 3 vị khách vào quầy số 1 là
16. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 16 P(A) = 7 3 10 10 2 . 3 C = 0,26. §4 Quan hệ giữa các biến cố Bài 1.33 Một chi tiết được lấy ngẫu nhiên có thể là chi tiết loại 1(ký hiệu là A) hoặc chi tiết loại 2(ký hiệu là B) hoặc chi tiết loại 3(ký hiệu là C). Hãy mô tả các biến cố sau đây: a) A B b) AB C c) A B d) AC Giải: Gọi A là biến cố “chi tiết lấy ra thuộc loại I” B là biến cố “chi tiết lấy ra thuộc loại II” C là biến cố “chi tiết lấy ra thuộc loại III” a) A + B là biến cố lấy ra chi tiết loại A hoặc loại B. b) A B là biến cố không lấy ra được chi tiết loại A hoặc loại B , hay chính là lấy ra chi tiết loại C. c) AB+C là biến cố lấy ra hoặc chi tiết loại C hoặc vừa là chi tiết A vừa là chi tiết B. d) AC là biến cố lấy ra chi tiết vừa là loại A vừa là loại C. Bài 1.34 Ba người cùng bắn vào 1 mục tiêu. Gọi Ak là biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu. Hãy viết bằng ký hiệu các biến cố biểu thị bằng: a. Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu b. Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu c. Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu d. Có người bắn trúng mục tiêu Giải: 3 người cùng bắn vào mục tiêu. Gọi Ak là biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu (k =1,3) a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu: 21 3.A A A . b) Chỉ có 1 người bắn trúng mục tiêu: 2 3 1 2 3 1 2 31A A A A A A A A A . c) Chỉ có 2 người bắn trúng mục tiêu: 1 22 3 1 3 1 2 3A A A A A A A A A . d) Có người bắn trúng mục tiêu: 1 2 3A A A . Bài 1.35 Ta kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm. Các sản phẩm đều thuộc một trong hai loại: Tốt hoặc Xấu. Ký hiệu Ak = (k = 1,10 ) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu. Viết bằng ký hiệu các biến cố sau: a. Cả 10 sản phẩm đều xấu. b. Có ít nhất một sản phẩm xấu c. Có 6 sản phẩm đầu kiểm tra là tốt, còn các sản phẩm còn lại là xấu. d. Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, còn các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ là xấu. Giải: a) A = 1 2 10…A A A b) B = 1 2 10…A A A c) C = 1 2 6 7 10… …A A A A A d) D = 1 2 3 9 10…A A A A A
18. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 18 A = Biến cố có đúng một lần đo sai số vượt quá tiêu chuẩn = 1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A P(A) = 1 2 3 1 2 3 1 2 3( )P A A A A A A A A A = 3 . 0,4 . 0,6 . 0,6 = 0,432 . Bài 1.41 Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi. Tìm xác suất để hai bi lấy ra có cùng màu. Giải: Gọi A1 = biến cố lấy được bi trắng ở hộp 1 P (A1) = 3 25 B1 = biến cố lấy được bi đỏ ở hộp 1 P (B1) = 7 25 C1 = biến cố lấy được bi xanh ở hộp 1 P (C1) = 15 25 A2 = biến cố lấy được bi trắng ở hộp 2 P (A2) = 10 25 B2 = biến cố lấy được bi đỏ ở hộp 2 P (B2) = 6 25 C2 = biến cố lấy được bi xanh ở hộp 2 P (C2) = 9 25 Vì A1, B1, C1, A2, B2, C2 là các biến cố độc lập nên: A = biến cố lấy được 2 bi màu trắng P (A) = P (A1) .P (A2) = 3 25 . 