Vmo 2013 Lời Giải Và Bình Luận / TOP 6 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 6/2023 # Top View

2

1. Đề thi ngày 1 (ngày 27/12/2019) Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số (x n ) xác định bởi x 1 = 1 và x n+1 = x n + 3 n n→+∞ x n

a) Chứng minh rằng lim

p

= 0.

b) Tính giới hạn lim Bài 2. (5 điểm)

Bài 3. (5 điểm) Cho dãy số (an ) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và an+2 = 5an+1 − 6an với mọi n ≥ 2. a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau. b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2k thì p − 1 chia hết cho 2k+1 với mọi số tự nhiên k. Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với O qua BC, CA, AB. a) Gọi H a là điểm đối xứng của H qua BC, và A0 là điểm đối xứng của A qua O. Gọi Oa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng H D0 , A0 Oa cắt nhau tại một điểm trên (O). b) Lấy điểm X sao cho tứ giác AX DA0 là hình bình hành. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác AH X , ABF, AC E có một điểm chung khác A.

3

4

a) Chứng minh rằng lim

b) Tính giới hạn lim

< 1n , mà lim

= 0 nên theo nguyên lý kẹp thì lim

= 0.

b) Cách 1. (sử dụng định lý trung bình Cesaro – định lý Stolz) 2 = yn2 + 3 yn + Đặt x n = yn2 thì công thức đã cho viết lại thành yn+1

( yn+1 − yn )( yn+1 + yn ) = 3 yn +

yn+1 − yn =

yn+1 + yn

Theo câu a thì lim

=q

3 yn +

yn2 + 3 yn +

+ yn

= 0 nên kéo theo lim

nên

=Ç

1+

= lim

+

+1

.

= 0 và dựa theo đẳng

thức trên thì lim ( yn+1 − yn ) = 32 . Theo định lý trung bình Cesaro thì dãy số (un ) có n→+∞

lim un = L thì lim

n→+∞

n→+∞

u1 +u2 +···+un n

= L.

Xét dãy un = yn+1 − yn , áp dụng ta dễ dàng có được lim

n→+∞

ta thấy rằng nếu lim

=

=

,

= l thì theo định lý Stolz, ta phải có l =

p

l → l = 94 .

5 Sử dụng ước lượng

p

p

p

p

‹2

p

xn +

x n + 23 − 2n nên p

Mặt khác, dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng

nên ta được

Theo nguyên lý kẹp, dễ dàng suy ra lim nx n = 49 . Nhận xét. Câu b có thể sử dụng định lý Stolz cho dãy ( yn ) và dãy zn = n cũng thu được kết quả tương tự, vì thực ra định lý Stolz còn tổng quát hơn cả định lý trung bình x n+1 −x n Cesaro: Cho hai dãy số (x n ), ( yn ) có yn dương, tăng, tiến tới vô cực và lim yn+1 − yn = L n→+∞

= L. Dấu hiệu nhận biết định lý Stolz cho câu b là khá rõ. Nếu ở trên không p p thực hiện đặt dãy phụ thì vẫn có thể xét hiệu x n+1 − x n . Tuy nhiên, nếu ta đi theo hướng xét trực tiếp dãy x n và n2 thì hơi khó, vì khi đó không dễ để tính trực tiếp được x giới hạn sau (cũng khó có thể chứng minh được tính tăng/giảm của dãy n2n , dù trên thực tế, nó đúng là dãy tăng). p 3 x n + pnx n x n+1 − x n = . 2n + 1 (n + 1)2 − n2 thì

= 3.

2. (VMO 2017 Mock test) Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 =

p

a) Tính u2018 . b) Chứng minh rằng an = c) Chứng minh rằng bn =

+ u12 + · · · + u1n hội tụ.

