Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 106 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Tính đường chéo d của một hình chữ nhật, biết các cạnh a = 3cm, b = 5cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Giả sử hình chữ nhật ABCD có AB = a = 3cm; BC = b = 5cm; AC = d.
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:
Vậy d √34 (cm).
Bài 107 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong hình chữ nhật:
a. Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình.
b. Hai đường thẳng đi qua trung điểm, của hai cạnh đối là trục đối xứng của hình.
a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
Vì hình chữ nhật là một hình bình hành nên điểm O là tâm đối xứng của nó.
b. Trong hình thang cân, đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy là trục đối xứng của nó.
Theo định nghĩa ta có hình chữ nhật cũng là một hình thang cân. Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AB và CD thì đường thẳng d 1 đi qua trung điểm của AB và CD là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.
Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AD và BC thì đường thẳng d 1 đi qua trung điểm của AD và BC là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.
Bài 108 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm và 10cm. (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Giả sử tam giác ABC có ∠A = 90 o, M trung điểm BC; AB = 5cm, AC = 10cm
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
Mà AM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)
⇒ AM = 1/2 .11,2 = 5,6 (cm)
Bài 109 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Tính x trong hình dưới.
Suy ra tứ giác ABHD là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
⇒ AB = DH, BH = AD
HC = CD – DH = CD – AB = 24 – 16 = 8 (cm)
Trong tam giác vuông BHC, theo định lý Pi-ta-go, ta có:
BH = √225 = 15 (cm)
Vậy x = AD = BH = 15 (cm).
Bài 110 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của hình bỉnh hành cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật.
Gọi G, H, E, F lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của ∠Avà ∠B; ∠Bvà ∠C; ∠Cvà ∠D; ∠Dvà ∠A
Ta có: ∠(ADF) = 1/2 ∠(ADC) (gt)
∠(DAF) = 1/2 ∠(DAB) (gt)
∠(ADC) + ∠(DAB) = 180 o (hai góc trong cùng phía)
Suy ra: ∠(ADF) + ∠(DAF) = 1/2 (∠(ADC) + ∠(DAB) ) = 1/2 .180 o = 90 o
Trong ΔAFD, ta có:
∠(EFG) = ∠(AFD) (đối đỉnh)
∠(GAB) = 1/2 ∠(DAB) (gt)
∠(GBA) = 1/2 ∠(CBA) (gt)
∠(DAB) + ∠(CBA) = 180 o (hai góc trong cùng phía)
⇒ (GAB) + (GBA) = 1/2 (∠(DAB) + ∠(CBA) ) = 1/2 .180 o = 90 o
∠(EDC) = 1/2 ∠(ADC) (gt)
∠(ECD) = 1/2 ∠(BCD) (gt)
∠(ADC) + ∠(BCD) = 180 o (hai góc trong cùng phía)
⇒ ∠(EDC) + ∠(ECD) = 1/2 (∠(ADC) + ∠(BCD) ) = 1/2 .180 o = 90 o
Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).
Bài 111 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
* Trong ΔABC, ta có:
E là trung điểm của AB (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
Nên EF là đường trung bình của ΔABC
⇒ EF
* Trong ΔDAC, ta có:
H là trung điểm của AD (gt)
G là trung điểm của DC (gt)
Nên HG là đường trung bình của ΔDAC.
⇒ HG
Từ (1) và (2) suy ra: EF
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Ta lại có: BD ⊥ AC (gt)
EF
Suy ra: EF ⊥ BD
Trong ΔABD ta có EH là đường trung bình ⇒ EH
Suy ra: EF ⊥ EH hay (FEH) = 90 o
Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.
Bài 112 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm các hình chữ nhật trong hình vẽ sau.
– Hình a ta có:
* ∠B = ∠(HDC)
⇒ AB
Hay DH
* ∠C = ∠(BDE)
⇒ DE
Hay DE
Vậy tứ giác AHDE là hình chữ nhật.
– Hình b: Tứ giác MNPQ có: OM = ON = OP = OQ
⇒ Tứ giác MNPQ có 2 đường chéo cắt nhau tại trưng điểm của mỗi đường và bằng nhau. Vậy MNPQ là hình chữ nhật.