10 25 = 6 125 B = biến cố lấy được 2 bi màu đỏ P (B) = P(B1) . P (B2) = 7 6 . 25 25 = 42 625 C = biến cố lấy được 2 bi màu xanh P(C) = P(C1) .P (C2) = 15 9 . 25 25 = 27 125 D = biến cố lấy được 2 bi cùng màu A, B, C là các biến cố độc lập nên ta có xác suất để 2 bi lấy ra có cùng màu là: P (D) = P (A) + P (B) + P (C) = 6 125 + 42 625 + 27 125 = 207 625 . Bài 1.42 Hai người cùng bắn vào 1 mục tiêu. Khả năng bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9. Tìm xác suất: a, Chỉ có 1 người bắn trúng b, Có người bắn trúng mục tiêu c, Cả 2 người bắn trượt Giải: Gọi A1 là biến cố người thứ nhất bắn trúng mục tiêu. Vậy P(A1) = 0,8; P( 1A )=1-0,8= 0,2 Gọi A2 là biến cố người thứ hai bắn trúng mục tiêu. Vậy P(A2) = 0,9 Vậy P(A2) = 0,9; P( 2A )=1-0,9= 0,1 a, Gọi A là biến cố chỉ có 1 người bắn trúng Có 2 trường hợp xảy ra
19. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 19 TH1: Người 1 bắn trúng và người 2 không bắn trúng. P(A1 2A )= P(A1). P( 2A )=0,8.0,1=0,08 TH2: Người 1 không bắn trúng và người 2 bắn trúng. P( 1A A2)= P( 1A ). P(A2)=0,2.0,9=0,18 Vậy xác suất chỉ có 1 người bắn trúng mục tiêu là: P(A) = P(A1 2A ) + P( 1A A2) = 0,08 + 0,18 = 0,26 b) Gọi B là biến cố có người trúng mục tiêu. B là biến cố cả hai người đều bắn trượt. Vậy nên P( B ) = P( 1A ). P( 2A )= 0,2.0,1 = 0,02 Vậy nên P(B)= 1- P( B ) = 1 – 0,02 = 0,98 Bài 1.43 Chi tiết được gia công qua k công đoạn nối tiếp nhau và chất lượng chi tiết chỉ được kiểm tra sau khi đã được gia công xong. Xác suất gây ra khuyết tật cho chi tiết ở công đoạn thứ i là ( 1,…, )iP i k . Tìm xác suất để sau khi gia công xong chi tiết có khuyết tật. Giải: Sản phẩm được gia công qua k công đoạn. Sản phẩm có thể có chi tiết khuyết tật ở bất cứ công đoạn nào. Ta có xác suất để chi tiết công đoạn 1 khuyết tật là P1 nên xác suất để chi tiết công đoạn 1 không khuyết tật là 1 11P P Tương tự, xác suất để chi tiết công đoạn i không khuyết tật là 1i iP P Vậy xác suất để sản phẩm không khuyết tật là 1 2… …i kP P P P P nên xác suất để sản phẩm có chi tiết khuyết tật là 1 2 11 1 … … 1 (1 )…(1 )i k kP P P P P P P . Bài 1.44 Trong hộp có n quả bóng bàn mới. Người ta lấy ra k quả để chơi ( 2 n k ) sau đó lại bỏ vào hộp. Tìm xác suất để lần sau lấy k quả để chơi thì lấy được toàn bóng mới. Giải: Sau khi lấy ra k quả để chơi, rồi lại bỏ lại thì số bóng bàn mới còn lại trong hộp là n – k quả và số bóng cũ sẽ là k quả. Gọi A là “biến cố lấy được k quả mới lần 2”. Khi đó, xác suất lấy được k quả mới là (chú ý 2 n k ): P(A)= 2 !! ! : ! 2 ! ! ! ! 2 ! k n k k n n kn kC n C k n k k n k n n k .
21. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 21 Bài 1.48 Một nồi hơi được lắp van bảo hiểm với xác suất hỏng của các van tương ứng là 0,1 và 0,2. Nồi hơi sẽ hoạt động an toàn khi có van không hỏng. Tìm xác suất để nồi hơi hoạt động: a. An toàn b. Mất an toàn Giải: Gọi A1 là biến cố van 1 không hỏng : P(A1)=0,1 Gọi A2 là biến cố van 2 không hỏng : P(A2)=0,2 Gọi A là biến cố nồi hơi hoạt động không an toàn khi có van bị hỏng. P(A)=P(A1.A2)=P(A1).P(A2)=0,1.0,2=0,02. Vậy xác suất để nồi hơi hoạt động an toàn là: P=1 – 0,02=0,98. Bài 1.49 Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu cho đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng. Tính xác suất sao cho phải bắn đến viên thứ 6, biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,2 và các lần bắn độc lập nhau. Giải: Gọi A là biến cố “Phải bắn đến viên thứ 6 mới trúng đích” Ak là biến cố “Viên thứ k trúng đích” : P(Ak) = 0,2. Phải bắn đến viên thứ 6 mới trúng đích. Vậy, phải bắn trượt 5 lần đầu và lần thứ sáu thì trúng. Ta lại có các lần bắn có kết quả độc lập với nhau, vì vậy các biến cố A1, A2, …, A6 là các biến cố độc lập. Vậy xác suất để lần thứ 6 trúng đích là: P(A) = P( ).P( ).P( ).P( ).P( ).P(A6) = (1 − 0,2) . 0,2 = 0,065536. Bài 1.50 Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 9 chiếc trong đó chỉ có một chiếc mở cửa kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa khóa một, chiếc nào đã được thử thì không thử lại. Tính xác suất anh ta mở được đã ở lần thử thứ tư. Giải: Gọi A1 là biến cố: “Lần thứ nhất không mở được cửa kho”. A2 là biến cố: “Lần thứ hai không mở được cửa kho”. A3 là biến cố: “Lần thứ ba không mở được cửa kho”. A4 là biến cố: “Lần thứ tư mở được cửa kho”. Theo đầu bài, thủ kho thử ngẫu nhiên từng chìa một, chiếc nào đã được thử thì không thử lại. Do đó A1, A2, A3, A4 là các biến cố phụ thuộc. Xét biến cố A1, chùm chìa khóa có 9 chìa trong đó chỉ có một chìa mở được, 8 chìa còn lại không mở được. Lần thứ nhất không mở được. Vậy biến cố A1 có xác suất: P(A1) =
25. TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 25 a. Gọi A là biến cố người đó bán được hàng ở 2 nơi. P(A)= .0,22 .0,88 =0,3 b. Gọi B là xác suất người đó không bán được ở nơi nào. P(B)= .0,20 .0,810 Vậy xác suất để người đó bán được ở ít nhất một nơi là: P= 1 – P(B) =0,8926 Bài 1.59 Tỷ lệ phế phẩm của 1 máy là 5%. Tìm xác suất để trong 12 sản phẩm do máy đó sản xuất ra có: a. 2 phế phẩm. b. Không quá 2 phế phẩm. Giải: a) Xác suất để sản xuất ra 2 phế phẩm đó là: (2) = . 0,05 . 0,95 ≈ 0,0988 ≈ 9,88% b) Gọi B là biến cố để “máy đó sản xuất ra có không quá 2 phế phẩm”, ta có: ( ) = (0) + (1) + (2) = 0,05 . 0,95 + 0,05 . 0,95 + 0,05 . 0,95 ≈ 0,9804 ≈ 98,04% Bài 1.60 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi , mỗi câu hỏi có 5 cách trả lời , trong đó chỉ có một cách trả lời đúng . Một thí sinh chọn cách trả lời một cách hoàn toàn hú họa . Tìm xác suất để người đó thi đỗ , biết rằng để đỗ phải trả lời đúng ít nhất 8 câu . Giải: Coi việc trả lời mỗi câu hỏi của người đó là một phép thử độc lập , ta có 10 phép thử độc lập . Mỗi phép thử có 5 cách trả lời nên xác suất để trả lời đúng mỗi câu hỏi là 0,2 . Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli . Theo công thức Bernoulli : P10(8) = . 0,28 . 0,82 = 0,000078 . Bài 1.61 Một siêu thị lắp 4 chuông báo cháy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để khi có cháy mỗi chuông kêu là 0,95. Tìm xác suất để có chuông kêu khi cháy. Giải: Gọi A là biến cố chuông kêu khi có cháy Ta có là biến cố không có chuông nào kêu khi cháy. Coi 4 chuông báo cháy là 4 phép thử, ta có 4 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử có 2 khả năng xảy ra chuông kêu hoặc không kêu khi có cháy. Xác suất chuông kêu khi có cháy là p = 0,95. P( )=P4(0)= 0,054 =6,25. 10-6 Vậy P(A)=1-P( )=1- 6,25. 10-6 =0,999994.