, DOWNLOAD ZALO 0932091562 at BẢNG BÁO GIÁ DỊCH VỤ VIẾT BÀI TẠI: chúng tôi
Published on
Download luận văn thạc sĩ ngành xác xuất và thống kê toán với đề tài: Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính, cho các bạn làm luận văn tham khảo
1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN – – – – – – – – – – – – – – – – – – VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2014
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN – – – – – – – – – – – – – – – – – – VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, 2014
3. Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới chúng tôi Phan Viết Thư, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu cho tôi để hoàn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán – Cơ – Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội,tháng 11 năm 2014 Vũ Đức Thắng 1
8. MỞ ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu thế kỷ XX. Đầu tiên phải kể đến sự ra đời của khái niệm toán học về chuyển động Brown hay quá trình Wiener đưa ra bởi Louis Bachelier (1900) và Albert Einstein (1905). Đặc biệt là sự sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên Itô (1944) đã giúp giải quyết nhiều bài toán ngẫu nhiên trong kinh tế, vật lý,. . . mà Giải tích tất định cổ điển không sử lý được. Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba bộ phận chính : 1. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên. 2. Lý thuyết các tích phân ngẫu nhiên. 3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên. Trong hơn một thế kỷ qua , các nội dung này đã phát triển rất mạnh mẽ và là những công cụ không thể thiếu được trong nghiên cứu về tài chính. Lý do là bản thân giá chứng khoán và giá các tài sản tài chính biến động một cách ngẫu nhiên nên có thể xem chúng như các quá trình ngẫu nhiên . Giải tích ngẫu nhiên đã làm cơ sở cho việc mô hình hóa các biến động giá cả trên thị trường tài chính. Một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, trong đó có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itô, tích phân Stratonovich, Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu thị trường tài chính. Các mô hình định giá , chẳng hạn như mô hình Black – Scholes, đều dựa trên kiến thức về Giải tích ngẫu nhiên . Luận văn này gồm 3 chương : Chương I. Quá trình ngẫu nhiên Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng 6
9. MỤC LỤC MỤC LỤC trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trình Gauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đề cập Chương II. Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh họa. Chương III. Vài ứng dụng trong thị trường tài chính Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các quá trình ngẫu nhiên, các khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phương pháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính và đặc biệt đề cập đến mô hình quyền chọn Black – Scholes 7
10. Chương 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trình Gauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đề cập. 1.1 Những khái niệm chung Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm * Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó * F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ-trường các tập con của Ω. Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. * P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo được (Ω, F) 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên (a) Một quá trình ngẫu nhiên X là một họ các biến ngẫu nhiên X = (Xt(ω), t ∈ T) trong đó T là một tập các chỉ số thực, T ⊆ R. T có thể hữu hạn, đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Đôi khi ta cũng kí hiệu Xt(ω) = X(t, ω). Vậy với 8
21. CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN * Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (b), phương sai của Xt − Xs là σ2(t − s). 1.3.2 Vài tính chất quan trọng Từ bây giờ, ta kí hiệu W = (Wt, t ≥ 0) là một chuyển động Brown. (a) Wt là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của nó Ft, với Ft = FW t = σ(Ws, s ≤ t): σ−trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của W tính cho đến thời điểm t. (b) Hầu chắc chắn là Wt không khả vi theo t. (c) Hầu chắc chắn là Wt không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu hạn nào của t. (d) W tuân theo luật logarit-lặp như sau: lim t→∞ sup Wt √ 2t ln ln t = 1 (hầu chắc chắn). 1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown Định lý Cho (Wt) là một chuyển động Brown và Ft = FW t . Khi đó ta có 3 martingale quen biết là: (a) Bản thân Wt là một martingale đối với Ft. (b) W2 t − t là một martingale đối với Ft. (c) Với mọi u ∈ R thì euWt−u2 2 t là một martingale đối với Ft. 19
22. CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown Định lý Cho W = (Wt, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục. Điều kiện cần và đủ để cho Wt là một chuyển động Brown là (∗) Wt là một martngale, W0 = 0 h.c.c, và W2 t − t là một martingale (đối với Ft = FW t ) Điều kiện (∗) được gọi là đặc trưng Lévy của chuyển động Brown. 1.4 Quá trình Poisson 1.4.1 Quá trình đếm Một quá trình ngẫu nhiên (Nt, t ≥ 0) được gọi là một quá trình đệm (hay quá trình đếm) nếu Nt biểu thị tổng số lần một biến cố ngẫu nhiên nào đó xẩy ra cho đến thời điểm t. Vậy một quá trình đếm là một quá trình với thời gian liên tục, lấy giá trị nguyên dương và có bước nhảy tại các thời điểm ngẫu nhiên T0, T1, T2, … sao cho T0 = 0 ≤ T1 < T2 < …và lim n→∞ Tn = ∞ Khi đó có thể viết Nt = n nếu t ∈ [Tn, Tn+1] , n ≥ 0 ∞ nếu t = ∞ hoặc Nt = ∞ n=0 n½[Tn,Tn+1) 1.4.2 Quá trình Poisson Định nghĩa Một quá trình đếm (Nt, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Poisson, nếu: (a) N0 = 0 (b) {Nt, t ≥ 0} có số gia độc lập. 20
25. Chương 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh họa. Phần I TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 Tích phân Ito 2.1.1 Mục đích Ta biết rằng một hàm thực F(t) được gọi là có biến phân giới nội (hay còn gọi là biến phân hữu hạn) trên đoạn [a, b] nếu tồn tại một hằng số C sao cho với 23
28. CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (b) Những quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) nào thì có tích phân Itô? Người ta đã chứng minh được rằng đó là các quá trình f(t, ω) thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) Đo được đối với σ-trường tích B[0,t] × F và thích nghi đối với Ft = FW t , trong đó B[0,t] là σ-trường Borel trên [0, t] và FW t là σ-trường sinh bởi chuyển động Brown Wt đã cho. (ii) E b a f2 (t, ω) dt < ∞, b a f2 (t, ω) dt ∈ L1(Ω, F, P). Ngoài ra, nếu kí hiệu G là σ-trường sinh ra bởi các quá trình liên tục trái thì mỗi g đo được đối