Bài 113 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Các câu sau đúng hay sai?
a. Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau.
b. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
c. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
Lời giải:
a. Đúng vì hình chữ nhật có 4 góc vuông.
b. Sai vì hình thang cân có 2 cạnh bên không song song có 2 đường chéo bằng nhau.
c. Đúng vì hình chữ nhật có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Bài 114 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a. Tứ giác ADME là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó.
b. Điểm M ở vị trí nào trên BC thì đoạn DE có độ dài nhỏ nhất.
a. Xét tứ giác ADME, ta có:
 = 900 (gt)
MD ⊥ AB (gt)
Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)
∆ABC vuông cân tại A ⇒ ∠B = 45 o
Suy ra: ∆DBM vuông cân tại D
⇒ DM = DB
Chu vi hình chữ nhật ADME bằng:
2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB = 2.4 = 8 (cm)
b. Gọi H là trung điểm của BC
Suy ra: AH ⊥ BC (tính chất tam giác cân)
AM ≥ AH (dấu ” = ” xảy ra khi M trùng với H)
Tứ giác ADME là hình chữ nhật .
⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra: DE ≥ AH
Vậy DE = AH có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M là trung điểm của BC.
Bài 115 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G Gọi D là điểm đối xứng với una M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?
* Ta có: G là trọng tâm của ΔABC .
⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)
GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)
Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M
⇒ MG = MD hay GD = 2GM
Suy ra: GB = GD (l)
Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N
⇒ NG = NE hay GE = 2GN
Suy ra: GC = GE (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Xét ΔBCM và ΔCNB, có: BC cạnh chung
∠(BCM) = ∠(CBN) (tính chất tam giác cân)
CM = BN (vì AB = AC)
Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)
⇒ ∠B 1 = ∠C 1 ⇒ ΔGBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE
Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.
Bài 116 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HD = 2cm, HB = 6cm. Tính độ dài AD, AB (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có:
DB = HD + HB = 2 + 6 = 8 (cm)
AC = DB (tính chất hình chữ nhật)
OA = OB = OC = OD = 1/2 BD = 4 (cm)
OD = OH + HD
⇒ OH = OD – HD = 4 – 2 = 2 (cm)
Suy ra: ΔADO cân tại A
⇒AD = AO = 4 (cm)
Trong tam giác vuông ABD có ∠(BAD) = 90 o
Bài 117 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng ba điểm C, B, D ở hình dưới thẳng hàng.
Nối AB, BO, BC, BO’, BD.
* Trong ΔABC, ta có: OA = OC = R (bán kính đường tròn (O))
Nên BO là đường trung tuyến của ΔABC.
Mà BO = R (bán kính (O)) ⇒ BO = OA= OC = 1/2 AC
Suy ra tam giác ABC vuông tại B ⇒ ∠(ABC) = 90 o
* Trong ΔABD , ta có: AO’ = O’D = R’ (bán kính đường tròn (O))
Nên BO’ là đường trung tuyến của AABC.
Mà BO’ = R’ (bán kính (O’)) ⇒ BO’ = AO’ = O’D = 1/2 AD
Suy ra tam giác ABC vuông tại B ⇒ ∠(ABD) = 90 o
Vậy C, B, D thẳng hàng.
Bài 118 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.
* Trong ΔBCD, ta có:
E là trung điểm của BG (gt)
F là trung điểm của BD (gt)
Suy ra EF là đường trung bình của ΔBCD
⇒ EF
* Trong ΔACD, ta có: H là trung điểm của AC (gt)
G là trung điểm của AD (gt)
Suy ra HG là đường trung bình của ΔACD
⇒HG
Từ (1) và (2) suy ra: EF
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
AB ⊥ CD (gt)
Suy ra EF ⊥ AB
Trong ΔABC ta có HE là đường trung bình ⇒ HE
Suy ra: HE ⊥ EF hay (FEH) = 90 o
Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.
Bài 119 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân.
* Vì D trung điểm của AB (gt) và E trung điểm của AC (gt) nên DE là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ DE
Suy ra tứ giác DEMH là hình thang
* Mà M trung điểm BC (gt) nên DM là đường trung bình của ∆BAC
⇒ DM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
* Trong tam giác vuông AHC có ∠(AHC) = 90 o. HE là trung tuyến thuộc cạnh huyền AC.
⇒ HE = 1/2 AC (tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: DM = HE
Vậy hình thang DEMH là hình thang cân (vì có 2 đường chéo DM và EH bằng nhau).
Bài 120 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, DC. Chứng minh rằng tứ giác AEFG là hình thang cân.
* Trong ΔBDC, ta có:
E là trung điểm của BD (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
Suy ra EF là đường trung bình của tam giác BOD
⇒ EF
Suy ra tứ giác AEFG là hình thang
G là trung điểm của DC (gt)
Nên FG là đường trung bình của tam giác BCD
* Trong tam giác ABD vuông tại A có AE là trung tuyến thuộc cạnh huyền BD
⇒ AE = ED = 1/2 BD (tính chất tam giác vuông) (2)
Vậy hình thang AEFG là hình thang cân.
