Web Giải Pt Bậc 2 / TOP 9 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 5/2023 # Top View

Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ với các em cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm của PT bậc 2 trong trường hợp đặc biệt.

Có nhiều dạng toán trong chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán cần phải biết phương pháp giải phương trình bậc 2 thì mới làm được.

Định nghĩa phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0. Với

x là ẩn số

a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0

a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x (theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do).

Phương pháp giải phương trình bậc 2

Giải phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 theo biệt thức delta (Δ)

Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:

Nếu phương trình bậc 2 có:

Xuất phát từ định lý Vi-ét, chúng ta có các dạng toán tính nhẩm như sau:

Nếu phương trình có dạng x 2 – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.

Nếu phương trình có dạng x 2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và -v.

Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, chúng ta nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.

Tóm lại:

x 2 – 5x + 6 = 0 Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.

x 2 – 7x + 10 = 0 Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.

Ví dụ phương trình:

Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào Dạng 1 và Dạng 3.

Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c = u.

Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.

Nếu u ≠ 0 và v = 1/ u thì phương trình (1) có dạng:

A. Những vấn đề chung

I/ Lý do chọn đề tài:Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên là những bài toán khó. Đường lối chung để giải phương trình này là dựa vào đặc điểm của phương trình để thu hẹp miền chứa nghiệm.Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của mỗi học sinh, đối với mỗi dạng toán này cũng như việc tạo ra sự hứng thú say mê học tập của các em là việc rất cần thiết của các thầy cô giáo dạy toán. Do vậy tôi muốn trao đổi kinh nghiệm về một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hay gặp trong chương trình toán cấp 2 mà tôi đã làm.

II/ Mục đích:Giúp học sinh nắm được một số phương pháp cơ bản để giải phương trình nghiệm nguyên.

III/ Nhiệm vụ:– Đưa ra các phương pháp và ví dụ minh hoạ– Rút kinh nghiệm

IV/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:– Đối tượng: các tài liệu về phương trình nghiệm nguyên– Phạm vi nghiên cứu: các bài toán về phương trình nghiệm nguyên trong chương trình toán cấp 2.

V/ Phương pháp nghiên cứu:– Nghiên cứu tài liệu– Trao đổi kinh nghiệm – Tổng kết rút kinh nghiệm

Thử lại: x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mãn phương trình đã cho.Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát:

III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức:1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn:Ví dụ 6: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúngGiải:Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x + y + z = x.y.z (1)Do x, y, z có vai trò như nhau ở trong phương trình (1) nên có thể sắp thứ tự các ẩn như sau:

Giải: Do vai trò bình đẳng của x và y. Giả sử , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ yTa có: (1)Mặt khác do Do đó nên (2)Từ (1) và (2) ta có : . Do y+Với y =4 ta được: + Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên+ Với y = 6 ta được: Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6)3/ Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên:Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x sao cho 2x+3x=5xGiải: Chia hai vế cho 5x, ta được: (1)+Với x=0 vế trái của phương trình (1) bằng 2 (loại)+ Với x = 1 thì vế trái của phương trình bằng 1 ( đúng)+ Với x thì:

Nên: ( loại)Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 14/ Sử dụng điều kiện của phương trình bậc hai có nghiệm Ta viết phương trình f(x; y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai đối với một ẩn đã chọn. Chẳng hạn chọn ẩn x, khi đó y là tham số, điều kiện cần để phương trình có nghiệm là , để có nghiệm nguyên còn cần phải là số chính phương.Ví dụ 9: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :x+y+xy = x2+y2 (1)Giải: Phương trình (1) tương đương với: x2-(y+1)x+(y2-y) = 0 (2)Điều kiện để (2) có nghiệm là

– Định nghĩa: Căn bậc hai của 1 số không âm a là số x sao cho x 2 = a.

– Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a.

– Mọi số a đề có duy nhất một căn bậc 3.

B. Các dạng toán về căn bậc 2 căn bậc 3

– Giải bất phương trình để tìm giá trị của biến

Ví dụ: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa

⇔ 3x ≥ 12 ⇔ x ≥ 4

⇔ 3x – 6 < 0 ⇔ x < 2

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

– Vận dụng các phép biến đổi và đặt nhân tử chung

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

Ví dụ: Giải phương trình sau

– Kết luận: x=4 là nghiệm

– Thực hiện các phép biến đổi đẳng thức chứa căn bậc 2

– Vận dụng phương pháp chứng minh đẳng thức A = B

+ Chứng minh A = C và B = C

+ Biến đổi A về B hoặc B về A (tức A = B)

* Ví dụ: Chứng minh đẳng thức

– Vậy ta có điều cần chứng minh

C. Bài tập về Căn bậc 2, Căn bậc 3

* Bài 2 (trang 6 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh:

a) 2 và √3; b) 6 và √41; c) 7 và √47

b) Ta có: 6 = √36 mà 36 < 41 ⇒ √36 < √41

* Bài 4 (trang 7 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm số x không âm, biết:

– Lưu ý: Vì x không âm (tức là x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 15 2 ⇔ x = 225

– Kết luận: x = 225

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 7 2 ⇔ x = 49

– Kết luận: x = 49

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2

– Kết luận: 0 ≤ x < 2

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: 2x < 16 ⇔ x < 8

– Kết luận: 0 ≤ x < 8

* Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

b) Tương tự: -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0

d) Tương tự: 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ -7/3.

* Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

* Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

* Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x biết:

* Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh:

* Lời giải bài 10 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: VT = (√3 – 1) 2 = (√3) 2 – 2√3 + 1 = 3 – 2√3 + 1 = 4 – 2√3 = VP

⇒ (√3 – 1) 2 = 4 – 2√3 (đpcm)

* Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử:

* Lưu ý: Bạn có thể tìm các căn bậc ba ở trên bằng máy tính bỏ túi và ghi nhớ một số lũy thừa bậc 3 của các số < 10: 2 3 = 8; 3 3 = 27; 4 3 = 64; 5 3 = 125; 6 3 = 216; 7 3 = 343; 8 3 = 512; 9 3 = 729;

* Bài 68 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Tính

* Bài 69 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh

a) 5 và ∛123. b) 5∛6 và 6∛5.

D. Bài tập luyện tập căn bậc 2 căn bậc 3

Bài tập 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

Bài tập 2: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

Bài tập 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

Bài tập 4: Thực hiện các phép tính sau

Bài tập 5: Rút gọn các biểu thức sau

Bài tập 6: Giải các phương trình sau

a) x≤3; b) x=2; c) x≥2; d) x=2; e) vô nghiệm;

f) x=1; g) x=0; x=-1/2; h) x=√3; x=-1-√3; i) x=-1; k) x-2;

Ngày 15 / 12/ 2009Tiết 33: §3.GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP A . Mục tiêu:– Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng qui tắc thế.– HS nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế – HS không bị túng khi gặp các trường hợp đặc biệt ( hệ vô nghiệm hoặc hệ vô số nghiệm) b. Chuẩn bị:-GV: Bảng phụ có ghi sẵn qui tắc thế, chú ý và cách giải mẫu một số hệ phương trình.-HS: -Bảng phụ nhóm,bút dạ , giấy kẻ ô vuông.C. tiến trình dạy học: Hoạt động 1: tra bài cũ: HS 1: Làm BT 8a(SGK) HS 2: Làm BT 9b(SGK) Hoạt động 2: 1. Quy tắc thế:

– Xét hệ phương trình sau:

– Từ pt (1) , hãy biểu diễn x theo y ?– Lấy kết quả trên thế vào chỗ của x trong pt (2) thì ta sẽ được pt nào ?– Có nhận xét gì về pt vừa tìm được ?– Dùng pt (1′) cho pt (1), pt (2′) cho pt (2)ta được hệ pt nào?– Hệ này như thế nào với hệ (I) ?– Giải hệ pt mới và kết luận nghiệm của hệ đã cho?– Qua ví dụ trên , hãy nêu quy tắc thế?– ở bước 1 ta có thể biểu diễn y theo x được không ? Ta được biểu thức nào ? Ví dụ1:Xét hệ phương trình: (I) x – 3y = 2 (1) -2x + 5y = 1 (2)B: Từ (1) ta có : x = 3y + 2 (1′)vào (2) ta được: -2(3y +2) + 5y = 1 (2′)B: (I) x = 3y + 2 (1′) -2(3y + 2) + 5y = 1 (2′)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (-13 ; -5)

Quy tắc thế : (SGK)

Hoạt động 3: 2. áp dụng:

– áp dụng quy tắc thế để giải hệ phương trình sau.

– HS đứng tại chỗ trình bày bài dưới sự hướng dẫn của GV.

– GV cho HS quan sát minh hoạ bằng đồ thị của hệ pt này và kết luận.– HS thực hiện ?1(theo nhóm)– Sau đó GV thu bảng nhóm treo lên, HS lớp quan sát ,nhận xét.– Khi giải hệ pt bằng phương pháp đồ thị thì hệ vô nghiệm , vô số nghiệm có đặc điểm gì? – Khi giải hệ pt bằng phương pháp thế thì hệ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm có đặc điểm gì? – Đọc chú ý (SGK)– HS đọc VD3 (SGK)– HS làm ?2 và ?3 SGK Ví dụ2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (I) 2x – y = 3 (1) x + 2y = 4 (2) Giải : Ta có : (I)

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất (2; 1)

?1. Giải hệ pt sau

Nêu các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế?Làm BT 12a; 13a; 14a(SGK)

Hoạt động 5: Hướng dẫn về nhà:

Nắm vững hai bước giải hệ pt bằng phương pháp thế.Làm BT 13b;14b;15;16(SGK) Đọc trước §4.Giải hệ pt bằng phương pháp cộng đại số.