với G được gọi là một quá trình khả đoán. và người ta cũng chứng minh rằng, với mọi quá trình f(t, ω) thỏa mãn 2 điều kiện (i) và (ii) nói trên thì bao giờ cũng tồn tại một quá trình khả đoán g(t, ω) sao cho f(t, ω) = g(t, ω) hầu khắp nơi đối với độ đo tích dt × dP. Các tính chất quan trọng của tích phân Itô (a) E t 0 f (s, ω) dWs = 0, t ∈ [a, b] (b) E t 0 f (s, ω) dWs 2 = E t 0 f2 (s, ω) ds (tính chất đẳng cự) (c) Bản thân tích phân Itô Xt = t 0 f (s, ω) dWs là một Martingale đối với σ- trường FW t . 2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô Vi phân Itô Giả sử rằng X = (Xt, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: (a) Hầu hết các quỹ đạo t → Xt là liên tục. (b) Hầu chắc chắn Xt có biểu diễn: Xt = X0 + t 0 h (s, ω) ds + t 0 f (s, ω) dWs (∗) 26
29. CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX. Vi phân Itô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau: dXt = h (t, ω) dt + f (t, ω) dWt (∗∗) hay dX = hdt + fdW Khi ta viết ra một vi phân có dạng (∗∗), ta hiểu rằng điều đó có nghĩa là ta có hệ thức (∗) hầu chắc chắn. Công thức Itô Công thức Itô thực chất là công thức đổi biến trong Giải tích ngẫu nhiên: Từ một quá trình ngẫu nhiên Itô (Xt) nếu ta biến đổi thành (Yt) với Yt = g(t, Xt) thì vi phân dY sẽ tính ra sao. Công thức này rất cần thiết để tính tích phân ngẫu nhiên, để thực hiên các phép biến đổi ngẫu nhiên và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Định lý Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + fdW. Giả thử g(t, x) : R2 → R là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi: (I1) dYt = ∂g ∂t (t, Xt) dt + ∂g ∂x (t, Xt) dXt + 1 2 ∂2 g ∂x2 (t, Xt) f2 (t, ω) dt Đó là công thức Itô có dạng tương đương sau: (I2) Yt = g (0, X0) + t 0 ∂g ∂s (s, Xs) ds+ + t 0 ∂g ∂x (s, Xs) dXs + 1 2 t 0 ∂2 g ∂x2 (s, Xs) f2 (s, ω) ds 27
30. CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chú ý: (a) Trong các công thức (I1) và (I2) thì dX coi như đã biết, và ta có thể thay dX = hdt + fdW. (b) Trong khi thực hiện các tính toán trên các vi phân, ta có thể áp dụng các qui ước sau: chúng tôi = 0, chúng tôi = chúng tôi = 0, chúng tôi = dt. 2.1.4 Các thí dụ. Thí dụ 1. Tính tích phân I = t 0 WsdWs Chọn Xt = Wt và g(t, x) = x2. Khi đó: Yt = g (t, Xt) = g (t, Wt) = W2 t g (t, x) = x2 ⇒ ∂g ∂t = 0, ∂g ∂x = 2x, ∂2 g ∂x2 = 2 . Ngoài ra, vì Xt = Wt = t 0 chúng tôi cho nên f ở đây bằng 1. Áp dụng công thức Itô (I2) ta được Yt = W2 t = t 0 2WsdWs + 1 2 t 0 chúng tôi = 2 t 0 WsdWs + t. Do đó t 0 WsdWs = 1 2 W2 t − t 2 . Thí dụ 2. Tính tích phân I = t 0 f (s) dWs trong đó f là một hàm tất định, khả vi cấp 1. Chon g(t, x) = f(t).x, do đó Yt = f(t)Xt = f(t)Wt. ∂g ∂t = f ′ (t) x, ∂g ∂x = f (t) , ∂2g ∂x2 = 0. 28
33. CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (b) [X, Y ] = [Y, X] (c) [a1X1 + a2X2, Y ] = a1[X1, Y ] + a2[X2, Y ]. Biến phân bậc hai của một số quá trình (a) Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì [W]t = t. (b) Nếu X là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì martingale Poisson Yt = Xt−t có biến phân bậc hai là [Y ]t = t. (c) Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bởi: X = X0 + t 0 h1 (s, ω) ds + t 0 f1 (s, ω) dWs, Y = Y0 + t 0 h2 (s, ω) ds + t 0 f2 (s, ω) dWs thì [X, Y ]t = t 0 f1 (s, ω) f2 (s, ω) ds. Liên hệ giữa tích phân Stratonovich và tích phân Itô t 0 f (s, ω) ◦ dWs = t 0 f (s, ω) dWs + 1 2 [f, W]t . Công thức kiểu Newton-Leibnitz đối với tích phân Stratonovich Giả sử h(x) là một hàm một biến khả vi liên tục với nguyên hàm là U(x) thì người ta có thể chứng minh được công thức t t0 h (Ws) ◦ dWs = U (Wt) − U (Wt0 ) . (Thực ra, cả hai vế đều bằng t t0 h (Ws) dWs + 1 2 t t0 h ′ (Ws) ds). 31
34. CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Do công thức trên, có thể áp dụng được các quy ước của tích phân xác định trong Giải tích cổ điển cho tích phân Stratonovich, chẳng hạn t 0 Ws ◦ dWs = 1 2W2 t t 0 eWs ◦ dWs = eWt − 1, … Cũng như vậy, đôi khi việc tính một tích phân Itô sẽ trở nên dễ dàng hơn nếu ta chuyển sang tích phân Stratonovich, thí dụ: t 0 WsdWs = t 0 Ws ◦ dWs − [W, W]t = 1 2 W2 t − t Phần II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.3 Định nghĩa phương trình và lời giải Xét một hệ thức vi phân ngẫu nhiên dXt = b (t, Xt) dt + σ (t, Xt) dWt (2.3.1) trong đó b(t, x) và σ(t, x) là những hàm hai biến đo được: [0, T] × R → R, Wt là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Nếu xem Xt là một quá trình ngẫu nhiên phải tìm, thì hệ thức (2.3.1) được gọi là một phương trình vi phân ngẫu nhiên. * Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt(ω), t ∈ [0, T]) được gọi là một lời giải của phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu X0 = Z, (2.3.2) trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (Wt, t ≥ 0) sao cho E(Z2) < ∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau: (i) Xt là thích nghi với Ft = FW t = σ(Ws, s ≤ t), và là đo được đối với σ-trường tích B[0,T ] × Ft, 32
37. CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN hay P Xt (ω) = Xt (ω) ∀t ∈ [0, T] = 1X1 (ω) = X2 (ω) h.c.c 2.4.2 Sự tồn tại Ta sẽ chứng minh sự tồn tại lời giải của (2.3.1) theo một phương pháp tương tự đối với phương trình vi phân thường, bằng cách dùng phép lặp Picard: * Đầu tiên, ta định nghĩa: Y (0) t = X0 và Y (k) t = Y (k) t (ω) một cách Quy nạp như sau: Y (k+1) t = X0 + t 0 b s, Y (k) s ds + t 0 σ s, Y (k) s dWs (1) Khi đó, tính toán tương tự như đối với phần duy nhất ở trên, ta có : E Y (k+1) t − Y (k) t ≤ (1 + T) 3K2 t 0 E Y (k) s − Y (k−1) s 2 ds (2) với k ≥ 1, t ≤ T và E Y (1) t − Y (0) t 2 ≤ 2C2t2 1 + EX2 0 + 2C2t 1 + EX2 0 ≤ 2C2T.t 1 + EX2 0 + 2C2t 1 + EX2 0 = A1t, trong đó hằng số A1 chỉ phụ thuộc vào C, T và EX2 0 . Do đó, theo (2) ta có : E Y (2) t − Y (1) t 2 ≤ (1 + T) .3K2 . t 1 chúng tôi = (1 + T) .3K2 .A1 A2 . t2 2! Quy nạp theo k, ta có : E Y (k+1) t − Y (k) t 2 ≤ Ak+1 2 .tk+1 (k + 1)! ; k ≥ 0, t ∈ [0, T] (3) trong đó A2 là một hằng số chỉ phụ thuộc C, K, T và EX2 0 . * Bây giờ, với mỗi ω cố định thuộc Ω, ta có sup 0≤t≤T Y (k+1) t − Y (k) t ≤ t 0 b s, Y (k) s − b s, Y (k−1) s ds+ + sup 0≤t≤T t 0 σ s, Y (k) s − σ s, Y (k−1) s dWs 35
41. CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.5 Tính Markov của lời giải Lời giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên nói trên bao giờ cũng là một quá trình Markov. Điều đó được khẳng định bởi Định lý sau đây Định lý Giả thử X = Xt là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn phương trình dXt = b (t, Xt) dt + σ (t, Xt) dWt (2.3.1) trong đó các hệ số b (t, x) và σ (t, x) thỏa mãn các điều kiện tồn tại và duy nhất lời giải như đã nêu trong Định lý trên. Khi đó X = Xt