+ u22 + · · · + unn → +∞.

với n ≥ 1. Tính giới hạn của các dãy số sau

€ Š 4. (Chọn đội tuyển Đồng Nai 2019) Cho dãy số (x n ) thỏa mãn x n+1 = 13 x n + p2nx n . Æ p 3 3 x −x Chứng minh rằng (n − 1)2 < x n < n2 , ∀n ≥ 3 và tính lim p3n+12 n . n −x n

Lời giải. Nhận xét. Theo BĐT Cauchy – Schwarz, ta luôn có Ç

X

1≤i≤2018

2019

“i = 0 (do trong tổng ở trên có 2019

i=1

dấu − và 2019 dấu +) nên trong các hệ số này, phải có ít nhất một hệ số bằng 0, vì nếu không thì vế trái là số lẻ, vô lý. Không mất tính tổng quát, giả sử “2019 = 0. Suy ra 2018

2018

xi − x j , 1 ≤ i ≤ j ≤ n

8 3. (Komal 2014) Với n ≥ 2 ,cho các số thực 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x n và 0 ≤ y1 ≤ n n P P y2 ≤ . . . ≤ yn thỏa mãn điều kiện xi = yi = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của i=1

i=1

Bài 3. Cho dãy số (an ) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và an+2 = 5an+1 − 6an với mọi n ≥ 2. a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau. b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2k thì p − 1 chia hết cho 2k+1 với mọi số tự nhiên k. Lời giải. a) Cách 1. Ta thấy (an ) là dãy sai phân tuyến tính cấp hai có phương trình đặc trưng x 2 = 5x − 6 với hai nghiệm là x 1 = 2, x 2 = 3 nên dễ dàng tìm được công thức tổng quát là an = 2n + 3n , ∀n. Đến đây, giả sử có n ≥ 1 để an , an+1 có ước nguyên tố chung là p. Rõ ràng gcd(p, 6) = 1. Ta có n

k

k

k

b) Xét số nguyên tố p là ước của 22 + 32 . Suy ra 22 ≡ −32 (modp) → 22 k+1 32 (modp). Theo định lý Fermat nhỏ thì

k+1

≡

t

0

t

k

a) Chứng minh rằng 2x n+1 = x n2 − 8, từ đó chỉ ra rằng x n = 22 +1 + 2−2 mọi n. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n để [x n ] + 3 là lập phương đúng. n−1

n−1

+1

với

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với O qua BC, CA, AB. a) Gọi H a là điểm đối xứng của H qua BC, và A0 là điểm đối xứng của A qua O. Gọi Oa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng H D0 , A0 Oa cắt nhau tại một điểm trên (O). b) Lấy điểm X sao cho tứ giác AX DA0 là hình bình hành. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác AH X , ABF, AC E có một điểm chung khác A. Lời giải. a) Xét hình vẽ như bên dưới, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự. Giả sử H a D cắt (O) ở K. Gọi M là trung điểm BC thì OD = 2OM = AH. Hai tam giác cân OBD và OOa B có chung góc đáy O nên chúng đồng dạng, suy ra OB OD = → OD · OOa = R2 OB OOa với R là bán kính (O). Suy ra AH ·OOa = R2 nên

=

mà ∠OAH = ∠A0 OAa nên hai tam giác AHO, OA0 Oa

10

Lời giới thiệu của tác giả

Bài viết này theo góc độ cá nhân của tác giả, chủ yếu muốn nhận xét, đánh giá từ tổng quan cho đến chi tiết từng câu trong đề thi HSG QG năm nay (sẽ không nêu các bài toán tương tự hay mở rộng, tổng quát như các năm trước). Trong bài viết này, tác giả có sử dụng lời giải, ý tưởng của các thầy: Nguyễn Ngọc Duy (GV PTNK TPHCM), Trần Quang Hùng (GV chuyên KHTN Hà Nội), Trần Xuân Hùng (GV THPT Vĩnh Xuân, Huế), Phạm Tiến Kha (GV ĐHSP TPHCM), Trần Quốc Luật (GV chuyên Lê Hồng Phong TPHCM), Nguyễn Văn Linh (SV ĐHSP Hà Nội), Nguyễn Song Minh (Hà Nội), Nguyễn Quang Tân (GV chuyên Lào Cai), Nguyễn Tăng Vũ (GV PTNK TPHCM) và bạn: Huỳnh Văn Y (KHTN TPHCM), Nguyễn Nguyễn (HS PTNK TPHCM). Xin cám ơn thầy Trần Nam Dũng (GV PTNK TPHCM) và anh Võ Quốc Bá Cẩn (GV Archimedes Academy Hà Nội) đã động viên nhiều trước đó để tác giả thực hiện bài viết này.

Nhận xét tổng quan

* Ngày 1: từng bài toán đều có những cái khó riêng, hầu như nếu không nắm được các bổ đề thì không thể xử lý trọn vẹn. Có bài thì phát biểu đơn giản nhưng theo kiểu lý thuyết, có bài thì cách xây dựng cầu kỳ, rắc rối khiến các thí sinh ngay cả ở phần sở trường của mình cũng không thể phát huy tốt. Phân tích kỹ ra hơn, phải nói rằng có nhiều ý trong đề bài dường như chặn hết các đường suy luận của những thí sinh tiếp cận vấn đề theo hướng tự nhiên. * Ngày 2: cả ba bài toán đều ít nhiều liên hệ tới các đề thi VMO cũ (1994, 2017, 2010) và đã được đề cập trong các bài giảng, tài liệu. Thí sinh đa số lấy được điểm ở bài 5 và 6 nhưng tính cũ của các bài phần nào đã khiến cho những thí sinh chưa đọc qua các đề thi trên gặp khó khăn. Phân bố khó dễ giữa hai ngày không hợp lý khi có bài mức độ nhẹ nhàng, đáng lẽ nên được sắp xếp ở ngày đầu để tạo tâm lý thoải mái, cũng là động lực cho thí sinh thì lại nằm ở ngày thứ hai. * Đề thi chọn HSG quốc gia hàng năm luôn là đề được cộng đồng Olympic, từ giáo viên, học sinh và những bạn yêu Toán đón nhận nhiều nhất. Với quy mô toàn quốc, được đầu tư bởi các chuyên gia nhiều kinh nghiệm, VMO luôn hứa hẹn là đề thi mang tính sư phạm, chuyên môn, khách quan và gợi mở, định hướng phát triển phong trào nhất mỗi năm. Thật đáng tiếc rằng trong đề thi VMO 2019 này, thật khó để nhìn nhận ra được các đặc điểm như thế!

Đầy đủ đề thi và lời giải trong file PDF

1. Mở bài

Từ xa xưa, ông cha ta luôn đề cao quy tắc, phép tắc, cách ứng xử làm người sao cho có văn hóa. Câu khẩu hiệu ” Tiên học lễ – hậu học văn” chính là một câu vô cùng quen thuộc đối với mỗi chúng ta. Câu đó đã cho chúng ta biết đến tầm quan trọng của những lễ nghi, cách ứng xử để làm người

2. Thân bài

* Giải thích câu nói

– Tiên học lễ là gì

– Hậu học văn lễ gì?

* Tại sao lại Tiên học lễ – hậu học văn?

– Trước khi đến trường, trước khi học văn hóa, học sinh phải biết học lễ nghĩa. Lễ nghĩa đối với ông bà, cha mẹ, lễ nghĩa đối với thầy cô giáo

– Học lễ nghĩa để làm người biết trên dưới, phải trái.

– Sau khi biết tôn trọng những người xung quanh sau đó mới là học văn hóa. Học để có tri thức, hiểu biết sâu rộng. Học để trở thành người có ích

– Học lễ – và học văn không thể tách rời nhau được. Không thể chỉ có học lễ mà không học văn hóa và ngượi lại.

– Đến trường không chỉ học văn hóa mà học cả cách ứng xử sao cho phù hợp và chuẩn mực

* ý nghĩa của câu tục ngữ

– Câu tục ngữ cho chúng ta một lời răn dạy thật phải, thật có ý nghĩa

– Còn người phải học trước lễ nghĩa, sau đó mới có thể học văn hóa.

– Chúng ta phải học song song hai điều này ở tất cả mọi nơi.

3. Kết bài

Câu tục ngữ ” Tiên học lễ, hậu học văn ” thật có ý nghĩa quan trọng lớn lao. Chúng ta phải luôn ghi nhớ mà học tập theo. Chỉ khi làm như vậy, con người mới có thể làm người có ích cho đất nước, tổ quốc.

II. Bài tham khảo

Từ xa xưa, ông cha ta luôn đề cao quy tắc, phép tắc, cách ứng xử làm người sao cho có văn hóa. Câu khẩu hiệu ” Tiên học lễ – hậu học văn” chính là một câu vô cùng quen thuộc đối với mỗi chúng ta. Câu đó đã cho chúng ta biết đến tầm quan trọng của những lễ nghi, cách ứng xử để làm người

Trước tiên, ta phải tìm hiểu câu khẩu hiểu ” Tiên học lễ – Hậu học văn” có nghĩa là gì? Tiên ở đây chính là đầu tiên, lễ chính là lễ nghi, cách ứng xử. Tiên học lễ có nghĩa là trước tiên chúng ta phải học cách ứng xử, lễ nghĩa đối với những người xung quanh. Hậu có nghĩa là sau, văn chính là văn hóa, tri thức, kiến thức khi đến nhà trường hoặc học bất cứ thứ gì bên ngoài. Tiên học lễ – hậu học văn nghĩa là trước tiên phải học phép tắc, lễ nghĩ, cách ứng xử sao cho có văn hóa. Sau đó mới là học văn hóa, học chữ nghĩa, học để có tri thức.

Tại sao lại Tiên học lễ – hậu học văn?Trước khi đến trường, trước khi học văn hóa, học sinh phải biết học lễ nghĩa. Lễ nghĩa đối với ông bà, cha mẹ, lễ nghĩa đối với thầy cô giáo. Học lễ nghĩa để làm người biết trên dưới, phải trái. Sau khi biết tôn trọng những người xung quanh sau đó mới là học văn hóa. Học để có tri thức, hiểu biết sâu rộng. Học để trở thành người có ích. Học lễ – và học văn không thể tách rời nhau được. Không thể chỉ có học lễ mà không học văn hóa và ngượi lại.Đến trường không chỉ học văn hóa mà học cả cách ứng xử sao cho phù hợp và chuẩn mực. Trước khi đến trường, chúng ta phải biết đến tôn sư trọng đến, đến lớp chào các thầy cô giáo, tôn trọng các thầy cô. Sau đó chúng ta mới có thể học văn hóa, học tri thức. Cũng như vậy, khi ra ngoài cuộc sống, con người biết tôn trọng những người xung quanh. Ai lớn tuổi hơn cần tôn trọng, biết cư xử sao cho là người có văn hóa. Ở trường lớp, chúng ta không chỉ được các thầy cô truyền thụ cho tri thức, mà còn rèn cho chúng ta trở nên làm người, là người có văn hóa, lịch sử, văn minh.

Câu tục ngữ có chúng ta một ý nghĩa vô cùng to lớn. Đó là một lời răn dạy thật phải, thật có ý nghĩa. Ở bất kì một ngôi trường nào khi chúng ta đến thì khẩu hiệu to nhất chính là ” Tiên học lễ – hậu học văn” mang một ý nghĩa như vậy. Còn người phải học trước lễ nghĩa, sau đó mới có thể học văn hóa. Chúng ta phải học song song hai điều này ở tất cả mọi nơi. Đến khi trưởng thành thì câu khẩu hiệu này vẫn không bao giờ sai được. Nó luôn hữu ích ở tất cả mọi nơi, mọi môi trường mà chúng ta đang sống và học tập. Nhưng ngày nay, vẫn còn một số bạn chưa hiểu được rõ câu khẩu hiệu này, vẫn còn cư xử thiếu lễ độ với thầy cô, cha mẹ…. những việc làm đó cần phải loại bỏ ngay.

Câu tục ngữ ” Tiên học lễ, hậu học văn” thật có ý nghĩa quan trọng lớn lao. Chúng ta phải luôn ghi nhớ mà học tập theo. Chỉ khi làm như vậy, con người mới có thể làm người có ích cho đất nước, tổ quốc.

Theo chúng tôi

Bài làm

Cuộc sống hiện đại chạy đua theo giá trị đồng tiền đôi lúc khiến con người ta quên đi những đạo lí căn bản nhất để làm người. Trong khi đó, càng vào những thời điểm như thế này, bài học làm người cơ bản được đúc kết qua những câu nói, những quan niệm, phát ngôn… càng quan trọng và ý nghĩa hơn. Câu nói “Lương y như từ mẫu” là một trong số đó.

Câu “Lương y như từ mẫu” vốn bắt đầu xuất hiện trong một bức thư gửi Hội nghị Cán bộ y tế ngày 27 tháng 2 năm 1955 của Chủ tịch Hồ Chí Minh. Ở đây, Bác muốn nhắc nhở các cán bộ, nhân viên y tế rằng: một người thầy thuốc cũng giống như một người mẹ hiền. Hai điều kiện người thầy thuốc cần có là “Lương y” và “Từ mẫu”. Lương y tức là lòng nhân ái, thương yêu bệnh nhân. Từ mẫu là người mẹ hiền. Tất nhiên, đã là người mẹ hiền thì không mong muốn con mình bị ốm đau, bệnh tật. Như vậy, câu nói là lời nhắc nhở những người làm nghề y rằng: đạo đức nghề nghiệp là yếu tố quan trọng hàng đầu.

Vậy như thế nào mới là “Lương y như từ mẫu”? Một vị bác sĩ có lương y trước hết phải là một bác sĩ giỏi về chuyên môn và nghiệp vụ. Người bác sĩ ấy phải có năng lực dùng kiến thức và kỹ năng của mình để chữa bệnh cho mọi người. Vị bác sĩ giỏi còn phải vững vàng về chuyên môn, luôn không ngừng học hỏi, tiếp thu cái mới, cái tiến bộ để có phương pháp chữa trị tốt nhất, hiệu quả nhất cho người bệnh. Vị bác sĩ giỏi còn phải biết cách thấu hiểu tâm lý, nguyện vọng của bệnh nhân giống như người mẹ luôn luôn hiểu được tâm tính của đứa con mình sinh ra.

Và hơn hết, lương y của người bác sĩ thể hiện ở sự tôn trọng sinh mạng con người. Cụ thể, bác sĩ phải nghĩ cho bệnh nhân trước hết, làm mọi điều có lợi nhất cho bệnh nhân, chăm sóc chu đáo, tận tụy. Giữa các bệnh nhân với nhau cũng không được phân biệt sang giàu hay nghèo hèn. Bác sĩ cần có sự công bằng và chính trực trong mọi suy nghĩ và việc làm.

Nhưng mọi thầy thuốc đâu phải tự nhiên đều trở thành “mẹ hiền”, mà chỉ có thầy thuốc chịu phấn đấu, cố gắng tu dưỡng, rèn luyện đạo đức, tác phong, lối sống, cách xử sự với bệnh nhân, mới có thể trở thành mẹ hiền được.

Trong xã hội hiện đại ngày nay, không ít các y, bác sĩ bị chi phối bởi ma lực của đồng tiền mà bỏ qua đạo đức nghề nghiệp. Đó là hành động lấy phong bì làm thước đo cho sự tận tình, ai phong bì “sang” hơn sẽ được ưu ái hơn. Đó là bỏ qua bệnh nhân nguy cấp không chữa chỉ vì họ không có khả năng thanh toán viện phí. Đó là thờ ơ, vô tư trước bệnh tình bệnh nhân khiến cho bệnh tình bệnh nhân chuyển biến xấu… Tình trạng đó báo hiệu vấn đề y đức đang đi theo chiều hướng tha hóa, mai một, xuống cấp nghiêm trọng.

Trái lại, đáng khen thay vẫn có những bác sĩ trẻ tình nguyện về các bệnh viện nghèo thăm khám, chữa bệnh từ thiện và phát thuốc miễn phí cho đồng bào vùng khó khăn. Những con người ấy vẫn hằng ngày hằng giờ thầm lặng làm việc, cống hiến hết mình vì nghề nghiệp, góp phần làm dịu cơn đau về cả thể chất lẫn tinh thần cho bệnh nhân theo đúng nghĩa đen của nó.

Tóm lại, trong cuộc sống, khi làm bất kì nghề nghiệp gì, đạo đức nghề nghiệp luôn là yếu tố quan trọng nhất. Như Bác Hồ đã nói “Có tài mà không có đức thì là người vô dụng”. Nghề y là một nghề cao quý và giúp ích rất nhiều cho xã hội. Mong rằng những ai đã, đang và sẽ trở thành người làm về y học sẽ có nhận thức đúng đắn đề chăm sóc tốt cho người dân.

Hoài Lê