19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (phần 2)
Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2
1. Phương pháp giải
Cách 1:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d’ và chứa d 1
– Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với d’ và chứa d 2
– Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
Cách 2:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d 1, d 2 và song song với d 3 biết
Hướng dẫn giải:
+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d 1; d 2 và d 3 lần lượt là
– Mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với d 3
Một điểm thuộc d 1 là điểm thuộc (P) là : (2; -2; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
1.(x – 2) – 1.(y + 2) + 1. (z – 1) = 0 hay x – y + z – 5 = 0
– Mặt phẳng (Q) chứa d 2 và song song với d 3
Một điểm thuộc d 2 là điểm thuộc (Q) là : (7; 3; 9)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
0.(x – 7) + 1.(y – 3) + 2. (z – 9) = 0 hay y + 2z – 21 = 0
– Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên
Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt z = t, ta có:
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng d 1 và d 2 có vecto chỉ phương là (1; 2; 3); (- 1; 3; 2)
– Mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với Ox
Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là = (0; 3; -2)
Một điểm thuộc d 1 là điểm thuộc (P) là : (0; 0; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
0.(x – 0) + 3.(y – 0) – 2 . (z – 1) = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0
– Mặt phẳng (Q) chứa d 2 và song song với Ox
Một điểm thuộc d 2 là 1 điểm thuộc (Q) là : (2; -1; -1)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
0.(x – 2) + 2.(y + 1) – 3 . (z + 1) = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0
– Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên
Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy phương trình tham số của d là:
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d 1: . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d 1; d 2 là:
Hướng dẫn giải:
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi giao điểm của ∆ với d 1 và d 2 lần lượt là A và B.
Do A thuộc d 1 nên tọa độ A (- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a)
Do B thuộc d 2 nên tọa độ B ( 1+ b; 2b; – 1+ 3b)
+ Do đường thẳng d//∆ nên haii vecto AB → ; cùng phương
Vậy phương trình của ∆ là
Chọn D.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M( 1;1;1 ) và N(0; -2 ; 3). Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d 1 và d 2; song song với đường thẳng MN.
Hướng dẫn giải:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d 1 nên A( a; 3- 2a; 1- a)
+ Điểm B thuộc d 2 nên B( 1- b;2+ 2b; – 2) .
+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là ( -1; – 3; 2)
Chọn B
Dạng 12. Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
1. Phương pháp giải
Cách 1:
– Viết PT mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với d 2
– Viết PT mặt phẳng (Q) chứa d 1 và vuông góc với (P)
– Tìm giao điểm M = d 1 ∩ (Q), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)
Cách 2:
Vì d là đường vuông góc chung nên
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
Hướng dẫn giải:
– Mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với d 2 có = [; ]= (-12; -10; 8)
Chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là (6; 5; -4)
– Mặt phẳng (Q) chứa d 1 và vuông góc với (P) có = [; ] = ( -2; 24; 27)
Một điểm thuộc d 1 cũng thuộc (Q) là: (2; -1; 0)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
– 2.(x – 2) + 24.(y + 1) + 27.(z – 0) = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0
– Giao điểm M = d 2 ∩ (Q) có tọa độ là (t; 2t + 1; 4t – 1) thỏa mãn:
Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P) : (6; 5; -4)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:
Chọn B.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho
Ta có :
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d 1; d 2 là.
Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm
+ Do A thuộc d 1 nên A( 2+a; 1- a; 2-a)
+ Do B thuộc d 2 nên B( b; 3; – 2+ b)
AB →( – a+ b – 2; a + 2; a+ b – 4)
+ Ta có:
+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương AB →( 1; 2; -1)
Vậy phương trình của d là
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A( -1;1;0); B( 1;3;3); C( 1; 2; 1) và D( 1; 1; 1). Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?
A. ( -3; 0; -1) B. ( 1; 0; 1) C. ( -1; 0; 2) D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -1 ; 1 ; 0) và nhận vecto AC → ( 2 ; 1 ;1) làm vecto chỉ phương nên có phương trình
+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1 ; 3 ; 3) và nhận vecto BD → ( 0 ; -2 ; -2) làm vecto chỉ phương nên có phương trình
+ M thuộc AC nên M( -1+ 2m;1+ m;m)
+ N thuộc BD nên N( 1; 3- 2n; 3- 2n)
+ Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :
Chọn A.
Dạng 13. Viết phương trình của đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên mặt phẳng (P).
1. Phương pháp giải
1. Phương pháp giải
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với mặt phẳng (P)
– Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:
Hướng dẫn giải:
Một điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: (1; 2; -1)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
1.(x – 1) + 0.(y – 2) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 2 = 0
– Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)
Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:
Chọn x = t
Vậy phương trình của d là
Chọn A.
Ví dụ 2: : Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết
Hướng dẫn giải:
Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy)
Vậy d’ có phương trình tham số là:
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: và mặt thẳng (P): 3x+ 5y – z- 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là
Hướng dẫn giải:
+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).
Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0
+ Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).
Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0
Ta có hệ
Vậy phương trình tham số của d’ là:
Chọn B.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?