là một quá trình Markov mà xác suất chuyển xác định bởi P(x, s; t, A) = P{Xx s (t) ∈ A} trong đó Xx s (t) là lời giải của phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu x lấy tại một thời điểm ban đầu s < t, tức là Xs = x; nói cách khác Xx s (t) là lời giải duy nhất của phương trình Xx s (t) = x + t s b (u, Xx s (u)) du + t s σ (u, Xx s (u)) dWu Chú ý: (a) Theo định nghĩa, bất kỳ một lời giải nào của phương trình (2.3.1) đều là một quá trình thích nghi với FW t = σ(Ws, s ≤ t). (b) Phương trình (2.3.1) có thể xem như một sự mô tả các diễn biến của một hệ động lực với trạng thái của hệ là (Xt). Người ta hay nói rằng hệ động lực này bị chi phối, bị không chế, hay bị lái (driven) bởi chuyển động Brown Wt, trong đó hệ số b(t, Xt) được gọi là độ dịch chuyển (drift), và hệ số σ(t, Xt) được gọi là độ biến động (volatility) của hệ. (c) Không phải là lời giải của bất cứ phương trình vi phân ngẫu nhiên nào cũng là một quá trình khuếch tán. 39
42. CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (d) Một điều rất quan trọng trong thực hành kỹ thuật toán tài chính là : làm sao để lời giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên nào đó phải là một martingale. Và người ta có kết quả quan trọng sau đây: Định lý. Giả thử (Xt) là lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên dX = b (t, X) dt + σ (t, X) dW, trong đó σ (t, x) là liên tục và E T 0 σ2 (t, X) dt < ∞ Khi đó, quá trình (Xt) là một martingale nếu và chỉ nếu độ dịch chuyển bằng 0, tức là b (t, x) ≡ 0. 40
43. Chương 3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các quá trình ngẫu nhiên. Các khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phương pháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính và đặc biệt đề cập đến mô hình quyền chọn Black-Scholes. Phần I QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 3.1 Phương án đầu tư Từ nay ta quy các tài sản cơ bản vào hai loại chính là cổ phiếu và trái phiếu và gọi chung là chứng khoán cơ bản. Với mỗi chứng khoán S (Security), ta xem giá của nó là một quá trình ngẫu nhiên {S (t)} trên một không gian xác suất có lọc (Ω, F, (Ft) , P), trong đó Ft là một họ các σ−trường thể hiện một luồng thông tin của thị trường. 41
53. CHƯƠNG 3. VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH có quyền sở hữu gói tài sản đó. Quyền đó có thể mua đi bán lại trên thị trường, vì thế ta nói các hợp đồng đó là các giấy tờ có mệnh giá. Các phái sinh chính gồm có: Các hợp đồng quyền chọn (options) các hợp đồng ký kết trước (forwards), các hợp đồng tương lai (futures). 3.5.1 Quyền chọn mua (Call) Đó là một bản hợp đồng ghi rõ ai sở hữu nó sẽ có quyền mua một gói chứng khoán cơ sở (cổ phiếu, trái phiếu, …) trong tương lai với một giá xác định trước gọi là giá thực thi. Cái quyền này cho phép có thể mua mà không bắt buộc phải mua. Các điều kiện của hợp đồng này là: (a) Đến ngày đáo hạn của hợp đồng người giữ hợp đồng có thể trả cho người thảo hợp đồng số tiền bằng giá thực thi đã định trước ghi trong hợp đồng. (b) Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền đó thì bắt buộc phải giao gói tài sản đã ghi trong hợp đồng. Chú ý (i) Nếu đến ngày đáo hạn, gói tài sản có giá trị thị trường cao hơn giá thực thi thì người giữ hợp đồng quyết định thực thi (để sau đó bán ngay kiếm lời); nếu giá thị trường lúc đó thấp hơn giá thực thi đã ghi trong hợp đồng, thì người giữ hợp đồng có thể quyết định không thực thi. (ii) Nếu việc thực thi quy định trong hợp đồng phải thực hiện vào đúng thời điểm đáo hạn T của hợp đồng thì Quyền chọn gọi là quyền chọn mua kiểu châu Âu. Nếu có thể thực thi hợp đồng tại thời điểm t bất kỳ trước lúc đáo hạn (t ≤ T) thì ta có quyền chọn kiểu Mỹ. 3.5.2 Quyền chọn bán (Put) Cái quyền có thể mua được một cơ hội được phép bán một gói tài sản cơ bản trong tương lai với một giá đảm bảo cố định trước (ngay cả khi mà người ta 51
54. CHƯƠNG 3. VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả), là nội dung của các hợp đồng có quyền chọn bán. Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn bán là như sau: (a) Đén ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này (tức là người mua hợp đồng) có thể đưa cho người viết hợp đồng (tức người bán hợp đồng) một gói chứng khoán hoặc một số tiền tương đương theo giá thị trường lúc đó. (b) Nếu người viết hợp đồng nhận gói chứng khoán hoặc số tiền tương đương do người giữ hợp đồng giao cho thì anh ta bắt buộc phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng. Phần II MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES 3.6 Mô hình Black-Scholes Ta bắt đầu bằng việc giải thích mô hình Black-Scholes là gì và dùng để giải quyết những vấn đề gì. 3.6.1 Định nghĩa mô hình Mô hình này được Fischer Black và Myron Scholes đưa ra đầu tiên năm 1973 nhằm để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu, trong đó giả thiết quyền chọn được xây dựng trên hai tài sản cơ sở là cổ phiếu S có giá tại thời điểm t là St và một trái phiếu B có giá là Bt thỏa mãn các phương trình vi phân sau: dSt = µStdt + σStdWt (3.6.1) dBt = rBtdt (3.6.2) 0 ≤ t ≤ T, T là thời điểm đáo hạn trong đó µ, σ và r là các hằng số dương. 52
55. CHƯƠNG 3. VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Vấn đề dặt ra là, dưới một số tính chất của quyền chọn và của thị trường, hãy tính giá trị Vt của quyền chọn, 0 ≤ t ≤ T và đặ biệt là tính hiện giá V = V0 tại thời điểm ban đầu sao cho quyền chọn được đáp ứng. Vậy mô hình Black-Scholes gồm có mấy yếu tố sau: (i) Tài sản cơ sở là S và B thỏa mãn các phương trình (3.6.1)-(3.6.2). (ii) Các giả thiết về chứng khoán và thị trường (sẽ nói sau). (iii) Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn. 3.6.2 Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes Ta nhân thấy quá trình ngẫu nhiên St thỏa mãn phương trình (3.6.1) chính là một chuyển động Brown hình học mà biểu thức hiển là: St = S0 exp µ − σ2 2 t + σWt . (3.6.3) (3.6.3) là một phiếm hàm của chuyển động Brown. Ta chú ý rằng ln St − ln S0 = µ − σ2 2 t + σWt (3.6.4) tức là ln St − ln S0 có phân phối chuẩn N µ − σ2 2 , σ2t . Vậy St có phân phối lôga-chuẩn. Phân phối này đóng vai trò quan trọng trong diễn biến của giá cổ phiếu theo mô hình Black-Scholes. 3.6.3 Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes. Các giả thiết đó là (1) Thị trường hoạt động liên tục. (2) Lãi suất không đổi. (3) Không chia cổ tức trong suốt thời kỳ hữu hiệu của hợp đồng quyền chọn mua. 53
56. CHƯƠNG 3. VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH (4) Không có chi phí giao dịch. (5) Không có độ chênh thị giá. (6) Hai tài sản cơ bản S và B có giá thay đổi theo các phương trình (3.6.1) và (3.6.2). 3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua. Ta nhận xét trái phiếu Bt = B0ert thực chất có thể xem là tất định, nên yếu tố ngẫu nhiên nằm trong giá cổ phiếu thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.6.1). Ta có thể quy đổi giá cổ phiếu tính theo giá trị của giá một trái phiếu (tức là coi giá 1 trái phiếu là một đơn vị tiền, vì thế đôi khi ta gọi trái phiếu trong bối cảnh này là một hiện kim), và ta vẫn ký hiệu giá cổ phiếu tính theo đơn vị mới là St, với mặc định rằng xét St tức là đã xét cả hai chứng khoán S và B trong đó rồi. Gọi V là giá của thu hoạch do quyền chọn tại thời điểm ban đầu t = 0, ST là giá chứng khoán tại thời điểm T và X là giá thực thi được ghi trước trong hợp đồng quyền chọn mua. Nếu ST ≥ X thì lợi nhuận sẽ là ST − X ≥ 0, nhà đầu tư sẽ thực thi để kiếm lời. Nếu ST < Xthì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua, nếu thực thi sẽ bị lỗ. Cho nên lợi nhuận sẽ là ST − X nếu ST − X ≥ 0 0 nếu ST − X < 0 (3.6.5) Để chô gọn đại lượng ấy sẽ được ký hiệu là (ST −X)+ và được gọi là phần dương của (ST − X). Đại lượng ấy là một biến ngẫu nhiên, nên ta tính giá trị trung bình của nó bởi kỳ vọng E (ST − X)+ được gọi là giá của quyền chọn mua tại thời điểm đáo hạn VT = E (ST − X)+ . Thực chất đó là giá trung bình của lợi nhuận do quyền chọn mang lại. Muốn tính hiện giá V0 tại thời điểm t = 0, ta phải nhân với hệ số tính lùi e−rT ≈ 1 (1+ r T ) T (cũng gọi là hệ số chiết khấu) với r là lãi suất của luồng tiền trái phiếu. V0 = e−rT VT = e−rT E (ST − X)+ (3.6.6) 54
57. CHƯƠNG 3. VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH trong đó ST có biểu thức theo (3.6.3) là ST = S0 exp µ − σ2 2 T + σWT . (3.6.7) 3.7 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu châu Âu 3.7.1 Cách xây dựng Việc xây dựng này có thể được tiến hành theo hai cách sau đây: (a) Cách 1: Xuất phát từ các hệ thức (3.6.6) và (3.6.7) bằng cách tính toán ngẫu nhiên ta có công thức V0 = S0N (d1) − e−rT N (d2) , (3.7.1) trong đó d1 = 1 σ √ T ln S0 X + r + σ2 2 T , d2 = d1 − σ √ T, σ là độ biến động giá chứng khoán (3.7.2) và N(x) là ký hiệu hàm phân phối chuẩn N(0, 1): N (x) = 1√ 2π x −∞ e −u2 2 du. (b) Cách 2: Giải một phương trình đạo hàm riêng cấp hai gọi là phương trình Black-Scholes sau đây ∂V ∂t + 1 2 σ2 S ∂2V ∂S2 + rS ∂V ∂S − rV = 0, (3.7.3) trong đó V = V (S, t) là giá quyền chọn tại thời điểm t và giá chứng khoán S = St, với điều kiện cuối là V (S, T) = (S − T)+ = max (ST − X) ≥ 0. Khi đó ta được công thức: Vt = StN (d1) − Xe−r(T −t) N (d2) , (3.7.4) trong đó d1 = 1 σ √ T −t ln St X + r + σ2 2 (T − t) , d2 = d1 − σ √ T − t, và N(x) là hàm phân phối chuẩn N(0,1). (3.7.5) 55
58. CHƯƠNG 3. VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Đó là công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn mua tại thời điểm t, 0 ≤ t ≤ T. Khi t = 0 thì công thức (3.7.4) trở thành (3.7.1). Thí dụ: Xét một quyền chọn mua với thời gian đáo hạn là 3 tháng, giá chứng khoán ban đầu là 60 triệu đo la, giá thực thi là 65 triệu đo la, lãi suất không rủi ro là 8% một năm và độ biến động chứng khoán là 30% một năm. Vậy S0 = 60, X = 65, T = 3 tháng = 0.25 tính theo năm, r = 0.08, σ = 0.30. Do đó: d1 = ln 60 65 + 0.08+0.302 2 0.25 0.30 √ 0.25 = −0.3253 d2 = d1 − 0.30 √ 0.25 = −0.4753 Theo bảng gí trị của phân phối chuẩn N(0, 1) ta có N (d1) = N (−0.3253) = 0.378383 N (d2) = N (−0.4753) = 0.356332 Do đó gí quyền chọn V0 tại thời điểm ban đầu (hiện giá của quyền chọn) sẽ là V0 = S0N (d1) − e−rT N (d2) = 2.1334 Vậy, với một dự án mua quyền chọn mua như trên thì sau 3 tháng kết thúc hợp đồng nhà đầu tư quyết định thực thi, thì sẽ có một khoản lợi nhuận mà tính lùi theo hệ giá sẽ là 2,133,400 USD (tức 2 triệu 133 nghìn 400 đô la Mỹ). 