Bài 121 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng EH = DK.
* Ta có: BH ⊥ DE (gt)
CK ⊥ DE (gt)
⇒ BH
Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE
* Trong tam giác BDG vuông tại D có DM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.
⇒ DM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)
* Trong tam giác BEC vuông tại E có EM là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.
⇒ EM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)
Suy ra: DM = EM nên ΔMDE cân tại M
MI là đường trung tuyến nên MI là đường cao ⇒ MI ⊥ DE
Suy ra: MI
BM = MC
Suy ra: HI = IK (tính chất đường trung bình hình thang)
⇒ HE + EI = ID + DK
Mà EI = ID nên EH = DK
Bài 122 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kể từ H đến AB, AC.
a. Chứng minh rằng AH = DE
b. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DI
a. Xét tứ giác ADHE, ta có:
∠(ADH) = 90 o (vì HD ⊥ AB)
∠(AEH) = 90 o (Vì HE ⊥ AC)
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)
Vậy AH = DE (tính chất hình chữ nhật)
b. Tam giác BDH vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH
⇒ DI = IB = 1/2 BH (tính chất tam giác vuông)
⇒ ΔIDB cân tại 1 ⇒ ∠(DIB) = (180 o – ∠B )/2 (1)
Tam giác HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền HC.
⇒ EK = KH = 1/2 HC (tính chất tam giác vuông) .
⇒ ΔKHE cân tại K ⇒ ∠(EKH) = (180 o – ∠(KHE) )/2 (2)
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên:
HE
Từ (1), (2) và (3) suy ra: ∠(DIB) = ∠(EKH)
Vậy DI
Bài 123 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.
a. Chứng minh rằng ∠(HAB) = ∠(MAC)
b. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kể từ H đến AB, AG. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.
a. Ta có: AH ⊥ BC (gt) ⇒ ∠(HAB) + ∠B = 90 o
Lại có: ∠B + ∠C = 90 o (vì ΔABC có ∠A = 90 o)
Suy ra ∠(HAB) = ∠C (1)
ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC
⇒ AM = MC = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)
⇒ ΔMAC cân tại M ⇒ ∠(MAC) = ∠C (tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠(HAB) = ∠(MAC)
b. Xét tứ giác ADHE, ta có:
∠(ADH) = 90 o (vì HD ⊥ AB)
∠(AEH) = 90 o (vì HE ⊥ AC)
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
⇒ ΔADH = ΔEHD (c.c.c) ⇒ ∠A 1= ∠(HED)
Gọi I là giao điểm của AM và DE.
Vậy AM ⊥ DE.
Bài 9.1 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Một hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau 4cm và 6cm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu xentimét ?
A. 8cm
B. √52 cm
C. 9cm
D. √42 cm
Hãy chọn phương án đúng.
Lời giải:
Chọn B
Bài 9.2 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Tính số đo góc IHK.
ΔAHB vuông tại H có HI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB
⇒ HI = IA = 1/2 AB (tính chất tam giác vuông)
⇒ ΔAH cân tại I
⇒ (IAH) = (IHA) (1)
ΔAHC vuông tại H có HK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AC
⇒ HK = KA = 1/2 AC (tính chất tam giác vuông)
⇒ ΔKAH cân tại K ⇒∠(KAH) = ∠(KHA) (2)
∠(IHK) = ∠(IHA) + ∠(KHA) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: ∠(IHK) = ∠(IAH) + ∠(KAH) = ∠(IAK) = ∠(BAC) = 90 o
Bài 9.3 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD, đường cao AH. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên AD, BC. Chứng minh rằng EFCH là hình bình hành.
*Có AH ⊥ CD ⇒ ΔAHD vuông tại H
E là trung điểm của AD ⇒ HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AD
⇒ HE = 1/2 AD (1)
*F là trung điểm của AC ⇒ CF = 1/2 BC (2)
Mà ABCD là hình thang cân ⇒ BC = AD (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: HE = CF (*)
⇒ ΔEHD cân tại E
⇒ ∠(EHD) = ∠(EDH)
Mà ∠(EDH) = ∠(FCH) (góc đáy hình thang cân)
⇒ ∠(FCH) = ∠(EHD) (cùng bằng ∠(EDH))
⇒EH
Từ (*) và (**) ⇒ EFCH là hình bình hành (1 cặp cạnh song song và bằng nhau)