Hướng dẫn giải:
+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được :
1+ 1- 2.(-2) – 6 = 0 ( thỏa mãn).
Và 0+ 2- 2( -2) – 6= 0 ( thỏa mãn) .
Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB.
Chọn C.
Dạng 14. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
1. Phương pháp giải
Vị trí tương đối giữa đường thẳng d (đi qua M o và có vectơ chỉ phương ) và đường thẳng d’ (đi qua M o‘ và có vectơ chỉ phương )
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’:
A. Song song B. Trùng nhau C. Cắt nhau D. Chéo nhau
Hướng dẫn giải:
Ta có: [;]. MoM’o → = -2. 2+ 7.4 – 4.6 = 0
Vậy d và d’ cắt nhau..
Chọn C.
Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
A. Cắt nhau B. Trùng nhau C. Chéo nhau D. Song song
Hướng dẫn giải:
Nên hai đường thẳng d và d’ song song.
Chọn D.
Ví dụ 3: Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:
A. a= 2 B. a= -3 C. a= -2 D. a= 4
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là ( 1; a; -1) và (2; 4; -2)
Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2; 2) và điểm N không thuộc d.
Vậy d
Chọn A.
Ví dụ 4: Xét vị trí tương đối của d và d’ biết và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P) : 2x – 3y – 3z – 9 = 0 và (P’): x – 2y + z + 3 = 0
A. Trùng nhau chúng tôi song C. Cắt nhau D. Chéo nhau
Hướng dẫn giải:
– Trước hết viết phương trình đường thẳng d’:
Lây điểm M’ (x; y; z) thuộc d’ có tọa độ thỏa mãn hệ:
Chọn z = 0 ta được 1 điểm M’ thuộc d’ là (27; 15; 0)
Lại có: M’ ∈ d (2)
Từ (1) và (2) suy ra, d ≡ d’
Chọn A.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d 1: . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d 1 cắt d 2?
A. m= 0 B. m= 1 C. m= -2 D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
⇔ – 3.( -1) – 1( – 2) + 5( – m- 1) =0
⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0
Chọn A.
Dạng 15.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Cho đường thẳng d đi qua M o(x o; y o; z o) và có vectơ chỉ phương (a; b;c) , cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là: Ax + By + Cz + D = 0
Gọi là vectơ pháp tuyến của (P). Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta có cách sau:
Cách 1:
trường hợp sau:
Cách 2:
Viết phương trình tham số của đường thẳng d:
Thay x, y, z ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):
Ax + By + Cz + D = 0 ta được:
Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau:
– (1) vô nghiệm ⇔ d song song với (P)
– (1) có vô số nghiệm ⇔ d nằm trong (P)
– (A; B; C) = k (a; b; c) ⇔ d vuông góc với (P)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: với mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0
A. Cắt nhau B. (P) chứa d C. Song song D. Vuông góc
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua M o(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương (2; 4; 1)
Vậy d cắt (P).
Chọn A.
Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: với mặt phẳng (P): x+ 2z – 7 = 0?
A. Cắt nhau B. Song song C. (P) chứa d D.Vuông góc
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z – 4= 0 và đường thẳng d: . Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) thuộc mặt phẳng (Oyz) .
A. m = 2 B. m= -1 C.m= 1 D.m= 3
Hướng dẫn giải:
Ta có: d ∩ (P) = A( x; y; z) .
Lại có; A thuộc ( P) nên: 0- 2y+ 3z- 4= 0
y = 3/2z – 2 nên A(0;3/2z -2 ;z)
+ Do A ∈ d nên:
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ my – 3z + m- 2= 0 và đường thẳng d: . Với giá trị nào của m thì d cắt (P)
A. m ≠ 1/2. B. m= 1 C. m = 1/2 . D. m ≠ -1
Hướng dẫn giải:
⇔ 2. 4+ m.(- 1) – 3.3 ≠ 0 ⇔ -m-1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1
Chọn D
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): m 2 x- 2my + (6- 3m) z- 5= 0. Tìm m để d// (P)
Hướng dẫn giải:
Để d song song với (P) thì m 2 x- 2my + (6- 3m) z- 5= 0.
Chọn A.
Dạng 16.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
1. Phương pháp giải
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: và mặt cầu (S) tâm I(a’; b’; c’) bán kính R. Gọi d= d( I; d) thì:
d=R thì d tiếp xúc (S). Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ( S) ta làm như sau:
Thay x= x o+ at; y= y o + bt; z= z o + ct vào phương trình mặt cầu
d < R thì d cắt ( S) tại hai điểm A và B. Để tìm được tọa độ giao điểm ta làm như trên.
* Chú ý: đường thẳng d đí qua A và có vecto chỉ phương u → . Khi đó; khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d là:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho mặt cầu (S): x 2+ y 2 + z 2– 2x + 4z+ 1= 0 và đường thẳng d: . Biết có hai giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A; B và các mặt phẳng tiếp diện của ( S) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau . Tích của hai giá trị đó bằng
A. 16 B. 12 C.14 D. 10
Hướng dẫn giải:
+ Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 0; -2) và bán kính R= 2
+ Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B nên IA= IB = R= 2.