3.7.2 Công thức Black-Scholes Đói với quyền chọn bán, lợi nhuận hoặc thu hoạch sẽ là St − X nếu ST − X ≥ 0 0 nếu ST − X < 0 Giá của quyền chọn bán tại thời điểm đáo hạn là VT = E (X − ST )+ . Giá quyền chọn bán tại thời điểm ban đầu t = 0 (hiện giá) là V0 = e−rt E (X − ST )+ . và công thức cụ thể là V0 = e−rt XN(−d2) − S0N(−d1) (3.7.6) 56
60. CHƯƠNG 3. VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH trong đó d1 = 1 σ √ T ln F0 X + σ2 2 T , d2 = d1 − σ √ T. 58
61. KẾT LUẬN Trong luận văn này tôi đã cố gắng hệ thống hóa một số yếu tố cơ bản của Giải tích ngẫu nhiên, gồm các quá trình ngẫu nhiên (đặc biệt là chuyển động Brown và quá trình Poisson, lý thuyết martingale), tích phân Itô, tích phân Stratonovich, và những nội dung tổng quát về Phương trình vi phân ngẫu nhiên cũng như các dạng cụ thể về Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng trong Tài chính. Trong nhiều ứng dụng phong phú của Giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu Tài chính, tôi đã nêu một ví dụ điển hình là mô hình Black – Scholes về định giá quyền chọn kiểu châu Âu. Ngoài ra, những khái niệm quan trọng về định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá chủ yếu dựa trên Giải tích ngẫu nhiên đã được trình bày đầy đủ. Do trình độ và thời gian của tác giả có hạn, luận văn này không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự chỉ bảo của các thầy để tác giả được tiến bộ hơn trong việc nghiên cứu lĩnh vực thú vị này. 59
62. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Dung (2014), Một Số Tìm hiểu tiếp theo về Bổ túc Xác Suất, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [2] Nguyễn Văn Hữu và Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp Toán học trong Tài chính, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [3] Trần Trọng Nguyên (2011), Cơ sở toán Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội. [4] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài chính căn bản, Nhà Xuất Bản Văn Hóa Thông Tin, Hà Nội. [5] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên & Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà Xuất Bản Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội. [6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn Toán học Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội. [7] Hoàng Thị Phương Thảo (2013), “Valuing Default Risk for Assets Value Jump Processes”, East-West J. of Mathematics, 15(2), PP.101-106. [8] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác Suất Nâng Cao, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [9] Martin Baxter and Andrew Renie (2000), Financial Calculus- An introduc- tion to derivative pricing, Cambridge University Press. [10] Alison Etheridge (2002), A Course in Financial Calculus, Cambridge Uni- versity Press. [11] Helmut Strasser (2006), Introduction to Probability Theory and Stochastic Processes (STATS), Vienna Graduate School Of Finance (VGSF). 60