Lại có các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau nên IA vuông IB.
Suy ra d( I; d)= IA.cos45 o = 2.√2/2 = √2
Suy ra m= -2 hoặc m= – 6 và tích cần tìm là ( -2). ( – 6) = 12.
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và và mặt cầu ( S): x 2+ y 2 + z 2 – 2x+ 4z + 1= 0. Số điểm chung của Δ và ( S) là
A.0 B.1 C.2. D. 3
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R= 2.
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu ( S): (x-1) 2+ ( y+3) 2 + ( z- 2) 2= 1. Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( S) là:
Hướng dẫn giải:
Giao điểm nếu có của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được:
Để ∆ không cắt mặt cầu ( S) thì (**) vô nghiệm, hay (**) có ∆’ < 0
⇔ 25+ 40m+ 16m 2 – 20m 2 – 100 < 0
⇔ – 4m 2 + 40m – 75 < 0
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x 2 +( y+1) 2 + (z- 1) 2 = 4 và đường thẳng d: . Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:
C. m= 2 hoặc m = – 5 D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Hướng dẫn giải:
Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); (2) ; (3) vào (*) ta được:
Để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt
Chọn D.
Dạng 17. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng. Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d
– Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d
Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)
– Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:
Hướng dẫn giải:
+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:
1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0
+ Tìm H là giao điểm của d và (P)
Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :
(t-2) + 2(2t+1) – 2(-2t-1) – 3 = 0 ⇔ 9t – 1= 0 ⇔ t = 1/9
Vậy H là hình chiếu của A trên d và H(-17/9; 11/9; -11/9)
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)
A. ( 2; 1; 0) B. ( – 2;0; 1) C.(-1; 0; 0) D. ( 0; 2; 1)
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.
Suy ra phương trình của d là
+ Tìm H là giao điểm của d và (P)
Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:
2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0
⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0
⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t = – 1 nên H ( – 1; 0; 0)
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng d: .Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.
A. ( 1; 2; 1) B.( 5; – 3; 4) C. ( -2; 1;3) D. ( 1;1;3)
Hướng dẫn giải:
Phương trình tham số của d là:
H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi MH → . = 0
⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0
⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0
⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2
Chọn B.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?
A.( 1; 0; – 2) B. ( -2; 1; 1) C. ( 1; 2; 3) D. (- 1; 0; 6)
Hướng dẫn giải:
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến
-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t). Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
– ( – t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0
+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.
Chọn D.
Dạng 18.Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1. Phương pháp giải
– Muốn tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d: có 2 cách sau:
+ Cách 2. Công thức (với u → là vectơ chỉ phương của d và M o là một điểm thuộc d)
– Muốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d ( là vectơ chỉ phương của d và d đi qua M o) và d’ ( u’ → là vectơ chỉ phương của d’ và d’ đi qua M’ o) ta làm như sau:
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’
+ Khoảng cách giữa d và d’ chính là khoảng cách từ điểm M’ o đến mặt phẳng (P)
+ Hoặc dùng công thức:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm khoảng cách của A(-2; 1; 3) đến đường thẳng
A. 4√5/3 B. 5√5/2 C. 3√5 D.2√5
Hướng dẫn giải:
Vậy
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d: Tính khoảng cách giữa d và (P)
Hướng dẫn giải:
Ta có: . = 3.2 -2.1 – 1. 4 = 0 và M o ∉ (1; 7; 3) (P)
Vậy d
Chọn D.
Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Hướng dẫn giải:
Điểm M o (1; -1; 1) thuộc d cũng thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:
– 1(x-1) – 2(y+1) + 1(z-1) = 0 hay x + 2y – z + 2 = 0
– d’ đi qua M’ o (2; -2; 3)
Vậy
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:
Chọn B.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 0;2) và đường thẳng d: . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là √2 ?
A. m= -1 hoặc m = -2/3 B. m= – 1 hoặc m = 1/7
C. m = 1 hoặc m= – 1 D. m = 1 hoặc m = 1/7
Hướng dẫn giải:
+ Theo đầu bài ta có: d( A; d) = √2
Chọn B.
Dạng 19. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Góc Φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
– Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u →(a,b,c) và mặt phẳng (P) có VTPT (A; B;C)
Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?
Hướng dẫn giải:
Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vecto pháp tuyến là (1; 2; -1) và (2; 0; 3)
Cosin góc giữa d và d’ là:
Suy ra, góc giữa d và d’ bằng 90 o.
Chọn D.
Ví dụ 2: Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết d: và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?
A. √14/42 B. √14/22 C. √7/42 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là √5/5
A. m = 2 B. m = – 4 C. m = -1/2 D. m = 1/4
Hướng dẫn giải:
Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho là:
Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là 1/3√3 ?
A. m= ±1 B.m= ±2 C. m= 0 D. m = ±3
Hướng dẫn giải:
Do đó, sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
Theo giả thiết ta có:
Chọn A.
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp